高中数学总结归纳 感悟互斥事件与对立事件
《互斥事件和独立事件》 讲义
《互斥事件和独立事件》讲义在概率统计的领域中，互斥事件和独立事件是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题以及深入理解随机现象的本质具有关键意义。
一、互斥事件互斥事件，又称为互不相容事件，指的是两个事件不能同时发生。
比如说，掷一枚骰子，“出现点数为1”和“出现点数为2”就是互斥事件，因为骰子不可能在一次投掷中既出现 1 点又出现 2 点。
用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即A ∩ B ＝∅。
互斥事件的概率计算相对较为简单。
如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么事件 A 或事件 B 发生的概率等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率，即 P(A ∪ B) ＝ P(A) ＋ P(B) 。
举个例子，一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机取出一个球，“取出红球”和“取出蓝球”就是互斥事件。
如果我们想知道取出红球或者蓝球的概率，那就是 5 ／ 8 ＋ 3 ／ 8 ＝ 1 。
需要注意的是，多个事件之间也可能存在互斥关系。
例如，掷一枚骰子，“出现点数为1”“出现点数为2”“出现点数为3”这三个事件就是两两互斥的。
二、独立事件独立事件则是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
比如说，今天下雨和明天是否下雪，通常可以认为是两个独立事件，今天下雨与否不会影响明天下雪的概率。
用数学语言来表达，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件A 和事件 B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以事件 B 发生的概率，即P(A ∩ B) ＝ P(A) × P(B) 。
例如，抛一枚均匀的硬币两次，第一次抛硬币出现正面和第二次抛硬币出现正面就是两个独立事件。
第一次抛硬币出现正面的概率是 1 ／ 2 ，第二次抛硬币出现正面的概率也是 1 ／ 2 ，那么两次都出现正面的概率就是 1 ／ 2 × 1 ／ 2 ＝ 1 ／ 4 。
《互斥事件》文字素材1(苏教版必修3).doc
互斥事件与对立事件辨析.互斥事件与对立事件的概念与计算公式1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件(即事件A发生，事件B不发生，事件B 发生，事件A不发生)叫做互斥事件；从集合角度看，记事件A为集合A,事件B为集合B,则事件A与事件B是互斥事件，则集合A与集合B的交集为0 .互斥事件的概率公式为P(AUB)=P(A)+P(B).2.对立事件：如果事件A与事件B不能同时发生，且事件A与B必有一个发生。
则称事件A与事件B为对立事件，事件A的对立事件一般都记作瓜。
从集合角度看，事件瓜所含的结果组成的集合是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即：若事件A与B是对立事件，则AAB=0且AUB=I,有P(A+B)=P(I)=1,从而对立事件A与瓜的概率之和等于1,即P(A)=1-P(A)..互斤事件、对立事件的区别和联系互斥事件和对立事件都是对两个事件来说的.互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件。
一般地，两个事件对立则这两个事件一定互斥, 但两个事件互斥，这两个事件不一定对立，两个事件对立是两个事件互斥的充分而不必要条件，对立事件是互斥事件的特殊情况。
.例题选讲例1.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛.判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件•，(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生.分析：判别两个事件是否互斤，就要考察它们是否不能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.解：(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件，(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件。
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；山于它们必有一个发生，所以它们对立.(4)山于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.例2.甲、乙两人下棋，和棋的概率为丄，乙获胜的概率丄，求：2 3(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率.分析：甲、乙两人下棋，其结果有“甲胜”、“和棋”、“乙胜”二种，它们是互斥事件，“甲获胜”看做是“和棋或乙胜”的对立事件.“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋” 这两个互斥事件的并事件，亦可看做“乙胜”的对立事件.解：⑴“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率为P=l---- = -2 3 6•••甲获胜的概率是丄6⑵解法1：设事件A为“甲不输”，看做是“甲胜” “和棋”这两个互斥事件的并事件.所z 1 1 2以P（A）= —I—=—.6 2 31 ?解法厶设事件A “甲不输”看做是“乙胜”的对立事件，所以P（A）=l-- = -2・••甲不输的概率是一•3互斥事件概率问题的求解要点一、错解分析1.搞清楚“互斥事件”与“等可能事件”的差异。
互斥事件和对立事件
数学 10
解:(1)从图可以看出,3个课外兴趣小组总人数 为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个”
则 A 就表示“选取的成员至少参加2个小组”, 于是, P (A ) 1 P (A ) 1 6 8 1 0 0 .6 .
6 0 因此,随机选取的1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.
AB
事件A发生,事件B同时发生.
当A与B互斥时,A+B事件指“A发生B不发生”和“A不发生B 发生”；
(1)对于例3的(2)和(3)中的事件A和事件B,A+B表示什么事
件?
(2)对例3的(1),(2)和(3)中的每一对事件,通过计算完成表
3-10:
表3-10
(1)
(2)
(3)
P(A)
P(B)
P(A)+P(B)
P(A+B)
根据表3-10中的结果,你发现P(A+B)与P(A)+P(B)有什么样
的大小关系?
第二个质量 2.5
5
10 20
总质量
第一个质量
2.5 5 10
20
5
7.5 12.5 22.5
7.5
10
15 25
12.5 15
20 30
22.5 25
30 40
P(A) P(B) P(A)+P(B) P(A+B)
解:在(1)(2)(3)中,事件A与事件B不可能同时发生,因此， 事件A与事件B是互斥事件.
对于(4)中的事件A和事件B,随机地从2个箱子中各取1 个质量盘,当总质量为20kg时,事件A与事件B同时发生,因 此,事件A与事件B不是互斥事件.
高二数学互斥事件
B 与 D . B与 C， B与 D 件的是 ________
2.判别下列每对事件是不是互斥事件，如果是， 再判别它们是不是对立事件． 从一堆产品（其 中正品与次品都多于2个）中任取2件，其中：
(1)恰有1件次品和恰有2件正品； 互斥但不对立
(2)至少有1件次品和全是次品； 不互斥 (3)至少有1件正品和至少有1件次品； 不互斥 (4)至少有1件次品和全是正品； 互斥对立
例题讲解：
例1 黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：
血型 该血型人所占比/% A 28 B 29 AB 8 O 35
已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血 型的人，任何人的血都可以输给 AB型血的人，其他不 同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病 需要输血，问： （1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ （2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
音 7 6 8 8 11 10 数 10
英
回顾小结：
一、知识要点： ⑴ 互斥事件、对立事件的概念及它们的关系； ⑵ n 个彼此互斥事件的概率公式：
P ( A1 A2
An ) P ( A1 ) P ( A2 )
P ( An )
⑶ 对立事件的概率之和等于1，即：
P(A A) P(A) P(A) 1
例4 袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次 任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)3只全是红球的概
率;(2)3只颜色全相同的概率;(3)3只颜色不全相同的概率.
解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为33, 1 (1)3只全是红球的概率为 27 ; (2)3只颜色全相同的概率为 3 1 ；
例3 一只口袋有大小一样的5只球，其中3只红球，2 只黄球，从中摸出2只球，求两只颜色不同的概率. 解：从5只球中任意取2只含有的基本事件总数为10. 记：“从5只球中任意取2只球颜色不同”为事件 只球颜色相同”为事件A， “从5只球中任意取2只红球”为事件B， “从5只 球中任意取2只黄球”为事件C，则A=B+C. 6 3 3 1 P ( A) ， P ( B ) ， P (C ) ， 10 5 10 10 3 1 2 P( A) P( B C ) ， 10 10 5 则“从5只球中任意取2只球颜色不同”的概率 为： P ( A) 1 - P ( A) 1 2 3 5 5 3 答：从5只球中任意取2只球颜色不同的概率为 . 5
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点在概率论中，随机事件的独立性和互斥性是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题以及正确分析和预测随机现象至关重要。
首先，让我们来谈谈互斥性。
简单来说，互斥事件指的是两个事件不能同时发生。
比如说，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上就是互斥事件。
因为在一次抛硬币的过程中，硬币不可能同时既正面朝上又反面朝上。
再比如，从一副扑克牌中抽一张牌，抽到红桃和抽到黑桃就是互斥的，因为不可能一张牌既是红桃又是黑桃。
互斥事件的特点是它们的交集为空集。
用数学语言表示，如果事件A 和事件B 互斥，那么 A 交 B 等于空集。
这意味着 P(A 交 B) ＝ 0，其中 P 表示概率。
互斥事件的概率计算相对比较简单。
如果事件 A 和事件 B 互斥，那么事件 A 或 B 发生的概率等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率，即 P(A 或 B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
接下来，我们说一说独立性。
独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
例如，今天下雨和明天考试考得好就是两个独立事件。
今天下雨与否并不会影响明天考试的成绩。
再比如，第一次抛硬币正面朝上和第二次抛硬币正面朝上也是独立事件，每次抛硬币的结果都是相互独立的，前一次的结果不会影响到后一次。
独立事件的概率计算有一个重要的公式：如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么 P(A 交 B) ＝ P(A)×P(B)。
要判断两个事件是否独立，需要仔细分析它们之间是否存在因果关系或者相互影响。
如果没有，那么它们很可能是独立事件。
通过一些具体的例子，我们能更清楚地理解这两个概念。
假设我们有一个盒子，里面有 5 个红球和 3 个蓝球。
我们先后进行两次不放回抽样。
第一次抽到红球记为事件 A，第二次抽到红球记为事件 B。
由于是不放回抽样，第一次抽取会影响到盒子中球的数量和组成，从而影响第二次抽取红球的概率。
所以事件 A 和事件 B 不是独立事件。
高一数学必修件互斥事件和独立事件
计算结果
两枚硬币同时出现正面的概率为 1/4，同时出现反面的概率为1/4 ，出现一正一反的概率为1/2。
04
常见误区及辨析
误区一：混淆互斥和独立概念
01
互斥事件
两个事件不可能同时发生，即它们的交集为空集。例如，掷一枚骰子，
“出现1点”和“出现2点”就是互斥事件。
02
独立事件
一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率。例如，掷两枚骰子，“
掉落率设计
在角色扮演游戏或射击游戏中，敌人死亡后可能会掉落装备或道具。设计师需要设定不同物品的掉落率，并确保 玩家获得某件装备的概率与游戏平衡性相符。这也涉及到互斥事件（每次只能掉落一件物品）和独立事件（每次 掉落的概率相同）的应用。
医学诊断中误诊率计算
疾病检测
在医学诊断中，医生使用各种测试来确定患 者是否患有某种疾病。这些测试可能包括血 液检查、影像学检查等。每个测试都有一定 的误诊率，即健康人被误诊为患病或患病者 被误诊为健康的概率。计算误诊率时需要考 虑互斥事件（患者要么患病要么健康）和独 立事件（每个测试的结果相互独立）的概念 。
应用场景
适用于求解某个事件发生而另一个事 件不发生的概率问题。
案例分析：求解互斥事件概率
01
案例描述：一个盒子里有5个红球和3个白球，从中随机 抽取2个球，求至少有一个红球被抽中的概率。
02
分析步骤
03
1. 定义事件A为“至少有一个红球被抽中”，事件B为“ 两个都是白球”。
04
2. 根据组合数学计算事件B的概率，即$P(B) = frac{C_3^2}{C_8^2}$。
互斥事件指两个事件不可能同时发生；对立事件则是两个 事件中，一个发生则另一个一定不发生。掌握这两种事件 的概念及性质，是理解概率论的基础。
互斥事件与对立事件的例子
互斥事件与对立事件的例子
1、互斥事件：
互斥事件是指两件事情之间存在冲突，但只有一件可以实现的事情。
比如：王思聪要
买特斯拉跑车，但他想要买宝马SUV，他只能根据自己的喜好，只能选择其中的一种汽车，而不能两种汽车都买；再比如一个人同时拥有苹果手机和安卓手机，但他只能拥有其中的
一种，而不能同时拥有两种，这也是互斥事件的一种。
2、对立事件：
对立事件是指事件之间有对立的性质，但可以同时发生的事件。
比如三国时期赤壁之战，司马懿和诸葛亮是处于对立状态，每一方都希望自己能够获胜，但两者可以同时存在，只是一方最终获胜而已。
再比如原子与粒子的分裂，改变了物质的状态，可以同时发生，
但又有改变物质状态的对立性质。
苏教版高中数学高一素材互斥事件、对立事件的概率
甲 级 乙级 丙级
典型例题
例2.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品， 在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05 和0.03，则抽验一件是正品的概率为 0.92 .
记“抽验的产品是甲级品、乙级品、丙级品” 分别为事件A、B、C 思考1：这三个事件有什么关系呢？ 彼此互斥 思考2：抽验一件是正品，意味着什么事件发生呢？ A发生 思考3：抽到正品与抽到次品是什么关系呢？ 对立事件 即：事件A的对立事件为B+C 所以抽验一件是正品的概率为： P(A)＝1－P(B+C) ＝1－(0.05+0.03)＝0.92
记该地区年降水量在[100,150),[150,200),[200,250), [250,300)(mm)范围内分别为事件为A、B、C、D 思考：年降水量在[150,300)(mm)范围内,意味着什么事 件发生呢？ B+C+D发生
根据互斥事件的概率加法公式 ②P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D) =0.25+0.16+0.14=0.55
典型例题
应用集合的关系对事件的关系进行分析
利用对立事件的概率求出所求事件的概率
记“抽验的产品是甲级品、乙级品、丙级品” 分别为事件A、B、C 思考1：这三个事件有什么关系呢？ 彼此互斥 思考2：抽验一件是正品，意味着什么事件发生呢？ A发生 思考3：抽到正品与抽到次品是什么关系呢？ 对立事件 即：事件A的对立事件为B+C 所以抽验一件是正品的概率为： P(A)＝1－P(B+C) ＝1－(0.05+0.03)＝0.92
P( A) 1 27
典型例题
例3.某一盒中装有大小和质地均相同的红、黄、白3种颜色 的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次. 求 ① 3只全是红球的概率； ② 3只颜色全相同的概率； ③ 3只颜色不全相同的概率.
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感悟互斥事件与对立事件
在利用概率的性质时，一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B同时不发生。
而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：①事件A发生事件B不发生；
②事件B发生事件A不发生。
对立事件是互斥事件的特殊情形。
例1某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”。
判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）A与C（2）B与E（3）B与D（4）B与C（5）C与E
分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。
解：（1）由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件。
（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B 与E是互斥事件。
由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B 一定不发生，故B与E还是对立事件。
（3）事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥。
（4）事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”。
由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件。
（5）由（4）的分析，事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能，故事件C与事件E有时可能同时发生，故C与E不互斥。
评注：由对立事件的定义可知，对立事件首先是互斥事件，并且其中一个一定要发生，因此，两个对立事件一定是互斥事件，但两个互斥事件却不一定是对立事件，解题时一定要搞清两种事件的关系。
例2某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，
0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：
（1）射中10环或7环的概率；
（2）不够7环的概率。
分析：对于（1），由于射手在一次射击中，射中10环与射中7环不可能同时发生，故这两个事件为互斥事件，且求的又是两事件和的概率，故可用公式()P A B U
()()P A P B =+求解。
对于（2）
，不够7环的反面是大于等于7环，即射中7环、8环、9环、10环，故可用对立事件的方法处理。
解：（1）记“射中10环”为事件A ，“射中7环”为事件B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件。
∴射中10环或7环的概率为()()()P A B P A P B =+U =0.21+0.28=0.49。
（2）记“不够7环”为事件E ，则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”。
由（1）可知“射中7环”、“射中8环”等等是彼此互斥事件， ∴()P E =0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，从而()()
1P E P E =-=1-0.97=0.03。
评注：必须分清楚事件A 、B 互斥的原因，只有互斥事件才可考虑用概率的加法公式； 当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求解时，可先转化为求其对立事件的概率。
练习：
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A ．对立事件
B ．不可能事件
C ．互斥但不对立事件
D ．以上答案都不对
2．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13
，求： （1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
答案：
1．C 2．（1）
16；（2）23
.。