苏教版数学高二-选修2-3素材 2.3谈谈互斥事件与对立事件的联系与区别
互斥事件和对立事件
AB
事件A发生,事件B同时发生.
当A与B互斥时,A+B事件指“A发生B不发生”和“A不发生B 发生”；
(1)对于例3的(2)和(3)中的事件A和事件B,A+B表示什么事
件?
(2)对例3的(1),(2)和(3)中的每一对事件,通过计算完成表
3-10:
表3-10
(1)
(2)
()
P(A)
P(B)
P(A)+P(B)
2.一般地,如果随机事件A1,A2, • • • ,An中任 意两个是互斥事件,那么有
P(A1+A2+ • • • +An)=P(A1)+P(A2)+ • • • +P(An)
练习:在例1中,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,如果一
个人不能拉动超过22kg的质量,那么他将不能拉开拉力器， 则他不能拉开拉力器的概率是多少?
古典概型两个特征： 1、试验的所有结果只有有限个且每次只有一个结果，
2、每一个试验结果出现的可能性相同.
古典概型
m (事 件 A包 含 的 可 能 结 果 数 )
概率公式 P (A )n (试 验 的 所 有 可 能 结 果 数 )
概率模型 一般来说,在建立概率模型时，我们把什么看作是一
个基本事件是人为规定的,也就是说,对于同一个随机试验,
解: 总质量超过22kg,即质量为22.5kg,25kg,
30kg,40kg. 用A1表示事件“总质量为22.5kg”, 用A2表示事件“总质量为 用25Ak3g表”示, 事件“总质量为30kg”, 用A4表示事件“总质量为40kg”, 则A1+A2+A3+A4就表示事件“总质量超过 22kg”.
《互斥事件》 讲义
《互斥事件》讲义在概率统计的世界里，互斥事件是一个非常重要的概念。
理解互斥事件对于我们解决各种概率问题、预测随机现象以及做出合理的决策都具有关键意义。
接下来，就让我们一起深入探讨互斥事件的奥秘。
一、互斥事件的定义互斥事件，简单来说，就是指两个事件不能同时发生。
比如说，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上就是互斥事件，因为在一次抛硬币的过程中，不可能既正面朝上又反面朝上。
再比如，从一副扑克牌中抽一张牌，抽到红桃和抽到黑桃就是互斥事件，因为一张牌不可能既是红桃又是黑桃。
用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即A ∩ B ＝∅。
这意味着 A 和 B 没有共同的结果。
二、互斥事件与对立事件的区别在学习互斥事件的过程中，很多同学容易将其与对立事件混淆。
对立事件是一种特殊的互斥事件。
互斥事件只是说两个事件不能同时发生，但它们有可能都不发生；而对立事件不仅不能同时发生，而且必然有一个会发生。
举个例子，掷骰子，点数小于 3 和点数大于 3 是互斥事件，但不是对立事件，因为还有点数等于 3 的情况。
而点数小于 4 和点数大于等于 4 就是对立事件，因为骰子的点数要么小于 4，要么大于等于 4，没有其他可能。
三、互斥事件的概率计算既然互斥事件不能同时发生，那么在计算它们的概率时就有一些特殊的规则。
如果 A 和 B 是互斥事件，那么事件 A 或事件 B 发生的概率等于事件 A 的概率加上事件 B 的概率，即 P(A ∪ B) ＝ P(A) ＋ P(B) 。
例如，一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机摸一个球，摸到红球的概率是 5/8，摸到蓝球的概率是 3/8，因为摸到红球和摸到蓝球是互斥事件，所以摸到红球或蓝球的概率就是 5/8 ＋ 3/8 ＝ 1 。
再来看一个稍微复杂点的例子。
在一次抽奖活动中，一等奖的中奖概率是 001，二等奖的中奖概率是 005，三等奖的中奖概率是 01。
互斥事件和对立事件
数学 10
解:(1)从图可以看出,3个课外兴趣小组总人数 为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个”
则 A 就表示“选取的成员至少参加2个小组”, 于是, P (A ) 1 P (A ) 1 6 8 1 0 0 .6 .
6 0 因此,随机选取的1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.
AB
事件A发生,事件B同时发生.
当A与B互斥时,A+B事件指“A发生B不发生”和“A不发生B 发生”；
(1)对于例3的(2)和(3)中的事件A和事件B,A+B表示什么事
件?
(2)对例3的(1),(2)和(3)中的每一对事件,通过计算完成表
3-10:
表3-10
(1)
(2)
(3)
P(A)
P(B)
P(A)+P(B)
P(A+B)
根据表3-10中的结果,你发现P(A+B)与P(A)+P(B)有什么样
的大小关系?
第二个质量 2.5
5
10 20
总质量
第一个质量
2.5 5 10
20
5
7.5 12.5 22.5
7.5
10
15 25
12.5 15
20 30
22.5 25
30 40
P(A) P(B) P(A)+P(B) P(A+B)
解:在(1)(2)(3)中,事件A与事件B不可能同时发生,因此， 事件A与事件B是互斥事件.
对于(4)中的事件A和事件B,随机地从2个箱子中各取1 个质量盘,当总质量为20kg时,事件A与事件B同时发生,因 此,事件A与事件B不是互斥事件.
人教版高中数学-谈谈互斥事件与对立事件的联系与区别.
谈谈互斥事件与对立事件的联系与区别一. 互斥事件与对立事件的定义1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件A 、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B ，用概率的加法公式)()()(B P A P B A P +=+计算.2. 对立事件：必有一个发生的两个互斥事件A 、B 叫做互为对立事件,即-=A B 或-=B A .用概率的减法公式()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=_1A P A P 计算其概率.高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查.二.互斥事件与对立事件的联系与区别1. 对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定对立;2. 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可以对应很多事件，但最多只有一个发生，也可能都不发生;3. 从集合论(即把事件转换成集合的关系来看)的角度来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的交集都是空集且并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集;4.两个对立事件的概率之和一定是1,而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ;5. 若事件B A ,是互斥事件，则有:()()()B P A P B A P +=+ ;而对立事件A 与A 则有:()()A P A P -=1;6.一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有 ()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ;7.在教材中n A A A +++...21 指的是n A A A ,...,,21 中至少发生一个 ;8.在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来.三. 互斥事件例题解析例1.10本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,能取出数学书的概率有多大？解：基本事件的总数为：12×11÷2＝66“能取出数学书”这个事件所包含的基本事件个数分两种情况：（1）“恰好取出1本数学书”所包含的基本事件个数为：10×2＝20（2）“取出2本都是数学书”所包含的基本事件个数为：1而事件“恰好取出1本数学书” 与“取出2本都是数学书” 为互斥事件.所以“能取出数学书”这个事件的概率为:P （“能取出数学书”）＝P （“恰好取出1本数学书”）+ P （“取出2本都是数学书”）=6620661+=227. 例2.某热水瓶胆生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：（1）2件都是一级品的概率；（2）至少有一件二级品的概率．解：（1）设2件都是一级品为事件A ．从10件产品中抽取2件,共有45个基本事件,且都是等可能的，而事件A 的结果（即包含的基本事件数）有28种, 则P （A ）=2845． （2）设至少有一件二级品为事件B ，则B 是两个互斥事件：“抽取的2件产品中包含了一件一级品，一件二级品（记为B 1）”与“抽取的2件产品均为二级品（B 2）”的和.而P （B 1）=1645，P （B 2）=145. ∴P （B ）=P （B 1+B 2）= P （B 1）+ P （B 2）=16117454545+=． 说明:确定两事件是否是互斥事件时,若对事件是否互斥把握不准,可以把事件转换为相应的集合,看看集合的交集是否为空集.四. 对立事件例题解析例3.甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道, 甲、乙两人依次各抽一题．(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?解：甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是90种.即基本事件总数是90.(1)记“甲抽到选择题、乙抽到判断题”为事件A,下面求事件A 包含的基本事件数: 甲抽到选择题有6种抽法,乙抽到判断题有4种抽法,所以事件A 的基本事件数为24.所以()1549024==A P . (2)先考虑问题的对立面:“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B,“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 包含的基本事件数为12.所以由古典概型概率公式,得().1529012==B P 由对立事件的性质可得: ()()151315211=-=-=B P C P . 说明:含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较繁琐时,可考虑其反面,即对立事件,然后应用对立事件的性质()()A P A P -=1进一步求解.。
§232互斥事件与对立事件
自己所提的问题：
质疑交流——激发创新思维火花
议题1：5件产品中有2件次品，从中任取2件。
（1）判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件，如果不是对立事件，再分别说出它们的对立事件。
（a）“恰有一件是次品”与“恰有两件次品”。
（b）“至少有一件次品”与“全是次品”
（c）“至少有一件正品”与“至少有一件次品”
自我挑战一
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数为及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.30.3Fra bibliotek0.10.04
(1)至少3人排队等候的概率是多少?
(2)有人排队等候的概率是多少?
自我挑战二
某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是 和 .试求该市足球队夺得全省足球赛冠军的概率.
5.若A表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B表示废品不少于两件的事件,试问对立事件 、 各表示什么?
学习建议：（用15分钟时间独立完成，并注意规范书写）
1.一口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球,从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A,摸出1只白球和1只黑球为事件B.问事件A和B是否为互斥事件？是否为对立事件？
2.在一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球,从中任取一个球,求：
（1）求他参加不超过2个小组的概率是多少？
（2）求他至少参加2个小组的概率是多少？
话题2：某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
《互斥事件》 讲义
《互斥事件》讲义在我们的日常生活和数学世界中，经常会遇到各种各样的事件。
其中，有一种特殊的关系叫做互斥事件。
今天，就让我们一起来深入了解一下互斥事件的奥秘。
一、互斥事件的定义互斥事件，简单来说，就是指两个或多个事件不能同时发生。
比如说，掷一枚骰子，出现点数为 1 和出现点数为 2 这两个事件就是互斥的，因为骰子在一次投掷中不可能同时出现 1 点和 2 点。
再举个生活中的例子，明天是晴天和明天是雨天，这两个事件也是互斥的，因为明天不可能既是晴天又是雨天。
用数学语言来表述，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即A∩B ＝∅。
二、互斥事件的特点1、不可能同时发生这是互斥事件最核心的特点。
就像前面提到的例子，在同一条件下，两个互斥事件不会同时出现结果。
2、互斥事件的并集等于它们各自发生的概率之和假设事件 A 的概率为 P(A)，事件 B 的概率为 P(B)，因为 A 和 B 互斥，所以 A 或 B 发生的概率 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
三、互斥事件与对立事件的区别在学习互斥事件时，很多同学容易把它和对立事件混淆。
其实，对立事件是一种特殊的互斥事件。
互斥事件只是说两个事件不能同时发生，但它们有可能都不发生。
而对立事件则是“非此即彼”的关系，除了这两个事件，没有其他可能。
比如，掷骰子出现奇数点和出现偶数点就是对立事件。
四、互斥事件的实际应用1、抽奖活动在抽奖活动中，假设一等奖、二等奖、三等奖的设置是互斥的。
那么一个人不可能同时获得多个奖项。
通过计算每个奖项的概率，可以预估中奖的可能性。
2、体育比赛比如在足球比赛中，主队获胜和客队获胜是互斥事件。
通过分析两支球队的实力、状态等因素，计算出各自获胜的概率。
3、市场调查在市场调查中，消费者选择品牌 A 和选择品牌 B 可能是互斥的。
了解这些互斥事件的概率，可以帮助企业制定营销策略。
五、如何判断互斥事件1、从事件的描述入手仔细分析事件的本质，如果两个事件的结果不可能同时出现，那么它们很可能是互斥事件。
《互斥事件和独立事件》 讲义
《互斥事件和独立事件》讲义互斥事件和独立事件讲义在概率论中，互斥事件和独立事件是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题以及深入理解随机现象的本质至关重要。
接下来，让我们详细探讨一下这两个概念。
一、互斥事件互斥事件，又称为互不相容事件，指的是在一次试验中，两个事件不能同时发生。
比如说，掷一枚骰子，“出现点数为1”和“出现点数为2”就是互斥事件，因为骰子在一次投掷中不可能同时显示 1 点和 2 点。
用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即A ∩ B ＝ Ø。
互斥事件的概率计算相对简单。
如果事件A 和事件B 是互斥事件，那么事件 A 或事件 B 发生的概率等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率，即 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
例如，在一个袋子里有 3 个红球和 2 个蓝球，从中随机取出一个球，“取出红球”和“取出蓝球”就是互斥事件。
假设取出红球的概率为 3/5，取出蓝球的概率为 2/5，那么取出红球或者蓝球的概率就是 3/5 ＋ 2/5＝ 1。
二、独立事件独立事件则是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
比如，今天下雨和明天考试成绩是否优秀就是两个独立事件，今天下雨并不会影响明天考试成绩的好坏。
数学上，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 和事件 B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以事件 B 发生的概率，即P(A∩B) ＝ P(A) × P(B)。
举个例子，掷两次骰子，第一次掷出 6 点和第二次掷出 6 点就是独立事件。
假设每次掷出 6 点的概率都是 1/6，那么两次都掷出 6 点的概率就是 1/6 × 1/6 ＝ 1/36。
三、互斥事件与独立事件的区别互斥事件和独立事件的区别是理解这两个概念的关键。
首先，从定义上看，互斥事件关注的是两个事件是否能同时发生，而独立事件关注的是一个事件的发生是否会影响另一个事件的发生概率。
对立事件和互斥事件公式
对立事件和互斥事件公式
对立事件和互斥事件是概率论中常用的概念，用于描述两个事件之间的关系。
在概率论中，事件是指可能发生或不发生的某种情况或结果。
下面我们将介绍对立事件和互斥事件的定义和相关公式。
对立事件是指两个事件中至少一个事件发生的情况下，另一个事件一定不会发生。
换句话说，对立事件是互相排斥的事件。
如果事件A和事件B是对立事件，那么当事件A发生时，事件B一定不会发生；反之亦然。
对立事件可以用符号表示为A和B。
对立事件的概率公式是：P(A) + P(B) = 1。
这是由于在概率论中，所有可能的事件的概率之和必须等于1。
因此，如果事件A的概率为P(A)，那么事件B的概率就是1减去事件A的概率，即P(B) = 1 - P(A)。
互斥事件是指两个事件中只能发生一个事件的情况。
换句话说，互斥事件是两个事件中任意一个事件发生了，另一个事件一定不会发生。
互斥事件可以用符号表示为A或B。
互斥事件的概率公式是：P(A或B) = P(A) + P(B)。
这是因为在互斥事件中，事件A和事件B只能发生一个，所以它们的概率之和就等于同时发生事件A和事件B的概率。
需要注意的是，对立事件和互斥事件是不同的概念。
对立事件指的是两个事件中至少一个事件发生，另一个事件不会发生；而互斥事件指的是两个事件中只能发生一个事件。
对立事件是互斥事件的一种特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件。
在实际应用中，对立事件和互斥事件的概念和公式经常被用于计算概率、推导事件的关系以及进行统计分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3 谈谈互斥事件与对立事件的联系与区别
一. 互斥事件与对立事件的定义
1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件A 、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B ，用概率的加法公式)()()(B P A P B A P +=+计算.
2. 对立事件：必有一个发生的两个互斥事件A 、B 叫做互为对立事件,即-=A B 或-
=B A .用概率的减法公式()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=_1A P A P 计算其概率.高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查.
二.互斥事件与对立事件的联系与区别
1. 对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定对立;
2. 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可以对应很多事件，但最多只有一个发生，也可能都不发生;
3. 从集合论(即把事件转换成集合的关系来看)的角度来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的交集都是空集且并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集;
4.两个对立事件的概率之和一定是1,而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ;
5. 若事件B A ,是互斥事件，则有:
()()()B P A P B A P +=+ ;
而对立事件A 与A 则有:()()
A P A P -=1;
6.一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有 ()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ;
7.在教材中n A A A +++...21 指的是n A A A ,...,,21 中至少发生一个 ;
8.在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来.
三. 互斥事件例题解析
例1.10本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,能取出数学书的概率有多大？
解：基本事件的总数为：12×11÷2＝66
“能取出数学书”这个事件所包含的基本事件个数分两种情况：
（1）“恰好取出1本数学书”所包含的基本事件个数为：10×2＝20
（2）“取出2本都是数学书”所包含的基本事件个数为：1
而事件“恰好取出1本数学书” 与“取出2本都是数学书” 为互斥事件.
所以“能取出数学书”这个事件的概率为:
P （“能取出数学书”）＝P （“恰好取出1本数学书”）+ P （“取出2本都是数学书”） =6620661+=22
7. 例2.某热水瓶胆生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：
（1）2件都是一级品的概率；（2）至少有一件二级品的概率．
解：（1）设2件都是一级品为事件A ．
从10件产品中抽取2件,共有45个基本事件,且都是等可能的，而事件A 的结果（即包含的基本事件数）有28种, 则P （A ）=2845
． （2）设至少有一件二级品为事件B ，则B 是两个互斥事件：“抽取的2件产品中包含了一件一级品，一件二级品（记为B 1）”与“抽取的2件产品均为二级品（B 2）”的和.
而P （B 1）=1645，P （B 2）=145
. ∴P （B ）=P （B 1+B 2）= P （B 1）+ P （B 2）=
16117454545+=． 说明:确定两事件是否是互斥事件时,若对事件是否互斥把握不准,可以把事件转换为相应的集合,看看集合的交集是否为空集.
四. 对立事件例题解析
例3.甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道, 甲、乙两人依次各抽一题．
(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
解：甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是90种.即基本事件总数是90.
(1)记“甲抽到选择题、乙抽到判断题”为事件A,下面求事件A 包含的基本事件数: 甲抽到选择题有6种抽法,乙抽到判断题有4种抽法,所以事件A 的基本事件数为24.所以()15
49024==A P . (2)先考虑问题的对立面:“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B,“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 包含的基本事件数为12.所以由古典概型概率公式,得().15
29012==B P 由对立事件的性质可得: ()()15
1315211=-=-=B P C P . 说明:含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较繁琐时,可考虑其反面,即对立事件,然后应用对立事件的性质()()
A P A P -=1进一步求解.。