2020届高考数学大二轮复习刷题首秧第三部分刷模拟2020高考仿真模拟卷三文

2020高考仿真模拟卷(三)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P ＝{(x ，y )|y ＝k }，Q ＝{(x ，y )|y ＝2x}，已知P ∩Q ＝∅，那么k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(1，＋∞) 答案 C解析 由P ∩Q ＝∅可得，函数y ＝2x的图象与直线y ＝k 无公共点，所以k ∈(－∞，0]． 2．“(綈p )∨q 为真命题”是“p ∧(綈q )为假命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 (綈p )∨q 为真命题包括以下三种情况：p 假q 真、p 假q 假、p 真q 真；p ∧(綈q )为假命题包括以下三种情况：p 假q 真、p 假q 假、p 真q 真；所以“(綈p )∨q 为真命题”是“p ∧(綈q )为假命题”的充要条件．3．欧拉公式 e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知e a i为纯虚数，则复数sin2a ＋i 1＋i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 e a i＝cos a ＋isin a 是纯虚数，所以cos a ＝0，sin a ≠0，所以a ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以2a ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin2a ＝0，所以sin2a ＋i 1＋i ＝i1＋i＝－2＝12＋12i ，在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12位于第一象限． 4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A ．①②B ．②④C ．②③D ．①④ 答案 D解析 从上下方向上看，△PAC 的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC 的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC 的投影为④图所示的情况．5．(2019·河南洛阳月考)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，则n 的值为( )A ．100B ．1000C ．90D ．900 答案 A解析 由频率分布直方图可知，支出在[50,60)的同学的频率为0.03×10＝0.3，∴n ＝300.3＝100.6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．1＋22B ．1－32 C ．1－3－22D ．1＋3－22答案 C解析 s ＝0，n ＝1<5，且n ＝1是奇数，则s ＝0－sin π＝0；n ＝2<5，且n ＝2不是奇数，则s ＝0＋sin π2＝1；n ＝3<5，且n ＝3是奇数，则s ＝1－sin π3＝1－32；n ＝4<5，且n ＝4不是奇数，则s ＝1－32＋sin π4＝1－32＋22；n ＝5时结束循环，输出的s ＝1－32＋22＝1－3－22. 7．已知3sin α－cos α＝43，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝( ) A ．0 B.43 C ．－43 D.23答案 C解析 依题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝23；因为⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝π2，故α＋π3＝π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－23； 而⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝π，故⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－23， 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－43.8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若|PF |＝5，则△PFK 的面积为( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x ，可得F (1,0)，K (－1,0)，准线方程为x ＝－1，设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋1＝5，即x 0＝4， 不妨设P (x 0，y 0)在第一象限，则P (4,4)， 所以S △PKF ＝12|FK |·|y 0|＝12×2×4＝4.9．如图，△GCD 为正三角形，AB 为△GCD 的中位线，AB ＝3AE ，BC ＝3BF ，O 为DC 的中点，则向量FE →，OF →夹角的余弦值为( )A.12 B ．－12 C ．－22 D.22 答案 B解析 解法一：以O 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，设△GCD 的边长为4，则A (－1，3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3，B (1，3)，C (2,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，233，FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，33，OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，233，FE →·OF →＝－149，|FE →|＝273，|FO →|＝273，cos 〈FE →，OF →〉＝－149273×273＝－12.解法二：设△GCD 的边长为4，连接OE ，OA ，如图，易得△ADO 为正三角形，∠OAE ＝60°，AO ＝2，AE ＝23，由余弦定理得OE ＝273，同理得EF ＝273，OF ＝273，∴∠EFO ＝60°，∴cos 〈FE →，OF →〉＝cos120°＝－12.10．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4×100米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 答案 C解析 由题意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意，故跑第三棒的人是丙．11．已知点P 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点I 是△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有S △IPF 1－S △IPF 2≥13S △IF 1F 2成立，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(0,3]D ．(1,3] 答案 D解析 设△PF 1F 2的内切圆的半径为r ，由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △IPF 1＝12|PF 1|·r ，S △IPF 2＝12|PF 2|·r ， S △IF 1F 2＝12·2c ·r ＝cr ，由题意，得12|PF 1|·r －12|PF 2|·r ≥13cr ，故c ≤32(|PF 1|－|PF 2|)＝3a ，故e ＝c a≤3，又e >1，所以双曲线的离心率取值范围是(1,3]．12．已知函数f (x )＝2ax 3－3ax 2＋1，g (x )＝－a 4x ＋32，若对任意给定的m ∈[0,2]，关于x 的方程f (x )＝g (m )在区间[0,2]上总存在唯一的一个解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1C ．(0,1)∪{－1}D ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 答案 B解析 f ′(x )＝6ax 2－6ax ＝6ax (x －1)， ①当a ＝0时，f (x )＝1，g (x )＝32，显然不可能满足题意；②当a >0时，f ′(x )＝6ax (x －1)，x ，f ′(x )，f (x )的变化如下：又因为当a >0时，g (x )＝－a 4x ＋32是减函数，对任意m ∈[0,2]，g (m )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2＋32，32， 由题意，必有g (m )max ≤f (x )max ，且g (m )min >f (0)， 故⎩⎪⎨⎪⎧32≤1＋4a ，－a 2＋32>1，解得18≤a ＜1；③当a <0时，g (x )＝－a 4x ＋32是增函数，不符合题意．综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A ，B 两点的距离为________．答案 50 2 m解析 根据三角形内角和为180°，所以∠BAC ＝30°，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB sin45°＝50sin30°.解得AB ＝50 2 m.14．已知实数x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤π，x ≥π6，y ≥0，则sin(x ＋y )的取值范围为________(用区间表示)．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析 作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分所示)．设z ＝x ＋y ，作出直线l ：x ＋y ＝z ，当直线l 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0时，z 取得最小值π6；当直线l 过点A ⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2时，z 取得最大值2π3，所以π6≤x ＋y ≤2π3，所以sin(x ＋y )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.15．已知14C 的半衰期为5730年(是指经过5730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系如下：b ＝a e－kx，其中x 表示经过的时间， k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年．(已知log 20.767≈－0.4)答案 2292 解析 由b ＝a e－kx及题意，得12＝e －5730k，两边取2为底的对数可得， －1＝－5730k log 2e ，① 又0.767＝e－kx，两边取2为底的对数可得， log 20.767＝－kx log 2e ，②②÷①可得0.4≈x5730，即x ≈2292.16．(2019·广东湛江测试二)圆锥 Ω的底面半径为2，母线长为4，正四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′的上底面的顶点A ′，B ′，C ′，D ′均在圆锥 Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥 Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为________．答案64327解析 设正四棱柱的底面边长为x ，棱柱的高为h ，根据相似性可得22x 2＝23－h23，解得h ＝43－6x 2(其中0＜x ＜22)．所以此正四棱柱的体积为V ＝x 2h ＝x 2·43－6x2， V ′＝83x －36x 22，令V ′＝0，解得x ＝423，易得V ＝x 2·43－6x 2在⎝⎛⎭⎪⎫0，423上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫423，22上单调递减，所以此正四棱柱体积的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫4232×43－6×4232＝64327. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·四川教考联盟第三次诊断) (本小题满分12分)槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，亚洲热带地区广泛栽培．槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物．云南某民族中学为了解A ，B 两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成如图所示的茎叶图(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？(2)从A 班不超过19的样本数据中随机抽取一个数据记为a ，从B 班不超过21的样本数据中随机抽取一个数据记为b ，求a ≥b 的概率．解 (1)A 班样本数据的平均数为15×(9＋11＋14＋20＋31)＝17.由此估计A 班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为17； 2分B 班样本数据的平均数为15×(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估计B 班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19颗．故估计B 班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多. 5分(2)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为9,11,14，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为11,12,21. 6分从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21). 9分其中a ≥b 的情况有(11,11)，(14,11)，(14,12)三种， 故a ≥b 的概率P ＝39＝13. 12分18．(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{log 13 a n }是公差为－1的等差数列，且a 2＋2是a 1，a 3的等差中项．(1)证明：数列{a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和，且T n <M 恒成立，求实数M 的取值范围．解 (1)证明：依题意，log 13 a n ＋1－log 13 a n ＝－1，故log 13 a n ＋1a n ＝－1，故a n ＋1a n ＝3； 2分故数列{a n }是公比为3的等比数列．因为2(a 2＋2)＝a 1＋a 3，故2(3a 1＋2)＝a 1＋9a 1， 4分 解得a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1. 6分(2)依题意，1a n ＝13n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，13为公比的等比数列， 8分 故T n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝1＋13＋…＋13n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32， 10分故M ≥32，即实数M 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 12分 19．(2019·湖南师大附中考前演练五)(本小题满分12分)在梯形ABCD 中(图1)，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝5，过点A ，B 分别作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ，且AE ＝2DE ，将梯形ABCD沿AE ，BF 同侧折起，使得CF ⊥FE ，且DE ∥CF ，得空间几何体ADE －BCF (图2)．直线AC 与平面ABFE 所成角的正切值是22.(1)求证：BE ∥平面ACD ； (2)求多面体ADE －BCF 的体积．解 (1)证明：如图，设BE 交AF 于点O ，取AC 的中点H ，连接OH ，DH ，因为四边形ABFE 为矩形，则OH 是△AFC 的中位线，所以OH ∥CF 且OH ＝12CF ， 2分设DE ＝x ，则AE ＝2x ，CF ＝3－x ， 因为直线AC 与平面ABFE 所成角的正切值是22，所以tan ∠CAF ＝CF AF＝3－xx 2＋22＝22， 解得x ＝1，所以DE ＝1，AE ＝2，CF ＝2.因为DE ∥CF 且DE ＝12CF ，所以DE ∥OH 且DE ＝OH ，所以四边形DEOH 为平行四边形，DH ∥EO ，又因为EO ⊂平面ABFE ，DH ⊄平面ABFE ，DH ⊂平面ACD ，所以EO ∥平面ACD ，即BE ∥平面ACD . 5分(2)由已知CF ⊥FE ，CF ⊥BF ，EF ∩BF ＝F ，得CF ⊥平面BEF ，又CF ⊂平面CDEF ，所以平面CDEF ⊥平面BEF ，又AE ⊥EF ，所以AE ⊥平面CDEF ， 7分由(1)知DE ＝1，AE ＝2，CF ＝2，所以S 矩形ABFE ＝4，S △CDE ＝12×1×2＝1， 10分则V ADE －BCF ＝V C －ABFE ＋V A －CDE ＝13×4×2＋13×2×1＝103. 12分20．(2019·吉林长春质量监测二)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(a －1)ln x －ax－x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若函数f (x )在[1,3]上的最大值为－2，求实数a 的值． 解 (1)因为a ＝2时，f (x )＝ln x －2x－x ，所以f ′(x )＝1x ＋2x2－1，又f (2)＝ln 2－3，f ′(2)＝0， 所以所求切线方程为y ＝ln 2－3. 4分 (2)因为f ′(x )＝－x ＋x －ax2(1≤x ≤3)， 5分当a ≤1时，f ′(x )＜0，f (x )在[1,3]上单调递减， 此时f (x )max ＝f (1)＝－a －1＝－2，a ＝1， 7分 当a ≥3时，f ′(x )＞0，f (x )在[1,3]上单调递增， 此时f (x )max ＝f (3)＝a ln 3－ln 3－a3－3＝－2，a ＝ln 3＋1ln 3－13(舍去)； 9分 当1＜a ＜3时，f (x )在(1，a )上单调递增，在(a,3)上单调递减， 此时f (x )max ＝f (a )＝a ln a －ln a －1－a ＝－2，a ＝e. 综上a ＝1或a ＝e. 12分21．(2019·东北三省四市一模)(本小题满分12分)如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的离心率为22，B 1，B 2是椭圆C 的短轴端点，且B 1到焦点的距离为32，点M 在椭圆C 上运动，且点M 不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)求四边形MB 2NB 1的面积的最大值． 解 (1)∵e ＝22，∴a ＝2c ， 又a 2＝b 2＋c 2＝(32)2，∴a 2＝18，b 2＝9， ∴椭圆C 的方程为x 218＋y 29＝1. 4分(2)解法一：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)， ∵MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2，B 1(0，－3)，B 2(0,3)， ∴直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ， ① 直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x, ② 6分 由①②解得x ＝y 20－9x 0，又x 2018＋y 209＝1，∴x ＝－x 02，则四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|·(|x |＋|x 0|)＝12×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 02＋|x 0|＝3×32|x 0|， 9分∵0＜x 20≤18，∴当x 20＝18时，S 的最大值为3×32×32＝2722. 12分解法二：设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0)， 则直线NB 1：y ＝－1kx －3, ①则直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1， 6分则直线MB 2的斜率kMB 2＝6k 2－32k 2＋1－312k 2k 2＋1＝－12k， ∴直线NB 2：y ＝2kx ＋3. ②由①②解得x N ＝－6k 2k 2＋1， 9分 则四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|·(|x M |＋|x N |)＝12×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫12|k |2k 2＋1＋6|k |2k 2＋1＝54|k |2k 2＋1＝542|k |＋1|k |≤2722， 当且仅当|k |＝22时，S 取得最大值2722. 12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝7cos θ，y ＝3＋7sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(1)试判断直线l 与曲线C 的位置关系； (2)若直线θ＝π3(ρ∈R )与直线l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点，求|AM |·|AN |的值．解 (1)曲线C 的普通方程为x 2＋(y －3)2＝7，圆心C (0，3)，半径r ＝7， 2分 直线l 的普通方程为x ＋3y －2＝0， 3分∵圆心C 到直线l 的距离 d ＝|0＋3×3－2|12＋32＝12<r ， ∴直线l 与圆C 相交.5分(2)曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρsin θ－4＝0，将θ＝π3代入ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，得ρ＝1， 7分将θ＝π3代入ρ2－23ρsin θ－4＝0得ρ2－3ρ－4＝0，则ρ1＝4，ρ2＝－1. 8分∴|AM |＝ρ1－ρ＝3，|AN |＝ρ－ρ2＝2， 9分∴|AM |·|AN |＝3×2＝6.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝ln (|x －2|＋|ax －a |)(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的值域；(2)若∀x ∈R ，都有f (x )＋1≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln (|x －2|＋|x －1|)，∵|x －2|＋|x －1|≥|(x －2)－(x －1)|＝1， 3分∴ln (|x －2|＋|x －1|)≥ln 1＝0，即函数f (x )的值域为[0，＋∞). 5分(2)由f (x )＋1≥0，即ln (|x －2|＋|ax －a |)≥－1，得|x －2|＋|ax －a |≥1e ，令g (x )＝|x －2|＋|ax －a |，则函数g (x )的最小值g (x )min ＝{g (1)，g (2)}min ， 7分∴只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g 1e ，g 1e ， 9分解得a ≤－1e 或a ≥1e ，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞. 10分。