向量的加减法
平面向量加减法公式
平面向量加减法公式
平面向量的加法和减法是向量运算中的基本操作，下面我会从多个角度来解释这些公式。
首先，让我们回顾一下向量的定义。
在二维平面上，一个向量可以用它的横坐标和纵坐标来表示。
假设有两个向量 a 和 b，它们分别表示为 a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)。
向量的加法公式如下：
a +
b = (a1 + b1, a2 + b2)。
这意味着向量的加法就是将两个向量的对应分量分别相加，得到一个新的向量，它的横坐标是原始向量的横坐标相加，纵坐标是原始向量的纵坐标相加。
向量的减法公式如下：
a b = (a1 b1, a2 b2)。
向量的减法也是类似的操作，将两个向量的对应分量分别相减，得到一个新的向量。
另外，我们还可以用向量的几何方法来理解向量的加法和减法。
假设有两个向量 a 和 b，它们的起点都放在原点 O，那么 a + b
的结果就是以向量 a 的终点为起点，以向量 b 的终点为终点的新
向量。
而 a b 的结果则是从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的新向量。
向量的加法和减法还满足一些性质，比如交换律和结合律。
即
a +
b = b + a，(a + b) +
c = a + (b + c)。
这些性质使得向量
的加法和减法更加灵活和便于计算。
总的来说，向量的加法和减法是向量运算中的基本操作，它们
可以用公式表示，也可以用几何方法理解，同时还满足一些重要的
性质。
这些公式和性质对于理解和应用向量运算非常重要。
空间向量与向量加减法
空间向量与向量加减法在数学和物理学中，空间向量是指具有大小和方向的向量，通常用箭头表示。
它们可以用于描述物体在三维空间中的位置、运动和力等概念。
为了进行方便的计算和分析，我们需要了解空间向量的表示方法以及向量的加减法。
一、空间向量的表示方法空间向量通常用坐标表示，它由三个分量组成，分别表示在三个坐标轴方向上的长度。
我们可以用向量的起点和终点坐标表示一个空间向量，也可以使用向量的坐标表示。
例如，一个空间向量可以表示为V=(x,y,z)，其中x、y、z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
当我们要计算两个向量的和时，只需将它们的对应分量相加即可。
设有两个向量A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，它们的和记为C=(c1,c2,c3)。
则C的每个分量分别等于A和B对应分量的和，即c1=a1+b1，c2=a2+b2，c3=a3+b3。
三、向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。
当我们要计算两个向量的差时，只需将它们的对应分量相减即可。
设有两个向量A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，它们的差记为D=(d1,d2,d3)。
则D的每个分量分别等于A和B对应分量的差，即d1=a1-b1，d2=a2-b2，d3=a3-b3。
四、向量加减法的性质向量加减法满足以下性质：1. 交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。
2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B-C)。
3. 零向量：对于任意向量A，有A+0=A，A-0=A。
其中，0表示分量均为零的向量。
五、向量加减法的图示解释为了更好地理解向量加减法，我们可以将向量在三维空间中进行图示表示。
向量的加法可以理解为将一个向量平移至另一个向量的终点，从而得到一个新的向量。
向量的减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，然后连接两个向量的终点，从而得到一个新的向量。
向量的加减法课件
题目2
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 1,2)$，求$overset{longrightarrow}{a} overset{longrightarrow}{b}$。
进阶练习题
题目3
三角形法则的几何解释
向量减法的三角形法则可以理解为两个向量在起点和终点之间形成的闭合三角形，减数向量是三角形的一条边。
向量减法的向量场意义
向量场
向量场是由一组有序的向量所组成的集合，每个向量都有一个起点和一个终点。
向量场中向量的加减法
在向量场中，向量的加减法可以通过将减数的起点移动到被减数的起点来实现，然后按照向量的加法 法则进行计算。
感谢您的观看
THANKS
02 向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本运算法则之一，它 基于平行四边形的性质，将两个向量相加得到一个新的向量 。
详细描述
向量加法的平行四边形法则是通过构造一个平行四边形，其 中两个相邻的边分别表示要相加的向量，然后连接对角线来 表示这两个向量的和。
详细描述
在向量场中，向量加法运算可以看作 是将一个向量从一个点平移到另一个 点，这种平移过程可以用来描述物体 在空间中的运动和力的作用。
03 向量减法的几何意义
向量减法的三角形法则
三角形法则
向量减法可以通过作平行四边形并取对角线来实现，也可以通过连接两个向量的起点，并作与减数平行的向量来 实现。
答案3
$2overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (5,5)$
向量及其加减法,向量与数的乘法
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
向量的运算的加减
向量的加减如下：
简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为（x,y）形式。
具体如下：向量的加法：A+B=（X1+X2，Y1+Y2）。
向量的减法：A-B=（X1-X2，Y1-Y2）。
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则；向量的加减乘（向量没有除法）运算满足实数加减乘运算法则。
向量加减法定则：
三角形定则
三角形定则解决向量加法的办法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向比较后一个向量的终点。
平行四边形定则
平行四边形定则解决向量加法的办法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。
向量代数常用公式
向量代数常用公式向量代数这玩意儿，在数学里可有着重要地位呢！咱们从小学到高中的教材里，都能瞧见它的身影。
咱先来说说向量的加法公式。
两个向量相加，就像是你和小伙伴一起搬东西，把你们各自的力气合到一块儿。
比如说，向量 a 是（3，4），向量 b 是（1，2），那它们相加就是（3 + 1，4 + 2），等于（4，6）。
这就好比你能搬 3 斤苹果，走 4 步路，你的小伙伴能搬 1 斤苹果，走 2 步路，一起合作，就能搬 4 斤苹果，走 6 步路啦。
再讲讲向量的减法。
向量相减，就像你给小伙伴分出去一部分东西。
比如向量 a 是（5，6），向量 b 是（2，3），a 减 b 就是（5 - 2，6 - 3），等于（3，3）。
还有向量的数乘。
这个就更好玩啦，就像是把你的力气放大或者缩小。
假如有个向量 a 是（2，3），乘个 2 ，就变成（4，6），乘个 0.5 ，就成了（1，1.5）。
给大家分享个我教学时候的事儿。
有一次上课，我给学生们讲向量的加减法，有个学生怎么都搞不明白。
我就拿教室里的桌椅打比方，把桌子当成一个向量，椅子当成另一个向量，移动桌子和椅子来演示相加和相减的过程。
嘿，这小家伙一下子就开窍了，眼睛都亮了起来。
向量的点乘也很重要哦。
它能帮我们算出两个向量的夹角，还能判断两个向量是同向还是反向。
如果点乘结果是正数，那夹角就是锐角；是负数，夹角就是钝角；是 0 ，那俩向量就垂直啦。
向量叉乘呢，在高中数学里比较深入一些。
它的结果是一个新的向量，而且这个向量和原来的两个向量都垂直。
总之，向量代数的这些公式就像是我们解题的法宝，用好了就能在数学的世界里畅游无阻。
咱们在学习向量代数的时候，可别被那些复杂的符号和公式给吓住了。
就像我刚刚说的，多联系实际，多想想生活中的例子，其实也没那么难。
只要咱们用心去学，多做几道题练练手，慢慢就能掌握这些公式的精髓啦。
希望大家都能在向量代数的世界里找到乐趣，把这部分知识学扎实，为未来的学习打下坚实的基础！。
如何求解向量的加减法和数量积
如何求解向量的加减法和数量积向量在数学和物理学中有着广泛的应用，了解如何求解向量的加减法和数量积是掌握向量运算的基础。
本文将介绍向量的概念，并详细说明如何进行向量的加减法和数量积运算。
一、向量的概念及表示方法向量是具有大小和方向的量，常用箭头标记表示。
向量可以表示位移、速度、力以及其它物理量。
在二维平面中，向量可以表示为一个有序数对 (a,b)，其中 a 是横坐标分量，b 是纵坐标分量。
在三维空间中，一个向量可以表示为一个有序数组 (a,b,c)，即 (a,b,c)。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
对于两个二维向量 A(a1, a2) 和 B(b1, b2)，它们的加法计算方式如下：(A + B)(a1 + b1, a2 + b2)三、向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去得到一个新的向量。
对于两个二维向量 A(a1, a2) 和 B(b1, b2)，它们的减法计算方式如下：(A - B)(a1 -b1, a2 - b2)四、向量的数量积向量的数量积也称点积或内积，是一种运算方式，其运算结果为一个标量（即一个实数）。
对于两个二维向量 A(a1, a2) 和 B(b1, b2)，它们的数量积计算方式如下：A ·B = a1b1 + a2b2五、向量的运算性质1. 向量的加法满足交换律和结合律，即 A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 向量的减法需要使用负向量来表示，即 A - B = A + (-B)。
3. 向量的数量积满足交换律，即 A · B = B · A。
4. 向量的数量积满足分配律，即 A · (B+C) = A · B + A · C。
六、向量的加减法和数量积的应用向量的加减法和数量积在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
向量加减法的运算练习题(打印版)
向量加减法的运算练习题（打印版）一、向量加法1. 设向量 $\vec{a} = (3, 2)$ 和向量 $\vec{b} = (1, -1)$，求向量 $\vec{a} + \vec{b}$。
2. 已知向量 $\vec{c} = (-2, 4)$ 和向量 $\vec{d} = (4, -2)$，计算向量 $\vec{c} + \vec{d}$。
3. 若向量 $\vec{e} = (x, y)$ 和向量 $\vec{f} = (2x, 3y)$，求向量 $\vec{e} + \vec{f}$。
二、向量减法4. 已知向量 $\vec{g} = (5, -3)$ 和向量 $\vec{h} = (2, 1)$，求向量 $\vec{g} - \vec{h}$。
5. 设向量 $\vec{i} = (-1, 2)$ 和向量 $\vec{j} = (3, -4)$，计算向量 $\vec{i} - \vec{j}$。
6. 若向量 $\vec{k} = (a, b)$ 和向量 $\vec{l} = (-a, -b)$，求向量 $\vec{k} - \vec{l}$。
三、向量加减法的应用7. 已知点A的坐标为 $(2, 3)$，点B的坐标为 $(5, 7)$，求向量$\vec{AB}$。
8. 若点C的坐标为 $(-3, 1)$，点D的坐标为 $(1, -2)$，计算向量$\vec{CD}$。
9. 假设向量 $\vec{m} = (1, 0)$ 和向量 $\vec{n} = (0, 1)$，求向量 $\vec{m} + \vec{n}$ 与向量 $\vec{m} - \vec{n}$。
四、向量加减法的混合运算10. 已知向量 $\vec{p} = (4, -1)$，向量 $\vec{q} = (-2, 3)$，求向量 $\vec{p} + \vec{q}$ 和向量 $\vec{p} - \vec{q}$。
11. 设向量 $\vec{r} = (x, 2x)$ 和向量 $\vec{s} = (3x, -x)$，计算向量 $\vec{r} + \vec{s}$ 和向量 $\vec{r} - \vec{s}$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b
c
a
b
c
a
a? b? c
2.向量的减法运算
三角形法则 B OA? OB
B
O
A
O
A
把两个向量的起点重合，连接两向量
的终点,箭头指向被减向量的向量就是这
两个向量的差。
即:OA―OB = BA
注意:两个向量的和或差仍然是向量，
AB - AB=O(不要错为AB―AB=0）
例 2 平行四边形 ABCD中， AB ? a ， AD ? b ，用 a ， b
a
b b+a a+b b
a
4.向量加法性质:a+(-a)=0，a+0=a
注意：
?（1）两相向量的和仍是一个向量；
?（2）当向量a与b不平行时，a+b与 a,b都不平行,且|a+b|<|a|+|b|;
?（3）当a与b同向时，则a+b、a、b 同向，且|a+b|=|a|+|b|;
当a与b反向时，若|a|>|b|,则a+b 的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|;
若|a|<|b|,则a+b的方向与相同b， 且|a+b|=|b|-|a|.
例1.如图，一艘船从A点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河 水的流速为2km/h，求船的实际航行的速 度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
如图,已知向量 a,b, c , 求作向量 a ? b ? c
AC DB 表示向量
、
新疆
王新敞
奎屯
变式一：当 a ， b 满足什么条件时， a + b 与 a - b 垂直？ 变式二：当 a ， b 满足什么条件时， | a + b | = | a - b |？ 变式三： a + b 与 a - b 可能是相等向量吗？
注意：
(1)表示a ? b强调：差向量“箭头”指 向被减数 (2)用“相反向量”定义法作差向量，
a ? b = a + (?b)
例2.下列等式,正确的个数是( ) ①a+0=a ②b+a=a+b ③-(-a)=a ④a+(-a)=0 ⑤a+(-b)=a-b
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 ?例3.下列等式中一定能成立的是( )
(A) AB+AC=BC (B ) AB-AC=BC.
(C)AB+AC=CB (D)AB-AC=CB 例4.化简OP-QP+PS+SP的结果等于( )
向量的加减法
一.向量的加法运算
1.平行四边形法则
B B
B C
பைடு நூலகம்
O' O
AO
AO
A
以两向量为两边作平行四边形，平行四边形的
对角线即两向量之和。
2.三角形法则
B
B
B
C
O'
O
AO
AO
A
把一向量平移到向量的一端，使其首尾相连形 成三角形的两边，第三边就是它们向量的和 .
3.向量加法满足交换律和结合律： 即:a+b=b+a； a+(b+c)=(a+b)+c
(A)QP (B) OQ (C) SP (D)SQ
1、 已知两个力 F1,F2 的夹角是直角，且已知它们
的合力 F 与 F1 的夹角是 60 ? ，|F|=10N 求 F1 和
F2 的大小。
2、 用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边 形是平行四边形。
3、 在五边形 ABCDE 中,设 AB = a , AE = b , BC = c , ED = d ,用 a 、 b 、 c 、 d 表示 CD 。