(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(答案解析)(3)

一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）AB ．2 CD ．5 2．复数(34)i i +的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i3．已知i 是虚数单位，复数1i1i -+（ ）． A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．对于复数z a bi =+（,,a b R ∈i 为虚数单位），定义||||z a b =+‖‖，给出下列命题：①对任何复数z ，都有0z ≥‖‖，等号成立的充要条件是0z =；②z z =‖‖‖‖：③若12z z =，则12=±z z ：④对任何复数1z 、2z 、3z ，不等式131223z z z z z z -≤-+-恒成立，其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（ ） A ．33i -+ B ．33i +C ．13i -D ．13i --6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线8．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z = A ．2B．CD10．已知a ∈R ，复数12i z a =+，212i z =-，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为( ) A ．1B ．iC ．25D ．011．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．已知,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，则zw 的最大值为______.15．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 16．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 17．若复数23z i =+，则1iz+=__________． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．20．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________三、解答题21．（1）在复数范围内解方程：23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位）； （2）设系数为整数的一元二次方程20ax bx c ++=的两根恰为（l ）中方程的解，求||||||a b c ++的最小值；22．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数. (1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值； (2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值.23．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________. 24．已知是复数，和均为实数（为虚数单位）.(1)求复数； (2)求的模.25．证明：在复数范围内，方程()()255112iz i z i z i-+--+=+（为虚数单位）无解． 26．已知z 是复数，i z 2+、iz -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】 ∵i （3+4i ）=-4+3i ， ∴i （3+4i ）的虚部为3． 故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．D解析：D 【解析】()()()()1i 1i 1i 12i 12ii 1i 1i 1i 112------====-++-+，故选D. 4．C解析：C 【分析】在①中，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0；在②中，z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，从而‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |；在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立． 【详解】由复数z ＝a +bi （a 、b ∈R ，i 为虚数单位），定义‖z ‖＝|a |+|b |，知： 在①中，对任何复数，都有‖z ‖≥0，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0， ∴等号成立的充要条件是z ＝0，故①成立；在②中，∵z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，∴‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |，故②成立； 在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，‖z 1‖＝‖z 2‖，但z 1≠±z 2，故③错误； ④对任何复数z 1，z 2，z 3，设z 1＝a 1+b 1i ，z 2＝a 2+b 2i ，z 3＝a 3+b 3i ， 则‖z 1﹣z 3‖＝|a 1﹣a 3|+|b 1﹣b 3|，‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖＝|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|， |a 1﹣a 3|≤|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|， |b 1﹣b 3|≤|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|，∴‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立．故④成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意绝对值性质、复数概念及性质的合理运用．5．C解析：C 【解析】 【分析】实部与虚部的差为242x x -+。

利用二次函数性质求得最值，再利用复数除法运算即可 【详解】复数z 的实部与虚部的差为222(32)42(2)2x x x x x x ---=-+=--， 当2x =时，差值最小，此时24z i =+，∴241311z i i i i +==---. 故选：C 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，熟练求解二次函数最值是关键，是基础题．6．B解析：B 【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。

【详解】()()()()3131322111i i i z i i z i z i i i i -++-++∴===--∴=-+--+（﹣）＝﹣对应点为()2,1-故选：B 【点睛】本题考查了复数的化简和共轭复数，意在考查学生的计算能力。

7．A解析：A 【分析】转化复数方程为复平面点的几何意义，然后利用椭圆的定义，即可判定，得到答案． 【详解】由题意，复数4z i z i ++-=的几何意义表示：复数z 在复平面上点到两定点(0,1)和(0,1)-的距离之和等于4，且距离之和大于两定点间的距离，根据椭圆的定义，可知复数z 对应点的轨迹为以两定点(0,1)和(0,1)-为焦点的椭圆， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的表示，以及复数在复平面内的几何意义是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．A解析：A 【解析】 【分析】设复数z =x +yi ，结合复数模的定义可得z 对应点的轨迹. 【详解】设复数z =x +yi ，则：()1z i x y i +=++=()3z i x y i +=++=结合题意有：()()222213x y x y ++=++，整理可得：310--=x y . 即复数z 对应点的轨迹是直线. 故选A . 【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式，复数中的轨迹问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【解析】 【分析】首先确定复数z ，然后求解复数的模即可. 【详解】由题意可得：351iz i +=-，则353511i i z i i ++====--. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的求解等知识，意在考查学生的转化能和计算求解能力.10．A解析：A 【分析】先化简12z z ，利用12z z 为纯虚数，实部为零，可求得a 的值，进而求得12z z 的虚部.【详解】依题意可知()()()()()122i 12i 224i2i 12i 12i 12i 5a a a z a z ++-+++===--+为纯虚数，故220,1a a -==，故虚部为4115+=. 【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除法，考查复数实部和虚部的概念及其应用.属于基础题.11．D解析：D 【解析】因为734i i ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.12．D解析：D 【详解】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ， 又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝34-. 故选：D.二、填空题13．8【分析】化简得到计算结合复数乘方的周期性得到得到答案【详解】根据的周期性知子集个数为故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算集合的子集意在考查学生的计算能力和综合应用能力周期性的利用是解题的关键解析：8 【分析】化简得到()()()nni f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到答案.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n nn n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+，()()0(0)2i f i =+-=，()()11(1)0i f i =+-=，()()22(2)2i f i =+-=-， ()()33(3)0i f i =+-=，()()44(4)2i f i =+-=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=. 故答案为：8. 【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键.14．【分析】因为由即可求得答案【详解】当且仅当和共线其方向相反是等号成立如是方程的两个根故等号可以取得综上所述的最大值为故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握复数基础知识和不等式求最值的方法考查了分析能力解析：52【分析】因为,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，由()22211|||2|()22zw zw z w z w ==+-+，即可求得答案. 【详解】,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，∴()2222221115|||2|()()|||2222zw zw z w z w z w z w ⎡⎤==+-+≤+++=⎣⎦ 当且仅当2()z w +和22z w +共线其方向相反是等号成立 如221.4z w z w +=+=-.,z w 是方程2502x x -+=的两个根 13132222z w i =+=-， 故等号可以取得综上所述，zw 的最大值为52. 故答案为：52. 【点睛】本题解题关键是掌握复数基础知识和不等式求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15．【解析】【分析】由余弦定理可得故【详解】如图在三角形中由余弦定理得同理可得故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算借助于余弦定理是解决问题的关键属中档题 解析：1337【解析】 【分析】由余弦定理可得12||19Z Z +=，12||7Z Z -=，故12121212||133||||7z z z z z z z z ++==-- 【详解】如图在三角形OAC 中由余弦定理得2212||||23223cos12019Z Z OB +==+-⨯⨯⨯︒=， 同理可得2212||||23223cos607Z Z CA -==+-⨯⨯⨯︒=，∴12121212||19133||||77z z z z z z z z ++===--. 故答案为：1337【点睛】本题主要考查复数的运算，借助于余弦定理是解决问题的关键，属中档题．16．【分析】由两个复数差的模的几何意义得从而求得的最大值【详解】因为复数满足所以即所以答案【点睛】考查复数的模解题的关键是表示出 5+1【分析】由两个复数差的模的几何意义得()222,z z i z i z i =-+=--≥-- 从而求得z 的最大值． 【详解】因为复数z 满足21z i -+=，所以()222,z z i z i z i =-+=--≥--即 21z i --≤，2z i ≤-【点睛】考查复数的模，解题的关键是表示出z .17．【解析】分析：由题意利用共轭复数的定义和复数的运算法则计算求解即可求得的值详解：由题意可得：点睛：本题主要考查共轭复数的概念复数的四则混合运算等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：151313i -+ 【解析】分析：由题意利用共轭复数的定义和复数的运算法则计算求解即可求得1iz+的值. 详解：由题意可得：()()()()123111515232323131313i i i ii i z i i i ++++-+====-+--+. 点睛：本题主要考查共轭复数的概念，复数的四则混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零虚部不为零从而可求利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求的值【详解】所以故答案为：【点睛】本题考查复数的概念同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确理解 解析：7-【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零，虚部不为零，从而可求43cos 0,sin 055θθ-=-≠，利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】4333cos 0,sin 0sin tan 5554θθθθ-=-≠⇒=-⇒=-, 所以tan 4πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭3147314--=--, 故答案为：7-. 【点睛】本题考查复数的概念、同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确，理解纯虚数的概念是关键，本题为中档题.19．4【解析】由已知设则解析：4 【解析】由已知z C ∈，1z =，设()22,,1,1z a bi a b R a b a =+∈∴+=≤ 则()222222|211|121224z z z a b a a b a ++=+=++=+++=+≤20．1【解析】复数z 满足|z+3i|+|z−3i|=6∴z 的几何意义是以A(03)B(0−3)为端点的线段AB 则|z+1+i|=|z−(−1−i)|的几何意义为AB 上的点到C(−1−1)的距离则由图象知解析：1 【解析】复数z 满足|z+3i|+|z−3i|=6，∴z 的几何意义是以A(0,3),B(0,−3)为端点的线段AB ，则|z+1+i|=|z−(−1−i)|的几何意义为AB 上的点到C(−1,−1)的距离， 则由图象知C 到线段AB 的距离的最小值为1，三、解答题21．（1）132z =-；（2）3； 【分析】（1）由题设(),z a bi a b R =+∈，通过复数的运算求出的代数形式的表示解方程组即可；（2）实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根互为共轭复数，利用根与系数的关系求出a ，b,c 的关系，从而求出||||||a b c ++的最小值． 【详解】（1）设(),z a bi a b R =+∈则()()2232215i i a b ai i --++==-，故2211221a a b a b ⎧=-⎪⎧+=⎪∴⎨⎨=-⎩⎪=±⎪⎩故122z =-± （2）由题0,1,1b c a a a≠-=-=，且22=430b ac a ∆-=-< ,又系数为整数， 则||||||=||||||3||3a b c a a a a ++++=≥，则||||||a b c ++的最小值为3【点睛】本题考查实系数一元二次方程的解，考查根与系数的关系，是基础题22．【解析】【分析】(1) 因为12x i =+是方程的根,代入方程化简即可求得p q 、的值,即可求得p q +的值;(2) 根据22p q +=，代入原式的系数化为q 的方程,由判别式的情况即可求得q 的取值范围,而两个根的乘积记为q ,即可求得q 的最大值.【详解】(1) 因为12x i =+是方程20x px q -+=的根代入得()()212120i p i q +-++=化简可得()3420q p p i --+-= 则30420q p p --=⎧⎨-=⎩解方程求得25p q =⎧⎨=⎩ 所以7p q +=(2) 因为22p q +=，则22p q =-所以原方程可化为()2220x q x q --+= 由韦达定理可知方程的两个根之积为q判别式()()22224431q q q q --=-∆+= 当0∆≥时,方程有两个实数根,所以()24310q q -+≥解不等式可得32q -≥或32q --≤ 当∆<0时,方程有两个互为共轭复数的复数根当q ≥,当q ≤综上可知q【点睛】本题考查一元二次方程的复数根的概念和运算,韦达定理的基本应用,属于基础题. 23．()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+【分析】配方为()()()222422262531634x x x x i -+=-+=--，由()2234i i ±=±结合平方差公式即可求得答案.【详解】 ()2234i i -=-，()2234i i +=+，()()()()()222422222625316343434x x x x i x i x i ∴-+=-+=--=---+()()()()222222343422x i x i x i x i ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+--=-+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+=.故答案为()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+.【点睛】本题考查在复数范围内进行因式分解，充分利用平方差公式进行分解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.24．(1). (2).【解析】试题分析：（1）设 ，用表示出和，再由和均为实数就可求出的值，从而求得复数；（2）由（1）的结果代入，算出，进而就可求出其模来.试题 （1）设，所以为实数，可得， 又因为为实数，所以，即． （2），所以模为， 考点：1.复数的有关概念；2.复数的除法．25．见解析【详解】假设存在这样的复数， 则原方程化简为()()21113z i z i z i +--+=-设z x yi =+代入上述方程得222213x y xi yi i +--=-221{223x y x y +=∴+=方程组无实数解 ∴假设不成立，即原方程在复数范围内无解.考点：反证法及复数运算点评：当直接证明不易时考虑反证法，先假设所要证明的反面成立，借此来推出矛盾，从而肯定原结论成立26．（2，6）【解析】试题分析：设出复数的代数形式，整理出代数形式的结果，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．代入复数()2z ai +，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果试题设z ＝x ＋yi （x 、y ∈R ），所以z ＋2i ＝x ＋（y ＋2）i ，由题意得y ＝－2． 因为2z i -＝22x i i --＝15（x －2i ）（2＋i ）＝15（2x ＋2）＋15（x －4）i ．由题意得x ＝4， 所以z ＝4－2i ．所以（z ＋ai ）2＝（12＋4a －a 2）＋8（a －2）i ，由于（z ＋ai ）2在复平面上对应的点在第一象限，所以()21240820a a a ⎧+->⎪⎨->⎪⎩解得2＜a ＜6， 故实数a 的取值范围是（2，6）．考点：复数运算及对应的点。