弹性力学考题类型-7页精选文档

一、 已知某点的应力状态为
试求该点的主应力、应力主轴方向（仅计算σ1应力主轴方向）和最大切应力。

二、已知弹性体的体积力为常量，其应力分量为：
如弹性体为可能的应力状态，求待定系数A ，B 应满足的关系。

三、已知圆筒的内径和外径分别为a 和b ，圆筒受内压q 的作用，在圆筒外部受刚性位移约束，如图所示。

试求圆筒应力。

已知轴对称应力和位移为：
解：做出圆筒的受力状态如下图所示。

极坐标下应力边界条件
θ
θθθτστσf l m f m l s r s r s r s r =+=+)()()()( 3
对于圆筒的内表面，
q
f m l r ==-=,0,1
3
因此有内表面的边界条件为q r =-σ 即 q C a A
a
r r
-=+=
=22
σ （1） 3 圆筒外表面满足位移边界条件
==b
r r
u
即
1[(1)2(1)]1[(1)2(1)]0r
r b
r b
A u v v Cr E r
A
v v Cb E b
===
-++-=-++-= （2） 3
联立（1）（2）解得
()22
222
22
(1)(1)(1)12(1)2(1)q a b A a b q a
C a b νννννν--=
++--+=
++- 4
因此可得圆筒的应力 圆筒的位移
圆筒内半径的改变量为 厚度变化量
四、图示的三角形悬臂梁，在上边界0=y 受到均布压力q 的作用，试用
下列应力的函数
]tan cos cos sin )([2
222αφρφφρφαρC Φ-+-=求出其应力分量。

（本题15分）
解：应力函数Φ应满足相容方程和边界条件，从中可解出常数 得出的应力解答是
在截面 mn 上，正应力和切应力为
刘章军：弹性力学内容精要与典型题解，中国水利水电出版社。

P19.例2.8 五、图示薄板，在y 方向受均匀拉力作用，试证明在板中间突出部分的尖
点A 处无应力存在。

六、试考察
，能解决图示弹性体的何种受力问题。

（10分）
解：本题应按逆解法求解。

首先校核相容方程，▽4
Φ = 0是满足的。

然后，代入应力公式（4-5），求出应力分量： 再求出边界上的面力：
七、半平面体表面受有均布水平力q ，试用应力函数Φ= ρ2(B sin2φ+Cφ)求解应力分量。

（20分）
解：首先检验Φ，已满足▽4Φ = 0。

由Φ求应力，代入应力公式得再考察边界条件。

注意本题有两个φ面,即φ= ±π/2，分别为±φ面。

在±φ面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。

因此，有
代入公式，得应力解答，
八、挡水墙的密度为ρ1，厚度为b,如图所示,水的密度为ρ2，试求应力分量。

（20分）
解：用半逆解法求解。

（1）假设应力分量的函数形式。

因为在y=-b/2边界上，σy=0，y=b/2边界上，σy=ρ2gx，所以可假设在
区内σy沿x向也应是一次式变化，即
σ
= x f ( y )
y
（2）按应力函数的形式，由σy推测Φ 的形式，
（3）由相容方程求应力函数。

代入▽4Φ = 0得
要使上式在任意的x处都成立，必须
代入Φ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。

（4）由应力函数求解应力分量。

将Φ代入式(2-24) ,注意体力f x=ρ1g，f y=0，求得应力分量为
（5）考察边界条件：
主要边界y = ± b / 2上,有 由上式得到 求解各系数，由 由此得 又有 代入 A ,得
在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件： 由式(g ),(h )解出
代入应力分量的表达式，得最后的应力解答：
九、三角形水坝如4图所示，其下端无限长，左侧受比重为γ的液体压力，坝体材料比重为ρ。

已求得应力分量如下所示，试根据边界条件确定待定系数A 、B 、C 、D 。

（20分）
解：对于直角坐标系，边界条件为
()()()()x s xy s x
y s xy s y
l m f m l f στστ+=+= 3
对于x =0的边界，
0,,0,1===-=y x f y f m l γ 4 代入边界条件可得0
=-=-xy x y
τγσ，与当x =0时x y xy Dy By Cy
σστ===-比较可以得到
0,C D γ==- 3
对于斜面，有
0,0,sin ,cos ==-==y x f f m l αα
4
并且在此斜面上有
αtan =y
x
1
代入边界条件可得0
sin cos 0sin cos =-=-ασατατασy xy xy x
把x y xy Cx Dy Ax By
Bx Cy x
σστρ=+=+=---，0,C D γ==-代入上式，可得
解得
223
3
cot tan 2cot 2cot tan tan B C γ
ργαρα
ρ
γραγαα
α
=
-=-=
-
=- 5
所以320,cot 2cot cot C D C D γ
ραγαγαρ
==-=-=-
十、如所示的橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，其上端用铁盖封闭，铁盖上作用一均布压力q 。

铁盒和铁盖均可视为刚体，且橡皮块和铁盒、铁盖之间无摩擦阻力，试求橡皮块的体应变和体应力。

（15分）
图1 图1（a ）
解：因橡皮块与铁盒及铁盖之间无摩擦阻力，故压力垂直于内侧面，取右图所示的坐标系。

由于铁盒视为刚体，故
0x x εε==
(1)
铁盖上受均布压力q 作用，因此有：
z q σ=-
(2)
于是，由物理方程可得： 1
()x x y q E εσμσ⎡⎤=
--⎣⎦ (3) 1()y y x q E
εσμσ⎡⎤=--⎣⎦ (4)
1()z x y q E εμσσ⎡⎤=--+⎣
⎦ (5)
由式(3)和式(4)可得：
(1)()0x y μσσ+-=
(6)
因为0μ>，故
x y σσ=
(7)
将式(7)代入式(3)中可得
1x y q μ
σσμ
==-- (8)
因此，铁盒内侧面所受的压力为1q μ
μ
-。

将式(8)代入式(5)中可得：
(21)(1)
(1)
z q E μμεμ-+=
-
(9)
因此橡胶块的体应变为：
(21)(1)
(1)
x y z q E μμθεεεμ-+=++=
-
(10)
橡胶块的体应力为：
(1)
1x y z q μσσσμ
-+Θ=++=
- (11)
十一、对于平面应力问题，试判断
2332
64,2,6x y xy Ax y Ay Ay Axy σστ=-==-所
表示的应力分量是否可能发生？其中A 为常数，且体力不计。

（15分）
解：将式代入平衡方程：
0xy
x x f x
y
τσ∂∂++=∂∂，
0yx
y y f x
y
τσ∂∂+
+=∂∂ 6
得
自然满足
将式代入相容方程：0)(2222=+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ
2332364262x y Ax y Ay Ay Ax y Ay σσ+=-+=- 3
2222()12120y y Ay Ay x y σσ⎛⎫
∂∂++=-= ⎪∂∂⎝⎭
6 自然满足
∴ 给出的应力是一组可能的应力场
十二、试判断下面给出平面应力问题的应力场是否为可能的应力场（不计体力）。

（本题15分）
解：将式代入平衡方程：
=+∂∂+∂∂X y
x
xy
x τσ0=+∂∂+∂∂Y y
x y yx στ 6 得03322=+-xy xy ，033=-y y ，自然满足
将式代入相容方程：0)(2222=+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ
)4
1
23(422y y x y x +-=+σσ 3
0333)(2222222≠---=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x y y x y y σσ 6 ∴ 式（a ）不是一组可能的应力场
希望以上资料对你有所帮助，附励志名3条：
1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。

不如积阴德于冥冥之中，此乃万世传家之宝训也。

2、积德为产业，强胜于美宅良田。

3、能付出爱心就是福，能消除烦恼就是慧。