(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34± B ．43 C ．34- D ．43- 2．设复数z 满足()11z i z =--，则z =（ ）A ．1 BCD ．23．已知i 为虚数单位，复数21i z =+，则z z -等于（ ） A ．2 B ．2i C ．2i - D ．04．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数B ．若1z 、2zC ∈且120z z ->，则12z z > C ．若z R ∈，则2z z z ⋅=不成立D ．若x C ∈，则方程3x 2=只有一个根 5．若复数z 满足(12)5z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i -- 6．已知复数212i z i -=+，则z =（ ） A ．43i + B ．43i - C ．i - D ．i7．若复数z 满足()2117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i -- 8．复数z 满足2z i =，则下列四个判断中，正确的个数是①z 有且只有两个解； ②z 只有虚数解；③z 的所有解的和等于0； ④z 的解的模都等于1；A ．1B ．2C ．3D ．49．已知a ∈R ，复数12i z a =+，212i z =-，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为( ) A ．1B ．iC ．25D ．0 10．已知复数21i z =-+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i +11．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ．(1)i i +B ．2(1)i +C ．2(1)i i +D ．2(1)i i +12．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(2)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题13．已知||1z =且z C ∈，则|22i |z --（i 为虚数单位）的最小值是________14．()20173i +-=________. 15．已知虚数()(2),z x yi x y R =-+∈，若1z =，则y x的取值范围是_______ 16．若复数z 满足||1z i -=（i 是虚数单位），则z 的模的取值范围是________. 17．若复数z 满足1192z z z z ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且110z z z z ⎛⎫⎛⎫-⋅-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则z =__________． 18．已知i 为虚数单位，计算1i 1i -=+__________． 19．已知复数z 满足21z i i =++，则z 的共轭复数z=__________. 20．设复数1=-i z i，则z =_____________． 三、解答题21．已知复数1(21),z x i =++2(2)z y y i =+-.（1）若12z z =，且,x y R ∈，求1z 和1z ； （2）若12z z =，且x ∈R ，y 为纯虚数，求1z .22．(1)，求实数a 的值； (2)若复数z ＝21i i -，求|z ＋3i|. 23．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+. （1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.24．已知z 是复数，121z z ==，12z z +=12z z -.25．设复数2(1)3(1)2i i z i++-=+，若21z az b i ++=+，求实数,a b 的值. 26．化简、求值(1)3(1)(2)i i i --； (2)21(1)i i -+－21(1)i i +-； (3)2013＋2013.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果.【详解】 若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠， 所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-， 所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-． 故选C ．【点睛】 本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.2．A解析：A【解析】【分析】由已知可得()11i z i +=-+，变形后再由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.【详解】由()11z i z =--，得()11i z i +=-+，()()()()11121112i i i i z i i i i -+--+∴====++-，则1z =. 故选A.【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.3．C解析：C【解析】∵ 22(1)112i z i i -===-+，∴ 1(1)2z z i i i -=--+=-，故选C. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．4．A解析：A【分析】根据复数的有关定义和性质，对各选项进行判断即可．【详解】对A ，设(),z a bi a b R =+∈，20z <即2220a b abi -+<，因为虚数不能直接比较大小，所以220a b -<且0ab =，即0a =，0b ≠，故z 一定是纯虚数，A 正确；对B ，虚数不能直接比较大小．虽然()()2110i i +-+=>，但是21i i +>+不成立，所以B 错误；对C ，若z R ∈，设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，222z z z a b ⋅==+成立，所以C 错误；对D ，若x C ∈，则方程3x 2=有三个根，所以D 错误．故选：A ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的辨析和性质的理解，属于基础题．5．B解析：B【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由(12)5z i +=，得55(12)1212(12)(12)i z i i i i -===-++-，12z i ∴=+.故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．C解析：C【解析】【分析】由题意利用复数除法的运算法则计算z 的值即可.【详解】2(2)(12)512(12)(12)5i i i i z i i i i ----====-++-， 故选C ．【点睛】对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.7．B解析：B【分析】根据复数的运算，求得35z i =+，再根据共轭复数的概念，即可曲解．【详解】由复数z 满足()2117z i i -=+，即()()()()11721171525352225i i i i z i i i i ++++====+--+， 所以35z i =-，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 8．D解析：D【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则求得z 的值，然后考查所给的说法是否正确即可.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则()2222z a b abi =-+，结合题意可得：22021a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即22z =+或22z =--. 考查题中说给的四个说法：①z 有且只有两个解正确；②z 只有虚数解正确；③z 的所有解的和等于0正确；④z 的解的模都等于1正确；即四个判断中，正确的个数是4.本题选择D 选项.【点睛】 本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A【分析】 先化简12z z ，利用12z z 为纯虚数，实部为零，可求得a 的值，进而求得12z z 的虚部. 【详解】 依题意可知()()()()()122i 12i 224i 2i 12i 12i 12i 5a a a z a z ++-+++===--+为纯虚数，故220,1a a -==，故虚部为4115+=. 【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除法，考查复数实部和虚部的概念及其应用.属于基础题. 10．C解析：C【解析】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--，则z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误；z 的虚部为1-，选项C 正确；z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B【解析】分析：首先将选项当中的每个复数都算一遍，求得结果，根据纯虚数的定义，找到结果. 详解：(1)1i i i +=-+，2(1)2i i +=，2(1)1i i i +=--，22(1)22i i i +==-， 通过比较可以知道，只有2i 为纯虚数，故选B.点睛：该题所考查的是有关复数的问题，在解题的过程中，利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断结论.12．D解析：D【解析】不妨设(0,0)O∵(2,2)OC =，(2cos ,2sin )CA αα=．∴(2,2)C 、(22,22sin )A cos αα++．∴点A 在以(2,2)为圆心半径为2的圆上．∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角．设:OA l y kx =∴22121k d r k -=≤=+．即2410k k -+≤，则[23,23]k ∈-+．又∵π23tan 12-=，523tan π12+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．故选D ．二、填空题13．【分析】设根据复数的几何意义分析即可【详解】设因为故即在复平面内是在以原点为圆心1为半径的圆上又几何意义为到的距离故最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的运用属于基础题解析：1【分析】设z x yi =+,根据复数的几何意义分析即可.【详解】设z x yi =+,因为||1z =,故221x y +=,即z 在复平面内是在以原点为圆心,1为半径的圆上. 又()|22i ||22i |z x y --=-+-=几何意义为(),x y 到()2,2的距离.11=.故答案为：1【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的运用,属于基础题.14．【分析】根据复数的除法及复数的乘方计算可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查复数的代数形式的运算属于中档题解析：42i +【分析】根据复数的除法及复数的乘方计算可得.【详解】解：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =17441i i i ⨯+∴== ()111i i +=+，()221122i i i i +=++=()()()102021010101011222i i i i ⎡⎤∴+=+==⨯=-⎣⎦()20173i ++-()()()2020113i i i--+=++-(()2210220122312i ii ---=++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1010232i i -=++- 42i =+故答案为：42i +【点睛】本题考查复数的代数形式的运算，属于中档题.15．【分析】根据复数的模利用模长公式得：根据表示动点与原点连线的斜率根据直线与圆相切的性质得到结果【详解】复数的模为1根据表示动点到定点的斜率知：的最大值是同理求得最小值是如图所示：的取值范围是故答案为 解析：3[3-，3]3． 【分析】根据复数的模，利用模长公式得：22(2)1x y -+=，根据y x表示动点(,)x y 与原点(0,0)连线的斜率．根据直线与圆相切的性质得到结果．【详解】复数(2)(x yi x -+，)y R ∈的模为1， 22(2)1x y ∴-+=根据y x表示动点(,)x y 到定点(0,0)的斜率知： y x 的最大值是33，同理求得最小值是33-， 如图所示：∴y x的取值范围是3[3] 故答案为：3[3． 【点睛】本题考查复数求模，考查直线和圆的位置关系，解答关键是根据复数的模长公式，得到x ，y 所满足的条件，根据条件作出图形利用数形结合的方法求解．16．【分析】由题意画出图形数形结合可得答案【详解】解：由可得在复平面内对应点在以为圆心以1为半径的圆上如图则圆上的点到原点的距离的最小值为最大值为根据复数的模的几何意义可得复数的模的取值范围是故答案为： 解析：[0,2]【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．【详解】解：由||1z i -=，可得z 在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，以1为半径的圆上， 如图，则圆上的点到原点的距离的最小值为0，最大值为2，根据复数的模的几何意义可得，复数z 的模的取值范围是[0,2]，故答案为：[0,2]．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．17．或【分析】直接展开利用多项式乘多项式的方法求解【详解】由得即得或又得即或都满足故答案为：或【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算考查复数模的求法是基础题 解析：222【分析】 直接展开,利用多项式乘多项式的方法求解．【详解】 由1192z z z z ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1922z z z z ⋅++=⋅ 即2215||||2z z +=，得2||2z =或||2z = 又110z z z z ⎛⎫⎛⎫-⋅-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得12z z z z ⋅+>⋅. 即221||2||z z +>，2||z =或||2z =.故答案为：22或2 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．18．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解.详解：复数1i (1)(1)2i i 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi19．1-3i 【解析】分析：先求出复数z 再求复数z 的共轭复数详解:由题得所以复数z 的共轭复数为1-3i 故填1-3i 点睛：本题主要考查复数的运算与共轭复数的概念属于基础题解析：1-3i【解析】分析：先求出复数z,再求复数z 的共轭复数.详解:由题得(1)2+i =1+3z ii =+（）， 所以复数z 的共轭复数为1-3i.故填1-3i.点睛：本题主要考查复数的运算与共轭复数的概念，属于基础题.20．【解析】试题分析：因为所以故应填考点：复数的基本概念及其运算 解析：． 【解析】试题分析：因为1iz i=-，所以z =，故应填． 考点：复数的基本概念及其运算．三、解答题21．（1）11z i =-+，12z =（2）11z i =-+ 【分析】 （1）直接由两复数相等的条件列式求得x ，y 值，则1z 可求，再由复数模的个数求1||z ； （2）设()y bi b R =∈，得2(2)(2)z bi bi i b b i =+-=++，再由12z z =列式求解． 【详解】（1）1(21),z x i =++2(2)z y y i =+-. 又12z z =，且,x y R ∈，210121x y x y y ⎧+==⎧∴⇒⎨⎨=-=⎩⎩， 11z i ∴=-+，12z =（2）y 为纯虚数，设()y bi b R =∈2(2)(2)z bi bi i b b i ∴=+-=++211121x b x b b ⎧+==-⎧∴⇒⎨⎨=+=-⎩⎩， 11z i ∴=-+.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，属于基础题．22．(1)2-;(2)5.【解析】分析：(1)根据复数乘法，转化为两个复数相等，再根据复数相等得实数a 的值；（2）先化简z ，再求共轭复数，代入化简，最后根据复数的模求结果.详解：（1）由题意可知2+ai=-i(1+i)=-i-(i)2=2-i.故a=-. （2）因为z===i(1+i)=-1+i ， 所以=-1-i ，所以+3i=-1+2i ，故|+3i|=|-1+2i|=.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi23．（1；（2）7a =-，13b =-．【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴z = （2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-． 考点：复数的计算．24．1【分析】画出12,z z 对应的图象，根据复数加法的几何意义确定12,OZ OZ 的夹角，由此确定12z z -的大小.【详解】由于121z z ==，故12,z z 对应的点12,Z Z 在单位圆上，根据12z z +=可知以12,OZ OZ 为邻边的平行四边形为菱形，对角线相互垂直平分，且一条对角线长OA =111OZ AZ ==,所以11π6Z OA Z AO ∠=∠=，根据菱形的性质可知12OZ Z ∆是等边三角形，故1212121z z Z Z OZ OZ -====.【点睛】本小题主要考查复数的几何意义，考查复数加法和减法的模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.25．34a b =-⎧⎨=⎩【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ,然后把z 代入21z az b i ++=+,整理后利用复数相等的条件可求得,a b 的值.【详解】()()()()21313235512255i i i i i i z i i i ++-----=====-++， ()()()221121z az b i a i b a b a i i ∴++=-+-+=+-+=+，121a b a +=⎧∴⎨+=-⎩，解得34a b =-⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,两个复数相等,当且仅当实部等于实部,虚部等于虚部,是基础题.26．（1）3＋i ；（2）－i ；（3）2-【分析】(1)利用复数的乘除运算法则以及i的性质解答即可；(2) 利用复数的乘除运算法则以及复数的乘方运算解答即可；(3) 利用复数的乘除运算法则以及复数的乘方运算解答即可【详解】(1)原式＝22113i i ii i----=--＝3＋i；(2)原式＝12ii-－12ii+-＝222ii i=＝－i；(3)12i×2×1006＋×2×1006 12i×(－i)1006＋×i100612i×(－1)503×(－1)503【点睛】方法点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.。