向量的加减法
平面向量加减法公式
平面向量加减法公式
平面向量的加法和减法是向量运算中的基本操作，下面我会从多个角度来解释这些公式。
首先，让我们回顾一下向量的定义。
在二维平面上，一个向量可以用它的横坐标和纵坐标来表示。
假设有两个向量 a 和 b，它们分别表示为 a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)。
向量的加法公式如下：
a +
b = (a1 + b1, a2 + b2)。
这意味着向量的加法就是将两个向量的对应分量分别相加，得到一个新的向量，它的横坐标是原始向量的横坐标相加，纵坐标是原始向量的纵坐标相加。
向量的减法公式如下：
a b = (a1 b1, a2 b2)。
向量的减法也是类似的操作，将两个向量的对应分量分别相减，得到一个新的向量。
另外，我们还可以用向量的几何方法来理解向量的加法和减法。
假设有两个向量 a 和 b，它们的起点都放在原点 O，那么 a + b
的结果就是以向量 a 的终点为起点，以向量 b 的终点为终点的新
向量。
而 a b 的结果则是从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的新向量。
向量的加法和减法还满足一些性质，比如交换律和结合律。
即
a +
b = b + a，(a + b) +
c = a + (b + c)。
这些性质使得向量
的加法和减法更加灵活和便于计算。
总的来说，向量的加法和减法是向量运算中的基本操作，它们
可以用公式表示，也可以用几何方法理解，同时还满足一些重要的
性质。
这些公式和性质对于理解和应用向量运算非常重要。
空间向量与向量加减法
空间向量与向量加减法在数学和物理学中，空间向量是指具有大小和方向的向量，通常用箭头表示。
它们可以用于描述物体在三维空间中的位置、运动和力等概念。
为了进行方便的计算和分析，我们需要了解空间向量的表示方法以及向量的加减法。
一、空间向量的表示方法空间向量通常用坐标表示，它由三个分量组成，分别表示在三个坐标轴方向上的长度。
我们可以用向量的起点和终点坐标表示一个空间向量，也可以使用向量的坐标表示。
例如，一个空间向量可以表示为V=(x,y,z)，其中x、y、z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
当我们要计算两个向量的和时，只需将它们的对应分量相加即可。
设有两个向量A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，它们的和记为C=(c1,c2,c3)。
则C的每个分量分别等于A和B对应分量的和，即c1=a1+b1，c2=a2+b2，c3=a3+b3。
三、向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。
当我们要计算两个向量的差时，只需将它们的对应分量相减即可。
设有两个向量A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，它们的差记为D=(d1,d2,d3)。
则D的每个分量分别等于A和B对应分量的差，即d1=a1-b1，d2=a2-b2，d3=a3-b3。
四、向量加减法的性质向量加减法满足以下性质：1. 交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。
2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B-C)。
3. 零向量：对于任意向量A，有A+0=A，A-0=A。
其中，0表示分量均为零的向量。
五、向量加减法的图示解释为了更好地理解向量加减法，我们可以将向量在三维空间中进行图示表示。
向量的加法可以理解为将一个向量平移至另一个向量的终点，从而得到一个新的向量。
向量的减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，然后连接两个向量的终点，从而得到一个新的向量。
高一数学向量的加减法
A
. O
. N
2, 填空
AB - AD = DB BA - BC = CA
BC - BA =
OD - OA =
AC
AD
BA
OA - OB =
(3)填空
(1) (2) (3) AB - AC - CB = 0
AB + BC - AD
AB + BC - DC AB - AC + BC
=
= =
DC
AD
先复习向量的加法
b
a
a 三角形法则
-----首尾相接首到尾
平行四边形法则
----相同起点对角线
同学们学习了向量的加法，接 下来我们要学习
向量的减法
c
b
如图:
a+b= c
c-a = b
移项得:
a
c a b
这么说来，向量c与向量a进 行了减法运算，得到向量b。 像这样求两个向量的差的运 算叫做向量的减法。 那么向量的减法有什么 规律呢？
(4)
0
课堂小结:
(1)向量减法的概念.
(2)向量减法可以看作一个向量 加上另一个向量的相反向量. (3)a-b 几何作法:平移同起点,方向指向 被减数a 。 a a-b
o
b
作业: (1)课本105页第6 题
(2)同步做练习册
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一串地响了起来在这些不协调的声音中，其狐朋狗友们起身准备离开了。围堵在酒店门口的人们看到他们要走了，只给他们让开了一 条不够一人通过的小缝隙，他们只好一个接一个地侧着身子灰溜溜地挤出去走掉了。随后，那两桌衣着阔绰的外地大商人也站起来准 备走了。临走时，他们还都没有忘了对站在前台的耿正兄妹三人或拱拱手，或点点头。那些围堵在酒店门口的人看到他们出来，就让 开了更大一些的缝隙。他们也走了。90第五十二回 献艺期将满遇难坎儿|（酒店老板虽仁义，卑劣小人现丑行；兄妹献艺期将满，到 底还是遇难坎儿。）耿家兄妹仨与“盛元酒店”老板签署的三月期献艺契约眼见着就要到期了。老板提出来增加薪金续签，但耿正婉 言谢绝了。他真诚地对老板说：“非常感谢您的知遇之恩！不过，我们做完上次签的契约，就已经攒够做小生意的本钱了。在贵酒店 献艺固然不错，但我们更愿意改做生意！”这位老板人本不错，见耿正如此说，只能深表惋惜，别的也就不再说什么了。但实践已经 证明，这种拉奏演艺说唱班形式的艺人组合是非常有特色，也很吸引人的。为了确保酒店能够继续沿用这种组合形式的艺人班子，老 板就在酒店门口张贴出一张另招募一组这种艺人组合的启示。不成想，就是这个再平常不过的小小启示，却引来了一场天大的麻烦！ 说起来，出麻烦的那天距离契约期满只差一天了。那天的晚饭当口，耿正兄妹三人像往常一样有条不紊地在演唱台上拉奏演唱着。但 很快，情况就有些不对劲了：坐在台前主桌上的一个阔佬明显有意刁难，一个接一个地点一些先前不曾演唱过的怪异节目，和他同桌 吃饭的几个食客也帮着起哄，搞得整个大厅内的气氛骤然紧张起来。献艺三个月来，耿家兄妹仨第一次遭遇到了如此难以应付的尴尬 场面。酒店的伙计们原本知道这个姓吴的阔佬仗着自己很有钱，经常做一些为富不仁蛮不讲理的事情。和他同桌吃饭的几个食客都是 他的狐朋狗友，全都不是地道人儿。此时，看到形势不对劲儿了，领班的伙计头儿赶快吩咐一个机灵的小伙计去后面告知老板。听了 小伙计的述说，老板一点儿不敢怠慢，赶快整整衣冠来到前台，举止谦恭地去见那姓吴的阔佬。只见他人还没有走到那张饭桌前，就 已经开始拱手施礼了，并且以热情的笑脸连声说：“在下不知吴大员外光临，有失远迎啊，恕罪，恕罪！您也看到了，这三兄妹还年 幼呢，他们技艺不精，会演唱的曲目有限，还请大员外多多光照啊，不要难为他们！”但这蛮横的阔佬根本就不买这个账，反而傲慢 地斜眼儿瞧着谦恭的酒店老板，皮笑肉不笑地嘿嘿两声以后，这才阴阳怪气地说：“老板啊，你这个演唱班不错嘛，在咱们这个小小 的景德镇上还算有些名气呢！我嘛，实不相瞒，最近已经慕名来过你
《向量的加减法》课件
欢迎来到《向量的加减法》课件！在本课程中，我们将深入探讨向量的定义、 加法、减法、平移和线性组合等概念。
1. 概述
向量是一个常见且重要的数学概念，它既可以用于表示物理量，也可以用于 描述几何关系。本节将介绍向量的定义和基本性到一个新的向量。我们将讨论加法的几何意义、计算方法和运算规律。
3. 向量的减法
向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，从而得到一个新的向量。 我们将探讨减法的几何意义、计算方法和运算规律。
4. 向量的平移
向量的平移是指将一个向量从一个点移动到另一个点，从而得到一个平移后 的向量。我们将研究平移的定义、几何意义和计算方法。
5. 向量的线性组合
向量的线性组合是指用标量乘以向量再相加的运算。我们将介绍线性组合的 定义、概念、计算方法和应用。
6. 例题解析
通过解析一些实例题，我们将加深对向量加减法、平移和线性组合的理解， 并学会如何应用这些概念解决实际问题。
7. 总结
在本课程的总结中，我们将回顾重点概念、整理知识点，并提供学习建议，帮助你更好地掌握向量的加减法。
向量的加减法课件
题目2
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 1,2)$，求$overset{longrightarrow}{a} overset{longrightarrow}{b}$。
进阶练习题
题目3
三角形法则的几何解释
向量减法的三角形法则可以理解为两个向量在起点和终点之间形成的闭合三角形，减数向量是三角形的一条边。
向量减法的向量场意义
向量场
向量场是由一组有序的向量所组成的集合，每个向量都有一个起点和一个终点。
向量场中向量的加减法
在向量场中，向量的加减法可以通过将减数的起点移动到被减数的起点来实现，然后按照向量的加法 法则进行计算。
感谢您的观看
THANKS
02 向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本运算法则之一，它 基于平行四边形的性质，将两个向量相加得到一个新的向量 。
详细描述
向量加法的平行四边形法则是通过构造一个平行四边形，其 中两个相邻的边分别表示要相加的向量，然后连接对角线来 表示这两个向量的和。
详细描述
在向量场中，向量加法运算可以看作 是将一个向量从一个点平移到另一个 点，这种平移过程可以用来描述物体 在空间中的运动和力的作用。
03 向量减法的几何意义
向量减法的三角形法则
三角形法则
向量减法可以通过作平行四边形并取对角线来实现，也可以通过连接两个向量的起点，并作与减数平行的向量来 实现。
答案3
$2overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (5,5)$
向量及其加减法,向量与数的乘法
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
向量的运算的加减
向量的加减如下：
简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为（x,y）形式。
具体如下：向量的加法：A+B=（X1+X2，Y1+Y2）。
向量的减法：A-B=（X1-X2，Y1-Y2）。
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则；向量的加减乘（向量没有除法）运算满足实数加减乘运算法则。
向量加减法定则：
三角形定则
三角形定则解决向量加法的办法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向比较后一个向量的终点。
平行四边形定则
平行四边形定则解决向量加法的办法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。
向量代数常用公式
向量代数常用公式向量代数这玩意儿，在数学里可有着重要地位呢！咱们从小学到高中的教材里，都能瞧见它的身影。
咱先来说说向量的加法公式。
两个向量相加，就像是你和小伙伴一起搬东西，把你们各自的力气合到一块儿。
比如说，向量 a 是（3，4），向量 b 是（1，2），那它们相加就是（3 + 1，4 + 2），等于（4，6）。
这就好比你能搬 3 斤苹果，走 4 步路，你的小伙伴能搬 1 斤苹果，走 2 步路，一起合作，就能搬 4 斤苹果，走 6 步路啦。
再讲讲向量的减法。
向量相减，就像你给小伙伴分出去一部分东西。
比如向量 a 是（5，6），向量 b 是（2，3），a 减 b 就是（5 - 2，6 - 3），等于（3，3）。
还有向量的数乘。
这个就更好玩啦，就像是把你的力气放大或者缩小。
假如有个向量 a 是（2，3），乘个 2 ，就变成（4，6），乘个 0.5 ，就成了（1，1.5）。
给大家分享个我教学时候的事儿。
有一次上课，我给学生们讲向量的加减法，有个学生怎么都搞不明白。
我就拿教室里的桌椅打比方，把桌子当成一个向量，椅子当成另一个向量，移动桌子和椅子来演示相加和相减的过程。
嘿，这小家伙一下子就开窍了，眼睛都亮了起来。
向量的点乘也很重要哦。
它能帮我们算出两个向量的夹角，还能判断两个向量是同向还是反向。
如果点乘结果是正数，那夹角就是锐角；是负数，夹角就是钝角；是 0 ，那俩向量就垂直啦。
向量叉乘呢，在高中数学里比较深入一些。
它的结果是一个新的向量，而且这个向量和原来的两个向量都垂直。
总之，向量代数的这些公式就像是我们解题的法宝，用好了就能在数学的世界里畅游无阻。
咱们在学习向量代数的时候，可别被那些复杂的符号和公式给吓住了。
就像我刚刚说的，多联系实际，多想想生活中的例子，其实也没那么难。
只要咱们用心去学，多做几道题练练手，慢慢就能掌握这些公式的精髓啦。
希望大家都能在向量代数的世界里找到乐趣，把这部分知识学扎实，为未来的学习打下坚实的基础！。
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3、向量的加法
求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．
法则：①三角形法则；②平行四边形法则．
运算律：交换律＋＝＋，
结合律(＋)＋＝＋(＋)．
4、向量的减法
向量的加法和减法互为逆运算．已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法．
差向量：向量加上的相反向量，叫做与的差（向量）
求差向量的方法：向量减法的三角形法则，即减向量的终点指向被减向量的终点．
二、重难点知识剖析
1、的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段
2、已知向量、在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即
3、向量减法的三角形法则：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.
在平面内任取一点O，作，则向量．
4、多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量．
只要你理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手了，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：
（1）化简－＋－＝（＋）－（＋）＝－＝（2）化简＋＋＋=.
特殊情况：两向量平行
对于零向量与任一向量，有
三、例题讲解
例1、化简下列各式：
（1）；
（2）.
分析：利用向量加法、减法的运算律。
解：（1）原式= =；
（2）原式==；
点评：
一般地，我们总有因此在涉及到向量的有关运算时，要注意围绕上述基本结论进行变形。
例2、在四边形ABCD中，，试判断四边形的形状．
分析：结合图中的三角形运用向量加法的三角形法则．
解：如图所示，由向量加法的三角形法则得
∴四边形ABCD是平行四边形．
例3、如图，在以正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点为起点、终点的向量中，
（1）写出所有与相等的向量；
（2）写出所有与相反的向量；
（3）写出与相等及相反的向量；
（4）写出与共线的向量．
解析：
（1）与相等的向量有：．
（2）与相反的向量有：．
（3）与相等及相反的向量有：．
（4）与平行的向量有：．。