高中数学选修本(理科)函数的极限
高中数学中的极限概念是如何应用的
高中数学中的极限概念是如何应用的在高中数学的学习中，极限概念是一个极为重要的知识点。
它不仅是数学分析的基础，还在众多领域有着广泛而深刻的应用。
首先，让我们来理解一下什么是极限。
简单来说，极限描述的是当自变量无限趋近于某个值时，函数所趋近的一个确定的值。
比如说，当 x 无限趋近于 0 时，函数 f(x) ＝ sin(x) ／ x 的极限是 1 。
这就是极限的一个简单例子。
那么，极限在高中数学中有哪些具体的应用呢？在函数的研究中，极限发挥着关键作用。
通过求函数在某一点的极限，我们可以判断函数在该点的连续性。
如果函数在某点的极限值等于该点的函数值，那么函数在这一点就是连续的。
连续性是函数的一个重要性质，它对于我们理解函数的变化规律非常有帮助。
例如，对于函数 f(x) ＝ x ＋ 1 ，当 x 趋近于 1 时，f(x) 的极限就是2 ，而且 f(1) 也等于 2 ，所以这个函数在 x ＝ 1 处是连续的。
极限还用于求函数的导数。
导数反映了函数在某一点的变化率。
通过极限的方法，我们可以求出函数在某一点的导数。
比如，对于函数 f(x) ＝ x²，它在点 x 处的导数 f'（x) 可以通过极限来计算，即 f'（x) ＝ lim （h→0) （（x ＋ h)² x²）／ h ，经过计算可以得到 f'（x) ＝ 2x 。
导数的应用非常广泛，它可以帮助我们解决诸如求函数的单调性、极值和最值等问题。
在数列中，极限也有着重要的地位。
对于一个数列，如果它存在极限，我们就说这个数列是收敛的；如果不存在极限，就说它是发散的。
比如，数列 1/2， 1/4， 1/8， 1/16，…… 它的通项公式是 aₙ ＝（1/2)ⁿ 。
当 n 趋向于无穷大时，这个数列的极限是 0 ，所以这个数列是收敛的。
而数列 1， 2， 3， 4，…… 通项公式是 aₙ ＝ n ，当 n 趋向于无穷大时，这个数列的值也趋向于无穷大，不存在极限，所以这个数列是发散的。
人教版高中数学(理科)选修函数的极限2
函数的极限一、教学目标：1．理解并掌握当0x x →时函数的极限的概念；2．能够应用函数极限的四则运算法则求简单的函数的极限。
二、教学重点：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限。
三、教学过程： （一）主要知识： 1．当0x x →时函数的极限； 2．了解：Ax f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0；3．对于函数极限有如下的运算法则：如果Bx g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么BA x g x f ox x +=+→)]()([lim ，BA x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim ，)0()()(lim≠=→B B Ax g x f ox x ，也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）。
说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=，nx x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=，这些法则对于∞→x 的情况仍然适用。
（二）知识点详析1．函数的极限的概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作Ax f x x =→)(lim 0。
特别地，CC x x =→0lim ；lim x x x x =→2．一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如ox x x x x x o==→∞→lim ,01lim.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算。
高中数学极限的计算与应用技巧解析
高中数学极限的计算与应用技巧解析在高中数学中，极限是一个重要的概念，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。
掌握极限的计算与应用技巧对于高中学生来说至关重要。
本文将通过具体的题目举例，分析极限的计算方法和应用技巧，并给出一些解题的指导。
一、极限的计算方法1. 代入法：对于一些简单的极限计算，可以直接将变量代入函数中，求出函数在该点的取值。
例如，计算极限lim(x→2)(x^2+3x+2)时，我们可以将x代入函数f(x)=x^2+3x+2中，得到f(2)=2^2+3×2+2=12。
因此，lim(x→2)(x^2+3x+2)=12。
2. 分子分母除以最高次项：对于有理函数的极限计算，可以通过将分子分母同时除以最高次项的系数，简化计算过程。
例如，计算极限lim(x→1)((x^3-1)/(x-1))时，我们可以将分子分母同时除以(x-1)，得到lim(x→1)((x^3-1)/(x-1))=lim(x→1)((x-1)(x^2+x+1)/(x-1))=lim(x→1)(x^2+x+1)=3。
3. 利用基本极限：在计算一些特殊函数的极限时，可以利用基本极限来简化计算过程。
例如，计算极限lim(x→0)(sinx/x)时，我们可以利用基本极限lim(x→0)(sinx/x)=1。
4. 利用夹逼定理：夹逼定理是极限的重要性质之一，它可以用来证明一些复杂函数的极限。
当一个函数夹在两个趋于同一极限的函数之间时，它的极限也会趋于相同的值。
例如，计算极限lim(x→0)(xsi n(1/x))时，我们可以利用夹逼定理将函数夹在两个函数x和-x之间，得到-|x|≤xsin(1/x)≤|x|。
由于lim(x→0)(-|x|)=0和lim(x→0)(|x|)=0，根据夹逼定理，我们可以得到lim(x→0)(xsin(1/x))=0。
二、极限的应用技巧1. 极限与函数的连续性：极限与函数的连续性有着密切的关系。
如果一个函数在某一点的极限存在且与该点的函数值相等，那么该函数在该点是连续的。
（完整版）高中数学《函数的极限》教案
（完整版）⾼中数学《函数的极限》教案课题：2.3函数的极限(⼆)教学⽬的：1.理解函数在⼀点处的极限，并会求函数在⼀点处的极限．2.已知函数的左、右极限，会求函数在⼀点处的左右极限．3.理解函数在⼀点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就⽆限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的⼀个特殊的点.那么如果对于数轴上的⼀般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？教学过程：⼀、复习引⼊： 1.数列极限的定义：⼀般地，如果当项数n ⽆限增⼤时，⽆穷数列}{n a 的项n a ⽆限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -⽆限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于⽆穷⼤时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表⽰“n 趋向于⽆穷⼤”，即n ⽆限增⼤的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.⼏个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）⽆穷等⽐数列}{nq （1""→q q nn3.函数极限的定义:(1)当⾃变量x 取正值并且⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于正⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当⾃变量x 取负值并且绝对值⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于负⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .∞→x lim f (x )存在，表⽰+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，⼜有－∞的意义，⽽数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义⼆、讲解新课： 1.研究实例(1)探讨函数2x y =，当x ⽆限趋近于2时的变化趋势．当x 从左侧趋近于2时，记为：-→2x ．当x 从右侧趋近于2时, 记为：+→2x .发现（左极限）22lim 2x x -→=,（右极限）22lim 2x x +→=,因此有22lim 2x x →=． (2)我们再继续看112--=x x y ,当x ⽆限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势:211,(1)1x y x x x -==+≠-,当x 从左侧趋近于1时，即1x -→时，2y →．当x 从右侧趋近于1时, 即1x +→时，2y →．即（左极限）2111(1)21lim lim x x x x x --→→-=+=-，（右极限）2111(1)21lim lim x x x x x ++→→-∴=+=- 2111(1)21lim lim x x x x x →→-∴=+=-(3)分段函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>??==??-当x →0的变化趋势.①x 从0的左边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于－1.即0lim ()1x f x -→=- ②x 从0的右边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于1. 即0lim ()1x f x +→= 可以看出00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠，并且都不等于(0)0f =．象这种情况，就称当0x →时，()f x 的极限不存在．2. 趋向于定值的函数极限概念：当⾃变量x ⽆限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→3. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?==其中0lim ()x x f x a -→=表⽰当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表⽰当x 从右侧趋近于0x 时的右极限三、讲解范例：例1求下列函数在X ＝0处的极限（1）121lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim →（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+解：（1）220011lim lim 12121x x x x x x x →→-+==--+ （2）000lim 1,lim 1lim x x x x x xx x x-+→→→=-=?不存在．（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+20lim ()lim(1)1,lim ()lim 21xx x x x f x x f x --++→→→→?=+=== 0lim ()lim ()1lim ()1x x x f x f x f x -+→→→?==?=．四、课堂练习：1．对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限2．对于函数12-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3.求如下极限：⑴121lim 221---→x x x x ; ⑵32302)31()1(lim x x x x x +-+-→; ⑶)cos (sin 2lim 22x x x x --→π⑷2321lim4--+→x x x ;⑸xa x a x -+→20lim（0>a ）; ⑹x x 1lim 0→答案：⑴2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ ⑵ 323 00(1)(13)3lim lim 3212x x x x x x x x →→-+--==-++ ⑶222lim 2(sin cos )22x x x x ππ→--=-⑷443x x →→==⑸012x x a x a→→== ⑹x x 1lim 0→不存在．五、⼩结：六、课后作业：七、板书设计（略）⼋、课后记：。
2.3函数的极限
O
当x 趋向于正无穷大时，函数 当自变量x 取正值并无 1 限增大时，函数 y 1 的值 y 的极限是0，记作 x x 无限趋近于0，即|y-0|可以 x 1 变得任意小． 0 lim
x
x
y
O
x
同样地，当自变量 x 趋向于负无穷大时，函数
1 y 的值也无限趋近于0，于是我们说，当 x 趋向 x
当 x 时，f ( x ) 的值保持为-1，即 xlim f ( x ) 1;
1 1 lim 1 . 例2、观察函数 y 1 的图象，写出极限 x x x
1 1 lim 1 . 例2、观察函数 y 1 的图象，写出极限 x x x
几个常用的极限:
lim C C (C是常数）。
n
1 lim k 0( k 0, k是常数）。 n n
lim a 0(a为常数，a | 1). |
n n
1.当x 时，函数f ( x)的极限
1 考察函数 y 当x 无限增大时的变化趋势． x
x y 1 1 y 10 0.1 100 0.01 1000 0.001 10000 0.0001 100000 0.00001 ·· · ·· ·
n
结合函数图象，学会求一些函数的极限。
Thank You!
L/O/G/O
1 x A. lim ( 3 ) 0 x
B. lim 10 0
x x
C. lim ( 1 ) x 0
x
2
D. lim 2 x 0
x
练习 求当 x , x , 及x 时下列函数的极限.
解:
2x 1 (1) y ; | x|
人教版高中数学(理科)选修函数的极限1
函数的极限教学目标(一)教学知识点1.数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某个常数a(即|a n－a|无限地接近于0)，它有两个方面的意义.2.ε—N定义定量地刻划了数列的项a n怎样随n的无限增大而无限地趋近于常数a，要深刻理解|a n－a|能任意小，并保持任意小.对于ε的理解它既具有任意性又具有相对的固定性.3.定义法求简单数列的极限.(二)能力训练要求※1.掌握数列极限的ε—N的定义.※2.会用ε—N，求数列的极限.(三)德育渗透目标1.培养学生有限与无限、精确与近似、量变与质变的辩证关系.2.培养学生数形结合、极限的数学思想方法和灵活应变的解题能力，培养学生学会利用定义解题.3.通过“割圆术”的介绍，培养学生的爱国主义精神和弘扬中华民族优秀文化的精神.教学重点理解数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某个常数a”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n趋近于a是在无限过程中进行的，即随着n的增大a n越来越接近于a；另一方面，a n不是一般地趋近于a，而是“无限”地趋近于a，即|a n－a|随n的增大而无限地趋近于0.理解数列的极限的ε—N的定义是定量地刻划了数列的项a n怎样随n的无限增大而无限地趋近于常数a.对于预先指定的任意小的正数ε，都存在一个正整数N，使得只要n＞N，就有|a n－a|＜ε.教学难点数列的极限的ε—N定义的理解，这个定义具有一定的抽象性.数列{a n}的极限为a，意味着当n无限增大时，|a n－a|能任意小，并保持任意小.这就是说，对于预先给定的任意小的正数ε，都可以找到相应的N，当n＞N时，|a n－a|比ε还要小，即{a n}中第N项以后的所有项都保持|a n－a|＜ε.利用数列的极限的定义求数列的极限的步骤是：求|a n－a|的解析式(关于n)→求解关于n的不等式|a n－a|＜ε(ε是任意给定的小正数)n＞n0→取n0的整数部分作为N→由定义得出∞→n lim a n =a .教学方法建构主义理论指导教学法.教具准备准备三张幻灯片第一张：(记作 Ａ) 作圆的内接正六边形，再平分每条边所对的弧，作圆的内接正十二边形；用同样的方法第三张：(记作Ｃ)Ⅰ.课题导入［师］高一上学期我们学习了数列的有关概念、数列通项公式的求法，仔细研究了两个重要的数列——等差数列，等比数列.打出幻灯片A ，让同学们解决下列问题：［师］按影片上的要求，我们再画出正二十四边形，正四十八边形，…，从直观上看，随着边数的不断增加，圆内接正多边形与圆的关系？正多边形的周长与圆周长的关系是什么？［生1］正多边形越来越接近(逼近、趋近)于圆；圆内接正多边形的周长也就越来越接近(逼近、趋近)于圆的周长.［师］设圆的半径为R ，圆内接正三角形、正四边形、正五边形、…，正n 边形的周长所组成的数列P 3，P 4，P 5，…，P n ，….则通项公式P n = .［生2］P 3=3·2R sin R 333=π，P 4=4·2R sin R 244=π，P 5=2R sin 5π×5=10R sin 5π，…，P n =n ·2R sin n π.［师］由图形可以直观看出当n 趋向无限大时，P n 就无限地趋向于什么呢？［生3］P n 无限地趋向于2πR .［师］这也是数列的另一个重要方面，今天我们就来学习研究数列的另一个侧面：随n 变化时，a n 是否趋向于某一个常数(虽然“趋向于”并没有确切定义，但是同学们能感觉是什么意思——由“粗”到“细”.板书：研究数列a n 随n 变化时是否趋向于某一个常数)Ⅱ．讲授新课打出幻灯片B ，请同学们观察下列数列，随n 变化时，a n 是否趋向于某一个常数： (1)n n a n 12+=; (2)n n a )31(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1; (4)a n =2n ; (5)a n =3;(6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(21)n ; (8)a n =6+n 101.大部分学生在观察、思考，有的在草稿纸上写、画，有的在一起共同讨论.(几分钟以后)教师：“第一个数列a n =n n 12+趋向于一个常数吗？”几乎全体学生：“趋向于2”(板书：(1)n →∞，a n →2).“第二个呢”“趋向于3”(板书：(2)n →∞，a n →3).［师］(小结)数列(1)中，a n 趋向于2；数列(2)中，a n 趋向于3.“第三个数列a n =4·(－1)n －1趋向于一个常数吗？”［生4］n 为奇数时趋向4，n 为偶数时趋向于－4.［生5］不趋向于任何常数.持这两种观点的学生在一起激烈地争论.经过短暂的探讨，形成了一致的结论，学生一致认为：它一会儿是4，一会儿是－4，不趋向于一个固定的常数.［师］噢，原来它是一个“朝三暮四” 的数列.不“朝四暮负四”的数列.学生大笑，课堂气氛十分和谐、宽松.［师］第四个数列a n =2n ，它是否趋向某一个常数呢？［生6］数列a n =2n ，趋向于+∞.几乎有80%的同学都认为这是对的，但也有几个学生提出质疑，或在位子上直摇头. ［生7］(突然站起来)数列a n =2n 不趋向于+∞，实质上+∞不是一个具体的固定的常数. ［生6］站起来(反驳)+∞是一个很大很大的数，是一个要多大有多大的数.［生7］(也不甘示弱，同时生7的支持者也参与声援)，一个要多大有多大的数，那么究竟是什么样的固定常数呢？你们能找出来吗？或者讲，能确定这个数吗？［生6］(思考片刻后)不能，但好像应该存在.［师］(小结)大家争论得很好,你的思维能力就是在思维火花碰撞中发展起来的,“‘+∞’不是一个确定的数，是用来描述变量状态的.”这一次是真理掌握在少数人的手中.课堂中，学生热烈鼓掌，异常兴奋.［师］第五个数列a n =3是否趋向某一个常数呢？这时学生中又出现很大的分歧.80%的学生认为不趋向于3，认为它就是3，谈不上趋向不趋向于3.还是形成两种观点的激烈辩论.［生8］刚才大部分学生没有把数列看成函数，根据数列的定义，它可以是一个特殊的函数.而a n =3表示一个常量函数，不论n 取何值，a n 都是3，也就是常数为3.(板书：n →∞时，a n →3)此时学生都认为［生8］的解释是完全正确的，大家齐为她鼓掌，该生在掌声中微笑，从掌声中体验到成功的乐趣.［师］第六个数列a n =n n 2)1(1--是否趋向于某一个常数？［生9］数列a n =n n 2)1(1--趋向于零.(板书：n →+∞时，a n →0)［师］它是怎样趋向于零的呢？［生9］像阻尼振动一样，振幅越来越小.［师］能靠上零吗？［生9］不能.［师］这个“运动”会停止吗？［生9］不会.［师］第七、第八两个数列是否趋向于某一个常数？［生10］a n =(21)n 趋向于0，a n =6+(101)n 趋向于6(板书n →∞时，a n =(21)n →0，a n =6+(101)n →6).教师小结各数列是否“趋向于”一个常数的情况.［师］你们认为随着n 的不断变化，数列a n =n n 12+趋向于2.你们的“趋向于”我还不明白是怎么回事，我想请一个同学来解释一下什么叫“趋向于2”.［生11］就是无限接近2.［师］什么叫“无限接近”？［生11］“就是n 越来越大，a n 与2的差越来越小”.学生又补充说“就是距离|a n －2|越来越小.”［师］距离|a n －2|比0.1要小，行不行？(板书：|a n －2|＜0.1)［生11］行，只要n ＞10即可.［师］距离|a n －2|比0.01要小，行不行？(板书：|a n －2|＜0.01).［生11］行，只要n ＞100即可.教师打出投影C.从图象上来看a n 与常数的距离越来越小，同时教师也可以借助于电脑来验证一下.这时教室的屏幕上出现数列a n =n n 12 的图象，并同时给出y =1.9，y =2.1的图象，故意给出的n 的取值范围是1，…，5.图象并不在(1.9，2.1)间.［师］数列中的各项并不在(1.9，2.1)上，并不靠近2呀.片刻［生12］：老师，你给出的n 太小了.把n 的范围设定为11，12…，19时，数列的各项都在区间(1.9，2.1)上了.［师］看样子，当n 在(10，20)上时，数列的各项是在(1.9，2.1)上了，会不会n 到了(100，120)间，数列中有一项跑出(1.9，2.1)呢？把n 的范围设定为(100，120)，同学们发现数列的各项离2更近了.［师］你们认为在区间(1.9，2.1)上，此数列有多少项？［生13］有无限项.［师］有无限项？赞成的请举手(全体学生都举手).再给出|a n －2|＜0.01呢？多少项以后，这个数列的各项就能在区间(1.99，2.01)上，大多数同学说100项以后，但有几个同学不假思索就说1000、2000等都可以.［师］对，是100项以后.刚才，我听到几个同学说1000、2000、10000项，你们算了吗？ ［生14］(这类学生的代表)没算.只要有就行.［师］你们认为他的说法对不对呢？学生齐声道：对！［师］对给出的小正数0.01，只要能找到一项，使这一项以后的各项与2的差的绝对值小于0.01就可以了，不必计较大小.(然后，再给出|a n －2|＜0.001，|a n －2|＜0.0001，用电脑进行了演示).刚才那几个同学找出1000、2000、10000项的同学在课堂学习中能实事求是回答自己的过程是十分可贵的，有了这种精神和态度，你们不仅数学成绩能大幅度提高，同时你们的优秀品质也正在形成.(教师的人格力量对学生的影响是永远的，教师不仅仅是传授知识，同时也是学生思想工作的第一线工作者).教师一边与学生讨论一边板书，至此，黑板形成的板书是：(1)a n =n n 12+，n →∞，a n →2n ＞N : 10 100 1000 10000 ……|a n －2|＜:0.1 0.01 0.001 0.0001 ……［师］我们把第二行中的数找个代表记作ε，第一行中的数记作N .此时ε代表了0.1，0.01，0.001，0.0001，…就是不论给定一个多么小的正数ε(如0.1，0.01，0.001，0.0001，……)，都能找到一个自然数N (如10，100，1000，10000，……)，使a N 以后各项与2的差的绝对值|a n －2|都小于ε，即|a n －2|＜ε恒成立.你们的“趋向于1”是这个意思吗？［生］(齐声回答)是.［师］给出一个ε，都可以找到一个N ，那么ε与N 是什么样的关系呢？［生15］N 与ε的关系是通过解关于n 的不等式|a n －2|＜ε找出来的.［师］你能具体地解一下吗？［生15］(走上讲台，拿起粉笔在黑板上写)|a n －2|＜ε即是n 1＜ε(因为|a n －2|=|n n 12+－2|=|2+n 1－2|=n 1).∴n ＞ε1.这样N =ε1(检验ε=0.1，0.01，0.001，0.0001时都是正确的).［师］如果ε=0.0003呢？［生15］也可以，3100000003.01==N ？(片刻)噢，不对，310000不是整数.那就取N =3334，就可以了.(又补充道)或3334以后的任何一个整数都可以作为N .［师］回答很好.究竟N 如何确定呢？［生16］刚才解出n ＞ε1，取ε1的整数部分作为N ，记作N =［ε1］.(同学们一致赞同) 教师小结，提出数列极限的定义，请几位同学总结概括，教师与学生共同完成定义(板书)：对于无穷数列{a n }，如果存在一个常数A ，无论预先指定的多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得这一项后面的所有项与A 的差的绝对值都小于ε，即当n ＞N 时，|a n －A |＜ε恒成立，我们把常数A 叫做数列{a n }的极限，记作∞→n lima n =A .也可以写成：当n →∞时，a n →A .这就是数列极限的定义(板书：本节课题数列极限的定义).根据这个定义，我们再来查一下其他几个数列.［师］运用定义说明(3)a n =4·(－1)n －1;(4)a n =2n 为何没有极限？［生17］据第(3)题数列通项取n 的特殊值，一会儿是4，一会儿是－4，不存在常数A .对于第(4)题a n =2n ，也是不存在常数A .［师］“3”是常数列{a n =3}的极限吗？为什么？［生18］(停顿片刻，原来认为数列a n =3不趋向于某一个常数的代表生8)3是常数列{a n =3}的极限.［师］对，数列{3}的极限就是3，这符合数列极限的定义吗？［生18］符合数列极限的定义.因为|a n －3|=|3－3|=0.0小于任何一个小正数ε，即对任意给定的小正数ε，都可以找到一项a N (N =1)，使得从这一项开始以后的所有项a n ，都满足|a n －0|＜ε恒成立.对于这个数列，第一项开始就满足.［师］回答很好.常数列的极限就是这个常数本身，你们赞成不赞成？生齐声回答：赞成！Ⅲ.例题分析例(课本P 65例1)考查下面的数列，写出它们的极限： (1) ,1,,271,81,13n ;(2)6.5，6.95，6.995，…，7－n 105，…; (3) ,)2(1,,81,41,21n ---.［师］求数列的极限，可以归为前面我们常见的几道题型中去.然后再利用定义直观判断. 本题的知识点：极限的定义.［生19］(1)数列{31n }的项随n 的增大而减小，但大于0，且当n 无限增大时，31n 无限地趋近于0.因此，数列{31n }的极限是0.事实上，|a n －0|=|31n －0|=31n ，对于给定任意小的正数ε，都能找到N ，使得当n ＞N 时，|a n －0|＜ε恒成立，本题N =［31ε］.［生20］(2)数列{7－n 105}的项随n 的增大而增大，但小于7，且当n 无限增大时，7－n 105无限地趋近于7.因此，数列{7－n 105}的极限是7.［生21］(3)数列{n )2(1-}的项正负交替，随n 增大其绝对值减小，但不等于0，并且当n 无限增大时，n )2(1-无限地趋近于0.因此，数列{n )2(1-}的极限是0.Ⅳ.课堂练习1.选择题(1)命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )A.0B.1C.2D.3(2)数列{a n }的极限为a 的意义为( )A.当n 无限增大时，|a n －a |能任意小，并保持任意小.B.当n 无限增大时，a n －a 单调递减C.当n 无限增大时，|a n －a |能取到零D.当n 无限增大时，|a n －a |必能取到零(3)下列数列，不存在极限的是…( ) A. ,)1(,,271,81,131n n --- B. ,)1(1,,431,321,211+⋅⋅⋅n nC.－1，1，－1，1，…，(－1)n ，…D. ,1,,34,23,2n n +答案：(1)B.由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是a n =n 1这是无穷单调递减数列，它的极限是零；③的反例是a n =n n 2)1(1--它是摇摆的无穷数列，它的极限是零.因为|a n －0|=|nn 2)1(1--－0|=n 21可以任意小.故选B.(2)A.由极限的定义知应选A.对于B 、C 、D 可以举反例：a n =n n 2)1(1--它的极限是0，但a n －a =n n 2)1(1--是一个摇摆的数列，故排除B.当n 无限增大时，|a n －a |=n 21永远不能为0，故排除C 、D.(3)C.选项A 的极限是0，选项B ，a n =)1(1+n n 的极限是0，选项D 的极限a n =n n 1+=1+n 1→0+1=1.2.将下列数列的前n 项分别在数轴上表示出来，并根据图形，“估计”它们的极限值. (1){n 1}；(2){1－n 21};(3)a n =(－1)n ·n 1;(4)a n =(－1)n －1·2.解：(1)0lim =∞→n n a(2)估计：a n 的极限为1(3)估计：a n 的极限为0(4)a n 的极限不存在. 3.数列的通项公式是a n =1+n n，则该数列{a n }在第 项后面的所有各项与1的差的绝对值都小于10001.解：|a n －1|=|1+n n －1|=1000111<+n∴n ＞999.第999项后面的所有各项与1的差的绝对值都小于10001.4.举一个无穷递增数列、无穷递减数列、无穷摇摆数列，使它们的极限均为2.解：单调递增数列：a n =2－n 1，a n =2－n 21，…单调递减数列：a n =2+n 1，a n =2+n 21，…摇摆数列：a n =2+(－1)n n 1，a n =2+(－1)n ·n 21，…师：(解题回顾)本套课堂练习题着重是考查学生对数列极限定义的直观地认识和领悟，并能会用ε—N 的定义求数列的极限.同时定义法解题是解题策略中最常见的方法，美籍·匈牙利数学家G ·波利亚说过：让我们回到定义去吧！Ⅴ．课时小结本节学习了数列的极限的定义，经历两个阶段的演变，第一阶段是直观定义(描述性定义)，它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力，例如第二张幻灯片中的8个小题，数列是否趋近某一个常数，而这个定义不是很科学的，我们如何进行量化呢？于是进入了第二个阶段，数列的极限的ε—N 的定义，这个定义的产生过程是由直观概括，通过图象演示，引入距离|a n —A |来刻划它们项与该数A 的相距问题，经过我们大家的共同努力，终于得出了数列的极限的科学的定义.Ⅵ.课后作业1.选择题(1)数列{a n }的极限为a 可理解为：①随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于常数a ;②数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，随n 的增大a n 越来越接近于a ；③a n 无限地趋近于a ，|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0.以上命题正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案：D (2)数列a n =n n )1( 中，如果预先给定的正数ε=3101存在正常数N ，使得只要正整数n ＞N时，就有|a n －0|＜ε，则正常数N 的最小值为( )A.104B.103C.104－1D.103－1答案：B(1)数列41,0,31,0,21,0,1，…的极限为 . 答案：0(2)已知数列412,,37,25,3+n ，…，则|a n －2|= ，第 项以后的所有项都满足|a n －2|＜1001. 答案：n 11003.考察数列2.1，2.01，2.001，…，2+n 101，…它的极限是什么？说明理由.答案：设第n 项为a n =2+n 101，|a n －2|=n 101，对于任意给定的小正数ε，|a n －2|＜ε，即n 101＜ε.∴10n ＞ε1，∴n ＞lg ε1=－lg ε.取N =［－lg ε］.∴当n ＞N 时，|a n －2|＜ε恒成立，∴a n 的极限为2，即2)1012(lim =+∞→n n .板书设计。
人教版高中数学(理科)选修函数的极值教案
函数的极值目的要求1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用．2．增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．内容分析1．本节课是从函数图象出发，向学生介绍函数极大值、极小值、极值、极值点的有关</PGN0132B.TXT/PGN>概念；在此基础上介绍利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法．2．本小节内容是导数在研究函数性质方面的应用的继续深入．它是上一节的继续并为下一节做准备，是本章的重要知识点，也是导数应用的关键知识点．通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解；掌握了函数极值的判别法，就为学生下一节学习函数最大、最小值的判定铺平了道路．3．本节的重点是正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法并能灵活应用．难点是正确掌握“点是极值点〞的充分条件及必要条件，使学生灵活应用导数去解决有关函数极值方面的问题，并逐步养成用数形结合的思想方法去分析和解决问题的习惯．4．在教学过程中，函数极值的有关概念和求解方法的讲授要注意与函数的图象相结合，养成学生数形结合思考问题的习惯．借助多媒体辅助教学去加深学生对它们的理解，提高教学效率．为使学生能清楚地掌握“点是极值点〞的充分条件或必要条件，适当地补充一些实例，包括导数不存在时的例题，加强练习以提高学生的解题能力．教学过程本节课学习“函数的极值〞．1．复习引入问题1 对于函数y＝f(x)＝2x3－6x2＋7，利用函数的导数讨论它在R上的单调性．(此题为上一节例2的变式．多媒体展示)同学解答并请上台板演，以帮助复习上节课的知识．老师讲评后，用多媒体展示老师自己的解答和函数图象(略)．</PGN0133A.TXT/PGN>2．新授观察函数y＝f(x)＝2x3－6x2＋7图象可知，函数值f(0)比临近x＝0点的其他函数值都要大；函数值f(2)比临近x＝2点的其它函数值都要小．由老师给出函数的定义．(略)(此时，多媒体画面上的问题1及其图形向左上方适当缩小，在同一画面的右边分段逐渐显示定义)强调“临近点〞的含义，指出函数极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义域内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．(多媒体画面上的图形与文字再次向上方适当缩小，在同一画面的下方显示如以下图形——图44－1．有f(x1)＜f(x2))问题2 观察图形，说出在极值点附近函数切线的斜率的正负变化与函数的极值有何关系．(多媒体画面中，极值的定义与图2消失，问题1的图形适当增大，并增加展示出图象上点(x0，f(x0))处的切线x0变化的动画．给出问题2)在老师的引导下，不难得出：曲线在极值点处切线的斜率为0(本例题中，极值点处的导数为0)；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．(此时，多媒体画面上的图形及问题2向左上方适当缩小，在同一画面的右边分段逐渐显示出判别f(x0)是极大、极小值的方法(略))3．例题与练习讲解与展示解题过程与图象时，要使学生能够清楚老师的思维过程、求解的一般步骤与书写的格式．(结合例1展示利用导数求函数极值的步骤(略))练习1 教科书第136页练习第(1)、(2)题．请两名学生上讲台板演，其他同学在自己的座位上独立完成，老师巡回检查．讲解后，展示老师的解法、书写和图形．说明：导数为0的点不一定是极值点．如函数f(x)＝x3，在x＝0处的导数是0，但它不是极值点．(展示此函数的图形)例2 求y＝(x2－1)3＋1的极值．(教科书上例2，解略)讲解时应阐述清楚老师的思路与解题的步骤，完整展示书写的格式与函数的图象．并着重说明：导数为0的点不一定是极值点．对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要条件而非充分条件．</PGN0134A.TXT/PGN>练习2 教科书第136页练习第(3)、(4)题．补充例题1 函数f(x)＝|x|，在x＝0处函数极值的情况是[ ]A．没有极值B．有极大值C．有极小值D．极值情况不能确定解：当x＞0时，f(x)＝x，知f′(x)＝1＞0；当x＜0时，f(x)＝－x，知f′(x)＝－1＜0；当x＝0时，f(x)＝0，且f′(x)不存在．知x＝0是此函数的极小值点，应选C．展示函数的图象，着重说明：函数的不可导点也可能是极值点．可知x＝1时，f′(x)＝0；而x＝0和x＝2时，f′(x)不存在．由x＝0、x＝1、x＝2三点将定义域分成四个区间，列表：函数f(x)有极小值f(0)＝0，f(2)＝0，有极大值f(1)＝1．展示函数的图象．着重说明：函数的导数不存在的点也可能是极值点．4．归纳小结(1)可微函数的极值与其导数的关系．第一，函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．第二，点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号．点是极值点的必要条件是在这点的导数为0．第三，函数的不可导点也可能是极值点．(2)求解函数极值的步骤是：第一，确定函数的定义域；第二，求方程f′(x)＝0的根；第三，用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成假设干个小开区间，并列成表格；第四，由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．课外研究题注：此题是上节“课外研究题2〞的变式，解题思路可作调整．f′(x)＜0，－1＜x＜0时f′(x)＞0，知f(0)＝0是此函数的极大值．知f(x)在x＞－1时f(x)≤0．同理可证g(x)＝ln(1＋x)－x在x＞－1时g(x)≤0．综上获证．。
高中数学函数求极限技巧分享
高中数学函数求极限技巧分享函数求极限是高中数学中的重要内容，也是许多学生感到困惑的地方。
在这篇文章中，我将分享一些函数求极限的技巧，帮助高中学生更好地理解和解决这类问题。
一、基本极限法则在解决函数求极限的问题时，我们可以利用一些基本的极限法则来简化计算过程。
这些基本法则包括：1. 极限的四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，当x趋向于某个数a时，我们有以下法则：- 极限的和差法则：lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))- 极限的乘法法则：lim(f(x) × g(x)) = lim(f(x)) × lim(g(x))- 极限的除法法则：lim(f(x) / g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x)) (其中lim(g(x)) ≠ 0)2. 极限的乘方法则：当x趋向于某个数a时，我们有以下法则：- 极限的幂运算法则：lim(f(x)^n) = [lim(f(x))]^n (n为常数)通过运用这些基本极限法则，我们可以将复杂的函数极限问题简化为更容易计算的形式。
二、无穷小量与无穷大量在函数求极限的过程中，我们需要了解无穷小量和无穷大量的概念。
1. 无穷小量：当x趋向于某个数a时，如果函数f(x)的极限为0，那么f(x)就是x趋于a时的无穷小量。
常见的无穷小量有x、sinx、cosx等。
2. 无穷大量：当x趋向于某个数a时，如果函数f(x)的极限为正无穷大或负无穷大，那么f(x)就是x趋于a时的无穷大量。
常见的无穷大量有1/x、e^x、lnx等。
了解无穷小量和无穷大量的性质，可以帮助我们更好地理解函数的极限性质。
三、常见的函数极限类型在高中数学中，有一些常见的函数极限类型，我们可以通过分析其特点来求解。
1. 无穷小量与无穷大量的乘积：当两个函数f(x)和g(x)的极限分别为无穷小量和无穷大量时，我们可以通过分析它们的乘积来求解极限。
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函数的极限
教学目标：1、使学生掌握当0x x →时函数的极限；
2、了解：A x f x x =→)(lim 0
的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-
+→→)(lim )(lim 0
0 教学重点：掌握当0x x →时函数的极限
教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解。
教学过程： 一、复习：
（1）=∞
→n
n q lim ＿＿＿＿＿1<q ;（2）).(_______1lim
*
∞→∈=N k x k
x
（3）?lim 2
2
=→x x
二、新课
就问题（3）展开讨论：函数2x y =当x 无限趋近于2时的变化趋势 当x 从左侧趋近于2时 （-
→2x ）
当x 从右侧趋近于2时 （+
→2x ） 发现_______lim 2
2
=→x x
我们再继续看
1
1
2--=x x y
当x 无限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势；
函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0。
特别地，C C x x =→0
lim ；00
lim x x x x =→
三、例题
求下列函数在X ＝0处的极限
（1）121
lim 220---→x x x x （2）x
x x 0lim → （3）=)(x f
,10,00
,22<+=>x x x x x
四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。
五、练习及作业：
1、对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限
2、对于函数12
-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12
-=x y 的极限
3* 121lim 221---→x x x x 32302)31()1(lim x x x x x +-+-→ )cos (sin 2lim 2
2
x x x x --→
π
2
321lim
4
--+→x x x x
a
x a x -+→20lim （0>a ） x x 1lim 0→。