量子力学第六章
第六章 微扰理论
ˆ H ˆ k H ˆ H 0 k
k 1
ˆ k H ˆ ) E (H 0 k n n n
k
( 0) (1) ( 2) (k) n n n 2 n k n
E n E (n0) E (n1) 2 E (n2) k E (nk )
(1) n k n ( 0 )* ˆ (0) H d k 1 n (0) k
E
(0) n
E
(0) k
E
( 2) n
( 0 )* n
ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H (1) ( 0 )* ˆ (0) 1 kn 1 kn 1 nk ˆ H1 n d ( 0 ) H1 k d ( 0) (0) n (0) k n E n E k kn E n E k
0) ( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) b m (E (m E (n0 ) ) E (n2 ) mn E (n1) m n d m H 1 n d
现在来求能量的二级修正值。当m=n时，上式就变成
( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) 0 E (n2 ) E (n1) n n d n H1 n d
( 0) n (1) n (0) n
k
bm
k n
(E(0) n
ˆ ) (H ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H 1 kn 1 mk 1 nn 1 mn 0) ( 0) 2 E (k0) )(E (n0) E (m ) (E(0) n Em )
(k) n E (nk ) 称为能量的k级校正。 称为波函数的k级校正，
假定级数对于λ=1是收敛的，并希望对于很小的微扰，只要取级数的 头几项，就能得到真实能量和波函数得很好近似。
量子力学导论第6章答案
第六章 中心力场6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量 ()21121p m p m Mr p-==∙μ （1） 总动量1p p R M P+==∙ （2）总轨迹角动量p r P R p r p r L L L⨯+⨯=⨯+⨯=+=221121 （3）总动能 μ222222222121pMP m p m p T +=+= （4）反之，有 ,11r m R rμ+= r m R r22μ-= （5） p P m p +=21μ，p P m p -=12μ（6）以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ证： 212211m m r m r m R ++=， （17） 21r r r -=， （18）相对动量 ()21122121211p m p m M r r m m m m r p-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∙∙∙μ （1’）总动量 ()2121221121p p m m r m r m m m R M P+=+++==∙∙∙ （2’）总轨迹角动量 221121p r p r L L L⨯+⨯=+=)5(2211p r m u R p r m u R ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ()()2112211p m p mMr p p R -⨯++⨯=)2)(1(p r P R ⨯+⨯=由（17）、(18)可解出21,r r，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。
总动能()22112262221212222m p P m m p P m m p m p T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=μμ2122222122112222122222m m p P u m pPm m um m p P u m pPm m u⋅-++⋅++=()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=2122221222211112122m m p Pm m m Pm m m μ2222pMP +=（4’）［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2) 同上题，求坐标表象中p 、P 和L 的算术表示式r i p ∇-= R i P ∇-= ，p r P R L⨯+⨯=解： ()()211221121r r m mMi p m p mMp ∇-∇-=-=（1）其中 1111z k y j x ir ∂∂+∂∂+∂∂=∇，而x X M m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111，同理，y YM m y ∂∂+∂∂=∂∂11zZM m z ∂∂+∂∂=∂∂11；（利用上题（17）（18）式。
量子力学课件第六章
第二部分应用第6章不含时微扰理论6.1非简并微扰理论6.1.1 一般公式表达假设对于某些势场（比如，一维无限深势阱），我们已经解出了（定态）薛定谔方程：(6.1)ψ，从而可以得到一套完备的正交本征函数，0n(6.2)E。
现在，我们对这个势进行微小扰动(比方说,在势阱底部加入一个小突起−及对应的能量本征值0n图6.1)。
我们期望可以找到新的本征函数和本征值：(6.3) 但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的。
微扰理论是一套系统的理论，它可以利用已得的无微扰时地精确解求出有微扰时的近似解。
图6.1：受到小微扰的无限深势阱。
首先，我们将哈密顿量写成两项之和：(6.4)其中'H 是微扰（上标0总是表示非微扰量）。
此时，我们将λ取为一个很小的数；稍后我们会将取它为1，H 将为真实的哈密顿量。
下面我们把n ψ和n E 展为λ的幂级数：(6.5)(6.6)其中，1n E 为第n 个本征值的一级修正，1n ψ为第n 个本征函数的一级修正；2n E 和2n ψ为二级修正，以此类推。
将6.5和6.6式代入6.3式，得到：或（将λ幂次相同的项合并）对于零级（0λ）项1有，这没有什么新的内容（它就是6.1式）。
对于一级（1λ）项有，(6.7)对于二级（2λ）项有，(6.8)以此类推。
（方程中并没有λ——它仅仅用来更清楚地按数量级分出各方程——所以现在把λ取为1。
）6.1.2 一级近似理论将0n ψ与6.7式进行内积运算（即乘以(0n ψ)*后积分），1级数展开的唯一性（见第2章，脚标25）保证了相同幂次的系数是相等的。
但是0H 为厄米算符，所以它和右边第一项相抵消。
又有001n n ψψ=，所以，2(6.9)这就是一级近似理论的一个最基本的结果；在实际中，它也是量子力学最重要的方程。
它说明能量的一级修正就是微扰在非微扰态中的期待值。
例子6.1 无微扰的无限深势阱波函数为（2.28式）：图6.2：存在于整个势阱的常微扰。
量子力学 第6章-2-第18讲
m 0, 1, 2,... (4)
代入能量本征方程，可求得径向方程
2
2M
2
2
1
m2
2
1 2
M
2 L
2
R
(
)
E m R()
(5)
L
可解出能量本征值E ( Landau能级 )
E EN N 1 L ,
N (2n m m) 0, 2, 4, , n 0,1, 2,
EN N 1 0
N 2n m 0,1, 2,...
f (N) N 1
E EN N 1 L ,
均匀磁场中的电子
N (2n m m) 0, 2, 4,...,
∞
n 0,1, 2,...
对于较低的几条能级的简并度分析
E EN N 1 L ,
N (2n m m) 0, 2, 4, , n 0,1, 2,
第6章 电磁场中粒子的运动
§1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
§2 正常Zeeman效应 §3 Landau能级 §4* Aharonov-Bohm(AB)效应
§3 Landau能级
一、电子的Hamilton量
考虑电子（质量M，荷电-e）在均匀磁场B 中运动，则相应的矢势A可取为
A 1 Br 2
(6)
N
EN/ћωL
nρ
m
0
1
0
0,-1,-2,-3,…
2
3
0
1
1
0,-1,-2,-3,…
4
5
6
7
0
2
1
1
2
0,-1,-2,-3,…
0
3
1
2
2
1
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.7-6#15
1 的本征态，粒子 2
1 2 的本征态，取 =1 ，求体系总自旋 S 的可能值及相应的概率。 2
解： S x ;
1 Sz ; Sz ; 2
1 2
（1）
Sz ; Sx ;
（2）
系统处于 S1z ; S2 x ; 的态上，将其写到 S z 的表象中为
S1z ;
编辑者：霍团长 6— 7
对于两个自旋 1/2 的例子组成的体系，证明张量算符
S12
3 (σ1 r )(σ2 r ) σ1 σ2 r2
和 S 2 及 J 对易。 S 为总自旋， J 是总角动量 J = S + l ，l 是体系的轨迹角动量，在质心坐 标系中， l 的算符形式是：
l r p i r , r = r1 - r2
而 S s( s 1)
2
1 S2 z ; S2 z ; 2
其可能值为 0或2 总自旋为零的态可表示为：
0
1 S1z ; S2 z ; S1z ; S2 z ; 2
0
1 1 1 S2 z ; S1z ; S1z ; S2 z ; 2 2 2
证明： （1）
3 2 , σ1 3, ( 1n )2 1 4 1 S s1 s2 (σ1 σ2 ) 2 3 1 ∴ S 2 σ1 σ 2 2 2 1 1 Sn S n (σ1 n σ2 n) ( 1n 2 n ) 2 2 1 1 1 ∴ Sn 2 ( 1n 2 2 n 2 2 1n 2 n ) 1n 2 n 4 2 2
2 解：取系统的力学量完全集为 ( H , S12 , S 2 , Sz )
量子力学(第六章)
i ( ) t 2 2 q 1 p p A p A p c 2
1 q p p p p A 2 c 2q i p p A 2 c
代入正则方程
H H ,P r P r
(2)
即可得出
式中
1 r q E v B (3) c 1 E A (电场强度) (4) c t
B A (磁感应强度)
c
• H和 p 的关系一样。这里 p 为正则动量。由这
个原理和正则量子化规则可知，有电磁场时， 量子化规则应当变更为
i i q t t q i A c
• 这就将电磁势引进了 Schrodinger 方程 。于是， 有电磁场时的 Schrodinger 方程为
的电子的速度 v 远小于光速 c ( v / c 102 ),辐
射场中磁场对电子的作用远小于电场,一般只
考虑电场的作用 。
本章将讨论恒定磁场中原子能级和光谱
的变化(Zeeman效应)以及自由荷电粒子在恒
定磁场中的运动(Lanbau能级)。 下面首先给出给出荷电粒子在恒定电磁 场中的Schrodinger方程。
A A A ( r , t ) 1 (r , t ) (16) c t 电场强度 E 和磁场强度 B 都不改变。
可以证明Schrodinger方程(9)在规范变换(16)
式下，只需波函数也同时经受如下定域相位变
量子力学 6-1 电子自旋的实验证据
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全888—1969），
1888年2月17日出生于德国。1906年开 始学习物理化学，1912年在布雷斯劳大 学获博士学位。同年他到布拉格当爱因 斯坦的助手，以后又随爱因斯坦转到苏 黎世，1913年成为物理化学私人讲师。 1943年诺贝尔物理学奖授予斯特恩，表 彰他发展分子束方法和发现了质子的磁矩。
M sz e Sz
7
S
自旋回旋磁比率：
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
注意
此节重点
(1)理解电子自旋是一种纯粹的量子力学效应，没有经 典图象与之对应。（不是电子自转之类的空间运动）
(2)验证电子自旋存在的实验是斯特恩—盖拉赫实验 (3)每个电子具有自旋角动量 向的取值只能有两个 S z 。 2
1922年，他和合作，成功地做了斯特恩-盖 拉赫实验，通过这个著名实验，他们用分 子束方法证明了空间量子化的真实性，并 为进一步测定质子之类的亚原子粒子的磁 矩奠定了基础。
2
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
格拉赫（Walther Gerlach）
1889出生于德国. 1912年于图宾根大学获得物理学博士学位。 他的研究对象是黑体辐射和光电效应。一战期间, 盖拉赫和 维恩一起发展无线电报技术。在工业界呆了一段时间后, 盖 拉赫于1920年在法兰克福的实验物理研究所谋到了一个助手 的位置, 该所紧捱着玻恩的理论物理所。后来和斯特恩合作 完成了斯特恩-盖拉赫实验. 3
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
从薛定谔方程出发可以解释许多微观现象，例如计 算谐振子和氢原子的能级从而得出它们的谱线频率 等。计算结果在相当精确的范围内与实验符合。
第六章-力学量与本征态1
第六章 力学量与本征态 §6 - 1 量子力学中的力学量 一 力学量用算符表达量子力学中的两个基本概念 ● 量子态 波函数 ● 力学量 （具有特定性质的）算符算符代表着对波函数的一种运算（但并不一定都与力学量相对应）：()ddx ψ：对波函数取导数，ψ)(r U ：对波函数乘以)(r U ，*ψ： 对波函数取复共轭，ψ： 对波函数开平方根考察位置算符r 和动量算符pˆ：r r →,（6. 1）∇-=→ i ˆpp . （6. 2）经典力学中的力学量还有：势能)(r V 纯位置坐标的函数（算符不变）力)()(r r F V ∇-=速度m /p v = 动量的函数（算符可由动量的对应关系得出）动能m p T 2/2= 动能2222ˆ ()222P T m m m x y z222222∂∂∂==-∇=-++∂∂∂ (6. 3)角动量∇⨯-=⨯=r p r Li ˆˆ (6. 4)在直角坐标系中的分量表达式)(i ˆˆˆyz z y p z py L y z x ∂∂-∂∂-=-= )(i ˆˆˆzx x z p x pz L z x y ∂∂-∂∂-=-=(6. 5))(i ˆˆˆxy y x p y px L x y z ∂∂-∂∂-=-=角动量算符Lˆ的模方(L ˆ的平方) L LL ˆˆˆˆ22⋅==L 222ˆˆˆz y x L L L ++=. (6. 6)角动量在球面坐标系的表示]sin 1)sin (sin 1[ˆ22222ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂-= L(6. 7)ϕ∂∂-= i ˆz L (6. 8)θθθθθ2222sin ˆ)sin (sin ˆzL L +∂∂∂∂-= （6. 9）利用了：ϕθcos sin r x =，ϕθsin sin r y =， θcos r z =；2222z y x r ++=，rz =θcos , x y=ϕtan .图21 - 1 球面坐标系二 量子力学中的哈密顿量1、 哈密顿算符 薛定谔方程的普遍形式在量子力学中，薛定谔方程的普遍形式是ψψH tˆi =∂∂(6. 10)式中H ˆ是体系的哈密顿算符( = 动能函数 +势能函数)V T H +=,(6. 11)对于一个粒子在势场V ( r )中运动的情况，有)(2ˆ22r V mH +∇-= ,(6. 12) 讨论：● 哈密顿算符决定了体系的量子态随时间的变化规律，在量子力学中占有特别重要的地位。
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dL mr dv r ma r F 磁力矩的存在将引起角动量的变化
dt
dt
B
L
B
d d L μ B 或
dt
dt
d ; B
dt
这就是拉莫尔进动的角速度公式。它表明：在均匀外磁场中
的一个高速旋转的磁矩并不向 B 方向靠拢，而是以一定的角 速度 绕 B 进动， 的方向和 B 的方向一致。
积；n0是垂直于该面积的单位矢量。
B
从经典电磁学知道载流线圈在均匀外磁场中磁力矩： iSB sin
iS iSn0
iS B
磁矩在均匀外场中不受力，但受到一个力矩的作用
B
原子中电子绕核运动必定产生一个磁矩。若电子绕核旋转的
圆周频率为ν，轨道半径为r，则磁矩为
iSn0
e r2n0
e 2 r
1925年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据一系列的实 验事实大胆地提出这样一个假设：电子不是点电荷，它除了轨 道角动量以外，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量。
L ll 1 , l 0,1,2,3,......n. S ss 1 , s 1/ 2
轨道量子数
自旋量子数
Lz ml ml 0,1,2,..... l
Sz
1 2
ms
1. 2
任何电子都有相同的自旋角动量 1 ，而且它们在z方
2
向的分量只取两个数值 1 ，自旋磁矩是理论值的两倍。
2
电子自旋是原子物理学和量子力学中十分重要的概念， 在假说的提出与被接受的过程中，从名不见经传的在校学 生到物理学权威皆卷入其间，不同观点针锋相对，虽然电 子自旋假说的提出稍早于量子论的矩阵力学和波动力学， 但它们之间没有直接的逻辑联系，因此不是物理学史家关 注的焦点。
磁矩及其Z分量的大小是量子化的，它来源于轨道角动量L及 其Z分量LZ的大小的量子化。
L l(l 1) Lz ml
Z
μ
L
L l l(l 1)B , l 0,1,2,3.......n
l,z mlB , m 0,1,2,3....... l
二、史特恩—盖拉赫实验
史特恩和盖拉赫在1921年进行的实验是对原子在外场中取向 量子化的首次直接观测，它是原子物理学中最重要的实验之一， 其装置示意图如下 氢原子从容器O内通过小 孔逸出，氢原子通过狭缝 后,形成细束,经过一不均 匀的磁场区域,在磁场的垂 直方向运动,最后撞在底片 P上, 显像后在底片上看到 两条黑斑,表明氢原子在经 过不均匀磁场区域时已分 成两束.
cos
Bz z
dD 3kT
Z
B z
由公式可见，若仅仅μ是量子化的，而cosβ可以是任意的
话那么μz就不是量子化的，而z2也不可能是量子化。只有当空 间也是量子化时，即μ在z方向的投影也是量子化的，z2的数值 才可能是分立的。因此从实验上测得z2的数值是否是分立的， 就可以反过来证明μz是否量子化。史特恩—盖拉赫实验的结果 表明，氢原子在磁场中只有两个取向，这就有力的证明了原子
x方向：x v/ /t v/ / (t1 t2 ) 原子束在经过磁场区（长度为d）
z方向:
z1
1 2
Fz m
t12
到达出口时，已经偏离x轴z1的 距离，此时沿z方向的速度为
v
at1
D
d
2
Fz m
v/ /t2
d v/ /
z2 z1 vt2
然后原子束沿直线运动，一直落
在屏幕P上，那时偏离x轴的距离
第六章 电子自旋及一般角动量
§6.1 电子自旋的引入 §6.2 自旋算符和自旋态矢量 §6.3 一般角动量的基本知识 §6.4 两个角动量的耦合
§6.1 电子自旋的引入
一、电子的轨道磁矩 二、施特恩-盖拉赫实验 三、电子自旋假设
一、电子的轨道磁矩
经典磁矩μ的表达式（载流线圈）
B
iSn0
式中i是电流的大小；S是电流所围面
Fz
U z
x
Bx z
y
By z
z
Bz z
由于B的方向在z轴方向，所以
Fz
z
Bz z
由此可见，只有在非均匀磁场中才能有最终的合力。
原子束以水平速度v进入磁场，在垂直方向受到力FZ的作用，这
就好比平抛运动，原子束在磁场内将作抛物运动。假设氢原子刚 离开磁场区域的时间为t1，离开磁场到达屏幕的时间为t2。
B0
B 0 z
史特恩—盖拉赫实验(1922) 角动量取向量子化
史特恩和盖拉赫的功绩之一，就是制造了一块能在很小线度
内产生不均匀磁场的磁铁，对于这样的一个磁场，磁矩只有在Z
方向受力
B U B μ B
任何一个力都可以写成势能的负梯度，即
F
U
U x
iˆ
U y
ˆj
U z
kˆ
所以，一磁矩在z方向上受到的力就可以写成
由于自旋发现的历史非常曲折有趣，而且很有教育意 义。艾伦费斯特的教育艺术、乌仑贝克与古兹米特的理论 实验协作、泡利的直觉与执着、克罗尼格的背运、爱因斯 坦的举重若轻、托马斯的数学计算都在这个故事里让人眼 睛一亮。
在磁场中的取向是量子化的。
尽管这个实验证实了原子在磁场中的空间量子化，但由于实
验给出的氢原子在磁场中只有两个取向的事实，在当时，却是
空间量子化的理论所不能解释的。按空间量子化理论，当l一定 时，ml有2l+1个取向，由于l是整数，2l+1就一定是奇数。在实
验中，确实观察到奇数取向的例子，例如对于基态氧原子，得
到五个取向；而对于锌、镉、汞等原子，只观察到一个取向。
但对于氢、锂、钠、钾、铜、银、金等原子都观察到两个取向。
这只能说明，到此为止，我们对原子的描述仍然是不完善的。
三、电子自旋假设
从史特恩—盖拉赫实验只能解释奇数条纹分裂，无法解释偶 数条纹分裂。该实验出现偶数分裂的事实，给人的启示是：要 2l+1为偶数，只有角动量为半整数，而根据轨道角动量理论是 l不可能给出半整数的。
为z2，可以证明
z2
z1 at1t2
1 2
at12
at1t2
1 2
Fz m
d v/ /
2
Fz m
d v/ /
Dd
2
v/ /
FzdD mv/ / 2
v// v
Fz
z
Bz z
z2
z
Bz z
dD mv2
热平衡时，原子的速度满足 mv2 3kT
z2
z
Bz z
dD 3kT
z cos ຫໍສະໝຸດ z2r2n0e 2me
mern0
e 2me
L
令 e γ称为旋磁比，式中me为电子的质量，则
2me
L
此公式即为原子中电子绕核 运动的磁矩和电子的轨道角动 量之间的关系式。
L
可见电子绕核运动的磁矩与轨
v μ
道角动量是反向的（磁矩方向是 根据电流方向的右手螺旋定则定 义的， L r m mr ）。