大二整理好的数学题
大学生数学试题及答案
大学生数学试题及答案数学作为一门基础学科，在大学阶段依然占据着重要的地位。
无论是理工科还是文科的学生，都需要通过数学课程的学习来培养思维能力和解决问题的能力。
本文将为大家提供一些典型的大学生数学试题及其详细答案，帮助同学们巩固知识点，提升解题能力。
一、微分与积分1. 求解微分方程已知微分方程 dy/dx - 2xy = 0，求解其通解。
解析：首先将原方程改写为 dy/y = 2xdx。
然后两边同时积分，得到 ln|y| = x^2 + C。
解出 y = Ce^(x^2)，其中 C 为任意常数。
2. 求定积分计算∫(0 to π/2) x*sin(x) dx。
解析：此题可以通过换元法解决。
令 u = x^2，那么 du = 2xdx。
原积分变为∫(0 to π/4) sin(u) du = [-cos(u)](0 to π/4) = 1。
二、矩阵与行列式1. 求矩阵的逆矩阵已知矩阵 A = [1 2, 3 4]，求 A 的逆矩阵 A^(-1)。
解析：根据矩阵逆的定义，解 A * A^(-1) = I，其中 I 为单位矩阵。
通过计算可得 A^(-1) = [-2 1, 3/2 -1/2]。
2. 求行列式的值计算行列式 det(A)，其中 A = [2 -1 0, 3 2 4, -1 3 1]。
解析：可以使用拉普拉斯展开法计算行列式。
按第一行展开，得到 det(A) = 2 * det([2 4, 3 1]) - (-1) * det([3 4, -1 1]) + 0 * det([3 2, -1 3])。
计算得到 det(A) = 2(-2-12) - (-1)(3-(-4)) = -11。
三、级数1. 判断级数的敛散性判断级数∑(n=1 to ∞) (1/3)^n 是否收敛。
解析：通过比值判别法可知，当 |(1/3)^(n+1) / (1/3)^n| < 1 时，级数收敛。
令 a(n) = (1/3)^n，计算可得 a(n+1) / a(n) = 1/3 < 1，所以级数收敛。
大二小学数学基础试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各数中，最大的一个是：A. 0.5B. 0.05C. 0.005D. 0.00052. 小华有苹果、梨和桃子一共30个，苹果比梨多5个，梨比桃子多10个，小华有多少个苹果？A. 10个B. 15个C. 20个D. 25个3. 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米，3小时后到达乙地。
甲乙两地相距多少千米？A. 120千米B. 180千米C. 240千米D. 300千米4. 一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，这个长方形的周长是多少厘米？A. 18厘米B. 23厘米C. 26厘米D. 30厘米5. 小明从学校出发，向东走了5千米，然后向北走了4千米，他现在距离学校多少千米？A. 3千米B. 5千米C. 7千米D. 9千米6. 一个正方形的面积是16平方厘米，这个正方形的边长是多少厘米？A. 2厘米B. 4厘米C. 6厘米D. 8厘米7. 一本书有100页，小明每天看10页，几天可以看完这本书？A. 8天B. 9天C. 10天D. 11天8. 一个篮子里有5个苹果，6个梨和7个桃子，篮子里总共有多少个水果？A. 18个B. 20个C. 22个D. 24个9. 一辆自行车每小时行驶15千米，行驶60千米需要多少小时？A. 3小时B. 4小时C. 5小时D. 6小时10. 小红和小刚一起买了3支铅笔和2支钢笔，一共花费了9元。
如果一支铅笔的价格是1元，那么一支钢笔的价格是多少元？A. 1元B. 2元C. 3元D. 4元二、填空题（每题2分，共20分）1. 2 × 5 = ______2. 8 ÷ 4 = ______3. 3 + 7 = ______4. 12 - 6 = ______5. 4 × 6 = ______6. 100 ÷ 5 = ______7. 6 × 8 = ______8. 20 ÷ 4 = ______9. 7 + 3 = ______10. 5 × 9 = ______三、解答题（每题10分，共30分）1. 小明有20元，他买了一个笔记本花了5元，买了一个铅笔盒花了3元，他还剩多少钱？2. 一条绳子长30米，如果每米绳子重0.5千克，这条绳子一共重多少千克？3. 小红有8个红苹果，6个黄苹果，她把这些苹果平均分给3个小朋友，每个小朋友能得到多少个苹果？四、应用题（每题10分，共20分）1. 小明去图书馆借了3本书，他借的第一本书看了5天，第二本书看了3天，第三本书看了4天。
大学数学精选试题及答案
大学数学精选试题及答案一、选择题1. 设函数f(x)在区间(a, b)内连续，且满足f(a)f(b) < 0，则下列结论正确的是：A. 函数f(x)在(a, b)内至少有一个零点B. 中值定理在(a, b)内不成立C. 函数f(x)在(a, b)内单调递增D. 函数f(x)在(a, b)内单调递减答案：A2. 已知数列{an}满足a1 = 1，且an+1 = an + 2n，求数列的通项公式an。
A. an = n^2B. an = n(n+1)C. an = 2n - 1D. an = 2^n - 1答案：B二、填空题3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx 的值为 ________。
答案：1/34. 设矩阵A为3阶方阵，且|A| = 2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为________。
答案：1/2三、解答题5. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上一定存在最大值和最小值。
证明：根据连续函数的性质，我们知道如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上必定有最大值和最小值。
首先，由于f(x)在[a, b]上连续，根据闭区间上连续函数的性质，f(x)在[a, b]上也连续。
因此，根据极值定理，f(x)在[a, b]上必定存在最大值和最小值。
6. 求解二元一次方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将方程组写成增广矩阵形式，通过高斯消元法求解。
首先，我们有\[\begin{bmatrix}1 & 1 & | & 5 \\2 & -1 & | & 1\end{bmatrix}\]通过行变换，我们得到\[\begin{bmatrix}1 & 0 & | & 3 \\0 & 1 & | & -1\end{bmatrix}\]因此，方程组的解为 x = 3，y = -1。
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案：A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。
答案：12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。
答案：e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。
答案：y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。
答案：10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。
答案：1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数，并证明其在定义域内是单调的。
解：首先找到反函数的定义域，由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0，解得x^2>4，因此x<-2或x>2。
设y=ln(x^2-4)，则x^2-4=e^y，解得x=±√(e^y+4)。
由于x<-2或x>2，我们选择x=√(e^y+4)作为反函数，定义域为y>ln(4)。
显然，当y>ln(4)时，函数√(e^y+4)是单调递增的，因此反函数也是单调的。
大二高等数学试卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，则其在(a,b)内一定可积的是：A.有界函数B.无界函数C.奇函数D.偶函数2.微分方程y''5y'+6y=0的通解为：A.y=C1e^x+C2e^3xB.y=C1e^2x+C2e^3xC.y=C1e^x+C2e^-6xD.y=C1e^2x+C2e^-3x3.级数∑n=1∞(n^2/n!)的收敛性是：A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定4.在空间直角坐标系中，曲面z=x^2+y^2的切平面方程在点(1,1,2)处为：A.z=2x+2y1B.z=x+y1C.z=2x+2y+1D.z=x+y+15.设矩阵A为对称矩阵，则A的特征值：A.一定全为实数B.一定全为正数C.一定互不相同D.一定存在复数特征值二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处一定连续。
（）2.若函数f(x)在区间(a,b)内单调增加，则其导数f'(x)在(a,b)内一定大于0。
（）3.级数∑n=1∞1/n^2是发散的。
（）4.多元函数的极值点一定是函数的驻点。
（）5.若矩阵A和B可交换，即AB=BA，则A和B一定有共同的特征向量。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^33x在x=______处取得极小值。
2.微分方程y''+4y=0的通解为y=______。
3.级数∑n=1∞(-1)^(n-1)/n的值为______。
4.曲线x^2+y^2=1在点(√2/2,√2/2)处的切线方程为______。
5.若矩阵A的特征值为λ1,λ2,λ3，则矩阵A^3的特征值为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.简述罗尔定理及其应用。
2.解释什么是函数的泰勒展开。
3.什么是拉格朗日中值定理？给出一个应用实例。
4.简述多元函数的极值和最值的区别。
大学数学试题题库及答案
大学数学试题题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是微积分的基本定理？A. 牛顿-莱布尼茨公式B. 泰勒公式C. 欧拉公式D. 柯西-黎曼公式答案：A2. 矩阵的行列式表示为：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的对角线元素之积C. 矩阵的对角线元素之差的绝对值D. 矩阵的对角线元素之和的平方答案：B3. 以下哪个函数不是周期函数？A. sin(x)B. cos(x)C. e^xD. tan(x)答案：C4. 以下哪个选项是线性代数中矩阵的特征值？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵的迹D. 矩阵的行列式答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 圆的面积公式为______。
答案：πr²2. 欧拉公式中e^(ix)等于______。
答案：cos(x) + i*sin(x)3. 线性代数中，一个矩阵是可逆的当且仅当其______不为零。
答案：行列式4. 微积分中，不定积分的基本定理表明，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中C是______。
答案：常数三、解答题（每题10分，共60分）1. 计算定积分∫(0到π) sin(x)dx。
答案：-cos(x) | (0到π) = 22. 求函数f(x) = x² - 4x + 3在x=2处的切线方程。
答案：y = x - 13. 证明：如果一个数列{a_n}收敛于L，则它的子数列{a_{2n}}也收敛于L。
答案：略4. 解线性方程组：\[\begin{cases}x + 2y = 5 \\3x - y = 1\end{cases}\]答案：\[\begin{cases}x = 2 \\y = 1.5\end{cases}\]5. 计算级数∑(1到∞) (1/n²)的和。
答案：π²/66. 证明：对于任意正整数n，有1³ + 2³ + ... + n³ = (n(n+1)/2)²。
大学数学二试题及答案
大学数学二试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 微分方程 y'' - y = 0 的通解是：A. y = C1 * cos(x) + C2 * sin(x)B. y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)C. y = C1 * x + C2 * x^2D. y = C1 * ln(x) + C2 * x3. 矩阵 A = \[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\] 的行列式是：A. 1B. 2C. -2D. 54. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在5. 积分∫(0 to π) sin(x) dx 的值是：A. 0B. πC. -2D. 26. 函数 y = ln(x) 的反函数是：A. y = e^xB. y = e^(-x)C. y = 10^xD. y = x^e二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果函数 f(x) 在点 x=a 处可导，则 f'(a) 表示______。
2. 函数 y = x^2 - 4x + 3 的顶点坐标是（______，______）。
3. 微分方程 y' + 2y = 0 的通解形式为 y = ______。
4. 函数 y = sin(x) 的不定积分是 ______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数 f(x) = x^2 - 6x + 9 在区间 [2, 5] 上的最大值和最小值。
2. 证明：如果一个数列 {a_n} 收敛于 L，则其子数列 {a_{2n}} 也收敛于 L。
3. 计算定积分∫(0 to 1) (3x^2 - 2x + 1) dx。
大学数学题100道
大学数学题100道大学数学是大学学习中最重要的学科之一，它覆盖了一系列的理论和实用的数学方法，为学习者提供了良好的素养。
但是，大学数学可能是很难的，所以我们要及时准备100道大学数学题，以检测和考核学生对大学数学的学习情况。
以下是100道大学数学题：1.算方程y=2x+3的根。
2.圆x2+y2=6的椭圆方程。
3.数学归纳法证明三角函数的公式。
4.用概率论求解：实验用100枚硬币抛掷，其中正反面各为50枚，预先确定正反面的正确率是多少？5.明倒数的乘法运算的结果和除法的结果相同。
6.推导法证明全等三角形的定理。
7.过牛顿迭代法求解方程x2-2x+2=0。
8.函数y=(x-1)3+4的最大值。
9.极限法证明求一个实数的平方根的结果。
10.决以下方程组：x+y-2z=0, 2y+z=2, 3x+2z=7。
11.微分x3+2x2+1的导数。
12.分数18/96转换成最简形式。
13.解椭圆方程8x2+14y2=112的焦点坐标。
14.解二次方程11x2-22x+7=0的实根。
15.积分：e-2x2的积分。
16.6边形的外接圆的半径。
17.算正弦函数sin 60°的值。
18.微分y=(2x2+3x+2)2的导数。
19.数学归纳法证明有理数的加法运算结果是有理数。
20.函数y=logx+x2-2x+1的极大值。
21.6阶常微分方程y(6)+y(5)-y=0的通解。
22.分式：(x2+2x+1)/(x2+1)的最简形式。
23.明集合论的实数的单元包容原理。
24.伯努利数列的总和。
25.函数y=ln(x+2)的最大值。
26.微分：x3cotx的导数。
27.极限法证明抛物线顶点的坐标。
28.算正切函数tan 45°的值。
29.数学归纳法证明乘法运算的结果是有理数。
30.函数y=cosx3+sinx3的最大值。
31.一元二次方程x2-2ax+b=0的解值a和b的值。
32.算椭圆方程x2/4-y2/3=1的长短轴长度。
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8、求所有与A 可交换的矩阵（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1101A ； (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110011A 。
解：（1）显然与A 可交换的矩阵必为二阶方阵，设为X ，并令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c b a X ，又 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=d b ca b aAX ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=d d c b b a XA ， 由可交换条件AX=XA ，可得 b=0,d a =（其中c d a ,,为任意常数），即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a c a X 0。
（2）显然与A 可交换的矩阵必为三阶方阵，设为X ，并令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i hg f e dc b aX ， 又 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=i h g i f h e g d f c e b d a AX ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=i h h g g f e e d dc b ba a XA ， 由可交换条件XA=AX ，可得 d=0,g=0,h=0,c=0,a=e=i,b=f,（其中a,e,i,b,f 均为任意常数），即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a b a X 0000。
解：（1）31111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000。
（2）n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1031=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1031n 。
下面用数学归纳法证明。
当n=1时，当然成立。
假定n=k 时成立，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10311031k k。
再证n=k+1时也成立。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10)1(31103110311031103110311k k kk 。
（4）n⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001000010当n =1时，值为原矩阵；n =2时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000100001000000100001000010n；n =3时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000010000000100001000010n ；4≥n 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000000000000000000100001000010n。
14、设B A ,为同阶矩阵，且满足)(21E B A +=。
求证：A A =2的充分必要条件是E B =2.证明：先证明必要性：由于)(21E B A +=，故)2(4122E B B A ++=如果A 2=A ，即)2(41)(212E B B E B ++=+由此得B 2=E再证充分性：若B 2=E ，则由（1）式可知，A E B E B E A =+=++=)(21)2(412。
所以，A A =2的充分必要条件是E B =2。
19解：（1）yx yx x y x y y x y x+++=yxy x x y x y y x y x y x +++++)(2)(2)(2=y xy x x y x y y x +++111)(2=x yy x y x x y y x --+-+01)(2=)(233y x +-。
（4）按第一列展开ab ba b a b a b a 000000000000000=a b a b a b a a 000000000+ba b a b a b b 000000000=55b a +。
（5）按最后一列展开ba ab a b a b ab 000000000000000=000000000a a b a b a b a +000000000a b a b a b bb =55b a +。
24解：（1）AB =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222121122212B E B B A A O E=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++222212212221121122112B A B A E A B A B E B E其中 E 2B 11=B 11，E 2B 12=B 12，A 22E 2=A 22 ， A 21B 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12231102=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3546， A 21B 12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-351102=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210，A 22B 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121011=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11，所以 AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----145937312523。
25解：（1）因为 231,2,A A A =231,,2A A A =321,,2A A A -。
所以 231,2,A A A =321,,2A A A -=4。
（2）因为 1213,3,2A A A A -=123,3,A A A －121,3,2A A A =321,,3A A A -。
所以 1213,3,2A A A A -=321,,3A A A -=6。
28解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321010021001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101320011020001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110300*********001→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3131010002121010001001。
所以，此矩阵的逆矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3131002121001。
（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100121010011001322 → ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100121010322001011 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110012340001011→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----141234700012340001011→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-747176100737171010*******01，所以，其逆矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-747176737171737178。
（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10001111010011100010110000011000→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1100000101100010001101000011000→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00011000001101000110001011000001，所以，其逆矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0001001101101100。
（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000110001002100001000120001025→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11003000010021000015200510001025→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---110300032310001000015200510001050005→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---31310100032310001000052001000210001， 所以，其逆矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3131003231000520021。
5）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000000000100000000010000000001000000000100001321n n a a a a a→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000000000100000000000100000000010000100000000121n n a a a a 所以，其逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12110000000100000110000n n a a a a。
29解：（1）因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1032142153X ， 所以，X =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10321421531=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3152⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--103214=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--515927。
（2）因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-163211123212X ， 所以X =11111216323212--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21418183⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1632⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321。
（3）由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛600211521211501X ，故X=1521211501600211-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121010 （4）因为AX+B=X ，所以X= (E-A )-1B ，又E －A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--201101011，因此X =1201101011-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--350211=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--110213。
30、设A 为n 阶矩阵，O A ≠且存在正整数2≥k ，使O A k=。
求证：E-A 可逆，且121)(--++++=-k A A A E A E .证明：作以下乘法)(A E -)(12-++++k A A A E=k k k A A A A AA A E -----++++--1212=k A E -=E从而E －A 为可逆矩阵，而且121)(--++++=-k A A A E A E 。
31、已知n 阶矩阵A ，满足0232=--E A A ，求证：A 可逆，并求1-A .证明：因为0232=--E A A ，即E A A 232=-， 所以E E A A =-)232(，从而，A 为可逆矩阵，而且E A A 2321-=-。
8（1）β不能由1α，2α，3α的线性表出（2）β可由1α，2α，3α的线性表出，并且表示方法唯一 （3）β可由1α，2α，3α的线性表出，并且表示方法不唯一解： 设β=k 11α+k 22α+k 33α 则k 1,k 2,k 3是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2321321321)1()1(0)1(λλλλλk k k k k k k k k 的解。
设方程组的增广矩阵为A ,对A 进行初等变换A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++21111110111λλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++21110111111λλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--+-+)1(0)1()2(0111λλλλλλλλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+---+)1()2(0)1(0111λλλλλλλλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+---+)12()3(00)1(01112λλλλλλλλλλλ。
（1）当方程组的系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩不相等时 ，β不能由1α，2α，3α的线性表出。
则λ=－3。
（2） 当方程组的系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩都为3时，β可由1α，2α，3α 的线性表出，并且表示方法唯一。
则λ≠0且λ≠－3。
（3） 当方程组的系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩相等且都小于3时，β可由1α，2α，3α的线性表出，并且表示方法不唯一。
则λ=0。
9、判定下列各向量组是线性相关，还是线性无关： （1）1α=（3，2，0）T ，2α=（-1，2，1）T ； 解： 设k 11α+k 22α=0 ， 则k 1,k 2,是方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=-0022*******k k k k k 的解。