质点动力学1
解： m gr(1 cos )
an
2
1 2 mv 2
A
v 2 g (1 cos ) r
B
ma mgsin a g sin
E202.质量为m的物体自空中落下，除受重力外，还 受到一与速度平方成正比的阻力，比例系数为k，该下落 物体的收尾速度(最后物体作匀速运动的速度)将是（ B ）
F ma ma0 ma F (ma0 ) ma
a a0 a
惯性离心力
地面观察者：小球受到弹性力，且指向圆心，作圆周运动
圆盘上观察者：小球受到弹簧拉力，且指向圆心， 但小球仍处于静止状态，为解释这一现象引入
o
f弹
解：
B. g cos
D. g tg
脱离时斜面无支持力了：
T cos m a T sin m g a gctg
E204. 质量为m的物体，最初静止于x0，在力 f k / x2 (k为常数)作用下沿直线运动．求物体在x处的速度大小 解：
dv f ma m dt dv dv v dt dx kdx 1 k 2 mvdv 2 mv c 2 x x
2 2 2
u
2 gh sin 2 (u 2 gh cos ) 2 u 2 2 gh 2u 2 gh cos
V
V
tg
1
2 gh sin u 2 gh cos
解：
v 21
v2
v1
船上看艇
v2
1）船上看艇，船是运 动参照系， v2 是绝对 速度。艇对船速度 v 21
d r F (r ) m 2 dt
2
mdv x mdv Fx ( v ) dt F (v ) { mdv y Fy ( v ) dt dt
{
d 2x Fx ( r ) m 2 dt d2y Fy ( r ) m 2 dt
mvdv F (v ) dx
２）惯性系和非惯性系
问题的提出：惯性定律是否在任何参照系中都成立？
惯性系：孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速 直 线运动时，该参照系为惯性系。 如何确定惯性系──只有通过力学实验。 地球是一个近似程度很好的惯性系
a公 5.9 103 m / s 2
a自 3.4 102 m / s 2
质点动力学I
一、牛顿运动定律
1、惯性定律 惯性参照系
1）惯性定律 “孤立质点”的模型：不受其它物体作用或离其他物体都 足够远的质点。例如，太空中一远离所有星体的飞船。 惯性定律：一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直 线运动状态。－牛顿第一定律 惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是 物质固有的属性。 惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动。 惯性和第一定律的发现，使我们把运动和力分离开来。
太阳是一个精度很高的惯性系 a日银 1010 m / s 2 马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均 加速度为零的参照系──因此，惯性系只能无限逼近，而无最 终的惯性系。 相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。 一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。
2、牛顿第二定律 惯性质量 引力质量
速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。
关于质 量 １）质量是物体惯性大小的量度： ２）引力质量与惯性质量的问题：
F m惯a
F引＝ＧＭm引 R2
调节引力常数Ｇ， 使m引，m惯的比值为1。
m1惯 m2惯 GM 2 m1引 m2引 R a
惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。
d r F (r ) m 2 dt
2
{
d 2x Fx ( r ) m 2 dt d2y Fy ( r ) m 2 dt
mvdv F (v ) dx
mvdv 或 F ( x) dx
例题
E201.质点的质量为m，置于光滑球面的顶点A处 (球面固定不动)，如图所示．当它由静止开始下滑到 球面上B点时，它的加速度的大小为（ D ） A. a 2 g (1 cos ) B. a g sin D. a 4 g 2 (1 cos ) 2 g 2 sin 2 C. a g
3、牛顿第三定律
1）作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的，不是 一对平衡力。 2）作用力与反作用力是同一性质的力。 3）若A给B一个作用，则A受到的反作用只能是B给予的。 注意：牛顿第三定律只在实物物体之间，且 运动速度远小于光速时才成立。
4、牛顿定律的应用
1）牛顿定律只适用于惯性系； 2）牛顿定律只适用于质点模型； 3）具体应用时，要写成坐标分量式。
牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得加速 度的大小与合外力的大小成正比；与物体的质量成反比；
加速度的方向与合外力 F 的方向相同。
F ma
力可使物体产生形变，也可使物体获得加速度。 四种基本相互作用：
引力作用 两种长程作用 电磁作用
强相互作用 两种短程作用 弱相互作用
力的叠加原理：若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加
大小 v21 50km h 1， 方向北偏西 37。
v1 v12
艇上看船
v1 是绝对速度。 2）艇上看船，艇是运动参照系， v12 船对艇速度
大小 v12 50km h 1， 方向南偏东 37。
r
f
2 f c m r
－惯性离心力。
科里奥利力：其与牵连运动有关，还与对象对非惯性 系的相对运动有关，
f 2mv
江岸的冲刷
落体偏东；
信风
本课要点
Fx ma x Fy ma y
dv F m m R dt 2 v 2 F m m R n R
A. g / 2k
解：
B. mg/ k
C. gk
D. gk
mg kv2 0 v mg / k
E203 如图所示，质量为m的物体A用平行于斜面的 细线连结置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速运动， 当物体开始脱离斜面时，斜面的加速度的大小为 ( C )
A. g sin C. gctg
x x0 , v 0 c k / x0
v 2k 1 1 ( ) m x x0
了解知识
非惯性系与惯性力
问题：设有一质量为m的小球，放在一小车光滑的水平 面上，小球水平方向合外力为零。突然使小车向右对地作加 速运动，小球将如何运动？ 地面观察者：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律 车上观察者：小球以－a0 相对于小车作加速运动 小车是非惯性系，车上观察者解释： 小球之所以对小车有 –a0 的加速度，是因为受到了一个指向 左方的作用力，且力的大小为 – ma0 这个力命名为惯性力。
mvdv 或 F ( x) dx
作
业
201 203
202 204
205
作业讲解
C
解： 如图，绝对Байду номын сангаас度 v风 牵连速度 v车 相对速度 v风车
v风 v车＋v风车
v车
30
v风
v风车
A达地面相对速度为V ＝ 2 gh 解：在斜面体参照系里， A对地面速度V为u与V 的矢量和，即： V V sin (u V cos )
平面直角坐标系
Fx max Fy ma y
dv F m mR dt 2 v F m mR 2 n R
平面自然坐标系
根据力函数的形式选用不同的方程形式
mdv x mdv Fx ( v ) dt F (v ) { mdv y Fy ( v ) dt dt
an
2
1 2 mv 2
A
v 2 g (1 cos ) r
B
ma mgsin a g sin
E202.质量为m的物体自空中落下，除受重力外，还 受到一与速度平方成正比的阻力，比例系数为k，该下落 物体的收尾速度(最后物体作匀速运动的速度)将是（ B ）
F ma ma0 ma F (ma0 ) ma
a a0 a
惯性离心力
地面观察者：小球受到弹性力，且指向圆心，作圆周运动
圆盘上观察者：小球受到弹簧拉力，且指向圆心， 但小球仍处于静止状态，为解释这一现象引入
o
f弹
解：
B. g cos
D. g tg
脱离时斜面无支持力了：
T cos m a T sin m g a gctg
E204. 质量为m的物体，最初静止于x0，在力 f k / x2 (k为常数)作用下沿直线运动．求物体在x处的速度大小 解：
dv f ma m dt dv dv v dt dx kdx 1 k 2 mvdv 2 mv c 2 x x
2 2 2
u
2 gh sin 2 (u 2 gh cos ) 2 u 2 2 gh 2u 2 gh cos
V
V
tg
1
2 gh sin u 2 gh cos
解：
v 21
v2
v1
船上看艇
v2
1）船上看艇，船是运 动参照系， v2 是绝对 速度。艇对船速度 v 21
d r F (r ) m 2 dt
2
mdv x mdv Fx ( v ) dt F (v ) { mdv y Fy ( v ) dt dt
{
d 2x Fx ( r ) m 2 dt d2y Fy ( r ) m 2 dt
mvdv F (v ) dx
２）惯性系和非惯性系
问题的提出：惯性定律是否在任何参照系中都成立？
惯性系：孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速 直 线运动时，该参照系为惯性系。 如何确定惯性系──只有通过力学实验。 地球是一个近似程度很好的惯性系
a公 5.9 103 m / s 2
a自 3.4 102 m / s 2
质点动力学I
一、牛顿运动定律
1、惯性定律 惯性参照系
1）惯性定律 “孤立质点”的模型：不受其它物体作用或离其他物体都 足够远的质点。例如，太空中一远离所有星体的飞船。 惯性定律：一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直 线运动状态。－牛顿第一定律 惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是 物质固有的属性。 惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动。 惯性和第一定律的发现，使我们把运动和力分离开来。
太阳是一个精度很高的惯性系 a日银 1010 m / s 2 马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均 加速度为零的参照系──因此，惯性系只能无限逼近，而无最 终的惯性系。 相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。 一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。
2、牛顿第二定律 惯性质量 引力质量
速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。
关于质 量 １）质量是物体惯性大小的量度： ２）引力质量与惯性质量的问题：
F m惯a
F引＝ＧＭm引 R2
调节引力常数Ｇ， 使m引，m惯的比值为1。
m1惯 m2惯 GM 2 m1引 m2引 R a
惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。
d r F (r ) m 2 dt
2
{
d 2x Fx ( r ) m 2 dt d2y Fy ( r ) m 2 dt
mvdv F (v ) dx
mvdv 或 F ( x) dx
例题
E201.质点的质量为m，置于光滑球面的顶点A处 (球面固定不动)，如图所示．当它由静止开始下滑到 球面上B点时，它的加速度的大小为（ D ） A. a 2 g (1 cos ) B. a g sin D. a 4 g 2 (1 cos ) 2 g 2 sin 2 C. a g
3、牛顿第三定律
1）作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的，不是 一对平衡力。 2）作用力与反作用力是同一性质的力。 3）若A给B一个作用，则A受到的反作用只能是B给予的。 注意：牛顿第三定律只在实物物体之间，且 运动速度远小于光速时才成立。
4、牛顿定律的应用
1）牛顿定律只适用于惯性系； 2）牛顿定律只适用于质点模型； 3）具体应用时，要写成坐标分量式。
牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得加速 度的大小与合外力的大小成正比；与物体的质量成反比；
加速度的方向与合外力 F 的方向相同。
F ma
力可使物体产生形变，也可使物体获得加速度。 四种基本相互作用：
引力作用 两种长程作用 电磁作用
强相互作用 两种短程作用 弱相互作用
力的叠加原理：若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加
大小 v21 50km h 1， 方向北偏西 37。
v1 v12
艇上看船
v1 是绝对速度。 2）艇上看船，艇是运动参照系， v12 船对艇速度
大小 v12 50km h 1， 方向南偏东 37。
r
f
2 f c m r
－惯性离心力。
科里奥利力：其与牵连运动有关，还与对象对非惯性 系的相对运动有关，
f 2mv
江岸的冲刷
落体偏东；
信风
本课要点
Fx ma x Fy ma y
dv F m m R dt 2 v 2 F m m R n R
A. g / 2k
解：
B. mg/ k
C. gk
D. gk
mg kv2 0 v mg / k
E203 如图所示，质量为m的物体A用平行于斜面的 细线连结置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速运动， 当物体开始脱离斜面时，斜面的加速度的大小为 ( C )
A. g sin C. gctg
x x0 , v 0 c k / x0
v 2k 1 1 ( ) m x x0
了解知识
非惯性系与惯性力
问题：设有一质量为m的小球，放在一小车光滑的水平 面上，小球水平方向合外力为零。突然使小车向右对地作加 速运动，小球将如何运动？ 地面观察者：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律 车上观察者：小球以－a0 相对于小车作加速运动 小车是非惯性系，车上观察者解释： 小球之所以对小车有 –a0 的加速度，是因为受到了一个指向 左方的作用力，且力的大小为 – ma0 这个力命名为惯性力。
mvdv 或 F ( x) dx
作
业
201 203
202 204
205
作业讲解
C
解： 如图，绝对Байду номын сангаас度 v风 牵连速度 v车 相对速度 v风车
v风 v车＋v风车
v车
30
v风
v风车
A达地面相对速度为V ＝ 2 gh 解：在斜面体参照系里， A对地面速度V为u与V 的矢量和，即： V V sin (u V cos )
平面直角坐标系
Fx max Fy ma y
dv F m mR dt 2 v F m mR 2 n R
平面自然坐标系
根据力函数的形式选用不同的方程形式
mdv x mdv Fx ( v ) dt F (v ) { mdv y Fy ( v ) dt dt
合集下载
Chap4质点动力学的运动定律-1见面
dw F dr Fdr cos
(2)
w F dr
合力所做旳功等于分力
(1)
(2) (1)
(F1
F2
Fn
)
dr
所做功旳代数和。
(2) (1) F1 dr
(2) (1)
F2
dr
(2) (1) Fn dr
w1 w2 wn
Example:
Find the work done by F when particle m is slowly lifted to the present position.
l2
w
1 2
k2l 2
Conservative and nonconservative forces:
Work done by a conservative force 保守力旳功：
(1) Reversible, “work” can be stored in a “BANK”;
(2) Independent of the path of the body;
德国数学家魏尔(H.Weyl) 有关对称性旳定义:
• 系统——讨论旳对象。 • 状态——系统可处于不同旳状态； • 不同旳状态可等价，也可不等价。 • 操作(变换)——把系统从一种状态 • 变到另一种状态。 • 对称——在操作下系统旳状态 • 等价(不变)。 • 例： 圆在旋转变换下旳对称性
联合变换下旳对称性
Energy is defined as the ability to do work. Work is defined as the transfer of energy.
The picture shows water rushing downstream during a flood. The water is said to possess kinetic energy since it is moving. It gets this energy because it is falling through a gravitational field.
《理论力学》第九章质点动力学
《理论力学》第九章质点动力 学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
1.2大学物理(上)——质点动力学
t2
t1
n n t 2 n n 1 n Fi外 dt f ij dt mi vi 2 mi vi1 t1 i 1 i 1 i 1 i 1 j 1
因为内力总成对出现即：
i 1 j 1
x n
2mv cos fn fx 20 N t
[例2.6]: 如图（见书），一辆装矿砂的车厢以v=4ms-1的 速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的砂为k=200kg/s， 如欲使车厢的速率下变，须施与车厢多大的牵引力（忽 略车厢与地面的摩擦）。
[分析]：系统的质量m在变化。设t时该已落入车厢 的砂为m，经dt后又有dm=kdt的砂落入车厢。以m 和dm为研究对象。在水平方向的动量定理为：
ra
可见万有引力是保守力。
③ 、弹力的功
F kx
1 1 2 2 AS kxdx ( kxb kxa ) xa 2 2 1 1 2 2 kxa kxb 2 2
xb
初态量
末态量
弹簧振子
可见，弹性力是保守力。
[例2.8]:在离水平面高为H岸上，有人用大小不变的 力F拉绳使船靠岸，求船从离岸x1处移到x2处的过 程中，力F对船所作的功。
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
三、第三定律（Newton third law）
两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等
的，而且指向相反的方向。
F1 F2
作用力与反作用力：
1、它们总是成对出现，它们之间一一对应。
2、它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。 3、它们一定是属于同一性质的力。
2、功率 指力在单位时间内所作的功
W 平均功率： P t
1第一章-质点力学基础
矢量(vector)：既有大小又有方向且只有一个方向 的物理量,如速度、加速度；
第6页，共54页。
质点：任何物体都有一定的大小和形状,但 当物体的大小和形状在所描写的运动中所起 的作用可以忽略不计时,我们就把它看作是
一个只有质量而没有大小和形状的点,称为 质点.
第7页，共54页。
二、参考系与坐标系
根据叉积运算定义,可以得到如下结果：
第12页，共54页。
四、质点的运动
运动描述
位置矢量
空间一质点 P 的位置可以用三个坐标 x,y,z 来确定,也可以用从原点O到P点的 有向线段 表示, 称 为位置矢量.
在直角坐标系中, 可以表示为
其中x,y,z,分别表示 在三个坐标轴上的分量, 分别表示沿三个坐标轴正向的单位矢量.
第13页，共54页。
质点运动过程中,其位置随时间的改变可以 表示为
或
第14页，共54页。
位移
质点在一段时间内
位置的改变称为它 在这段时间内的位
y
移,记作 ,大小标
志着在这段时间内质 点位置移动的多少,
方向表示质点的位 O 置移动方向.图中s 表示路程.
z
第15页，共54页。
P1 s P2
x
速度
坐标系：描述一个物体的运动需要另一个物体作为参考,这
个被选定的参考物体称为参考系.
为了定量地描写物体运 动的位置以及位置随时 y 间的变化,在三维空间 中,需要标出三个独立 的量来唯一地确定一点 的位置.如图所示为三 O 条坐标轴(x轴、y轴、z
轴)相互垂直的直角坐标 z
系.
第8页，共54页。
P(x,y,z) x
被称为引力质量
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
第6页，共54页。
质点：任何物体都有一定的大小和形状,但 当物体的大小和形状在所描写的运动中所起 的作用可以忽略不计时,我们就把它看作是
一个只有质量而没有大小和形状的点,称为 质点.
第7页，共54页。
二、参考系与坐标系
根据叉积运算定义,可以得到如下结果：
第12页，共54页。
四、质点的运动
运动描述
位置矢量
空间一质点 P 的位置可以用三个坐标 x,y,z 来确定,也可以用从原点O到P点的 有向线段 表示, 称 为位置矢量.
在直角坐标系中, 可以表示为
其中x,y,z,分别表示 在三个坐标轴上的分量, 分别表示沿三个坐标轴正向的单位矢量.
第13页，共54页。
质点运动过程中,其位置随时间的改变可以 表示为
或
第14页，共54页。
位移
质点在一段时间内
位置的改变称为它 在这段时间内的位
y
移,记作 ,大小标
志着在这段时间内质 点位置移动的多少,
方向表示质点的位 O 置移动方向.图中s 表示路程.
z
第15页，共54页。
P1 s P2
x
速度
坐标系：描述一个物体的运动需要另一个物体作为参考,这
个被选定的参考物体称为参考系.
为了定量地描写物体运 动的位置以及位置随时 y 间的变化,在三维空间 中,需要标出三个独立 的量来唯一地确定一点 的位置.如图所示为三 O 条坐标轴(x轴、y轴、z
轴)相互垂直的直角坐标 z
系.
第8页，共54页。
P(x,y,z) x
被称为引力质量
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
第一章质点运动学及动力学习题
（1）矿坑有多宽？飞跃的时间多长？
（2）他在东边落地时的速度多大？速度与 水平的夹角多大？
Z3
解: (1) 建立坐标系，由题得
70
x
65cos 22.5 65sin 22.5 t
t
1 2
gt
解得，t=7s，
2
x=420m
(2) 速度 v
xx2
y
2 y
式中 vx v0 cos 22.5, vy v0 sin 22.5 gt
算出这一距离。
Z2
解: (1)位置矢量
；
r xi yj 2ti (19 2t2 ) j
rt 1s 2i 17 j
rt 2s 4i 11 j
1s-2s内平均 速度 v r2s r1s 2i 6 j t
大小 6.32m/s，方向 与x轴约成-71.5°
Z5 一 质 量 mB=0.1kg 的 物 块 B 与 质 量
mA=0.8kg的物体A，用跨过轻滑轮 的细绳连接，如下图所示，滑轮与
绳间的摩擦不计，物体B上另放一
质量为mC=0.1kg的物块C，物体A 放在水平桌面上。它们由静止开始
运动，物块B下降一段距离 h1=50cm后，通过圆环D将物块C卸 去，又下降一段距离h2=30cm，速 度变为零。试求物体A与水平桌面
v vx2 vy2 5m / s
T3 一质点沿x轴运动，它的速度v和时间t的关 系 )质向负如点作下沿( 图x轴所(匀示加，)速在向负直)作0运线-t(1动时，间在内匀t，减1-t速质2 )时直点运间线沿动内x。轴，(
v
O
t1
t2
0-t1 :v方向为负向，大 小为增加；
（2）他在东边落地时的速度多大？速度与 水平的夹角多大？
Z3
解: (1) 建立坐标系，由题得
70
x
65cos 22.5 65sin 22.5 t
t
1 2
gt
解得，t=7s，
2
x=420m
(2) 速度 v
xx2
y
2 y
式中 vx v0 cos 22.5, vy v0 sin 22.5 gt
算出这一距离。
Z2
解: (1)位置矢量
；
r xi yj 2ti (19 2t2 ) j
rt 1s 2i 17 j
rt 2s 4i 11 j
1s-2s内平均 速度 v r2s r1s 2i 6 j t
大小 6.32m/s，方向 与x轴约成-71.5°
Z5 一 质 量 mB=0.1kg 的 物 块 B 与 质 量
mA=0.8kg的物体A，用跨过轻滑轮 的细绳连接，如下图所示，滑轮与
绳间的摩擦不计，物体B上另放一
质量为mC=0.1kg的物块C，物体A 放在水平桌面上。它们由静止开始
运动，物块B下降一段距离 h1=50cm后，通过圆环D将物块C卸 去，又下降一段距离h2=30cm，速 度变为零。试求物体A与水平桌面
v vx2 vy2 5m / s
T3 一质点沿x轴运动，它的速度v和时间t的关 系 )质向负如点作下沿( 图x轴所(匀示加，)速在向负直)作0运线-t(1动时，间在内匀t，减1-t速质2 )时直点运间线沿动内x。轴，(
v
O
t1
t2
0-t1 :v方向为负向，大 小为增加；
质点动力学1汇总
A对地面速度V 为u与V 的矢量和，即：
u
V V 2 sin 2 (u V cos )2
T cos ma T sin mg
a gctg
E204. 质量为m的物体，最初静止于x0，在力 f k / x2 (k为常数)作用下沿直线运动．求物体在x处的速度大小
解： f ma m dv dt
dv v dv dt dx
mvdv kdx 1 mv2 k c
x2
2
x
x x0 , v 0 c k / x0 v 2k (1 1 )
m x x0
了解知识
非惯性系与惯性力
问题：设有一质量为m的小球，放在一小车光滑的水平
面上，小球水平方向合外力为零。突然使小车向右对地作加
速运动，小球将如何运动？ 地面观察者：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律
车上观察者：小球以－a0 相对于小车作加速运动
小车是非惯性系，车上观察者解释：
小球之所以对小车有 –a0 的加速度，是因为受到了一个指向
速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。
关于质 量
１）质量是物体惯性大小的量度： ２）引力质量与惯性质量的问题：
F m惯a
F引＝ＧＭm引 R2
m1惯 m1引
m2惯 m2引
GM R2a
调节引力常数Ｇ， 使m引，m惯的比值为1。
惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。
3、牛顿第三定律
科里奥利力：其与牵连运动有关，还与对象对非惯性
系的相对f运动有2关m，v
落体偏东； 江岸的冲刷 信风
本课要点
Fx max Fy may
F
m dv dt
mR
Fn
v2 m
u
V V 2 sin 2 (u V cos )2
T cos ma T sin mg
a gctg
E204. 质量为m的物体，最初静止于x0，在力 f k / x2 (k为常数)作用下沿直线运动．求物体在x处的速度大小
解： f ma m dv dt
dv v dv dt dx
mvdv kdx 1 mv2 k c
x2
2
x
x x0 , v 0 c k / x0 v 2k (1 1 )
m x x0
了解知识
非惯性系与惯性力
问题：设有一质量为m的小球，放在一小车光滑的水平
面上，小球水平方向合外力为零。突然使小车向右对地作加
速运动，小球将如何运动？ 地面观察者：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律
车上观察者：小球以－a0 相对于小车作加速运动
小车是非惯性系，车上观察者解释：
小球之所以对小车有 –a0 的加速度，是因为受到了一个指向
速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。
关于质 量
１）质量是物体惯性大小的量度： ２）引力质量与惯性质量的问题：
F m惯a
F引＝ＧＭm引 R2
m1惯 m1引
m2惯 m2引
GM R2a
调节引力常数Ｇ， 使m引，m惯的比值为1。
惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。
3、牛顿第三定律
科里奥利力：其与牵连运动有关，还与对象对非惯性
系的相对f运动有2关m，v
落体偏东； 江岸的冲刷 信风
本课要点
Fx max Fy may
F
m dv dt
mR
Fn
v2 m
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
第1章质点运动学
2
2.几种典型的坐标系 几种典型的坐标系 (1).直角坐标系 直角坐标系
z P
r 直角坐标系中， 直角坐标系中，任意矢量 A 可表示为 r r r r A= A i + Ay j + A k x z
矢量的大小或模 矢量的大小或模表示为
x
γ
O
A
α
β
y
A = A2 + A2 + A2 x y z
方向余弦满足关系
cos2 α +cos2 β +cos2 γ =1
r dk =0 dt
直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量， 直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量，满足
r di =0 dt
r dj =0 dt
3
(2).自然坐标系 自然坐标系 为坐标原点， 在已知运动轨迹上任取一点O为坐标原点，用质点距离原点的轨 来确定质点任意时刻的位置， 道长度s来确定质点任意时刻的位置，以轨迹切向和法向的单位 矢量( 作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 矢量(τ、n)作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 称为自然坐标 自然坐标。 标系 s 称为自然坐标。
在第6章 狭义相对论中讲授 在第6
10
§1.3.2 描述一般曲线运动的线参量
线参量： 线参量： 位置矢量、位移矢量、 位置矢量、位移矢量、 速度矢量和加速度矢量
z P(x,y,z)
γ α
r
z
β
1.位置矢量与运动方程 1.位置矢量与运动方程
x x
o
y y
(1).位置矢量： 由坐标原点指向质点的有向线段。 (1).位置矢量：时刻t，由坐标原点指向质点的有向线段。 位置矢量
β
2.几种典型的坐标系 几种典型的坐标系 (1).直角坐标系 直角坐标系
z P
r 直角坐标系中， 直角坐标系中，任意矢量 A 可表示为 r r r r A= A i + Ay j + A k x z
矢量的大小或模 矢量的大小或模表示为
x
γ
O
A
α
β
y
A = A2 + A2 + A2 x y z
方向余弦满足关系
cos2 α +cos2 β +cos2 γ =1
r dk =0 dt
直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量， 直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量，满足
r di =0 dt
r dj =0 dt
3
(2).自然坐标系 自然坐标系 为坐标原点， 在已知运动轨迹上任取一点O为坐标原点，用质点距离原点的轨 来确定质点任意时刻的位置， 道长度s来确定质点任意时刻的位置，以轨迹切向和法向的单位 矢量( 作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 矢量(τ、n)作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 称为自然坐标 自然坐标。 标系 s 称为自然坐标。
在第6章 狭义相对论中讲授 在第6
10
§1.3.2 描述一般曲线运动的线参量
线参量： 线参量： 位置矢量、位移矢量、 位置矢量、位移矢量、 速度矢量和加速度矢量
z P(x,y,z)
γ α
r
z
β
1.位置矢量与运动方程 1.位置矢量与运动方程
x x
o
y y
(1).位置矢量： 由坐标原点指向质点的有向线段。 (1).位置矢量：时刻t，由坐标原点指向质点的有向线段。 位置矢量
β
第2章 质点动力学1
在非惯性系中， 、 两物体做为一整体沿 、 两物体运动方向的运动方程为
考虑到 ， 代入上式可得
单独对 物体，在此非惯性系中，水平方向的运动学方程为
将 ， 代入上式可得
说明这是一个运用牛顿定律求解的力学题目，正确分析受力是应用牛顿定律的前提。牛顿定律成立的参考系是惯性系，而在非惯性系中应用牛顿定律要引入惯性力，解法一在惯性系中求解，由物体在非惯性系中的相对加速度 （ 、 物体一致），运用速度变换给出惯性系中物体的加速度是解法一的关键。解法二中引入惯性力是关键。惯性力等于物体的质量乘以非惯性系加速度的负量。
第二定律：物体运动状态的变化与物体所受的合力成正比。
当 为常量时，
第三定律：当物体 以力 作用于 物体时，物体 也同时以力 作用于物体 上，力 和 总是大小相等，方向相反，且作用在同一直线上，其关系式为
力满足叠加原理：
几种常见的力
万有引力：
重力：
弹簧弹性力：
静摩擦力： 最大静摩擦力
滑动摩擦力：
（2）运动学解题基本思路：① 选择研究对象；② 分析受力情况（画出受力图）；③ 选择适当坐标系，列方程求解；④ 进行必要的讨论。
时， 积分上式
得链条下落端点的运动学方程为
说明这是一个变质量问题，在此类问题中牛顿定律要采用 形式而非 形式，另外需注意的是链条在下落过程中，机械能不守恒。
2-3如图(a)将一质量为 的小环套在一绕竖直轴以每秒 转的恒定转动杆上。杆与水平面成 角。设小环与杆之间的最大静摩擦系数为 ，小环与转轴的距离为 。问小环与杆保持相对静止时， 应该在什么范围内。
(1)
(2)
因 有
将上式代入（1）、（2）式忽略二阶小量可得 两端张力差为
将上式积分
即得ห้องสมุดไป่ตู้于柱面的绳子 两端的拉力之比为
考虑到 ， 代入上式可得
单独对 物体，在此非惯性系中，水平方向的运动学方程为
将 ， 代入上式可得
说明这是一个运用牛顿定律求解的力学题目，正确分析受力是应用牛顿定律的前提。牛顿定律成立的参考系是惯性系，而在非惯性系中应用牛顿定律要引入惯性力，解法一在惯性系中求解，由物体在非惯性系中的相对加速度 （ 、 物体一致），运用速度变换给出惯性系中物体的加速度是解法一的关键。解法二中引入惯性力是关键。惯性力等于物体的质量乘以非惯性系加速度的负量。
第二定律：物体运动状态的变化与物体所受的合力成正比。
当 为常量时，
第三定律：当物体 以力 作用于 物体时，物体 也同时以力 作用于物体 上，力 和 总是大小相等，方向相反，且作用在同一直线上，其关系式为
力满足叠加原理：
几种常见的力
万有引力：
重力：
弹簧弹性力：
静摩擦力： 最大静摩擦力
滑动摩擦力：
（2）运动学解题基本思路：① 选择研究对象；② 分析受力情况（画出受力图）；③ 选择适当坐标系，列方程求解；④ 进行必要的讨论。
时， 积分上式
得链条下落端点的运动学方程为
说明这是一个变质量问题，在此类问题中牛顿定律要采用 形式而非 形式，另外需注意的是链条在下落过程中，机械能不守恒。
2-3如图(a)将一质量为 的小环套在一绕竖直轴以每秒 转的恒定转动杆上。杆与水平面成 角。设小环与杆之间的最大静摩擦系数为 ，小环与转轴的距离为 。问小环与杆保持相对静止时， 应该在什么范围内。
(1)
(2)
因 有
将上式代入（1）、（2）式忽略二阶小量可得 两端张力差为
将上式积分
即得ห้องสมุดไป่ตู้于柱面的绳子 两端的拉力之比为
大学物理第一章 质点运动学
力学(mechanics)
§1 §2 §3 §4 §5 §6 质点运动学(kinematics) 质点动力学(dynamics) 功和能(work and energy) 动量守恒定律 (momentum conservation) 刚体的定轴转动(rotation) 流体力学(fluid mechanics)
v
t
g b
(1 e bt )
t
x vdt
0
g b
t
g b2
(1 e bt )
例题6、质点在流体中下落，a=-kv2，k=0.4m-1， t=0时，v=v0，求：从原点以上10m处开始下落， 速度减小到v0/10时到原点的距离。
解： d v dv dx a kv2 d t dx dt
r xi h j v0 vx dr dt dx v vx r dr x dt
2 h 2 v0
dx
dt dx dt
2
i r x ( h)
2 2 2 2
dt v vx i dv dt
h x x
v0
a
x
3
i
二、当v或a为已知时，求位置矢量
当v或a为时间函数时，直接根据定义积分，并代入 初始条件，可求出位矢； 当v或a为位置参量函数时，可做变量替换后，用分 离变量法积分，并代入初始条件，再求出位矢； 例如：已知 v=v（x） dx dx
物体定位，必须有参照物，我们称之为参照系。
2、 坐标系 利用坐标系,能在 点与数组之间建立 一个对应,从而在 几何图形与方程之 间建立一个对应的 关系.
三、 位置矢量
1. 位置矢量 质点在任一时刻的 空间位置,用位置 矢量来表示。
§1 §2 §3 §4 §5 §6 质点运动学(kinematics) 质点动力学(dynamics) 功和能(work and energy) 动量守恒定律 (momentum conservation) 刚体的定轴转动(rotation) 流体力学(fluid mechanics)
v
t
g b
(1 e bt )
t
x vdt
0
g b
t
g b2
(1 e bt )
例题6、质点在流体中下落，a=-kv2，k=0.4m-1， t=0时，v=v0，求：从原点以上10m处开始下落， 速度减小到v0/10时到原点的距离。
解： d v dv dx a kv2 d t dx dt
r xi h j v0 vx dr dt dx v vx r dr x dt
2 h 2 v0
dx
dt dx dt
2
i r x ( h)
2 2 2 2
dt v vx i dv dt
h x x
v0
a
x
3
i
二、当v或a为已知时，求位置矢量
当v或a为时间函数时，直接根据定义积分，并代入 初始条件，可求出位矢； 当v或a为位置参量函数时，可做变量替换后，用分 离变量法积分，并代入初始条件，再求出位矢； 例如：已知 v=v（x） dx dx
物体定位，必须有参照物，我们称之为参照系。
2、 坐标系 利用坐标系,能在 点与数组之间建立 一个对应,从而在 几何图形与方程之 间建立一个对应的 关系.
三、 位置矢量
1. 位置矢量 质点在任一时刻的 空间位置,用位置 矢量来表示。