12静力非线性
非线性静力分析需求谱建立方法的两点改进
＋＆ ＋ （ ｓ ｎ ） ， ｇｘ ＝一 ｉ （） ｔ （） ６
法， 采用弹塑性反应谱代替等效高阻尼弹性反应谱 ． 目前常用的有等延性强度需求谱和等强度延性需求 谱两种不同的弹塑性反应谱 ． 以往估计 结构 的 目 标 位移 ， 一般采用等延性强度需求谱 的统计结果反推 出结构的延性系数 ， 文献 ［］ ４采用等强度延性谱来估
中． 非线性静 力分析 的研 究 目前有若干分析 方法， 这些方 法在 结构能 力曲线建 立 的方法上是 相 同的 ， 即首先建 立力 一位移 曲 线， 然后转化为承载力谱 ， 但是在 需求 曲线 的建 立上各有不 同． 通过介绍几种典 型的非 线性静力 分析 需求谱 建立方法 ， 出其 指 和原有的需求谱建立方法的 不同和 改进之 处 ．
用等延性强度需求谱 的统计结果反推出结构 的延性 系数 ． 文献［ ］ ４ 认为直接采用等强度延性谱来估计地 震位移需求 ， 更加方便 、 简单 ， 且计算精度也更高 ．
１ 考虑高振 型特性的影响
１ １ 多 自由度弹性 体 系高振 型分 析 ． 多 自由度体 系 在地震 力作 用 下 的振 动反 应可 由 公 式 （） １表示
系数 ． 得
（） ２ 采用等强度延性谱来估计地震位移需求 ． 等延性强度需求谱和等强度延性需求谱是两种不同
的弹塑性反应谱 ． 以往估计结构的 目 标位移 ， 一般采
收 稿 日期 ：Ｏ ８ ３ ｌ ２Ｏ —０ 一ｌ
作者简介 ： 朱星平 （ ６ 一 ， ， １ ５ ） 江西省修水县人 ， ９ 男 江西修水建筑设计院一级注册结构师 ， 工程师 ， 研究方 向为建筑结构设计
（） ｔ ：∑
ｎ Ｉ
（） ｔ
静力弹塑性分析(Pushover分析)两种方法剖析
静力弹塑性分析(Pushover 分析)■ 简介Pushover 分析是考虑构件的材料非线性特点，分析构件进入弹塑性状态直至到达极限状态时结构响应的方法。
Pushover 分析是最近在地震研究及耐震设计中经常采用的基于性能的耐震设计(Performance-Based Seismic Design, PBSD)方法中最具代表性的分析方法。
所谓基于性能的耐震设计就是由用户及设计人员设定结构的目标性能(target performance)，并使结构设计能满足该目标性能的方法。
Pushover 分析前要经过一般设计方法先进行耐震设计使结构满足小震不坏、中震可修的规X 要求，然后再通过pushover 分析评价结构在大震作用下是否能满足预先设定的目标性能。
计算等效地震静力荷载一般采用如图2.24所示的方法。
该方法是通过反应修正系数(R)将设计荷载降低并使结构能承受该荷载的方法。
在这里使用反应修正系数的原因是为了考虑结构进入弹塑性阶段时吸收地震能量的能力，即考虑结构具有的延性使结构超过弹性极限后还可以承受较大的塑性变形，所以设计时的地震作用就可以比对应的弹性结构折减很多，设计将会更经济。
目前我国的抗震规X 中的反应谱分析方法中的小震影响系数曲线就是反应了这种设计思想。
这样的设计方法可以说是基于荷载的设计(force-based design)方法。
一般来说结构刚度越大采用的修正系数R 越大，一般在1~10之间。
但是这种基于荷载与抗力的比较进行的设计无法预测结构实际的地震响应，也无法从各构件的抗力推测出整体结构的耐震能力，设计人员在设计完成后对结构的耐震性能的把握也是模糊的。
基于性能的耐震设计中可由开发商或设计人员预先设定目标性能，即在预想的地震作用下事先设定结构的破坏程度或者耗能能力，并使结构设计满足该性能目标。
结构的耗能能力与结构的变形能力相关，所以要预测到结构的变形发展情况。
所以基于性能的耐震设计经常通过评价结构的变形来实现，所以也可称为基于位移的设计(displacement-based design)。
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
有限元非线性分析
下表简要列出了线性和非线性有限元分析之间的主要不同。关于荷载-位移关系、应力-应变关系、应力-应变度量 等主要不同将在本章详细介绍。
序号 1.
特征 荷载-位移关系
2.
应力-应变关系
3.
比例缩放
4.
线性叠加
5.
可逆性
6.
求解序列
7.
计算时间
8.
用户与软件的交互
13.3 非线性的类型
2）对数应变和真实应力 对数应变/自然应变/真实应变是度量大应变的方法，计算公式如下：
它是非线性应变的度量，因此是关于最终长度的非线性函数。与线性应变相比，对数应变（或真实应变）是可加
的。考虑一个初始长度为1m的杆经过下面3步的变形： 第1步： 从1m 变形至1.2m 第2步：从1.2m 变形至1.5m 第3步：从1.5m变形至2m 在下表中我们比较了工程应变和真实应变。可以清楚地看到，只有真实应变是可加的，因此在非线性分析中应该
13.6 非线性静力分析的一般流程
一个典型的非线性静力分析项目需要以下步骤：
网格划分：有限元模型的创建是有限元分析一个非常重要的步骤，不论进行什么样的分析。在第4-7章已经讨论过对 于某些应用的如何选择适当的单元类型。FEA小组会得到零件的几何数据，需要对这些几何进行网格划分以得到零件 网格。当装配中所有的零件划分网格后，使用适当的连接单元把它们都连接在一起如CWELD或CBUSH。一般来说， 四边形单元和六面体单元优于三角形单元、楔形单元和四面体单元。应该注意模型中的关键特征，比如圆角、孔和倒 角。如果在两个平行表面之间有紧固件或焊接，应该尽量在两个面上创建相似的网格。这将有助于焊接单元或刚性单 元垂直于表面而不破坏壳单元。然而，许多有限元分析（FEA）代码支持不依赖于节点焊接，而是基于绑定接触。这 允许用户在两个焊接零件之间创建不依赖于节点的连接单元。建议首先对复杂零件进行网格划分，然后对简单或平面 几何进行网格划分以保证良好的单元质量。需要用适当的方式来模拟夹紧、铰接和焊接以在结构中正确地传递荷载。 为单元定义适当的刚度和预荷载以得到更高的精度。如果荷载从结构上的某个面传递到另一个面上，应该在两个面间 定义接触。每个FEA代码都有自己的接触参数输入格式。一个典型的接触定义需要主从节点或单元，摩擦系数，接触 面间的间隙和接触算法。
迈达斯之——静力弹塑性分析基本原理及方法
m i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i l图2.8.38 基于位移设计法的结构抗震性能评价m i d a s C i v i l示。
m i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i l1n λ- : 前一步骤(n-1)的荷载因子1λ : 第1荷载步的荷载因子nstep : 总步骤数i : 等差增量步骤号当前步骤的外力向量如下。
0n n λ=⋅P P(10)(3) 第3阶段: 最终步骤的荷载增量(n nstep =) 最终荷载步骤(nstep )的外力向量如下、0nstep nstep λ=⋅P P ; 1.0nstep λ= (11)图2.8.43 自动调整荷载步长的例题(荷载因子结果)m i d a s C i v i l2. 点击步长控制选项 > 增量控制函数定义步长控制函数m i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lm i d a s C i v i lATC-40中对不同结构响应类型规定了谱折减系数的下限值(参见表2.8.7)。
第9章 非线性静力平衡方程组的解法
移近似值
{δ i+1}= {δi }+ {∆δ }i+1
（9-19）
式（9-17）即表示切线刚度迭代的策略，直至满足收敛为止。
2．迭代流程
切线刚度迭代法和割线刚度法都为变刚度的迭代法。切线刚度迭代法要求
混凝土的非线性应力应变关系具备下列形式
{dσ } = [Dt (ε )]{dε }
式中[Dt(ε)]为切线弹性矩阵，为应变的函数。 实施切线刚度迭代的具体步骤如下：
3．中点刚度增量法（又称为中点龙格－库塔法） 这种方法首先以上一增量步分析结束时的切线刚度和一半的当前荷载增
量 0.5{∆Ri}计算中点节点位移增量{∆δi－1/2}以及中点位移{δi－1/2}
[ ]{ K i−1 ∆δ i−1/
2}
=
1 2
{∆Ri
}
（9-11）
{δ i−1/ 2} = {δ i} + {∆δi−1/2}
（9-1）
[K(δ )] = ∑ ∫ [B]T [D(δ )][B]dV
（9-2）
从式中可以看出结构整体刚度矩阵[K(δ)]与节点位移{δ}相关，也就是说在
分析过程中，随着单元节点位移的变化，其弹性矩阵[D(δ)]也将发生变化，进
而结构整体刚度矩阵中的元素也在不断发生着变化，以体现材料非线性所带
来结构性能的变化。针对钢筋混凝土结构而言，其具体体现为混凝土的开裂
二、切线刚度迭代法
1．方法描述
假设式的真实解为{δ*}，则非平衡力为零（由虚位移原理推导出来），式
（9-13）即变为
{Ψ(δ * )}= 0
（9-15）
若有一组近似解{δi}，将上式在{δi}处进行泰勒展开并舍去高阶项，则得
静力弹塑性分析原理
第4章 静力弹塑性分析原理4.1 概要4.1.1 非线性分析的目的非线性抗震分析方法可分为非线性静力分析方法和非线性动力分析方法。
非线性动力分析方法可以认为是比较准确的方法，但是因为分析时间较长并对技术人员理论水准有较高的要求，所以在实际工程上的普及应用受到了限制。
相反静力分析方法虽然在反映结构动力特性方面有所不足，但是因为计算效率较高和操作简单、理论概念清晰等原因被广大设计人员所普遍使用。
静力弹塑性分析又被称为Pushover 分析，是基于性能的抗震设计(Performance-Based Seismic Design, PBSD)中最具代表性的分析方法。
所谓基于性能的抗震设计是以某种目标性能(target performance)为设计控制目标，而不是单纯的满足规范要求的极限承载能力的设计方法。
其步骤是先按照规范要求进行抗震分析和构件设计，然后通过Pushover 分析获得结构的极限承载能力，最后通过非线性位移结果评价结构是否满足目标性能要求。
目前规范中推荐的基底剪力法和反应谱分析方法均为弹性分析方法，其评价标准是地震作用下的抗力不小于地震作用下产生的内力，这些方法也被称为基于荷载的设计方法。
而基于性能的设计方法则是使用与结构损伤直接相关的位移来评价结构的变形能力(耗能能力)，所以又被称为基于位移的设计(displa cement-based design)方法。
通过Pushover 分析可得如图4.1.1所示的荷载-位移关系曲线(能力谱)，根据结构耗能情况可得到非线性需求谱。
能力谱与需求谱的交点就是结构对于地震作用的性能点(performance point)。
性能点意味着结构对于地震作用所拥有的最大的非线性承载力和最大位移，该点在控制目标性能范围内则表示该结构满足了性能要求。
通过非线性分析可以了解结构具有的的极限承载能力和安全度。
Spectral DisplacementS p e c t r a l A c c e l e r a t i o nS ddesign图4.1.1 基于位移设计法的结构抗震性能评价4.1.2 静力弹塑性分析的抗震设计原理基于性能的抗震分析方法有下列四种。
PUSHOVER分析
静力非线性（Pushover）分析静力非线性（包括 pushover）分析是一个强有力的功能，仅提供在ETABS 非线性版本中。
除了为基于抗震设计性能执行 Pushover 分析外，此功能还可用于执行常规静力非线性分析和分段式（增加）构造的分析。
执行任何非线性将花费许多时间与耐性。
在执行静力非线性分析前，请仔细阅读下列全部信息。
要特别注意其中的重要事项。
非线性静力非线性分析中可以考虑几类非线性特征。
在框架/线单元中不连续的用户定义铰的材料非线性。
铰沿着任何框架单元长度指定到任何位置数上（参见线对象的框架非线性铰指定）。
非耦合弯矩、扭矩、轴力和剪力铰是有效的。
也有根据铰位置上的交互作用轴力和弯矩所屈服的耦合 P-M2-M3 铰。
在相同的位置可存在多于一种的铰类型。
例如，可以指定一个 M3（弯矩）和一个 V2（剪力）铰到框架单元的相同端部。
所提供的默认铰属性是基于 ATC-40 和 FEMA-273 标准的。
在连接单元中材料的非线性。
有效非线性特征包括沿任何自由角度的缝隙（仅压力）、hook（仅张力）、单轴塑性，以及两种基本隔震器类型（双轴塑性和双轴磨擦/摆动）（参见线对象的连接属性指定）。
连接阻尼属性在静力非线性分析中没有效应。
所有单元中的几何非线性。
可以选择仅考虑 P-△ 效应或考虑 P-△ 效应加上大位移（请参见几何非线性效应）。
大位移效应考虑变形配置的平衡，并允许用于大平移和旋转。
但是，每个单元中的应变被假设保留为小值。
分段（顺序）施工。
在每个分析工况中，可按阶段施工顺序添加或删除构件（请参见静力非线性分段施工）。
分析工况静力非线性分析可由任何数量的工况组成。
每个静力非线性工况在结构中可有不同的荷载分布。
例如：典型静力非线性分析可由三种工况组成。
第一种为结构应用重力荷载，其次为在结构的高度上应用一个横向荷载分布，第三种将在结构高度上应用另一个横向荷载分布。
静力非线性工况可从零初始状态开始，或从前一工况末的结果开始。
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目的是残差迭代至足够小, 即直到解收敛. 若收敛, 则解在允许的容差范围内平衡.
{F}
{Fnr}
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... 用线性求解器求解非线性
但 Newton-Raphson 法不能保证在所有情况下都收敛!
常数 K 代表结构刚度.
线性结构服从这种线性关系. 常见的例子是简单
弹簧:
F F
K
u
K
u
线性结构非常适合基于线性矩阵代数的有限元 分析方法.
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... 什么是非线性?
然而,当前无法显示此图像。
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… 非线性 FEA难点
一个典型的非线性分析包括以下内容：
外载荷 载荷步 (LS) 2
LS 1
一个或更多的载荷步来施加外部 载荷以及边界条件。（这对于线 性分析也同样适用。）
多个子步来逐渐施加载荷。每一 子步代表一个载荷增量。（线性 分析每一载荷步仅需要一个子步）
子步 “时间"
u 位移
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… 用线性求解器求解非线性
Newton-Raphson 法用下列方程迭代求解: [KT]{u} = {F} - {Fnr}
式中:
[KT] = 切向刚度矩阵 {u} = 位移增量 {F} = 外载荷矢量
时间步长决定了在一个子步中的载荷增量。时间步长越大， 载荷增量越大，因此时间步长对求解的精度有直接的影响。
ANSYS具有一个自动时间步长的功能，它会在一个载荷 步的所有子步中预测并控制时间步长
F 外载荷
t
1.0
2.0
“时间“
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并不意味着实际的时间。
外载荷
缺省情况下，在第一载荷步 末赋与时间为1.0，在第二载 荷步末赋与时间为2.0，以此 类推。
1.0
2.0
“时间"
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… 非线性 FEA难点
两个子步间的时间增量是时间步长t
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B.用线性求解器求解非线性
非线性分析中, 响应不能用一组线性方程式直接预报. 然而, 非线性结构可以用具有修正的线性逼近迭代系列进
行分析.
ANSYS 采用 Newton-Raphson方法 迭代. 每一次迭代
称为平衡迭代.
载荷
F 34
2
1
一个载荷增量的全 NewtonRaphson 迭代分析. (图所示 为四次迭代)
小或大变形
时间和时间步或子步 数
输出控制
施加载荷。 保存数据库。 求解。
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… 非线性分析基本过程
非线性建模有什么不同之处?
问题的属性影响非线性模型和线性模型的区别:
有的情况下没有区别! 有的情况必须包括特殊的非线性特征:
材料数据 (如塑性应力-应变数据). 特殊单元 (如接触单元).
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几何(大应变)
状态 (接触 / 不接触)
材料 (塑性变形)
铝挤压
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… 三类非线性
几何非线性
如果结构经历大变形, 则几何构形的改变会导致非线性行为.
该例中, 在轻微横向载荷作用下, 杆的端部是柔性的. 载荷增加时, 杆的几 何形状改变 (变弯), 力臂减小 (载荷移动), 引起杆的刚化响应.
F
载荷 收敛
F
U初始
u 位移
初始点在收敛半径外部
U初始u 位移
初始点在收敛半径内部
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... 用线性求解器求解非线性
如果初始构形在收敛半径外部, 有两种技术可帮助获得收 敛解:
F
F
F1
ustart
u
递增加载使目标更接近初始点
采用渐变加载. 采用小的时间步.
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C. 三类非线性
结构非线性由很多原因引起, 可归为三大类:
几何非线性 (大应变, 大挠度, 应力刚化) 材料非线性 (塑性, 超弹性, 蠕变) 状态改变非线性 (接触, 单元死活)
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E. 非线性分析的基本过程
和线性分析一样, 非线性分析的基本过程包括三 个主要步骤:
建模 求解 检查结果
本节主要讨论非线性分析的特殊细节— 非线性
分析的不同 之处.
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高级接触和螺栓预紧培训手册
高级结构非线性培训手册
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A. 什么是非线性?
17世纪, Robert Hooke 发现了力(F)和位移(u)
之间的简单线性关系, 即 Hooke 定律: F = Ku
但无法确定收敛半径! 若解收敛, 初始点在收敛半径内. 若不收敛, 初始点在收敛半径外. 需要试错法获得收敛. 经验和训练可减少试错工作.
复杂的问题获得收敛需要多个载荷增量, 每个载荷增 量需多次迭代.
多次迭代会增加总的求解时间.
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… 非线性分析基本过程
非线性结果分析有什么不同之处?
非线性结果能得到线性分析中没有的结果项. 例如:
塑性应力和应变, 接触状态等.
由于多次增量求解使非线性分析产生响应历史.
响应历史曲线图
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D. 非线性 FEA难点
非线性有限元分析带来三个主要难点:
获得收敛 权衡代价与精度 验证
成功解决三个难点需要 小心和技巧!
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… 非线性 FEA难点
克服收敛困难
通常是最大的挑战. 求解必须在收敛半径内开始.
12. ANSYS软件非线性分析
非线性概述
当作用在结构上的载荷引起结构刚度的重大改变时，要进 行非线性分析。引起刚度改变的主要原因是：
应变超过弹性极限（塑性） 大变形，如受力的钓鱼杆 两个物体之间的接触
Stress
Strain
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… 非线性分析基本过程
非线性求解有什么不同之处?
多次矩阵解:
线性静态仅需通过矩阵方程求解器一次. 非线性每次迭代都进行一次新的求解.
求解控制选项:
线性静态一般不需用户控制求解选项. 非线性用求解控制选项来:
激活几何非线性. 改善收敛性. 管理结果文件大小. 优化重启动能力.
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… 非线性分析基本过程
假定几何模型与网格划分已完成，非线性分析的典型步骤 如下： 1. 确定分析类型（通常为静态）。 2. 确定求解控制Solution>Sol’n Control. 许多控制可以采 用，但是常用的是：
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…非线性概述
本章通过以下主题介绍非线性有限元分析(FEA) 的基础:
A. 什么是非线性? B. 用线性求解器求解非线性 C. 三类非线性 D. 非线性 FEA 难点 E. 一般的非线性分析过程
目的是了解非线性 FEA 的基本性质. 如何模拟各 种非线性现象的更多细节参考下面的两本书中:
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… 三类非线性
材料非线性
非线性的应力-应变关系是非线性结构行为的常见原因.
应力
应力
应变
钢
橡胶
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应变
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ustart
u
用收敛增强工具扩大收敛半径
通常结合两种策略获得收敛.
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... 用线性求解器求解非线性
一般的规律是系统任何方面的突变会导致收敛困难.
刚度突变. 载荷突变.
最佳收敛行为是把突变分成一系列很多小的递增的变化.
[KT1]
F
34
Fnr1
2
1