西北工业大学计算方法第二周作业答案
计算方法课后习题答案
计算方法课后习题答案计算方法课后习题答案计算方法是一门重要的学科，它为我们提供了解决数学问题的方法和工具。
在学习这门课程时，我们经常会遇到一些习题，这些习题旨在帮助我们巩固所学的知识并提高我们的计算能力。
然而，习题的解答并非总是容易的，有时候我们可能会遇到困难。
因此，我将在本文中为大家提供一些计算方法课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。
1. 线性方程组的解法线性方程组是计算方法中的一个重要概念。
解决线性方程组的方法有很多种，其中最常用的方法是高斯消元法。
这种方法通过行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
下面是一个例子：2x + 3y = 84x - 5y = -7通过高斯消元法，我们可以得到方程组的解为x = 1，y = 2。
2. 数值积分的计算数值积分是计算方法中的另一个重要概念。
它可以用来计算曲线下的面积或者求解定积分。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
下面是一个例子：计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 2x)dx。
通过梯形法则，我们可以得到定积分的近似值为1.5。
3. 插值和拟合插值和拟合是计算方法中的重要概念，它们可以用来估计未知数据点的值。
插值是通过已知数据点之间的连线或曲线来估计未知点的值，而拟合是通过已知数据点的函数来估计未知点的值。
下面是一个例子：已知数据点 (1, 3), (2, 5), (3, 8)，通过插值和拟合方法来估计点 (4, ?) 的值。
通过线性插值，我们可以得到点 (4, 11) 的值。
通过多项式拟合，我们可以得到点 (4, 10.5) 的值。
4. 数值微分的计算数值微分是计算方法中的另一个重要概念，它可以用来估计函数在某一点的导数值。
常用的数值微分方法有前向差分法、后向差分法和中心差分法。
下面是一个例子：计算函数 f(x) = x^2 在点 x = 2 处的导数值。
通过中心差分法，我们可以得到导数的近似值为 4。
西工大计算方法作业答案
参考答案 第一章1 *1x =1.7； *2x =1.73； *3x =1.732 。
2．3． （1） ≤++)(*3*2*1x x x e r 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517； （3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。
4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。
令3)1()1(1*1021102211021)(-----⨯≤⨯⨯=⨯=n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。
5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是*x 的相对误差的1/2倍；（2）nx )(* 的相对误差约是*x 的相对误差的n 倍。
6． 根据********************sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤=******)()()(tgcc e b b e a a e ++ 注意当20*π<<c 时，0**>>c tgc ，即1*1*)()(--<c tgc 。
则有)()()()(****c e b e a e S e r r r r ++<7．设20=y ，41.1*0=y ，δ=⨯≤--2*001021y y 由 δ1*001*111010--≤-=-y y y y ，δ2*111*221010--≤-=-y y y yMδ10*991*10101010--≤-=-y y y y即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小1010-倍。
而11010<<-δ，故计算过程稳定。
计算方法 课后习题答案
Lagrange 插值多项式。
3
注意到：若 n 1个节点 xi i 0,1,..., n 互异，则对任意次数 n 的多项式 f x ，它
(4.5)(0.01172)
0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848
Lagrange
型二次插值函数，并估
计差。
解1)由题意知：
x0
0,
x1
1,
x2
1 2
;
y0
1,
y1
e1,
y2
1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
x2 02
x4= 04
x3
7x2 14x 8 8
l1 ( x)
x x0 x1 x0
x x2 x1 x2
x x3 x1 x3
机械原理第七版西北工业大学课后习题答案(2—8章)
机械原理课后习题答案第二章 机构的结构分析题2-11 图a 所示为一简易冲床的初拟设计方案。
设计者的思路是：动力由齿轮1输入，使轴A 连续回转；而固装在轴A 上的凸轮2与杠杆3组成的凸轮机构使冲头4上下运动，以达到冲压的目的。
试绘出其机构运动简图（各尺寸由图上量取），分析是否能实现设计意图，并提出修改方案。
解：1)取比例尺,绘制机构运动简图。
(图2-11a)2)要分析是否能实现设计意图,首先要计算机构的自由度。
尽管此机构有4个活动件，但齿轮1和凸轮2是固装在轴A 上，只能作为一个活动件，故 3=n 3=l p 1=h p01423323=-⨯-⨯=--=h l p p n F原动件数不等于自由度数，此简易冲床不能运动，即不能实现设计意图。
分析：因构件3、4与机架5和运动副B 、C 、D 组成不能运动的刚性桁架。
故需增加构件的自由度。
3)提出修改方案：可以在机构的适当位置增加一个活动构件和一个低副，或用一个高副来代替一个低副。
(1) 在构件3、4之间加一连杆及一个转动副(图2-11b)。
(2) 在构件3、4之间加一滑块及一个移动副(图2-11c)。
(3) 在构件3、4之间加一滚子(局部自由度)及一个平面高副(图2-11d)。
11(c)题2-11(d)54364(a)5325215436426(b)321讨论：增加机构自由度的方法一般是在适当位置上添加一个构件（相当于增加3个自由度）和1个低副（相当于引入2个约束），如图2-1（b ）（c ）所示，这样就相当于给机构增加了一个自由度。
用一个高副代替一个低副也可以增加机构自由度，如图2-1（d ）所示。
题2-12 图a 所示为一小型压力机。
图上，齿轮1与偏心轮1’为同一构件，绕固定轴心O 连续转动。
在齿轮5上开有凸轮轮凹槽，摆杆4上的滚子6嵌在凹槽中，从而使摆杆4绕C 轴上下摆动。
同时，又通过偏心轮1’、连杆2、滑杆3使C 轴上下移动。
最后通过在摆杆4的叉槽中的滑块7和铰链G 使冲头8实现冲压运动。
西北工业大学计算方法作业集答案及试题
2 则有 er ( S ) < er ( a * ) + er (b * ) + er (c * )
*
注意当 0 < c <
*
π
时， tgc * > c * > 0 ，即 (tgc * )
−1
< (c * ) 。
−1
7．设 y0 = 由
1 * * 2 ， y0 = 1.41 ， y0 − y0 ≤ × 10 − 2 = δ 2 * −1 * −1 y1 − y1 = 10 y0 − y0 ≤ 10 δ ，
η ∈ [ a, b]
1 f ′(η )(b − a ) 2 2
（2）右矩形公式 将 f(x)在 b 处展开，并积分，得 （3）中矩形公式 将 f(x)在 a + b 处展开，得
2
∫
b
a
f ( x)dx = (b − a ) f (b) −
x * ( x > 0 )的相对误差约是 x * 的相对误差的 1/2 倍； * * n （2） ( x ) 的相对误差约是 x 的相对误差的 n 倍。 1 * * 1 * 1 * b sin c *e(a * ) a sin c *e(b* ) a b cos c *e(c * ) * 2 2 2 6． 根据 er ( S ) ≤ + + 1 * * 1 * * 1 * * a b sin c * a b sin c * a b sin c * 2 2 2 * * * e(a ) e(b ) e(c ) = + * + a* b tgc *
I = 5.6308e −2.8882t
3.1781 4 3.1781 3.6092
西北工业大学计算方法试题
x ( k +1)
=
x(k)
−
ω
A(
x
(
k
+1
)
+ 2
x(k)
)
−
b
ω >0 , k = 0,1,2,⋯
对任意初始向量 x (0) ， x (k+1) 是否收敛到方程组 Ax = b 的解？为什么？
西北工业大学考试试题（卷）-计算方法二
1 填空 1）. 近似数 x* = 0.0142 关于真值 x = 0.0139 有__为有效数字。
0
试求满足插值条件的四次多项式 p(x).
6 设有如下的常微分方程初值问题
dy dx
=
x ,1 < y
x ≤ 1.4
y(1) = 1
1）写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。 2）取步长 0.2 用上述格式求解。
∫ 7 设有积分 I = 0.6 e x2 dx 0
1）取 7 个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数 点后 4 位） 2）用复化 simpson 公式求该积分的近似值。
（4） 取 3 ≈ 1.732 ，迭代过程 yn+1 = yn + 0.1 3 是否稳定？______（是或否）；
∫ （5） 求积公式 3 f ( x)dx ≈ 2 f (2) 有______次代数精度。 1
2．取初值 x0 = 1.6 ，用牛顿迭代法求 3.1 的近似值 xn+1 ，要求先论证收敛性，当
xn+1 − xn ≤ 10−5 时停止迭代。
3．用最小二乘法确定 y = a 1 + bx 2 中的常数 a 和 b ，使该函数曲线拟合 x
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。
计算方法习题答案
计算方法习题答案在数学和工程领域，计算方法是指解决数学问题的一系列算法和程序。
以下是一些常见的计算方法习题及其答案。
习题1：求解线性方程组考虑线性方程组：\[ \begin{align*}3x + 2y &= 7, \\4x - y &= 5.\end{align*} \]答案：使用高斯消元法，我们首先将第二个方程乘以2，然后从第一个方程中减去得到：\[ \begin{align*}3x + 2y &= 7, \\0x + 9y &= 17.\end{align*} \]解得 \( y = \frac{17}{9} \)。
将 \( y \) 的值代入第一个方程，解得 \( x = 1 \)。
因此，解为 \( x = 1, y = \frac{17}{9} \)。
习题2：数值积分给定函数 \( f(x) = x^2 \)，求在区间 [0, 1] 上的积分。
答案：使用梯形法则进行数值积分，取两个子区间：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \approx \frac{1}{2} \left( f(0) + f(1) \right) = \frac{1}{2} \left( 0 + 1 \right) = 0.5. \]习题3：求解常微分方程的初值问题考虑初值问题：\[ y' = 3x^2 - 2y, \quad y(0) = 1. \]答案：使用欧拉方法，取步长 \( h = 0.1 \)，计算 \( y \) 的值：\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n). \]从 \( y_0 = 1 \) 开始，计算得到：\[ y_1 = 1 + 0.1(0 - 2) = 1.2, \]\[ y_2 = 1.2 + 0.1(0.01 - 2.4) = 1.4, \]以此类推，可以得到 \( y \) 在区间 [0, 1] 上的近似值。
习题4：数值解非线性方程给定方程 \( f(x) = x^3 - x - 1 = 0 \)，求根。
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f (x) = 0 的 有 根 区 间 。 又 当 x [1, 2] 时 ， f (x) = 6x − 4.8 0 ， 因 此
f (x) = 0 在[1, 2] 上有惟一实根 x* 。对 f (x) 应用牛顿迭代法，得计算公式
xk +1
=
xk
−
3xk2
− 4.8xk − 0.51, k 6xk − 4.8
=
−
1 4
，迭代格式为
xk +1
=
xk
−
1 4
( xk2
− 3),
k
=
0,1, 2,．
当c
=
−
1 23
，迭代格式为
xk +1
=
xk
−
1 23
( xk2
− 3),
k
=
0,1,
2,
取 x0 = 2 ，计算得
4
n
xn
（
c
=
−
1 4
）
xn − xn−1
xn
（c
=
−
1 23
）
xn − xn−1
0
2
1 1.750000000 0.250000000
因此
0.2624 ln1.3 (x) ln 2 0.6931, x [0, 0.7]，
1
即(x) [0.0.7], x [0, 0.7] ； (x) = 1 1 0.7692 1，因此迭代法收敛。
x − 2 1.3
（4）迭代计算：
n
xn
0
0.4
1
0.4700
2
0.4253
3
0.4541
a x2
知，牛顿迭代公式为
xn+1
=
(xn )
=
2xn3 + 3xn 2
a
=
1 3
2
xn
+
a xn 2
=
1 3
xn
+
xn
+
a xn 2
对a
0 ，自然取
x0
0
。易知， ( x)
=
2 3
1 −
a x3
，注意当
x3 a时
2 3
(x)
=
2 1 − 3
a x3
0 ，则初值取 x0
3
a
时牛顿迭代法
2 1.711324865 1.731926803 1.732050803 1.732050799
0.288675135 0.020601938 0.000124000 0.000000004
5.证明：法一：由牛顿迭代法的迭代函数
(x) =
x−
f (x) f (x)
=
2x3 + a 3x2
= 1 2x + 3
2
n =1,2,
n
xn
0
0.4
1
0.4434
2
0.4429
xn − xn−1
0.0434 0.0005
3.解：两曲线的导数分别为 y = 3x2 − 0.51和 y = 4.8x ，两曲线相切，导数
相等，故有
3x2 − 4.8x − 0.51 = 0
令 f (x) = 3x2 − 4.8x − 0.51 ，则 f (1) 0, f (2) 0 ，故区间[1, 2] 是
=
0,1, 2
由于 f (x) = 6 0 ，故取 x0 = 2 迭代计算一定收敛。
计算结果如下表所示k
0
2.0
1
1.737500
2
1.700750
3
1.700003
4
1.700000
继续计算仍得 x5 = 1.70000 ，故 x* = 1.70000 。
4.解：（1）设(x) = x + c(x2 − 3) ，为 x = (x) 的根．由迭代格式收
式收敛于 = 3 ；当 c (0, 1 ) 时，迭代格式也具有局部收敛性，但此 3
时迭代格式收敛于 = − 3 ．
（2）若( ) = 0 ，则迭代格式为超线性收敛．故令
( ) = 1+ 2c = 0 ，解得 c = − 1 ．所以，求 = 3 ，取 2
c = 1 时迭代收敛最快． 23
（3）当 c
xk
+1
=
xk
−
(s − xk )2 t − 2s + xk
(k = 0,1, 2, )
2）计算结果：
n
xn
0
0.4
1
0.4427
2
0.4429
（6）用牛顿迭代法进行计算：
xn − xn−1
0.0427 0.0002
2
1）牛顿迭代公式： 2）计算结果：
xn+1
=
xn
−
exn + exn
xn − +1
[1.5，2.5]
2
[2.0，2.5]
3
[2.25，2.5]
4
[2.25，2.375]
5
[2.25，2.3125]
xn 2.0 2.25 2.375 2.3125 2.28125
所求根的近似值为
2.28125
f（xn）的符号 + +
。
2.解：（1）验证区间[0, 0.7] 隔根区间： f (0) = 1− 2 = −1 0 ， f (0.7) = e0.7 + 0.7 − 2 0.7138 0 区间[0, 0.7] 必有根存在，且 f (x) = ex +1 0 ，易知区间[0, 0.7] 为隔
对 a 0 ，自然取 x0 0 ，由迭代公式知 xn 0 。因为 f (x) = x3 − a = 0 ，则 f (x) = 3x2 0, f (x) = 6x 0 ，函数 f (x), f (x) 连续且在 x 0
时不变号（或不等于 0）
根据牛顿迭代法全局收敛定理知，若初值 x0 满足 f (x0 ) f (x0 ) 0 ， 则牛顿迭代法收敛，此时 f (x0 ) 0 ，即 x0 3 a 时牛顿迭代法收敛；
收敛（可将隔根区间取为[3 a,+) ）；
若初值取 0 x0 3 a ，由算术平均数与几何平均数之间的关系可
知，
5
x1
=
1 3
x0
+
x0
+
a x0 2
3
a
则将 x1 ( x1 [3 a,+) )作为初值进行牛顿迭代，迭代法收敛。因此，可
证对任意 x0 0 牛顿迭代法收敛。 法二：使用牛顿迭代法全局收敛定理进行证明。
与法一类似，注意到 x0 0 时， x1 3 a 。将 x1 看做初始值即可证
明结论。
6
第二章 非线性方程数值解法参考解答
1. 解：（1）要使根的近似值有 2 位有效数字，即要求其绝对误差限不超过
1 101−2 。 2
依先验误差估计不等式
xk
− x*
1 2k
(b − a)
1 101−2 ， 2
可知至少需将区间[1.5, 2.5] 对分
5
次。
（2）将二分法计算过程列表如下：
n
隔根区间
1
4
0.4356
5
0.4475
6
0.4399
xn − xn−1
0.0700 0.0447 0.0288 0.0185 0.0119 0.0076
（5）对构造的迭代法进行 Steffensen 迭代加速计算：
1）Steffensen 迭代加速公式：
s = (xk ) = ln(2 − xk )
t = (s) = ln(2 − s) = ln(2 − ln(2 − xk ))
敛 的 条 件 ( ) = ， 有 + c( 2 − 3) = ， 故 = 3 为
3
x = x + c(x2 − 3) 的根． 要使迭代过程 xk+1 = (xk ) 收敛，在条件( ) = 满足时，还必须有
( ) 1．故令
( ) = 1+ 2c 1
得 −1 1 2 3c 1，即 −1 3c 0 ． 求 = 3 时，由 −1 3c 0 ，解得 c (− 1 ,0) ； 3 求 = − 3 时，由 −1 − 3c 0 ，解得 c (0, 1 ) ． 3 所以，当 c (− 1 , 0) 时，迭代格式具有局部收敛性，且此时迭代格 3
根区间。
（ 2 ） 将 方 程 等 价 变 形 为 x = ln(2 − x) ； 则 相 应 的 迭 代 格 式 为 xn = ln(2 − xn−1) n = 1,2,。
（3）验证迭代法在区间[0, 0.7] 内的收敛性：
易知 ( x)
=
ln(2 −
x), ( x)
=
x
1 −
2
，
则迭代函数在区间[0, 0.7] 一阶导数存在；迭代函数在区间上单调递减，
2 1.734375000 0.015625000
3 1.732360840 0.002014160
4 1.732092320 0.000268520
5 1.732056369 0.000035951
6 1.732051553 0.000004816
7 1.732050907 0.000000646