(完整)数项级数及其收敛性
数列、级数及其收敛性的定义和判定
数列、级数及其收敛性的定义和判定数列和级数是数学中比较基础的概念，理解其定义和判定对于进一步学习数学知识和应用非常重要。
本文将简要介绍数列、级数的定义以及如何判断它们的收敛性。
一、数列的定义数列就是按照一定规律排列起来的一系列数字。
比如，1，3，5，7，9就是一个数列，规律是从1开始，每次加2。
数列可以用一个通项公式来表示。
比如，对于上面的数列，第n项就可以表示为：2n-1。
二、数列的收敛和发散如果一个数列的所有项都趋向于某个数，那么这个数列就是收敛的。
比如，1，1/2，1/3，1/4……这个数列就是收敛的，极限是0。
如果一个数列趋向于无穷大或负无穷大，那么这个数列就是发散的。
比如，1，2，3，4，5……就是一个发散的数列。
三、级数的定义级数就是把数列中的项相加得到的一个和。
比如，1+1/2+1/4+1/8+……就是一个级数。
级数可以看作是数列的和的极限。
级数一般表示为：∑an。
四、级数的收敛和发散判断级数的收敛和发散可以使用多种方法。
下面介绍几种常用的方法。
1.比值判别法如果级数的通项公式为an，那么计算an+1/an的极限L，如果L小于1，那么级数收敛；如果L大于1，那么级数发散；如果L 等于1，那么无法判定。
2.根值判别法如果级数的通项公式为an，那么计算an的n次方根的极限L，如果L小于1，那么级数收敛；如果L大于1，那么级数发散；如果L等于1，那么无法判定。
3.积分判别法如果级数的通项公式为an，那么将an看作某个函数f(x)在1到无穷大的积分，如果这个积分收敛，那么级数就收敛；如果这个积分发散，那么级数就发散。
总之，数列和级数的定义和收敛性判定是我们学习数学中必须要掌握的基础知识。
只有理解了这些知识，才能更好地应用于实际问题的解决。
数项级数2——正项级数的收敛性
数项级数2 正项级数的收敛性一、本节的例题选讲如下，后面附有详细的解答过程。
例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
例3 讨论级数∑∞=−1253n n n n的收敛性。
例4 讨论级数∑∞=11sinn n的收敛性。
例5 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛−11cos 1n n 的收敛性。
例6 讨论级数n n n πtan 23∑∞=的收敛性。
例7 讨论级数()∑∞=++3312n n n n 的收敛性。
例8 讨论级数()∑∞=>+1011n na a 的收敛性。
例9 讨论级数∑∞=−12121n n的收敛性。
例10 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n 的收敛性。
例11 讨论级数∑∞=12sinn nπ的收敛性。
例12 讨论级数∑∞=122sinn nn π的收敛性。
例13 讨论级数()11!2nn n ∞=+∑的收敛性。
例14 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例15 讨论级数∑∞=1!10n nn 的收敛性。
例16 讨论级数∑∞=−1212n nn 的收敛性。
例17 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例18 讨论级数∑∞=12tann nn π的收敛性。
例19 讨论级数()[]∑∞=+11ln 1n n n 的收敛性。
例20 讨论级数123nn n n ∞=⎛⎫⎪−⎝⎭∑的收敛性。
二、上面例题的详细解答。
情况1 利用比较讨论法及其极限形式讨论正项级数的收敛性 例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
解：∑∞=−12141n n 和11n n∞=∑都是正项级数，1limlim 2n n n→+∞→+∞==，调和级数11n n∞=∑发散，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−12141n n 发散。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
解： ∑∞=−123n n n 和211n n ∞=∑都是正项级数，22lim lim 3n n n →+∞==， P −级数211n n∞=∑收敛，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−123n n n 收敛。
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师：2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。
关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of theirconvergenceAbstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method.Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method前 言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。
10.3数项级数的收敛性判别法(1)
1+ n 由比较判别法知，级数∑ un = ∑ 发散. 2 n =1 n =1 1 + n
12
∞
∞
n! 例5 判断级数 ∑ n 的敛散性. n =1 n
但
p ≤ 1, 级数发散 .
21
∞
例12 讨论级数
∑n x
n =1
n −1
( x > 0 ) 的敛散性 .
u n +1 (n + 1) x n = lim =x 解: ∵ lim n − 1 n →∞ u n n →∞ n x
根据定理4可知:
当0 < x < 1 时, 级数收 敛 ; 当 x > 1时, 级数发散 ;
n− N
u N +1
k ( ρ + ε ) 收敛 , 由比较判别法可知 ∑
∑ un 收敛 .
20
(2) 当ρ > 1 或 ρ = ∞ 时,必存在 N ∈ Z + , u N ≠ 0, 当n ≥ N
u n +1 > 1, 从而 时 un u n +1 > u n > u n −1 > ⋯ > u N
(1) 当0 < l <∞时, 取 ε < l , 由定理 2 可知
∑ u n 与 ∑ vn
n =1 n =1
∞
∞
(2) 当l = 0时, 利用 u n < ( l + ε ) vn (n > N ), 由定理2 知 若 ∑ vn 收敛 , 则 ∑ u n 也收敛 ;
数项级数收敛性判别法
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(3) p 0 时，级数发散．
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绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 其和为
（1）
n1
n3 2n3 n
；
（2）
1；
n n1
1 1 n
（3）
n1
1 n
ln
1
1 n
；
n3
（4） n2en ． n1
解：（1）因为
lim
2n3
n
n3 lim
3n2
1，
n 1
n 2n3 n 2
n2
而
1 收敛，所以级数
n 3 收敛．
n2
n 1
1 n1 2n3 n
（2）因为
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n
n
un
lim n
2
ln n
2 1，因此所给级数发散．
3n
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二、交错级数及其审敛法
(Interrogate of staggered series)
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
则级数
.
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
(Absolute convergence and conditional convergence)
数项级数收敛性的判别
数项级数收敛性的判别一、基本概念数项级数是由一列实数构成的无限级数，形式化表示为：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+...+a_n+...$$其中$a_n$为级数中第$n$个数。
对于数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，我们关心的问题是其收敛性或发散性。
设数列$\{S_n\}$表示数项级数的前$n$项和，则有：二、基本判别法1.正项级数判别法正项级数指所有项都是非负数的级数。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，若存在正整数$p$，使得对于任意$n\ge p$，都有$a_n\ge a_{n+1}$，则数项级数收敛。
该判别法常被称为级数单调有界准则，或称作单调有界原理，其思路为：单调有界必收敛。
当级数中第$p$项后，级数的每一项都小于等于$a_p$，同时又因为级数的每一项都为非负数，所以$\{S_n\}$必单调不降；又由于$a_n$单调减少，$\{S_n\}$最终必定收敛。
2.比较判别法（1）当级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。
比较判别法常被称为比较原理，其思路为：级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的上界为级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$的上界，则当$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$必定收敛；反之，当$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$必定发散。
设极限$L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$存在，则：若$L=1$，则比值判别法无法断定级数的收敛性。
在比值判别法中，我们通常都称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$为原级数的比值级数。
11-2 数项级数收敛性的判定
∑v
n=1
∞
n
也发散 .
推论 设两正项级数
∞ ∞ un 1 （ 若 lim ） = 0 , 则由 vn 收敛可推知 un 收敛. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ ∞ un 2 若 （） lim = ∞ , 则由 vn 发散可推知 un 发散. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
1 1 1 1 (3) 调和级数 ∑ = 1 + + + L + + L 发散 2 3 n n =1 n
©
∞
1 1 1 1 例1. 证明 p－级数 ∑ p = 1 + p + p +L+ p +L 2 3 n n=1 n
∞
0 时发散， 当 < p ≤ 1时发散， p > 1 时收敛. 当
un+1 知存在N ∈Z ,当n ≥ N 时 < r < 1, 即un+1 < run , un
∞ ∞
+
将 ∑ uN + n 与收敛的等比级数
n =1
r n uN 比较， ∑ 比较，
n =1
可知原级数收敛。 可知原级数收敛。
(2) 当 ρ > 1或 ρ = ∞时必存在N ∈ Z+ , uN ≠ 0, 当n ≥ N , 时 从而
§11.2 数项级数的概念和性质
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛和条件收敛
一、正项级数及其审敛法 若 un ≥ 0, 则称 ∑un 为正项级数 .
n=1 ∞
定理 1. 正项级数 有上界 . 证: “ “ ”若 ”
数项级数及其收敛性
数项级数及其收敛性无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级数思想，而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的。
古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1（大于零）的等比级数可求出和数；阿基米德在《抛物线图形求积法》一书中，使用几何级数去求抛物弓形面积，并且得出级数23111141 (4)4443n +++++=的和；关于无穷级数，数学史上有个著名的芝诺悖论。
"两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。
结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。
'庄子亦说'一尺之棰，日取其半，万世不竭。
''但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。
'要解决这个悖论，需要引进极限方法。
研究无穷级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，尤其在研究极限的存在性及计算极限方面显示出很大的优越性.它在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用,在解决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用. 一、级数基本概念定义1 设给定一个数列 ，，，，，n u u u u 321，则表达式 ++++n u u u 21称为无穷级数，简称级数，记作∑∞=1n nu，即++++=∑∞=n n nu u u u211，其中称为级数的第项，也称一般项或通项，如果是常数，则级数∑∞=1n nu称为常数项级数，如果是函数，则级数∑∞=1n nu称为函数项级数． 其实，在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等比数列: 2,,............(1)n a aq aq aq q <,各项的和2............1n a a aq aq aq q++++=-；另外，无限循环小数也是无穷级数，比如：10.33=1033.0=，210303.0=，n103030.0=，所以有n 103103103312+++≈ ．显然，越大，这个近似值就越接近31，根据极限的概念可知)103103103(lim 312n n +++=∞→ ，也就是说++++=n 103103103312．由以上两个实例可以得到两个重要结论：结论：1、在一定条件下无穷多个数的和是有意义的，即等于一个常数。
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数项级数及其收敛性
无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级数思想，而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的.古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1（大于零)的等比级数可求出和数；阿基米德在《抛物线图形求积法》一书中,使用几何级数去求抛物弓形面积，并且得出级数23111141 (4)
4
4
4
3
n +++++=的和；关于无穷级数,
数学史上有个著名的芝诺悖论.”两分法”:向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点,又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷.结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。
’庄子亦说'一尺之棰，日取其半，万世不竭.''但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。
’要解决这个悖论，需要引进极限方法。
研究无穷级数及其和,可以说是研究数列及其极限的另一种形式，尤其在研究极限的存在性及计算极限方面显示出很大的优越性.它在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用,在解决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用。
一、级数基本概念
定义1 设给定一个数列 ，，，
，，n u u u u 321,则表达式 ++++n u u u 21
称为无穷级数,简称级数，记作
∑∞
=1
n n
u
，即
++++=∑∞
=n n n
u u u u
211
，
其中称为级数的第项，也称一般项或通项，如果是常数,则级数
∑∞
=1
n n
u
称为常数
项级数，如果是函数，则级数∑∞
=1
n n
u
称为函数项级数．
其实,在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等比数列：
2,,............(1)n a aq aq aq q <,各项的和2............1n a
a aq aq aq q
++++=
-；另外,无限循环小数也是无穷级数,比如：
1
0.33
=
10
33.0=
,
2
10303.0=
,
n
103030.0=
,所以有
n 10
3103103312+++≈ ．
显然，越大,这个近似值就越接近31
,根据极限的概念可知
)103103103(lim 312n n +++=∞→ ，
也就是说
++++=n 103103103312．
由以上两个实例可以得到两个重要结论:
结论：1、在一定条件下无穷多个数的和是有意义的，即等于一个常数.
2、一个有限的数可以表示成无穷多个数的和.
无穷级数主要就是学习以上这两方面的内容，即一，无限项相加的形式在什么条件下有“和"，这种“和"的确切意义是什么?如讨论数项级数的敛散性、函数项级数的敛散性、收敛域以及级数的和；二、在一定条件下如何将一个函数展开成无穷级数,如函数的幂级数展开式。
无穷级数是无穷多个数累加的结果，虽然在形式上也写成用加号连接的一个式子，在意义上却与过去熟悉的有限项的和完全不同，从有限到无限，发生了质的变化。
实例的方法告诉我们，可以先求有限项的和，然后运用极限的方法来解决这个无穷多项的求和问题．然而有限个数相加的和一定存在，无限个数相加是否一定有和呢？满足怎样的条件才能有和呢？和又怎样确定呢？下面借助极限这个工具来对这些作出解答．我们引入部分和概念：
把级数∑∞
=1n n u 的前项之和
n u u u +++ 21 (2）
称为该级数的前项部分和,记为，即n n u u u s +++= 21。
当依次取 ,3,2,1时，它们构成一个新的数列{}n s ：
11u s = 212u u s +=
3213u u u s ++=
n n u u u u s ++++= 321
称此数列为级数∑∞
=1
n n u 的前项部分和数列。
根据前项部分和数列是否有极限，我们给出级数（1)收敛与发散的概念。
定义2 当无限增大时，如果级数∑∞
=1n n u 的前项部分和数列{}n s 有极限，即
s s n n =∞
→lim
则称级数∑∞=1
n n u 收敛，这时极限称为级数∑∞
=1
n n u 的和，并记为
+++++=n u u u u s 321
如果前项部分和数列{}n s 没有极限，则称级数∑∞
=1
n n u 发散.
当级数∑∞=1
n n u 收敛于时，则其前项部分和是级数∑∞
=1
n n u 的和的近似值，它们的
差
++++=-=+++k n n n n n u u u s s r 21
称为级数∑∞
=1n n u 的余项。
显然0lim =∞
→n n r ，而n
r 是用近似代替所产生的误差。
注：（1）由级数定义，级数∑∞
=1
n n u 与其前项部分和数列{}n s 同时收敛或同时
发散，且收敛时∑∞
=1
n n u =n n s ∞
→lim
. （2）收敛的级数有和值，发散的级数没有“和”.
在数项级数中，应用较多的是我们已经熟悉的由等比数列构成的级数，这类级数简称等比级数（或称几何级数）．
例1 试讨论等比级数
2............(0)n a aq aq aq a ++++≠
的收敛性．
解 根据等比数列前项的求和公式可知，当1q ≠时，所给级数的部分和
11n
n q s a q
-=⋅
-．于是，当1q <时，
1lim lim 11n n n n q a
s a q q
→∞→∞-=⋅=
--． 由定义2
知，该等比级数收敛,其和1a s q =-,即11
1n n a
aq q ∞
-==-∑．
当1q >时，
1lim lim 1n
n n n q s a q
→∞→∞-=⋅=∞-． 所以这时该等比级数发散．
当1q =时，∞→=na S n （当∞→n ），因此该等比级数发散．
当1q =-时,⎩⎨
⎧=-+-+-=-为偶数，，当为奇数，
，当n n a a a a a S n n 0)1(1 部分和数列不存在极限，故
该等比级数发散．
综上所述可知:等比级数11n n aq ∞
-=∑，当公比1q <时收敛;当公比1q ≥时发散．
例2 判别无穷级数
∑
++++⋅+⋅+⋅=+∞
=1)1(1431321211)1(1n n n n n
的敛散性。
解:由于
u n =)1(1+n n =)1(1
1+-n n
因此 s n =)1(1
3
21211+++⋅+⋅n n =（21
1-）+（3121-）+…+ (111+-n n ）
= 1—11
+n .
而 n n s ∞→lim =)
111(lim +-∞→n n =1
所以该级数收敛于和1。
例3 证明1+2+3+…+n +…是发散级数. 证： 此级数的部分和为
s n =1+2+3+…+n =2)
1(+n n
显然，n n s
∞→lim = ¥，因此级数是发散级数.。