第二章 静电场与导体
电磁学02静电场中的导体与介质
A q -q
-q+q
UA
q'
4 0 R0
q ' 4 0R1
q q '
4 0 R2
0
可得 q ( q) 1(9略)
例4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。
求:导体上感应电荷的电量
R
解: 接地 即 U0
o
感应电荷分布在表面，
l
q
电量设为:Q’（分布不均匀！）
由导体等势，则内部任一点的电势为0
选择特殊点：球心o计算电势，有：
1) Dds
S
1 (
r
1) q0内
l i mq内
V0V
1 (
r
1) limq0内 V0V
1 (
r
1)0
00 0。 40
[例2] 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
表明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)
物理 内涵
的电荷及分布无关。
在腔内 E 腔 外表 E 腔 面外 0带
电 量 的电 体 的
二.腔内有带电体时
q
① 带电量： Q腔内 q （用高斯定理易证）
表面
23
② 腔内的电场： 不为零。
由空腔内状况决定，取决于：
*腔内电量q；
*腔内带电体及腔内壁的 几何因素、介质。
平行放置一无限大的不带电导体平板。
0 1 2 求：导体板两表面的面电荷密度。
E２ • E１ 解: 设导体电荷密度为 1、 2 ，
E0 电荷守恒： 1 + 2 = 0
(1)
导体内场强为零：E0 +E1‐E2 = 0
0 1 2 0 20 20 20
（1）、（2）解得：
第2章静电场
“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义： 它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的 电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明： 任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量； 电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明： 静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量； 可以直接运用散度方程求解； 仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围 的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则； 积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区； 电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比 矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2
总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)
大学物理电磁学第二章 导体周围的静电场汇总
VO
q
4
0l
dS q 1 S 4 0R 4 ol 4 0R
dS 1 q Q
S
4 0 l R
例5 求金属球的感生电荷。
q
S R
仿上题解题技巧，可得
l
O
V0
1
4
0
q l
q/ R
0
q/
R l
q
q/
2.1.5 平行板导体组例题
解: 根据静电平衡条件有:
例1 求每板表面的电荷密度 在A内:
第二章 有导体时的静电场
本章主要内容：
导体的静电平衡及静电平衡条件，静电场中导体 的电学性质； 电容器及其联接； 电场的能量； 简单介绍静电的应用。
§2.1 静电场中的导体
2.1.1 静电平衡
本节讨论的导体主要是指金属导体，金属导体内部有大量 的自由电子，自由电子时刻作无规则的热运动。
导体刚放入电场
(2) 两球间的电势差(电压)绝
对值与球形电容器的电荷Q成正比，
证明如下。
球壳间
E
Q
4 0r 2
eˆr
-
-
+ + r+
-
-
R2
+ +
R1
-
+
+ +
-
-
-
U
Q R2
R1 4 0
dr r2
Q
4
0
1 R1
1 R2
2、平行板电容器
A
(1) 电荷在两平板相对面内 均匀分布，两面电荷等值异号。
(2) 两枝间的电压与板内壁的 B
+
+Q C -Q
赵凯华-电磁学-第三版-第二章-静电场中的导体和电介质
R2 R1 R0
解： 1)导体电荷只分布在表面上 球A的电荷只可能在球的表面
B
Q
Aq
o
壳电B荷有可两能个分表布面在内、外两个表面R（2具体R1分布？）R0
由于A、B同心放置
带电体系具有球对称性
电量在表面上均匀分布（满足E内＝0要求）
电量在表面上均匀分布 Q q
电量q在球A表面上均匀分
R 1
4 0
9109 m 103 RE 1F
106 F
法拉单位过大, 常用单位: 1nF 109 F
1pF 1012 F
二.导体组的电容
由静电屏蔽:导体壳内部的电场只由腔内的电 量和几何条件及介质决定电位差仅与电荷 Q，几何尺寸有关，不受外部电场的影响，可
以定义电容。
UB
E dr
R2
4 0r R2 4 0 R2
例3 如图所示，接地导体球附近有一点电荷 。
求:导体上感应电荷的电量
解: 接地，即 U 0
设:感应电量为 Q
R
由于导体是个等势体
O
l
q
O点的电势也为零 ，则
Q q 0 40 R 40l
Q Rq l
腔内无电场，E腔内＝0 腔内电势处处相等
S
证明: 在导体壳内紧贴内表面作高斯面S
E ds 0 高斯定理 S
Qi 内表面 0
1.处处没有电荷
与等位矛盾 证明了上述 两个结论
2.内表面有一部分是正 则 会 从 正 电 荷 向 负 电荷，一部分是负电荷 电荷发出电力线
这就是物质对静电场的响应---第二章的研究内容：电场中的导体感应、 电解质极化， 并且分析感应、极化电荷对静电场的影响---静电场与物质的 相互作用(影响)
静电场中的导体与电介质
§2 静电场中的导体和电介质§2－1 静电场中的导体1. 导体的静电平衡条件当电荷静止不动时，电场散布不随转变，该体系就达到了静电平衡。
在导体中存在自由电荷，它们在电场的作用下可以移动，从而改变电荷的散布……导体内自由电荷无宏观运动的状态。
导体的静电平衡的必要条件是其体内图2－1导体的静电平衡场强处处为零。
从静电平衡的条件动身可以取得以下几点推论：推论1）导体是等位体，导体表面是等位面：2）导体表面周围的场强处处与它的表面垂直：因为电力线处处与等位面正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直。
（注意：本章所用的方式与第一章不同，而是假定这种平衡以达图2－2导体对等位面的控制作用到，以平衡条件动身结合静电场的普遍规律分析问题。
）2．电荷散布1) 体内无电荷，电荷只散布在导体的表面上:当带电导体处于静电平衡时，导体内部不存在净电荷（即电荷的体密度）电荷仅散布在导体的表面。
可以用高斯定理来证明：设导体内有净电荷，则可在导体内部作一闭合的曲面，将包围起来，依静电条件知S面上处处, 即由高斯定理必有q=02） 面电荷密度与场强的关系:当导体静电平衡时，导体表面周围空间的 与该处导体表面的面电荷密度 有如下关系：论证： 在电荷面密度为 的点取面元设 点为导体表面之外周围空间的点，面元。
充分小，可以为 上的面电荷密度 是均匀的，以为横截面作扁圆柱形高斯面（S ）,上底面过P 点，把电荷q= 包围起来. 通太高斯面的电通量是：3） 表面曲率的影响、尖端放电导体电荷如何散布，定量分析研究较复杂，这不仅与这个导体的形状有关，还和它周围有何种带电体有关。
对孤立导体，电荷的散布有以下定性的规律：图2－3导体表面场强与电荷面密度曲率较大的地方（凸出而尖锐处），电荷密度e 较大；曲率较小的地方（较平坦处）电荷密度e 较小；曲率为负的地方（凹进去向）电荷密度e 更小。
1） 端放电的利和弊3 导体壳（腔内无带电体情况）大体性质：当导体壳内无带电体时，在静电平衡当导体壳内无 带电体时，在静电平衡下：导体壳内表面上处处无电荷，电荷仅散布在外 表面；空腔内无带电场，空腔内电位处处相等。
第二章 静电场中的导体和电介质：电容器的电容
P e 0 E
§2.8 电容器的电容
一.孤立导体的电容
q C V
单位：F（法拉）
C是与导体的尺寸和形状以及周围的电介质有 关,与q，V无关的常数。
1F 10 F 10 PF
6 12
例1 .求半径为R的孤立导体球的电容。
q1:q2: · :qn = C1:C2: · :Cn · · · ·
q qi (V A VB ) C i ,
i 1 i 1
n
n
n q C Ci VA VB i 1
并联电容器的总电容等 于各电容器的电容之和 2. 串联
C Ci
i 1
n
A +
VA +q –q +q –q 。
q dA udq dq C
从开始极板上无电荷直到极板上电量为Q的过 程中，电源作的功为
2 q 1 Q 1Q dq 0 qdq C C 2 C
A dA 0
Q
Q CU
U为极板上电量为Q时两板间的电势差
1 Q2 1 1 2 A CU QU 2 C 2 2
E
0
( r R1 , r R2 )
λ er 2πεr
B A
( R1 r R2 )
2
VA VB
R E dl R Edr
1
λdr R1 2πεr
R2
R2 q R2 λ ln ln 2πε R1 2πεL R1
q 2πεL C V A VB ln( R2 / R1 )
②所求的C = q/VA–VB一定与q和VA–VB无关，仅 由电容器本身的性质决定。
第二章-静电场与导体
第二章静电场与导体教学目的要求：1、深入理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡时导体的基本性质，加深对高斯定理和环路定理的理解，结合应用电场线这一工具，会讨论静电平衡的若干现象，会结合静电平衡条件去理解静电感应、静电屏蔽等现象，并会利用前章的知识求解电场中有导体存在时的场强和电势分布。
2、确理解电容的概念，并能计算几种特殊形式的电容器的电容值。
3、进一步领会静电能的概念、会计算一些特殊带电导体的静电能。
4、深刻理解电场能量的概念，会计算电场能。
教学重点：1、静电场中的导体2、电容和电容器教学难点：1、静电场的唯一定理§2.1 静电场中的导体§2.2 电容和电容器§2.3 静电场的能量§2.1 静电场中的导体1、导体的特征功函数（1）金属导体的特征金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。
①大量自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，服从经典的统计规律。
②自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。
③自由电子的平均速率远大与定向运动速率。
（2）功函数金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。
一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。
2、导体的静电平衡条件（1）什么是静电感应？当某种原因（带电或置于电场中）使导体内部存在电场时，自由电子受到电场力的作用而作定向运动，使导体一侧因电子的聚集而出现负电荷布另一侧因缺少电子而有正电荷分布，这就是静电感应，分布在导体上的电荷便是感应电荷。
（2）静电平衡状态当感应电荷在导体内产生的场与外场完全抵消时，电子的定向运动终止，导体处于静电平衡状态。
（3）静电平衡条件所有场源包括导体上的电荷共同产生的电场的合场强在导体内部处处为零。
静电平衡时：①导体是等势体。
②导体外表面附近的电场强度与导体表面垂直。
导体静电场
电解电容器
3.1 孤立导体的电容
对于孤立带电小球
V
q 4 0 R
R
q
可以证明，电势与电荷的正比关系对任意形状的导体都成立。 因此有：
q CV
比例常数C叫孤立导体的电容
q C V
3.2电容器及其电容
q q ---- 一极板带电量（电容器的电量） c uA uB uAB ---- 两极板电势差（电容器的电压）
q
+
q
+
+
q
+
结论
1.不接地空腔导体，腔外电场对腔内无影响，
腔内电场对腔外有影响。
+q
-q
+q
2.接地空腔导体，则内外电场都无影响.
+q
-q
静电屏蔽的应用
例 1 有一外半径 R1 10cm 和内半径 R2 7cm 的金属球壳，在球壳内放一半径 R3 5cm 的同心金 8 属球，若使球壳和金属球均带有 q 10 C 的正电荷， 问 两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？ 解 根据静电平衡的条件求电荷分布 作球形高斯面 S1
导体静电场
§2-1 静电场中的导体
一.导体的电结构 ： 导体中有大量自由电荷（自由电子）
和带正电晶体点阵。 . 通常情况下，正负电荷总量相等，导 体呈电中性。
,
放入电场中后,自由电荷发生移动，产
生静电感应现象。
导体与电介质相比： 电结构不同:导体中有大量自由电荷， 介质中为束缚电荷。
电阻率不同:导体: 108 ~ 106 m
8 18 10 ~ 10 m 介质:
二.导体的静电感应 静电平衡
1. 静电感应现象 (electrostatic induction） a)现象:导体在电场中，其自由电荷受电场力
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第二章 静电场与导体一、判断题（正确划“∨”错误码划“⨯” ）1、由公式0εσ=E 知，导体表面任一点的场强正比于导体表面处的面电荷密度，因此该 点场强仅由该点附近的导体上的面上的面电荷产生的。
（ ）×2、一导体处静电场中，静电平衡后导体上的感应电荷分布如图，根据电场线的性质，必有一部分电场线从导体上的正电荷发出，并终止在导体的负电荷上。
（ ）×3、一封闭的带电金属盒中，内表面有许多针尖，如图所示，根据静电平衡时电荷面密度按曲率分布的规律，针尖附近的场强一定很大。
（ ）×4、孤立带电导体圆盘上的电荷应均匀分布在圆盘的两个圆面上。
（ ）√5、对于一个孤立带电导体，当达到静电平衡时，面电荷的相对分布与导体表面的曲率成正比。
（ ）√6、一个接地的导体空腔，使外界电荷产生的场强不能进入腔内，也使内部电荷产生的场不进入腔外。
（ ）×抵消7、若电荷间的相互作用不满足平方反比律，导体的屏蔽效应仍然存在。
（ ）×8、用一个带电的导体小球与一个不带电的绝缘大导体球相接触，小球上的电荷会全部传到大球上去。
（ ）×9、带电体的固有能在数值上等于该带电体从不带电到带电过程中外力反抗电力作的功。
（ ）√10、静电平衡时，某导体表面的电荷在该导体内部产生的场强处处必为零。
（ ）×11、两个带有同种电荷的金属球，一定相斥。
（ ）×12、真空中有一中性的导体球壳，在球中心处置一点电荷q ，则壳外距球心为r 处的场强为204rq E πε=,当点电荷q 偏离中心时，则r 处的场强仍为204rqπε。
（ ）√13、接地的导体腔，腔内、外导体的电荷分布，场强分布和电势分布都不影响。
（ ）√14两个导体A 、B 构成的带电系的静电能为）（B B A A q q ϕ+ϕ21，则式中的A A q ϕ21及B B q ϕ21分别表示A 和B 的自能。
（ ）×15、两个半径相同的金属球，其中一个是实心的，一个是空心的，通常空心球比实心球的电容大。
（ ）×二、选择题、1、关于导体有以下几种说法：（B ） （A ）接地的导体都不带电。
（B ）接地的导体可带正电，也可带负电。
（C ）一导体的电势零，则该导体不带电。
（D ）任何导体，只要它所带的电量不变，则其电势也是不变的。
2、一面积为S 的很大金属平板A 带有正电荷，电量为Q ，把另一面积亦为S 的不带电金属平板平行放在A 板附近，若将A 板接地，则A 、B 两板表面上的电荷面密度是：（A ） （A ）04321=σ=σ=σ=σ （B ）43222σ-=-=σσ==σSQ SQ ，（C ）32410σ-==σ=σ=σS Q ，（D ）43210σ-==σ=σ=σS Q，3、一点电荷+q 位一本来不带电的金属球外，q 到球心的距离为a ，球的半径为R （如图），若P 为金属球内的一点，它的坐标是（b 、θ），金属球内的感应电荷在P 点产生的场强的大小是：( A )（A ））（θ-+πε=cos 2422ab b a qE O（B ） 0=E（C ）204a q E πε=（D ）204Rq E πε=，4、两个平行放置的带电大金属板A 和B ，四个表面电荷面密度为4321σσσσ、、、如图所示，则有(A )（A ）3241σ-=σσ=σ， （B ）3241σ=σσ=σ， （C ）3241σ-=σσ-=σ，（D ）3241σ=σσ-=σ，5、如图所示 两个同心球电容器的联接法是：(B) （A ） （a ）串联 （b ）并联 （B ） （a ）并联 （b ）串联 （C ） （a ）（b ）均并联 （D ） （a ）（b ）均串联（a ） （b ）6、将一接地的导体B 移近一带正电的孤立导体A 时，A 的电势。
(B ) （A ）升高 （B ）降低 （C ）不变 （D ）无法判断7、一个电容量为C 的平行板电容器，两极板的面积都是S ，相距为d ，当两极板加上电压U 时，（略去边缘效应），则两极板间的作用力为：(C )aqRPθb 1Q 2Q 1σ2σ3σ4σA B（A ）d CU F 22=排斥力 （B ）dCU F 2=排斥力（C ）d CUF 22=吸引力 （D ）d CUF 22=吸引力8、a 、b 、c 为带电导体表面上的三点，如图所示，静电平衡时，比较三点的电荷密度，电势及面外附近的场强，下诉说法中错误的是：(B )（A ）a σ>b σ>c σ （B ）a σ>b σ<c σ（C ）a E >b E >c E（D ）c b a ϕ=ϕ=ϕ9、有一点电荷q 及金属导体A ，且A 处于静电平衡状态，下列说法中正确的是：(C ) （A ）导体内E=0， q 不在导体内产生电场。
（B ）导体内E ≠0，q 在导体内产生电场。
（C ）导体内E=0，q 在导体内产生电场。
（D ）导体内E ≠0，不在导体内产生电场。
10、真空中有一组带电导体，某一导体表面电荷面密度为σ处，其表面附近的场强0εσ=E ，该场强E 是由：(D )（A ）该处无穷小面元上的电荷产生的。
（B ）该面元以外的电荷产生的。
（C ）该导体上的全部电荷产生的。
（D ）所有导体表面上的电荷产生的。
11、一半径为R 的孤立导体球，带有正电荷q ，其电势分布曲线ϕ—r 是：(B)（A ） （B ）（C ） （D ）12、平行板电容器两极板的面积都是S ，相距为d ，其间有一厚度为t 的金属板与极板平行放置面积亦是S 则系统电容是：(B)（A ）d s 0ε （B ）t d s -ε0 （C ）t s0ε （D ））（t d s 110-=ε13、半径分别为a 和b 的两个金属球，球心间距为r ，（r »a ，r »b ）今用一根电容可忽略的细线将两球相连，该系统的电容是：(A)（A ）（b a +πε04 （B ）b a ab+πε04 （C ） 0 （D ） r 04πε14、如图所示，在一边长为a 的立方体的每个顶点上放一个点电荷-e ，在中心放一个点电荷+2e ，此带电体的相互作用能：(A )（A ）ae02344.0ε （B ）ae02688.0εcb aQ+R r ϕR r ϕR rϕRrϕe -e-e-e-e -e-e-e-e2+（C ）ae0275ε- （D ）-a 062.4ε15、如图所示，一半径为c R 的导体球，带电量为Q ，在距球心为d 处挖一半径为b R （b R <d ，bR <c R -d ）的球形空腔，在此腔内置一半径为a R 的同心导体球（a R <b R ），此球带有电量q ，整个带电系统的静电能。
(B )（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-πεcb a R q Q R q R q 222041）（（B ）222018a b cq q Q q R R R πε⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦（） （C ）2218qQR aR cπε+（）（D ））（a c R R qQ 1181+πε 16、平行板电容器充电后与电源断开，然后将距离拉大，则电容C ，电压U,电场能量W ，将有如下变化：（A ）（A ）↓C ↑U ↑W （B ）↑C ↓U ↓W（C ）↑C ↑U ↑W （D ）↓C ↓U ↓W17、平行板电容器接入电源保持其两极板间的电压不变，将两极板间距离拉大，则电容器各量的变化为：（D ）（A ）电容增大 （B ）带电量增大（B ）电场强度增大 （D ）电量、电容、场强都减小18、真空中有一半径为R 的导体球，当球上带电量为Q 时，其电场能量为：（C ）（A ） 204RQπε （B ） R Q024πε （C ）R Q028πε （D ）R Q0216πε三、填空题1、导体在静电场中达到静电平衡的条件是（ ）。
合场强在导体内部处处为零2、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的 空腔，腔内绝缘地放一电量为q 的点电荷，如图所示，球外离开球心为r 处的P 点的 场强（ ）。
rr qE e ∧=204πε3、如图所示，在金属球A 内有两个球形空腔， 此金属球整体上不带电，在两空腔中心绝缘 地各放置一点电荷q 1和q 2，球外远处有一固 定的点电荷q ，q 到球心的距离r 比球的球的 半径大得多。
（1）q 受到的静电力（ ）; CR b R aR qOP rAq1q 2q r（2）q 1受到的q 的作用力（ ）； （3）q 受到q 2的作用力（ ）; （4）q 1受到q 2的作用力（ ）。
20214rq q q πε+）（、 0、 2024rqq πε、 04、在一电中性的绝缘金属盒内悬挂一带正电的金属小球B如图所示。
（1）、带正电的试探电荷A 位于金属荷附近，A 受( )， 若将B 从盒中移走，A 受（ ）；（2）若使B 与金属盒内壁接触，A 受（ ）；（3）若让金属盒接地，则A 受（ ）；（4）当金属盒接地后，先把B 从盒内移走，然后拆去接地线，则A 受（ ）。
（括号内填吸力或斥力）。
斥力、 吸 力、 斥 力、 吸力、 吸力5、如图所示，金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球壳腔内距球心O 为r 处置一电量为q 的点电荷，球心O 点的电势（ ）。
⎪⎭⎫⎝⎛++-πεb q Q a q rq 0416、在金属球壳外距球心O 为d 处置一点电荷q ，球心O 处电势（ ）。
d q04πε7、演示用的范德格喇夫静电起电机，它的铝球半径为10cm ，该起电机能达到的最高的电势（ ）(设空气的击穿场强为3×104cm V)3×105V8、一球形电容器内外两壳的半径分别为R 1和R4（如图），今在壳之间放一个内外半径分别为R 32R 和的同心导体球壳 当给内壳（R 1）以电量Q 时，半径分别为41R R 和两壳的电势差( )及电容（ ））（432111114R R R R Q -+-πε21344321432104R R R R R R R R R R R R ）（）（-+-πε。
9、如图所示，电容，，uF C C uF C 0.510321===间电容、）（b a 1（ ）; (2)a 、b 间加上电压100V ，2C 上的电量（ ）; (3)上的电量被击穿，若31C C （ ）uF415 250uF uF 25010、如图所示电路，F C C C C C 1254321102-⨯=====，端电压V U 10000=所带电量1C （ ）A Ba bqo 1R 4R 1C 3C 2C ab1C 2C 3C 4C 5C 0UC 91025.1-⨯11、四个电容器电容是，联接如图和、、4321C C C C 间的电容AB （ ）间的电容DE （ ），间的电容AE （ ）32323121C C C C C C C C +++21213231C C C C C C C C +++ 012、有一些相同的电容，电容都是F 6102-⨯，耐压都是200V ，现在要获得耐压为1000V ，电容F 61040.0-⨯,需要这种电容器（ ）个，采用（ ）连接方式。