专题27 正弦定理、余弦定理(解析版)

专题27 正弦定理、余弦定理专题知识梳理1．正弦定理和余弦定理2(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sinB ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．考点探究考向1 正弦定理、余弦定理的简单应用【例】 (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________；（2）在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边长为__________；（3）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C =_____.【解析】 (1)因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsin π6，解得b ＝1. （2）因为△ABC 的面积为12AB·ACsin 120°＝32×32×AC ＝1534，解得AC ＝5.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos 120°＝9＋25＋15＝49，所以BC ＝7.（3）因为8b ＝5c ，所以由正弦定理，得8sin B ＝5sin C .又因为C ＝2B ，所以 8sin B ＝5sin 2B ，所以8sin B ＝10sin B cos B .因sin B ≠0，所以 cos B ＝45，所以 cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.题组训练1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin Bcos C ＋c sin Bcos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝________【解析】由正弦定理得，sin A sin Bcos C ＋sin C sin Bcos A ＝12sinB ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π6.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.【解析】在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.3.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于__________ 【解析】在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )，∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4.考向2 利用正、余弦定理判定三角形形状【例】△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．【解析】(1)由已知，根据正弦定理得：2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)得：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∵A ＝120°，∴34＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，与sin B ＋sin C ＝1联立方程组解得：sin B ＝sin C ＝12，∵0°<B<60°，0°<C<60°，故B ＝C ＝30°，∴△ABC 是等腰钝角三角形．题组训练1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2 B 2＝c －a2c，则△ABC 的形状一定是________．【解析】由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b22ac，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cosB ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为___________.【解析】因为c －a cosB ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin Bcos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．考向3 和三角形面积有关的问题【例】（2018·镇江期末·15）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，若 b cos A + a cos B = -2c cos C .（1）求 C 的大小；（2）若 b = 2a , 且 ∆ABC 的面积为32，求 c. 【解析】1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，且b cos A + a cos B = -2c cos C 得 sinB cos A + sinA cos B = -2sinC cos C ，所以sin (B +A ) = -2sinC cos C ， 又A , B , C 为∆ABC 内角，所以B +A =π- C 所以 sinC = -2sinC cos C ， 因为C ∈(0，π)，所以sinC >0，所以cos C = -12，所以C =23π（2）因为 ∆ABC 的面积为32，所以12ab sinC =32，所以ab =sin C .由（1）知 C =23π，所以sinC 所以ab =8.⋃◊:b = 2a ,解得 a = 2, b = 4,所以2222212cos 24224()282c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以c =题组训练1.在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为______．【解析】由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ， 解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·Bc sin B ＝12×5×3×32＝1534.2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为4，且asin B ＝2sin C ，cos C＝13，则边c ＝________． 【解析】由asin B ＝2sin C ，cos C ＝13，得ab ＝2c ，sin C ＝223，∴ 12absin C ＝12×2c×223＝4，解得c＝6.3.（南通调研）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝2a cos B ，b ＝2，求△ABC 的面积．【解析】 (1)在△ABC 中，由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab 得(a ＋b )2－c 2＝ab ，进而得a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即cos C＝－12.因为0<C <π，所以C ＝2π3.(2)法一 因为c ＝2a cos B ，由正弦定理得sin C ＝2sin A cos B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＝2sin A cos B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，又－π3<A －B <π3，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2.所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.法二 由c ＝2a cos B 及余弦定理得c ＝2a ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得a ＝b ＝2，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.4.△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是=________【解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.5.（2018·苏北四市期末）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3c o s 5A =,1tan()3B A -=.⑴求tan B 的值；⑵若13c =，求ABC △的面积. 【解析】（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A 为锐角，所以4sin 5A =，所以sin 4tan cos 3A A A ==， 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tanB A A B B A A B A A -+=-+=--⋅1433314133+==-⨯ （2）在三角形ABC 中,由tan 3B=，所以sin B B ==，由sin sin()sin cos cos sin 50C A B A B A B =+=+=， 由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==， 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=.考向4 利用正弦定理、余弦定理求解几何计算问题【例】（1）如图，在△ABC 中，B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.（2）在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是______．【解析】（1）在△ACD 中，由余弦定理可得cos C ＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C ＝5314.在△ABC 中，由正弦定理可得AB sin C ＝AC sin B ，则AB ＝AC sin Csin B ＝7×531422＝562.（2）如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE . 在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2. 在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.题组训练1.如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．【解析】因为sin ∠BAC ＝223，且AD ⊥AC ，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠BAD ＝223， 所以cos ∠BAD ＝223，在△BAD 中，由余弦定理，得BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223＝ 3.2.在△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝7，BC 边的中线AD ＝72，则BC ＝________.【解析】如图所示，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，EC . 因为AD 是BC 边上的中线，所以AE 与BC 互相平分，所以四边形ACEB 是平行四边形，所以BE ＝AC ＝7.又AB ＝4，AE ＝2AD ＝7， 所以在△ABE 中，由余弦定理得，AE 2＝49＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE ·cos ∠ABE ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠ABE .在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos(π－∠ABE )，∴49＋BC 2＝2(AB 2＋AC 2)＝2(16＋49)，∴BC 2＝81，∴BC ＝9.3.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．【解析】(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5， 所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55.又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD ＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58.。