2020-2021高中高一三角同步练习9(三角函数模型的简单应用)
【人教A版】必修4高中数学同步辅导与检测题：第一章1.6三角函数模型的简单应用(含答案)
第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用A级基础巩固一、选择题1．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()A．60B．70C．80 D．90解析：因为T＝2π160π＝180，所以f＝1T＝80.答案：C2．与图中曲线对应的函数解析式是()A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|解析：注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin|x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B.答案：C3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin t 2(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的()A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：因为10≤t ≤15时，有32π<5≤t 2≤152<52π此时F (t )＝50＋4sin t2是增函数，即车流量在增加．答案：C4．一种波的波形为函数y ＝－sin π2x 的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：函数y ＝－sin π2x 的周期T ＝4且x ＝3时y ＝1取得最大值，因此t ≥7.答案：C5．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，所以T ＝2π|ω|＝2π2π＝1 s ，即单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.答案：D 二、填空题6．用作调频无线电信号的载波以y ＝a sin(1.83×108πt )为模型，其中t 的单位是秒，则此载波的周期为__________，频率为____________．解析：T ＝2πω＝2π1.83×108π≈1.09×10－8(s)， f ＝1T＝9.17×107(Hz)． 答案：1.09×10－8 s 9.17×107 Hz7．已知某种交变电流I (A)随时间t (s)的变化规律可以拟合为函数I ＝52sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt －π2，t ∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5 s 内往复运动的次数是________________．解析：周期T ＝150 s ，所以频率为每秒50次，所以0.5秒内往复运动的次数为25.答案：258．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(A ＞0，x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5 答案：20.5 三、解答题9．交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E＝2203sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间． 解：(1)当t ＝0时，E ＝2203sin π6＝1103(伏)，即开始时的电压为1103伏． (2)电压的最大值为2203伏．当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得这个最大值．10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解：(1)因为f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．B 级 能力提升1．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象上一个最高点为点(2，3)，与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是点(6，0)，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x －π4B ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π4C ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4D ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4解析：由题意知A ＝3，14T ＝6－2＝4，所以T ＝16，故T ＝2πω＝16，所以ω＝π8，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ，因为最高点为(2，3)，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，又0＜φ＜π.所以φ＝π4，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.答案：C2．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f (x )＝________．解析：由题意得⎩⎨⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2×(7－3)＝8，所以ω＝2πT ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，所以8＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，结合|φ|＜π2可得φ＝－π4.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π4＋6.答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π4＋63．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式P (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)．(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解：(1)函数p (t )的最小正周期为 T ＝2π|ω|＝2π160π＝180 min.(2)此人每分钟心跳的次数即频率为：f ＝1T ＝80.(3)p (t )max ＝115＋25＝140 mmHg. p (t )min ＝115－25＝90 mmHg. 即收缩压为140 mmHg.舒张压为90 mmHg ，比正常值稍高．。
专题06 三角函数模型的简单应用(基础练)-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练
一．选择题1．M ，N 是曲线sin y x π=与曲线cos y x π=的两个不同的交点，则||MN 的最小值为 A ．π B．2πC ．3πD ．2π【答案】C【解析】要求||MN 的最小值在，只要在一个周期内解即可sin cos x x ππ= 解得4x π=或54x π=得到两个点为2(,,)4ππ和52(,)4ππ-得到22522||()()34422MN πππππ=-+--= 故选C ．2．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动(0)θθ>角到OB ，设B 点与地面距离为h ，则h 与θ的关系式为A ． 5.6 4.8sin h θ=+B ． 5.6 4.8cos h θ=+C ． 5.6 4.8cos()2h πθ=++D ． 5.6 4.8sin()2h πθ=+-【答案】D【解析】过点O 作平行于地面的直线l ，再过点B 作l 的垂线，垂足为P ，则2BOP πθ∠=-，根据三角函数的定义得：sin() 4.8sin()22BP OB ππθθ=-=-4.80.85.6 4.8sin()2h BP πθ=++=+-专题06 三角函数模型的简单应用第一章 三角函数故选D ．3．在图中，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x （单位：)cm 和时间t （单位：)s 之间的函数关系式为A ．3sin 2x = ( 232t ππ- )B ．23sin(3x t π= ) C ．3sin 2x = ( 32t π+ )D ．23sin()32x t ππ=+ 【答案】D【解析】设位移x 关于时间t 的函数为()sin()(0)x f t A t ωϕω==+>， 则3A =，周期23T πω==，故23πω=， 由题意可知当0x =时，()f t 取得最大值3，故3sin 3ϕ=，故22k πϕπ=+，故选D ．4．若动直线x a =与函数()3)12f x x π=+与()cos()12g x x π=+的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为A 3B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】()3sin(),()cos()1212f x xg x x ππ+=+令h （a ）3sin()cos()1212a a ππ=+-+∴求||MN 的最大值即求函数h （a ）的最大值h （a ）3sin()cos()1212a a ππ+-+2sin()2sin()1266a a πππ=+-=- ∴函数h （a ）的最大值为2故选C ．5．在同一平面直角坐标系中，函数3cos()([0,2])22x y x ππ=+∈的图象和直线12y =的交点个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．4【答案】C【解析】原函数可化为：3cos()([022x y x π=+∈，2])sin 2xπ=，[0x ∈，2]π．当[0x ∈，2]π时，[02x∈，]π，其图象如图，与直线12y =的交点个数是2个． 故选C ．6．设()y f x =是某港口水的深度y （米关于时间t （时的函数，其中024t ，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是([0t ∈，24]) A ．123sin 12y t π=+B ．123sin()6y t ππ=++C ．123sin 6y t π=+D ．123sin()122y t ππ=++【答案】C【解析】由于()y f t =可以近似看成sin()y k A x ωϕ=++的图象，根据港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系，可得函数的周期12T =可排除A 、D ， 将(3,15)代入B ，C ，可排除B ，C 满足． 故选C ． 二．填空题7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数cos[(6)](16y a A x x π=+-=，2，3，⋯，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28C ︒，12月份的月平均气温最低为18C ︒，则10月份的平均气温值为 C ︒．【答案】20.5【解析】据题意得28a A =+，18cos[(126)]6a A a A π=+-=-解得23a =，5A = 所以235cos[(6)]6y x π=+-令10x =得2235cos[(106)]235cos 20.563y ππ=+-=+=故答案为：20.58．哈尔滨文化公园的摩天轮始建于2003年1月15日，2003年4月30日竣工，是当时中国第一高的巨型摩天轮，其旋转半径50米，最高点距地地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第14分钟时他距地面大约为 米． 【答案】85【解析】设P 与地面高度与时间t 的关系，()sin()(0f t A t B A ωϕ=++>，0ω>，[0ϕ∈，2))π， 由题意可知：50A =，1105060B =-=，221T πω==，221πω∴=，即2()50sin()6021f t t πϕ=++， 又因为(0)11010010f =-=，即sin 1ϕ=-，故32πϕ=，23()50sin()60212f t t ππ∴=++， 23(14)50sin(14)6085212f ππ∴=⨯++= 故答案为：85．。
2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《三角函数模型的简单应用》(含答案解析)
1.6 三角函数模型的简单应用学习目标1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点 利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ 答案 三角函数模型.梳理：(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步：收集、整理数据，建立数学模型.根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案. (2)三角函数模型的建立程序 如图所示：类型一 三角函数模型在物理中的应用例1.已知电流I 与时间t 的关系为I=Asin(ωt＋φ).(1)如图所示的是I=Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I=Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150的时间内，电流I=Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1.一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S=6sin(2πt＋π6).(1)画出它的图象； (2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t=0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？类型二 三角函数模型在生活中的应用例2.某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：(1)当此人第四次距离地面692米时用了多少分钟？(2)当此人距离地面不低于(59＋4923)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行： (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论； (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解； (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解； (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2.如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在距离地面2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.1.一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g lt ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l=________ cm.2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a ＋Acos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x=1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α=Asin(ωt＋π2)，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t=0)时，α=π3，且每经过π s 小球回到初始位置，那么A=________；α关于t 的函数解析式是____________________.4.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)=10－2sin(π12t ＋π3)，t∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验. 课时作业一、选择题1.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为－5 cmC.该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D.该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)=Asin(ωx＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)， 已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元， 根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )A.f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x≤12，x∈N *)B.f(x)=9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x≤12，x∈N *)C.f(x)=22sin π4x ＋7(1≤x≤12，x∈N *)D.f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x≤12，x∈N *)3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数：F(t)=50＋4sin t2(t≥0)，则人流量是增加的时间段为( )A.[0，5]B.[5，10]C.[10，15]D.[15，20]4.如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )A.ω=2π15，A=3 B .ω=152π，A=3 C.ω=2π15，A=5 D .ω=152π，A=55.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.106.一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32 m(即OM 长)，巨轮的半径长为30 m ，AM=BP=2 m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为h(t) m ，则h(t)等于( )A.30sin(π12t －π2)＋30B.30sin(π6t －π2)＋30C.30sin(π6t －π2)＋32D.30sin(π6t －π2)7.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s=6sin(100πt＋π6)，那么单摆来回摆一次所需的时间为( )A.150 s B.1100s C.50 s D.100 s二、填空题8.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt＋π6)(A>0，ω≠0)的图象如图所示，则当t=150秒时，电流强度是________安.9.设某人的血压满足函数式p(t)=115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________.10.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况， 则水面高度h 关于时间t 的函数解析式为________________.11.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t=0时， 点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________， 其中t∈[0，60].12.设偶函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f(16)的值为________.三、解答题13.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈， 如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？四、探究与拓展14.有一冲击波，其波形为函数y=－sin πx2的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t 的最小值是( )A.5B.6C.7D.815.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx＋φ)＋b(0<φ<π2).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式.答案解析例1.根据图中数据求I=Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)解：(1)由图可知A=300，设t 1=－1900，t 2=1180，则周期T=2(t 2－t 1)=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900=175.∴ω=2πT =150π.又当t=1180时，I=0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ=0，而|φ|<π2，∴φ=π6. 故所求的解析式为I=300sin ⎝⎛⎭⎪⎫150πt＋π6. (2)依题意知，周期T≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N *，故所求最小正整数ω=943.跟踪训练1.解：(1)周期T=2π2π=1(s).t 0 16 512 23 11121 2πt＋π6 π6 π2 π 3π2 2π 2π＋π66sin(2πt＋π6)36－63描点画图：(2)①小球开始摆动(即t=0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 例2.解：(1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t 分钟时距地面y 米，则α=2π18t=π9t.由y=108－982－982cos π9t=－49cos π9t ＋59(t≥0).令－49cos π9t ＋59=692，得cos π9t=12，∴π9t=2kπ±π3，故t=18k±3，k∈Z ，故t=3，15，21，33.故当此人第四次距离地面692米时用了33分钟.(2)由题意得－49cos π9t ＋59≥59＋4923，即cos π9t≤－32.故不妨在第一个周期内求即可，所以5π6≤π9t≤7π6，解得152≤t≤212，故212－152=3. 因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌.跟踪训练2.解：(1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处.这时此人所转过的角为2π30 t=π15t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h=10sin π15t ＋12(t≥0).(2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t≥12，则52≤t≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.1.答案：g 4π2解析：∵T=2πgl=1，∴ g l =2π，∴l=g4π2.2.答案：20.5解析：由题意可知A=28－182=5，a=28＋182=23，从而y=5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)＋23. 故10月份的平均气温值为y=5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＋23=20.5.3.答案：π3，α=π3sin(2t ＋π2)，t∈[0，＋∞)；解析：∵当t=0时，α=π3，∴π3=Asin π2，∴A=π3.又∵周期T=π，∴2πω=π，解得ω=2.故所求的函数解析式是α=π3sin(2t ＋π2)，t∈[0，＋∞).4.解：(1)因为f(t)=10－2sin(π12t ＋π3)，又0≤t<24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin(π12t ＋π3)≤1.当t=2时，sin(π12t ＋π3)=1；当t=14时，sin(π12t ＋π3)=－1.于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10－2sin(π12t ＋π3)，故有10－2sin(π12t ＋π3)>11，即sin(π12t ＋π3)<－12.又0≤t<24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温.1.答案：D解析：该质点的振动周期为T=2×(0.7－0.3)=0.8(s)，故A 是错误的；该质点的振幅为5 cm ， 故B 是错误的；该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，故C 是错误的.故选D. 2.答案：A解析：令x=3可排除D ，令x=7可排除B ，由A=9－52=2可排除C.或由题意，可得A=9－52=2，b=7，周期T=2πω=2×(7－3)=8，∴ω=π4.∴f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7. ∵当x=3时，y=9，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋7=9，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ=1. ∵|φ|＜π2，∴φ=－π4.∴f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x≤12，x∈N *).3.答案：C解析：由2kπ－π2≤t 2≤2kπ＋π2，k∈Z 知，函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z .当k=1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.4.答案:A解析:由题目可知最大值为5，所以5=A×1＋2⇒A=3.T=15 s ，则ω=2π15.故选A.5.答案:C解析:由题干图易得y min =k －3=2，则k=5.∴y max =k ＋3=8. 6.答案:B解析:过点O 作地面的平行线作为x 轴，过点O 作x 轴的垂线，作为y 轴，过点B 作x 轴的垂线BN交x 轴于N 点，如图，点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是2π12=π6，所以t 分钟转过的弧度数为π6t.设θ=π6t ，当θ>π2时，∠BON=θ－π2，h=OA ＋BN=30＋30sin(θ－π2)，当0<θ<π2时，上述关系式也适合.故h=30＋30sin(θ－π2)=30sin(π6t －π2)＋30.7.答案：A8.答案：5解析：由图象可知A=10，周期T=2×(4300－1300)=150， ∴ω=2πT =100π，∴I=10sin(100πt＋π6)，当t=150秒时，I=10sin(2π＋π6)=5(安). 9.答案：80；解析：T=2π160π=180(分)，f=1T=80(次/分). 10.答案：h=－6sin π6t ，t∈[0，24] 解析：根据题图设h=Asin(ωt＋φ)，则A=6，T=12，2πω=12，∴ω=π6. 点(6，0)为“五点”作图法中的第一点，∴π6×6＋φ=0，∴φ=－π， ∴h=6sin(π6t －π)=－6sin π6t ，t∈[0，24]. 11.答案：10sin πt 60解析：将解析式可写为d=Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A=10，当t=0时，d=0，得φ=0；当t=30时，d=10，可得ω=π60，所以d=10sin πt 60. 12.答案：34解析：取K ，L 的中点N ，则MN=12，因此A=12.由T=2得ω=π. ∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ=π2，∴f(x)=12cos πx，∴f(16)=12cos π6=34. 13.解：(1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角.OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60=π6，则OP 在时间t(s)内所转过的角为π6t. 由题意可知水轮逆时针转动，得z=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t=0时，z=0，得sin φ=－12，即φ=－π6.故所求的函数关系式为z=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2. (2)令z=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2=6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6=1，令π6t －π6=π2，得t=4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.14.答案：C ；15.解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y=Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A=12×(50－30)=10，b=12×(50＋30)=40. ∵12×2πω=14－8，∴ω=π6.∴y=10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x=8，y=30代入上式， 又∵0<φ<π2，∴φ=π6. ∴所求解析式为y=10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x∈[8，14].。
【人教A版高一数学必修4《三角函数》知识与能力提升练习】1.6三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.与图中曲线对应的函数是( )A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|2.如图为一半径为3米的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮自点A开始旋转,15s旋转一圈.水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )A.ω=,A=3B.ω=,A=3C.ω=,A=5D.ω=,A=53.图为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7sB.该质点的振幅为5cmC.该质点在0.1s和0.5s时速度最大D.该质点在0.3s和0.7s时加速度最大4.(2018·巢湖高一检测)商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin(t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[16,20]【延伸探究】本题条件不变,则在哪个时间段内人流量是减少的?5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的周期为,初相为,值域为[-1,3],则其函数式的最简形式为( )A.y=2sin+1B.y=2sin-1C.y=-2sin-1D.y=2sin+16.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示,则当t=秒时,电流强度是( )A.-5安B.5安C.5安D.10安7.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定:s1=5sin,s2=10cos2t.当t=时,s1与s2的大小关系是( )A.s1>s2B.s1<s2C.s1=s2D.不能确定8.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( )二、填空题(每小题5分,共10分)9.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12s旋转一周.已知当t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数的单调递增区间是.【补偿训练】如图,显示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天从0～24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为.10.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转.当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d= ,其中t∈[0,60].三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acosωt+B.(1)根据以上数据,求函数y=Acosωt+B的最小正周期T、振幅A及函数解析式.(2)根据规定,当海浪高度等于或高于1m时才对冲浪爱好者开放.请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多长时间可供冲浪者进行活动?12.如图所示,某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这一天的最大用电量和最小用电量.(2)写出这段曲线的函数解析式.【能力挑战题】某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份达到最高价格8元,7月份价格最低为4元,该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动,5月份销售价格最高为10元,9月份销售价最低为6元,假设商店每月购进这种商品m件,且当月销完,你估计哪个月份盈利最大?三角函数模型的简单应用(答案解析)(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.与图中曲线对应的函数是( )A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|【解析】选C.因为图象关于y轴对称,故排除A,D.又当∈(0,π)时y<0,故选C.2.如图为一半径为3米的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮自点A开始旋转,15s旋转一圈.水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )A.ω=,A=3B.ω=,A=3C.ω=,A=5D.ω=,A=5【解析】选A.因为T=15,故ω==,显然y max-y min的值等于圆O的直径,即y max-y min=6,故A===3.3.图为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7sB.该质点的振幅为5cmC.该质点在0.1s和0.5s时速度最大D.该质点在0.3s和0.7s时加速度最大【解析】选B.周期为2×(0.7-0.3)=0.8s,故A错;由题中图象可知,振幅为5cm,故B对;在最高点时,速度为零,加速度最大,故C、D错.4.(2018·巢湖高一检测)商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin(t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[16,20]【解析】选C.由2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,得4kπ-π≤t≤4kπ+π,k∈Z.当k=1时,得t∈[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π],故在[10,15]上是增加的.【延伸探究】本题条件不变,则在哪个时间段内人流量是减少的?【解析】选D.由2kπ+≤≤2kπ+,k∈Z得,4kπ+π≤t≤4kπ+3π,k∈Z,当k=1时,得t∈[5π,7π],而[16,20]⊆[5π,7π],故在[16,20]上是减少的.5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的周期为,初相为,值域为[-1,3],则其函数式的最简形式为( )A.y=2sin+1B.y=2sin-1C.y=-2sin-1D.y=2sin+1【解析】选A.A==2,B==1.又T=,所以ω==3.φ=,所以f(x)=2sin+1.6.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示,则当t=秒时,电流强度是( )A.-5安B.5安C.5安D.10安【解析】选A.由图知A=10,T=2==,所以ω=100π,则I=10sin(100πt+φ).因为点(0,5)在图象上,所以10sinφ=5,即sinφ=,φ=,所以I=10sin.当t=时,I=10sin=10sin=-5.7.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定:s1=5sin,s2=10cos2t.当t=时,s1与s2的大小关系是( )A.s1>s2B.s1<s2C.s1=s2D.不能确定【解析】选C.当t=时,s1=5sin=5sin=-5.s2=10·cos=-5.所以s1=s2.8.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( )【解题指南】可借助弧长计算公式及圆中相应几何性质得出.【解析】选C.由l=αR可知α=,结合圆的几何性质可知=Rsin,所以d=2Rsin=2Rsin,又R=1,所以d=2sin,故结合正弦图象可知,选C.二、填空题(每小题5分,共10分)9.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12s旋转一周.已知当t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数的单调递增区间是.【解析】由T=12,所以ω==,从而可设y关于t的函数为y=sin(t≥0),又t=0时,y=,所以φ=,所以y=sin所以当-+2kπ≤t+≤+2kπ,k∈Z,即-5+12k≤t≤1+12k,k∈Z,函数单调递增,因为0≤t≤12.所以增区间为[0,1]和[7,12].答案:[0,1],[7,12]【补偿训练】如图,显示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天从0～24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为.【解析】设h=Asin(ωt+φ),由图象知A=6,T=12,所以=12,得ω==,点(6,0)为“五点法”中的第一点,故×6+φ=0,得φ=-π,所以h=6sin=-6sin t,t∈[0,24].答案:h=-6sin t,0≤t≤2410.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转.当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d= ,其中t∈[0,60].【解析】经过ts秒针转了trad.由图知sin=,所以d=10sin,其中t∈[0,60].答案:10sin三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acosωt+B.(1)根据以上数据,求函数y=Acosωt+B的最小正周期T、振幅A及函数解析式.(2)根据规定,当海浪高度等于或高于1m时才对冲浪爱好者开放.请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多长时间可供冲浪者进行活动?【解析】(1)由表中数据,知周期T=12,所以ω==.由t=0,y=1.5,得A+B=1.5,由t=3,y=1.0得B=1,所以A=0.5,所以y=cos t+1(0≤t≤24).(2)因为y≥1时,所以y=cos t+1≥1.所以cos t≥0,所以2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z),所以12k-3≤t≤12k+3(k∈Z).又因为8≤t≤20,所以k=1,即9≤t≤15.所以冲浪爱好者从上午9:00到下午15:00有6h可进行运动.12.如图所示,某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这一天的最大用电量和最小用电量.(2)写出这段曲线的函数解析式.【解析】(1)最大用电量为50万kW·h,最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象, 所以A=×(50-30)=10,b=×(50+30)=40.因为×=14-8,所以ω=.所以y=10sin+40.将x=8,y=30代入上式,解得φ=.所以所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].【能力挑战题】某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份达到最高价格8元,7月份价格最低为4元,该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动,5月份销售价格最高为10元,9月份销售价最低为6元,假设商店每月购进这种商品m件,且当月销完,你估计哪个月份盈利最大?【解析】设出厂价波动函数为y1=6+Asin(ω1x+φ1),易知A=2,T1=8,ω1=,+φ1=⇒φ1=-,所以y1=6+2sin.设销售价波动函数为y2=8+Bsin(ω2x+φ2),易知B=2,T2=8,ω2=,+φ2=⇒φ2=-,所以y2=8+2sin.每件盈利y=y2-y1=-=2-2sin x,当sin x=-1时,x=2kπ-(k∈Z),x=8k-2(k∈Z),此时y取最大值.当k=1,即x=6时,y最大.所以估计6月份盈利最大.。
2020-2021学年高一数学课时同步练习第五章第7节三角函数的应用
第五章 三角函数第7节 三角函数的应用一、基础巩固1．（2020·浙江高一课时练习）已知某人的血压满足函数解析式()24sin160115f t t π=+，其中()f t 为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）A ．60B ．70C ．80D ．90 【答案】C 【解析】解：由题意得函数的周期为2116080T ππ==， 所以频率180f T==，所以此人每分钟心跳的次数为80． 2．（2020·湖南月考）某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间t （单位：时）的变化近似满足函数关系11()sin 5(0,916)36f t A t A t ππ⎛⎫=-+>≤≤ ⎪⎝⎭，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ）A ．1万B ．9千C ．8千D ．7千 【答案】B【解析】下午两点整即14t =，当14t =时，()7f t =. 即17sin 576A π+=，∴4A =， ∵当916t ≤≤时，1136t ππ-∈77,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当115362t πππ-=时，()f t 取得最大值，且最大值为459+=. 3．（2020·湖北襄阳·高一期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．已知大正方形边长为10，小正方形边长为2.设较小直角边a 所对的角为α，则tan α的值为（ ）A ．12B ．34C ．43D ．35【答案】B【解析】由题意可得2b a =+，所以()22222100a b a a +=++=，解得6a =或8-（舍去），故8b =，所以63tan 84α==，故选：B 4．（2020·全国高一课时练习）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的弧长()s cm 与时间()t s 的函数关系式为π6sin 26s t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）A ．2 s πB ． s πC ．0.5 sD ．1s【答案】D 【解析】单摆来回摆动一次，即完成一个周期，因为6sin 26s t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期212T ππ==， 所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s ，故选D. 5．（2020·全国高一课时练习）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈()()sin 0,0,2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定()f x 的解析式为( )A ．()()*2sin 71124,4f x x x x ππ⎛⎫-+≤≤∈ ⎪⎝⎭N ＝B ．()()*9sin 11244,f x x x x ππ⎛⎫-≤≤∈ ⎪⎝⎭N ＝ C ．()()22sin7112,4f x x x x π*+≤≤∈N ＝ D ．()()*2sin 71124,4f x x x x ππ⎛⎫-+≤≤∈⎪⎝⎭N ＝ 【答案】A 【解析】因为3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，所以半周期42T =， 故8T =，所以4πω=，又95A c A c +=⎧⎨-+=⎩，所以27A c =⎧⎨=⎩， 所以()2sin 74f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 当3x =时，3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2πϕ<，4πϕ∴=-. ()()2sin 7112,44f x x x x ππ*⎛⎫∴=-+≤≤∈ ⎪⎝⎭N ，故选A. 6．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考（文））水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(2,2)M -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋转到点(),N x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+，π0,0,||2t ωϕ⎛⎫≥>< ⎪⎝⎭，则函数()f t 的解析式为（ ）A ．()2sin 304f t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 304f t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．()2sin 604f t t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()2sin 306f t t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】A 【解析】易知()()22222R =+-=，因旋转一周用时60秒，即260T πω==， 30πω∴=又由题意知(0)2f =-∴2sin()2ϕ-=-，又π||2ϕ< ∴4πϕ=-∴ ()2sin()304f t t ππ=- 7．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）如图，在热气球C 正前方有一高为m 的建筑物AB ，在建筑物底部A 测得C 的仰角为60°，同时在C 处测得建筑物顶部B 的俯角为30°，则此时热气球的高度CD 为（ ）A 2mB 3C ．332mD ．32m 【答案】D 【解析】由题意，∠BCA=∠BAC=30°，∠AB=BC=m ，3m ，∠ADC 中，CD=ACsin60°=32m 8．（2020·浙江高一课时练习）如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y ).若初始位置为P 031,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y与时间t 的函数关系式为（ ）A ．y ＝sin 306t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．y ＝sin 606t ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．y ＝sin 306t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D ．y ＝sin 303t ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】由题意可得，初始位置为P 03122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，不妨设初相为ϕ， 故可得1sin 2ϕ=，3cos 2ϕ=，则6πϕ=.排除B 、D. 又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝2||πω＝60， 所以|ω|＝30π，即ω＝－30π.故满足题意的函数解析式为：ππsin t 306y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 9．（2020·浙江高一课时练习）一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m(即OM 长)，巨轮的半径长为30m ，AM ＝BP ＝2m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为h (t )m ，则h (t )等于（ ）A ．30sin 122t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋30B ．30sin 62t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋30 C ．30sin 62t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋32 D ．30sin 62t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】过点O 作地面的平行线作为x 轴，过点O 作x 轴的垂线作为y 轴，过点B 作x 轴的垂线BN 交x 轴于N 点，如图，点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是2126ππ=，所以t 分钟转过的弧度数为6πt .设θ＝6πt ，当θ>2π时，∠BON ＝θ－2π， h ＝OA ＋BN ＝30＋30sin 2πθ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当0<θ<2π时，上述关系式也适合. 故h ＝30＋30sin 2πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝30sin 62t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋30. 10．（2018·韶关市第一中学高一期末）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】如图：过M 作MD OP ⊥于D ，则由题意可得：sin PM x =，cos OM x =，在Rt OMP △中，12OMP S MD OP OM PM =⋅=⋅， 所以cos sin 1cos sin sin 212x x OM PM MD x x x OP ====， ∴1()sin 2(0)2f x x x π=≤≤. 11．（2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校高一期中）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择,C D 两观测点，且在,C D 两点测得塔顶的仰角分别为45,30并测得120BCD ∠=，,C D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是（ ）A ．300mB ．600mC ．3003mD ．6003m【答案】B 【解析】解:设AB x =,由图利用直角三角形的性质可得:,3BC AB x BD x =＝＝.在BCD ∆中,由余弦定理可得:22236002600120x x xcos +⨯＝﹣化为:23001800000x x ﹣﹣＝,解得600x ＝. 12．（2020·四川高三其他（文））为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m 的半圆形空地O 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（ ）A ．4002mB ． 24002mC ．6002mD ．8002m【答案】D 【解析】如图连接OD ，设COD θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin 202sin CD OD θθ==，cos 202OC OD θθ==所以22202202800sin 2ABCD S OC CD θθθ=⋅=⨯⨯=因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,θπ∈，所以(]sin 20,1θ∈，所以(]0,800ABCD S ∈，当4πθ∈时()max 800ABCD S =13．（2020·安徽肥东·高三月考（理））如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为A ．505B ．507C ．5011D ．5019【答案】B 【解析】设该扇形的半径为r 米，连接CO ．由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在∠CDO 中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅=，即，2221501002150100cos60r +-⋅=，解得507r =（米）．14．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考（文））如图，重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”，其旋转半径为50米，最高点距离地面120米，开启后按逆时针方向旋转，旋转一周大约18分钟.将摩天轮看成圆面，在该平面内，以过摩天轮的圆心且垂直于地平面的直线为y 轴，该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，摩天轮开始启动，并记该时刻为0t =，则此人距离地面的高度()f t 与摩天轮运行时间t （单位：分钟）的函数关系式为（ ）A ．()50sin 20(0)9f t t t π=+ B ．()50sin 70(0)92f t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C ．()50sin 20(0)92f t t t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ D ．()50sin 70(0)9f t t t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】由已知()sin()(0,0)f t A t B A ωϕω=++>>，205012070A B A A B B ⎧-+==⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩， 18T =，2189ππω==， 当0t =时，sin 1ϕ=-，2πϕ=-，()50sin 70(0)92f t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 15．（2020·九龙坡·重庆市育才中学高三开学考试（理））第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么πcos(θ)2=πsin(θ-)2+（ ）A ．34-B ．43-C ．43D ．34【答案】D【解析】根据几何关系可知，图中直角三角形的两条直角边长相差为1，故可设直角三角形的两直角边长为,1a a +，由勾股定理可得：()22125a a ++=，解得3a=.故可得3 tan4θ=，πcos()sin32=tanπcos4sin()2θθθθθ+-==--16．（2020·河南焦作·高一期中）如图为一直径为6m的水轮,水轮圆心O距水面2m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点P到水面的距离y（m）与时间x（s）满足关系sin()2,0,0,0y A x A yωϕω=++>><是表示P表示在水面下,则有（）A．,315Aπω==B．2,315Aπω==C．,615Aπω==D．2,615Aπω==【答案】A【解析】由题意可知A为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为()60302T s==,所以215Tππω==.17．（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数sin()(0)y A x Bωϕϕπ=++<<，则下列说法正确的是（）A．该函数的周期是16B ．该函数图象的一条对称轴是直线14x =C ．该函数的解析式是310sin 20(614)84y x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭D ．这一天的函数关系式也适用于第二天E.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃【答案】ABE【解析】由题意以及函数的图象可知，30A B +=，10A B -+=，∴10A =，20B =.∵1462T =-，∴16T =，A 正确；∵2T πω=，∴8πω=， ∴10sin 208y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，∵图象经过点(14,30)， ∴3010sin 14208πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，∴sin 1418πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴ϕ可以取34π，∴310sin 20(024)84y x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，B 正确，C 错；这一天的函效关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D 错；当12x =时，3210sin 122010202784y ππ⎛⎫=⨯++=⨯+≈ ⎪⎝⎭，故E 正确.综上，ABE 正确. 18．（多选题）（2020·福建高三月考（理））如图，一个水轮的半径为6m ，水轮轴心O 距离水面的高度为3m ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P 从水中浮现时的起始(图中点P )开始计时，记()f t 为点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数，则下列结论正确的是( )A ．()39f =B ．()()71f =C ．若()6f t ≥，则[]212,512 N ()t k k k ∈++∈D ．不论t 为何值，()()()4?8f t f t f t ++++是定值【答案】BD【解析】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得OP 在()t s 内所转过的角度为t ，则66POx t ππ∠=-. 则点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数()6sin 366f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；()36sin 333326f ππ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，选项A 错误；()16sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()776sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()()17f f =，选项B 正确；由()6f t ≥得，1sin 662t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭解得[]()212,612t k k k N ∈++∈，选项C 错误；由()()()37486sin()36sin 36sin 3666666f t f t f t t t t ππππππ⎛⎫⎛⎫++++=-+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开整理得()()()489f t f t f t ++++=为定值，选项D 正确；19．（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）A ．该质点的运动周期为0.7sB ．该质点的振幅为5C ．该质点在0.1s 和0.5s 时运动速度为零D ．该质点的运动周期为0.8sE.该质点在0.3s 和0.7s 时运动速度为零【答案】BCD【解析】由题图可知，振动周期为2(0.70.3)0.8s ⨯-=，故A 错，D 正确；该质点的振幅为5，B 正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s 和0.7s 时运动速度最大，在0.1s 和0.5s 时运动速度为零，故C 正确，E 错.综上，BCD 正确.20．（多选题）（2020·江苏苏州·高三开学考试）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点()3,33A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()()sin y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0>ω，π2ϕ<），则下列叙述正确的是（ ）.A ．π3ϕ=- B ．当(]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增 C ．当(]0,60t ∈时，()f t 的最大值为33D ．当100t =时，6PA =.【答案】AD【解析】解：由题意，223(33)6R +-=，120T =，所以260T ππω==；又点(3,33)A -代入()f x 可得336sin ϕ-=，解得3sin 2ϕ=-； 又||2ϕπ<，所以3πϕ=-．A 正确； 所以()6sin()603f t t ππ=-，当[0t ∈，60]时，[6036t πππ-∈-，2]3π，所以函数()f x 先增后减，B 错误； [0t ∈，60]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6，C 错误；当100t =时，46033t πππ-=，P 的纵坐标为33y =-，横坐标为3x =-，所以||6PA =，D 正确． 二、拓展提升1．如图，,P Q 是以原点为圆心的单位圆上的两个动点,若它们同时从点 (1,0)A 出发，沿逆时针方向作匀角速度运动,其角速度分别为 ,36ππ（单位：弧度/秒），M 为线段 PQ 的中点，记经过x 秒后(其中06x ≤≤)，()f x OM =(I)求()y f x =的函数解析式；(II)将()f x 图象上的各点均向右平移2个单位长度，得到 ()y g x =的图象，求函数 ()g g x =的单调递减区间．【解析】解：（Ⅰ）依题意可知∠POA 3π=x ，∠QOA 6π=x ．∵|OP |＝|OQ |＝1，∴|OM |＝|OQ |•cos ∠MOQ ＝cos ∠MOQ ，∴∠MOQ36212x x πππ-==x ，∴f （x ）＝|OM |＝cos 12πx （0≤x ≤6）， 即 f （x ）＝cos 12πx ，（0≤x ≤6）． （Ⅱ）依题意可知g （x ）＝cos 12π（x ﹣2）＝cos （12πx 6π-）（2≤x ≤8），由2k π12π≤x 6π-≤2k π+π，得 24k +2≤x ≤24k +14，故函数y ＝g （x ）在[2，8]上的单调递减区间为[2，8]．2．（2020·全国课时练习）一条河的两岸平行，河的宽度500d m =，一般船从河岸边的A 处出发到河对岸.已知船在静水中的速度1v 的大小为110/v km h =，水流速度2v 的大小为22/v km h =.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.【解析】解：设1v 与2v 的夹角为θ，船行驶的时间为t ,5000.5d m km ==.（1）当θ为钝角时，110.50.05sin()10sin sin d t h v πθθθ===-； （2）当θ为锐角时，210.50.05sin 10sin sin dt h v θθθ===； （3）当θ为直角时，310.50.0510d t h v ===； 当θ为钝角时，130sin 1,0.05t h t θ<<>=，当θ为锐角时，230sin 1,0.05t h t θ<<>=.所以当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短.3．（如右图）半径为1，圆心角为0120的扇形，点P 是扇形AB 弧上的动点，设POA x ∠=． （1）用x 表示平行四边形ODPC 的面积()S f x =；（2）求平行四边形ODPC 面积的最大值．【解析】由题意得：在OPC 中，设OC a =，由正弦定理得sin sin CO OP CPO OCP=∠∠ 1sin(120)sin 6032a x ︒︒==-)3a x ︒=- 所以)sin 3ODPC S x x ︒-=，()0,120x ︒︒∈ 31sin sin 23x x x ⎤=+⎥⎦ 2cos sin 3x x x =+ 31cos 223x x ⎤-=+⎥⎦ 311sin 2cos 223x x ⎡⎤=-⋅+⎥⎦ ()1sin 23023x ︒⎤=-+⎥⎦ 当23090x ︒︒-=时达最大值29030120x ︒︒︒=+=即，当60(0,120)x ︒︒︒=∈平行四边形面积达到最大值32． 4．（2020·上海市川沙中学高一期末）某轮船以V 海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60度．轮船从A 处向北航行30分钟后到达B 处，测得油井P 在南偏东15度，且106BP =海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达C 点．（1）求轮船的速度V ；（2）求P C 、两点的距离（精确到l 海里）．【解析】（1）由正弦定理得11062sin sin sin(6015)V AB PB APB PAB =∴=∠∠-, 40V ∴=海里/小时；（2）由余弦定理得2222cos PC PB BC PB BC PBC =+-⋅⋅⋅∠22(106)40210640cos(1801545)22004006=+-⋅⋅⋅--=+56PC ∴≈海里5．（2020·辽宁高一期中）下图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径 4.8m OB =，巨轮上最低点A 与地面之间的距离为0.8m ，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动()02πθθ≤<角到OB ，设点B 与地面之间的距离为h ．（1）求()h f θ=的解析式；（2）若当4π3θ=时对应巨轮边沿上一点M ，求点M 到地面的距离． 【解析】（1）如图，过点B 作BD 垂直于地面于点D ，过点O 作OC BD ⊥于点C ，由于BOA θ∠=，则π2BOC θ∠=-， 根据三角函数的定义， 可得πsin 4.8sin 4.8cos 2BC OB BOC θθ⎛⎫=∠=-=- ⎪⎝⎭， 而 4.80.8 5.6CD =+=，于是()()5.6 4.8cos 02πh f CD BC θθθ==+=-≤<．（2）由（1）知()()5.6 4.8cos 02πh fθθθ==-≤<， 易得4π4π5.6 4.8cos 833f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 即点M 到地面的距离是8m ．。
2020年高中数学 人教A版 必修4 同步作业本《三角函数模型的简单应用》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修4 同步作业本《三角函数模型的简单应用》一、选择题1.如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )A ．该质点的运动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时运动速度为零2.与图中曲线对应的函数解析式是( )A ．y=|sin x|B ．y=sin |x|C ．y=-sin |x|D ．y=-|sin x|3.一种波的波形为函数y=-sin π2x 的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．84.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50＋4sin t2(其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t 的单位是分，则车流量增加的时间段是( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20]5.如图，某地一天中6时至14时的温度变化的曲线近似满足函数y=Asin(ωx＋φ)＋b(其中ω＞0，π2＜φ＜π)，则估计中午12时的温度近似为( )A ．30 ℃B ．27 ℃C ．25 ℃D ．24 ℃6.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d=f(l)的图象大致是( )7.曲线y=Asin ωx＋a(A>0，ω>0)在区间[0，2πω]上截直线y=2及y=-1所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是( )A ．a=12，A>32B ．a=12，A≤32 C ．a=1，A≥1 D ．a=1，A≤1二、填空题8.用作调频无线电信号的载波以y=asin(1.83×108πt)为模型，其中t 的单位是秒，则此载波的周期为________，频率为________．9.如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(ωx＋φ)＋2，则有A=________，ω=________.10.如图，点P 是半径为r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为________．11.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t=0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，若将A ，B 两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d=________，其中t ∈[0,60]．12.已知函数y=Asin(ωx＋φ)＋n(A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，且直线x=-π3为其图象的一条对称轴，如果|φ|＜π2，那么此函数的解析式为________．三、解答题13.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)=115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．14.当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.(1)根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿的月平均气温作出一个函数模型；(2)当自然气温不低于13.7 ℃时，惠灵顿市最适宜于旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间．15.如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时(按逆时针方向转)．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式．(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．答案解析1.答案为：B.解析：由题图可知，该质点的振幅为5 cm.2.答案为：C.解析：注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x|＞0， 而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.3.答案为：C.解析：函数y=-sin π2x 的周期T=4且x=3时y=1取得最大值，因此t≥7.故选C.4.答案为：C.解析：由2kπ-π2≤t 2≤2kπ＋π2(k ∈Z)，得4kπ-π≤t≤4kπ＋π(k∈Z)，由于0≤t≤20，所以0≤t≤π或3π≤t≤5π，从而车流量在时间段[10,15]内是增加的．5.答案为：B.解析：由题中函数的图象可得b=20，A=30-20=10，根据14·2πω=10-6，可得ω=π8.再根据五点法作图可得，π8×6＋φ=3π2，求得φ=3π4，∴y=10sin(π8x ＋3π4)＋20.令x=12，可得y=10sin(3π2＋3π4)＋20=10sin π4＋20=10×22＋20≈27(℃)，故选B.6.答案为：C.解析：由l=αR，可知α=l R ，结合圆的几何性质可知d 2=Rsin α2，所以d=2Rsin α2=2Rsin l2R ，又R=1，所以d=2sin l2，故结合正弦图象可知C 项正确．7.答案为：A.解析：图象的上、下部分的分界线为y=2＋－12=12，得a=12，且(A ＋a)-(-A ＋a)＞2-(-1)，即2A>3，A>32.8.答案为：1.09×10-8 s 9.17×107Hz ；解析：T=2πω=2π1.83×108π≈1.09×10-8(s)，f=1T=9.17×107(Hz)．9.答案为：3，215π；解析：水轮每分钟旋转4圈，即每秒钟旋转215π rad，所以ω=215π.所以水轮上最高点离水面的距离为r ＋2=5(米)．即y max =A ＋2=5，所以A=3.10.答案为：y=rsin(ωt＋φ)；解析：当质点P 从P 0转到点P 位置时，点P 转过的角度为ωt，则∠POx=ωt＋φ， 由任意角的三角函数定义知P 点的纵坐标y=rsin(ωt＋φ)．11.答案为：10sin πt60；解析：秒针1 s 转π30弧度，t s 后秒针转了π30t 弧度，如图所示，sin πt 60=d25，所以d=10sinπt 60.12.答案为：y=2sin(4x-π6)＋2；解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝A ＋n ＝4，y min ＝－A ＋n ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，n ＝2.又T=π2=2πω，所以ω=4.所以y=2sin(4x ＋φ)＋2.因为x=-π3为其图象的一条对称轴，所以4×(-π3)＋φ=π2＋kπ(k∈Z)，所以φ=kπ＋116π(k∈Z)．因为|φ|＜π2，所以φ=-π6.所以y=2sin(4x-π6)＋2.13.解：(1)T=2π|ω|=2π160π=180(min)．(2)f=1T=80.(3)p(t)max =115＋25=140(mmHg)，p(t)min =115-25=90(mmHg)．即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg ， 在正常值范围内． 14.解：(1)以月份x 为横轴，气温t 为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线．由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t=Acos(ωx＋φ)＋k 来描述． 由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃，则A=17.9－9.52=4.2；k=17.9＋9.52=13.7.显然2πω=12，故ω=π6.又x=2时y 取最大值，依ωx＋φ=0，得φ=-ωx =-π6×2=-π3.所以t=4.2cos(πx 6-π3)＋13.7为惠灵顿市的常年气温模型函数式．(2)如图所示，作直线t=13.7与函数图象交于两点，(5,13.7)，(11,13.7)． 这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于13.7 ℃，是惠灵顿市的最佳旅游时间． 15.解：(1)以O 为坐标原点，OP 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，设摩天轮上某人在Q 处，则在t 秒内OQ 转过的角为2π20t ，所以t 秒时，Q 点的纵坐标为10·sin 2π20t ，故在t 秒时此人相对于地面的高度为y=10sin π10t ＋12(米)．(2)令y=10sin π10t ＋12≤10，则sin π10t≤-15.因为0≤t≤20，所以10.64≤t≤19.36，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米．。
高一数学三角函数模型的简单应用3_20200731172516
高一数学三角函数模型的简单应用
又T
2
8
20 10
x
A
( 3) y 10sin( x ) 20 8
A点的坐标为(6,10) 10sin( 6 ) 20 10 8
3 sin ( ) 1 4 3 2k , k Z 4 2
O
6
14
5 2k , k Z 4 3 当k 1时 ，
3 y 10sin( x ) 20 8 4
4
小 结
最 大 值 最 小 值 A 2
最 大 值 最 小 值 b 2Fra bibliotekT 2
: 把最高点（或最低点）坐标代入函数，解出 .
作 业
A：小结 B：根据图象求解析式
y A
11 2 5 2
4
O
x
4
； / 配资门户 图。他の那各想法要是被别人晓得，绝对就是壹各天大の笑话！此外，当初他千方百计在怡然居留下小福子，原本是为咯监视水清の壹举壹动，或许还能起到拆穿她表里别壹、故作 清高、当面壹套背地壹套，以假面具示人等等意外成果。可是根据当余小福报上来の情报，展现在他面前の，是壹各既熟悉又别熟悉の水清：每日亲力亲为、尽心竭力照顾悠思小格 格，闲暇时间读书写字，做做女红，怡然居の大门从来别曾迈出壹步，就仿佛是被下咯禁足令壹般。那种日子，旁人看着寡淡，但是在他の眼中，却是觉得很对他の心思。诸人嘛， 就是应该恪守妇道、本本分分才是正道儿。因为他也是那样の壹各人，喜欢安静地思索，喜欢清静地生活。好像她壹直都是那样の壹各人，对大多数诸人热衷の事情很少喜欢，却是 对大多数诸人别喜欢の事情热衷别已。她别会把时间和银子花在穿着打扮上面，她别会热衷于串门子家长理短瞎打听，那些原本无可非厚の，理所当然应该由诸人们喜欢の事情，对 她而言却变成咯绝缘体。她也有自己热衷の事项，却全都是他の兴趣爱好，读书、写字，乐此别疲。现在展现在他面前の如此平淡无奇、清淡如水の怡然居生活，就是他花咯那么大 の心思，别惜派咯小福子那么壹各精兵强将收集上来の情报？第壹卷 第518章 试水 虽然在外人の眼中，水清平淡无奇地开始咯管理府务の生涯，但是只有她自己晓得，绝对没什么 旁人想像得那么轻松。凭白无故地当起咯王府の“掌柜”，还别能随意想“甩手”就“甩手”，整日里被那些柴米油盐の琐事栓得死死の，将她自己の时间被占去咯许多，有时想读 会书写写字，都要刻意地思考壹下，用啥啊时间才好。从前那惬意の悠闲时光真是壹去别复返咯。此外，小福子来到咯怡然居，那么微妙の时刻来到怡然居，水清才别会相信啥啊 “福晋救命恩人”鬼话，倒是更加验证咯那句“伴君如伴虎”の至理名言。只要有权利斗争，就会有耳目密布，它们仿佛就是壹对双生子，从来别会形单影只。别管是感慨自己悠闲 の小日子壹去别复返，还是暗自冷笑那种被监视の生活，水清都没什么时间去理会，因为她有更重要の事情去做。此刻时刻，她承担着掌管府务の重大责任，办好咯，是理所应当の 无私奉献，办坏咯，那是因为存咯各人私心，损公肥私。面对那壹桩桩、壹件件の繁琐杂事，水清必须担起十二万分の精心，而如何把握那各度，实在是让她费咯壹番脑筋。再是费 脑筋，开弓已经没什么咯回头箭，既然已经是“重任在肩”，她唯有尽力而为。由于她自己是坦坦荡荡の人，她要保证自己别卷入无谓の派别纷争之中，所以她从别会出咯怡然居の 大门，反正爷交办她の差事就是拿主意，她只跟惜月壹各人打交道，至于惜月都跟谁打交道，她从来别会去问，更别会去想。平生以来第壹次，水清日日夜夜地开始咯对王爷何时回 京那各问题充满咯热切の盼望，只要他能回咯府，她就能够彻底地解脱咯，再也别用管理那些令人头痛の事情。紧张忙碌如同打仗般の生活，壹日重似壹日地殷切期盼王爷の早日归 来，构成咯水清掌管府务那些日子の主旋律。就在那平凡得别能再平凡の家务琐事之中，就在水清以为就会那样平淡无奇地迎接王爷回府，交回管家大权の时候，还真就发生咯壹件 事情。那壹天惜月来到怡然居，手里拿着壹各帖子：“水清妹妹，苏总管说那是九贝子府递来の帖子，让您拿各主意呢。”水清接过来壹看，是九小格の壹各小福晋生咯壹各小小格， 要过满月。那各情况很让她为难。假设是以前，兄弟之间の应酬比照以前の标准送份贺礼也就可以咯；至于人嘛，王爷别在京城，福晋和李侧福晋生病，她自己刚生咯小格格，都可 以找借口别用亲自参加宴席。但是就是那各礼金，现在也让水清颇为犯难。现在皇上对八贝勒爷可是越来越苛责，连俸禄都给停掉咯。遭受沉重打击の八小格急火攻心，抑郁成结， 竟然壹病别起，缠绵病榻有将近大半年の时间。皇上却是铁咯心地要彻底摧毁八小格の党派势力，所以即使八小格病重得连早朝都别能去上，皇上别但别闻别问，甚至是唯恐避之别 及。前些日子，皇上从畅春园回紫禁城，因为要路过八小格の园子，竟然特意吩咐咯宫人，绕着八小格の园子走，以免过咯他の病气。第壹卷 第519章 棘手现在の那各局面明摆着 是去年发生の那场“毙鹰事件”の余波，只是令众人始料未及の是，那都已经过去半年多の时间咯，仍是余威别断，难以平息，看来皇上那是要将八小格壹棍子打死，永世别得翻身。 王爷去年担任咯“毙鹰事件”の善后工作－－护送八小格回京。因为没什么摸清皇上の准确意图，仍然对他の八弟极尽兄长の关爱而遭咯皇上の训斥。现在八小格壹伙被皇上完全地 孤立起来，别要说挨过训斥の王爷，就是普通官员也是要离得他们远远地，生怕惹火上身。而九小格是八小格の最忠实追随者，完全就是焦别离孟、孟别离焦。现在正处于那各刀锋 浪尖の敏感时期，与那两位弟弟往来过密将会给王爷带来啥啊样の影响可想而知，或许会是致命の打击。但是，毕竟王爷和九小格是兄弟，壹点儿表示都没什么，实在是说别过去。 虽然都是面和心别和の虚情假意，但是在没什么撒破面皮之前，该维系の关系还是要维系，该走の过场还是要走壹走。面对那各头痛而又棘手の局面，水清陷入咯沉思。惜月见水清 半天没什么发话，就晓得那是壹件非常
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1．如图，一个大风车的半径是8米，每12分钟旋转一周，最低点离地面2米，若风车翼片从最低点按逆时针方开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h （米）与时间t （分钟）之间的函数关系是（ ） A 10)6
cos(8+=t h π
B 10)3
cos(8+-=t h π
C 10)6sin(
8+-=t h π
D 10)6
cos(8+-=t h π
2．已知：某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记作y=f(t)。
下表是某日各时的浪高数据：
t
经长期观测，y=f(t)的曲线可近似看成是函数
b
t A y +=)cos(ω，根据以上数据，函数的解析式
是 。
3．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合．将A B ，两点间的距离(cm)d 表示成(s)t 的函数，则d =_____，其中[]060t ∈，． 4．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下列问题：
（1）单摆的振幅是多少？（2）振动的频率是多少？
（3）摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置？ （4的时刻和位置？ （5）若g=9.86m/s 2
,摆线长。
5．已知电流I 与时间t 的关系式
为
)sin(ϕω+=t A I ，
（1）如图是||,0)(sin(ϕωϕω<>+=t A I 数据
求)sin(ϕω+=t A I 的表达式。
（2）如果t 在任意一段
150
1
秒的时间内，电流)sin(ϕω+=t A I 都能取到最大值和最小值，那么ω的
最小正整数值是多少？
v 0
B
6. 如图一个滑雪运动员自h=50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧（不计阻力），在O 点保持速率0v 不变，并且以倾角θ起跳，落到B 点，令OB=l 。
当ο30=α时，l 的最大值是多少？当l 取最大时，
θ为多大？。