(易错题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)(3)

一、选择题1．1z 2z 是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若22120z z +>，则2212z z >- B．12||z z -=C ．22121200z z z z +=⇔==D ．2211||||z z =2．若i 是虚数单位，则复数11ii+=-（ ） A ．-1 B ．1C ．i -D ．i3．定义运算,,a b ad bc c d=-，则符合条件,10 ,?2z i i i+=-的复数 z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段6．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB所对应的复数为( ) A ． 42i ＋B ． 42i -C ． 42i --D ． 42i -+7．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 8．若复数1a iz i+=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12-9．设(2)34,i z i +=+ 则z =（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -10．“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知复数()()211i a bi i -+=+（i 是虚数单位，,a b ∈R ），则a b +=（ ）A ．2-B ．-1C ．0D ．2二、填空题13．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z 为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号） 14．已知复数()(()()3422312i iz i i +-=++，那么复数z 的模为______.15．已知复数z 的模为1，则2z +的最大值为__________.16．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 17．已知R b ∈，若()()12bi i +-为纯虚数，则1bi +=________． 18．已知复数z x yi =+，且23z -=，则yx的最大值为__________． 19．已知复数242(1)iz i +=+（i 是虚数单位），在复平面内对应的点在直线20x y m -+=上，则m =__________． 20．已知虚数z 满足等式，则z=________三、解答题21．在复平面内，复数222(34)z a a a a i =--+-- （其中a R ∈）. （1）若复数z 为实数，求a 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求a 的值；（3）对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．22．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x 、n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）证明：当41n k =+（*k ∈N ）时，1//n OZ OZ ； （3）求数列{}n n x y ⋅的前100项之和.23．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n n x y ⋅的前102项之和.24．已知复数1()2iaz a =+∈+R . （I ）若z ∈R ，求复数z ；（II ）若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围. 25．已知复数(),z a bi a b R =+∈满足3z i +为实数，2zi-为纯虚数，其中i 是虚数单位. （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数()2125z z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.26．已知复数z 满足(1)13i z i +=-（i 是虚数单位）. （1）求复数z 的虚部；（2）若复数(1)ai z +是纯虚数，求实数a 的值； （3）若复数z 的共轭复数为z ，求复数1zz +的模.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】举反例12z i =+，22z i =-可判断选项A 、B ，举反例11z =，2z i =可判断选项C ，设1z a bi =+，(),a b R ∈，分别计算21||z 、21||z 即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：取12z i =+，22z i =-，()221232z i i =+=+，()222232z i i =-=-，满足221260z z +=>，但21z 与22z 是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确； 对于选项B ：取12z i =+，22z i =-，12||22z z i -==，==B 不正确；对于选项C ：取11z =，2z i =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠，故选项C 不正确；对于选项D ：设1z a bi =+，(),a b R ∈，则()222212z a bi a b abi =+=-+2221z a b ===+，1z a bi =-，1z =，所以2221z a b =+，所以2211||||z z =，故选项D 正确.故选：D.2．D解析：D 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项.3．B解析：B 【解析】 由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i+=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22iz =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 4．C解析：C 【分析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+， 若20>z ，则0a =或0b =， 当0a =时，220z b =->不存在， 当0b =时，220z a =>即0a ≠， 所以若20>z ，则z 是非零实数； 若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹. 【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．C解析：C 【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数. 【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒-22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C 【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.7．A解析：A 【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解． 【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+，则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．A解析：A 【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】()()()()()i 1i 11ii 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9．D解析：D 【解析】分析：先根据复数除法法则求z ，再根据共轭复数定义得.z 详解：因为()234,i z i +=+所以3410522,25i iz i z i i ++===+∴=-+ 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 10．C解析：C 【解析】分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可. 详解：复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则：2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，即：011x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件本题选择C 选项.点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi12．A解析：A 【解析】分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()()()()2121222111112i i i i i i ii i i ------====--+++-， 结合题意可得：1a bi i +=--，即：1,1a b =--=-，据此可得：2a b +=-. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．⑧【分析】根据复数的定义和性质依次判断每个选项得到答案【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小①错误；②复数对应的点在第二象限②错误；③若是纯虚数则实数③错误；④若不能得到举反例④错误；⑤复数为纯虚数解析：⑧ 【分析】根据复数的定义和性质，依次判断每个选项得到答案. 【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小，①错误； ②复数1z i =-对应的点在第二象限，②错误；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =，③错误；④若()()2212230z z z z -+-=，不能得到123z z z ==，举反例1231,0,z z z i ===，④错误；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充分不必要条件，⑤错误； ⑥复数12120z z z z >⇔->，取122,z i z i =+=，不能得到12z z >，⑥错误； ⑦复数z 满足22z z =，取zi ，22z z ≠，⑦错误；⑧复数z 为实数z z ⇔=，根据共轭复数定义知⑧正确. 故答案为：⑧. 【点睛】本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.14．【分析】由模长性质求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查模长的性质若则若则属于基础题型【分析】由模长性质求解即可. 【详解】 因为()34i z +=,故z ===. 【点睛】本题主要考查模长的性质,若12z z z =,则12z z z =.若12z z z =⋅,则12z z z =⋅.属于基础题型. 15．3【分析】设复数复数的模为1表示以原点为原点1为半径的圆而表示的是圆上的点到点的距离因此其最大值求出即可【详解】设复数复数的模为1表示以原点为原点1为半径的圆∴即表示的是圆上的点到点的距离因此的最大解析：3 【分析】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，而()22z x yi +=++表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离，因此其最大值OP R =+，求出即可．【详解】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，∴()22z x yi +=++=即表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离， 因此2z +的最大值为213OP R +=+=， 故答案为3. 【点睛】本题考查了复数形式的圆的方程及两点间的距离公式、点与圆上的点的距离的最大值问题，考查了推理能力，属于中档题．16．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实解析：5 【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5 【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b a bi -17．【详解】试题分析：为纯虚数；考点：1复数的分类；2复数的模长；【详解】试题分析：()()12=2(21)bi i b b i +-++-为纯虚数，=2b ⇒-，112bi i ⇒+=-；考点：1．复数的分类；2．复数的模长；18．【分析】根据复数z的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：【点睛】解析：【分析】根据复数z的几何意义以及yx的几何意义，由图象得出最大值.【详解】复数z x yi=+且23z-=，复数z的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆22(2)3x y-+=.yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：max331yx⎛⎫==⎪⎝⎭即yx33【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.19．-5【详解】分析：利用复数的运算法则可得z=1﹣2i再利用复数的几何意义可得其对应的点代入直线x﹣2y+m=0即可得出详解：∵复数z==所对应的点为（1﹣2）代入直线x﹣2y+m=0可得1﹣2×（﹣解析：-5【详解】分析：利用复数的运算法则可得z=1﹣2i，再利用复数的几何意义可得其对应的点，代入直线x﹣2y+m=0即可得出．详解：∵复数z=()2421ii ++=()24+22122i i i i i i i i i-++===--⋅所对应的点为（1，﹣2），代入直线x ﹣2y+m=0，可得1﹣2×（﹣2）+m=0，解得m=﹣5． 故答案为-5.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、点与直线的位置关系，属于基础题．复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.20．【解析】试题分析：设则所以即考点：复数的相等 解析：12i +【解析】试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则22()()316z z a bi a bi a bi i -=+--=+=+，所以1{36a b ==，12a b =⎧⎨=⎩，即12z i =+． 考点：复数的相等．三、解答题21．（1）1a =-或4；（2）2a =；（3）()2,4 【分析】（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果 【详解】（1）因为复数z 为实数，所以2340a a --=， 所以1a =-或4；（2）因为复数z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，所以2a =（3）因为z 对应的点在第四象限，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--<⎩解不等式组得，24a <<， 即a 的取值范围是()2,4. 【点睛】本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．（1）217z i =-+，386z i =-+，4142z i =--（2）证明见解析（3）10012- 【解析】 【分析】 （1）利用1(1)n n z i z +=+，134z i =+，即可得出；（2）由已知1(1)n n z i z +=+，得11(1)n n z i z -=+，当41n k =+时，1(1)(4)n k i -+=-，即可证明；（3）由44(1)4n n n z i z z +=+=-，可得44n n x x +=-，44n n y y +=-，4416n n n n x y x y ++=，即可得出． 【详解】（1）2(1)(34)17z i i i =++=-+，386z i =-+，4142z i =--；（2）由已知1(1)n n z z +=+⋅i ，得11(1)n n z i z -=+⋅，当41n k =+时，14(1)(1)(4)n k k i i -+=+=-，令(4)kλ=-，则1n z z λ=⋅，即则存在非零实数(4)kλ=-（*k ∈N ），使得1n OZ OZ λ=. 所以，当41n k =+（*k ∈N ）时，1//n O Z Z O ；（3）因为44(1)4n n n z i z z +=+=-，故44n n x x +=-，44n n y y +=-，所以4416n n n n x y x y ++=，又1112x y =，227x y =-，3348x y =-，4428x y =，1122331001001122334455667788()()x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++=+++++++979798989999100100()x y x y x y x y +++++25100116(1274828)12116-=--+⋅=--，所以数列{}n n x y 的前100项之和为10012-. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、向量共线定理、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（1）217z i =-+，386z i =-+，4142z i =--.（2）存在，41n k =+，k ∈N .（3）10212+ 【分析】（1）根据()11n n z i z +=+⋅，依次代入1,2,3n =计算即可得到结果； （2）根据平行关系可知1n z z λ=⋅，从而得到()11n i λ-+=为实数，根据复数乘方运算可知1n -为4的倍数，进而得到结果；（3）由44n n z z +=-可知4416n n n n x y x y ++=，利用此特点化简所求式子，结合等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）()()213417z i i i =++=-+；()()311786z i i i =+-+=-+；()()4186142z i i i =+-+=--.（2）若1//n O Z Z O ，则存在实数λ，使得1n OZ OZ λ=，故1n z z λ=⋅即()()11,,n n x y x y λ= 又()11n n z i z +=+，故()111n n z i z -=+，即()11n i λ-+=为实数故1n -为4的倍数，即14n k -= 41n k ∴=+，k ∈N （3）()4414n n n z i z z +=+=-，故44n n x x +=-，44n n y y +=- 4416n n n n x y x y ++∴=又1112x y =，227x y =-，3348x y =-，4428x y =()()1122331001001122334455667788x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ∴+++⋅⋅⋅+=+++++++()979798989999100100x y x y x y x y +⋅⋅⋅++++()25100116127482812116-=--+⨯=--又251001011011116122x y x y ==⨯，25100102102221672x y x y ==-⨯所以数列{}n n x y 的前102项之和为：100100100102121227212-+⨯-⨯=+ 【点睛】本题考查复数知识的综合应用问题，涉及到复数的乘法和乘方运算、复数运算的周期性、等比数列求和的问题；关键是能够灵活运用复数乘方运算的特点，将所求式子转化为类似周期运算的形式，从而将所求式子化简，利用等比数列求和的方法求得结果. 24．（1）2z =；（2）()0,5. 【解析】 试题分析： (1)由题意计算可得2555a a z i -=+,若z R ∈，则5a =，2z =. (2)结合(1)的计算结果得到关于实数a 的不等式，求解不等式可得a 的取值范围为()0,5. 试题 （1）()225555a i a az i i --=+=+,若z R ∈，则505a -=，∴5a =，∴2z =. （2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则205a >且505a ->， 解得05a <<，即a 的取值范围为()0,5.25．（1）32a =-；3b =-；（2）34m << 【分析】（1）根据3z i +为实数，求得3b =-，利用复数的除法运算法则，化简2zi-，利用其为纯虚数，求得32a =-； （2）将所求值代入，确定出()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据其在复平面内对应的点在第四象限，列出不等式组，求得结果. 【详解】（1）因为()33z i a b i +=++为实数，所以3b =-， 因为()()()()()()32236322225a i i a a i z a i i i i i -+++--===---+为纯虚数， 所以32a =-． （2）332z i =--，332z i =-+，所以()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，所以2320220m m ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解之得34m << 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的分类，复数在复平面内对应点的位置，属于简单题目. 26．（1）2-；（2）12；（3【分析】（1）131iz i-=+ ，利用四则法则计算； （2）利用复数(1)ai z +是纯虚数，则可知实部为零得到a 的值（3）利用因为z 的共轭复数为12z i =-+，计算复数1zz +和其模. 【详解】（1）因为(1)13i z i +=-，∴13121iz i i-==--+， 则12z i =--，复数z 的虚部为2- （2）因为复数(1)ai z +是纯虚数，则(1)(12)12(2)ai i a a i +-=++-∴120a += 实数a 的值为12（3）因为z 的共轭复数为12z i =-+，复数1112z i z =--+，12z z =+， 【点睛】本题考查复数的代数运算，基本概念，属于基础题型，本题重点复数的四则运算.。