6比例尺正比例反比例解读
新人教版数学六年级下册第四单元《比例》教材解读
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1.唤醒学请生输入的文本请生输入文活本 经 验。
2.激发学生的学习热 情。
4
教材直接说明“按2：1放大，就是把各边的长 放大到原来的2倍。”理解了“2：1”的意义 后，学生就可自主完成图形放大的过程，体验 图形放大的特点。
让学生观察放大前后的图形，比较它们的内角、 边长、周长，发现放大前后的图形，大小变了， 但形状没变，体会相似图形对应线段比相等、 对应角相等的特点。 让学生观察到图形按一定的比缩小，也满足 “大小变了，但形状没变”。
教材编排了一组图形放大与缩小的生活现象 的图片。突出强调通过对放大与缩小的生活 现象（如照相、用放大镜看书、投影仪放大 图表、人和影子等）观察比较分析，初步感 知图形按一定的比放大或缩小后，只是大小 发生变化，形状没有变化，从而体会图形的 相似变化特点。
“你知道吗？”介绍的是在计算机上处理图片 时放大或缩小的最基本方法，很多学生可能已 有过这样的使用经验。通过这样的例子，一方 面可以更好地激发学生的学习热情，另一方面 使学生感受数学在生活中的广泛应用。
在认识了正比例关系图像的基础上，再让学生 直接利用图像根据其中一个量的值找到另一个 量的值，体会利用数形结合的方法解决问题的 直观性与便捷性。
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1.加强数形结合，使 学生经历生成正比例 图象的过程，自主探 索图象的特征。
2.引导学生利用数形 结合思考问题。
检 验 学生 是 否 可以灵活的运用比例的概念和判 定方法两种途径，来判断两个比是否可以组成 比例。
教学建议
1.引导学生辨析不同 形式的比例的内项与 外项。 2.引导学生自主探究 比例的基本性质。 3.加强4个数组成比 例判定方法的教学。
正比例与反比例比例尺
0 30 60 90km
1. 生活中有哪些成正比例的例子? 2. 生活中有哪些成反比例的例子?
判断下列各题中的两个量是否成比例，成什么比例？ 并说明理由。 1 用砖块铺地，每块砖的大小和所需的块数。 （ 反比例 ） 2 比的前项一定，比的后项与比值。（ 反比例 ) 3 圆柱的侧面积一定，底面周长和高。 ( 反比例 ) 4 六一班的出勤率一定，出勤人数和总人数 。 ( 正比例 ) 5 一条绳的长度一定,剪去部分和剩下的部分.( 不成比例 ) 6 圆锥的体积一定，底面积和高 。( 反比例 ) 7 长方形的周长一定，长和宽 。( 不成比例 ) 8 订阅<少年报>的份数和总价 。 ( 正比例 ) 9 正方形的面积和边长 。( 不成比例 ) 10 圆的直径和周长。( 正比例 ）
4.一间大厅，用边长为4分米的方砖铺地，需要用324块。如果改 用边长为3分米的方砖铺，需要多少块？
• 小明家正东方向600米处有座图书大厦，图书大厦西 偏北70度方向400米处有个科技馆，科技馆的东偏南 25度方向800米处有个邮局。选择合适的比例尺，再 平面图上画出这些地点。
．
小明家
正比例、反比例、比例尺
基础知识
（1）正比例的意义：两种相关联的量，一种量 变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中 的对应的两个量的比值（或者说商）一定，这 两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做 正比例关系。 字母公式： y÷x＝k（一定） （2）当两个变量成正比例关系时，所绘出的 图 是一条直线，也就是说所有的点都在同 一条直线上。
1.一张精密零件图上的比例尺是5：1，一个零件实际长3毫米，图 上应画多少厘米？ 2.在比例尺为1：6000000的地图上，量得两地相距5厘米。甲、 乙两辆汽车同时从两地相向而行，3小时后相遇。已知甲与乙的 速度比是2：3，求甲、乙两辆车的速道，5天安装240米，如果每天安 装的长度一样，那么完成此项任务需要多少天？
正比例反比例讲解
正比例反比例讲解
正比例和反比例是数学中常见的两个概念,它们描述了两个变量之间的关系。
理解这两个概念对于解决实际问题非常重要。
正比例:
当两个变量的值随着彼此的变化而同步增加或减少时,我们说它们成正比例关系。
换句话说,如果一个变量增加或减少了一定数量,另一个变量也会按相同的比例增加或减少,那么这两个变量就成正比例。
例如:
- 如果一个人的工资与工作时间成正比例,那么工作时间增加10%,工资也会增加10%。
- 如果一辆汽车的行驶距离与油箱中汽油量成正比例,那么油箱中汽油量增加20%,行驶距离也会增加20%。
数学上,如果y = kx,其中k是一个非零常数,那么y与x成正比例关系。
反比例:
当一个变量的值增加时,另一个变量的值减少,反之亦然,我们说它们成反比例关系。
也就是说,如果一个变量增加了一定数量,另一个变量会按相同的比例减少,那么这两个变量就成反比例关系。
例如:
- 如果一个人完成一项工作所需的时间与工人数量成反比例,那么工人数量增加25%,完成工作所需时间会减少25%。
- 如果一个圆的面积与半径的平方成反比例,那么半径增加10%,面积会减少19%(因为面积与半径的平方成反比)。
数学上,如果y = k/x,其中k是一个非零常数,那么y与x成反比例关系。
理解正比例和反比例关系对于解决许多实际问题非常有帮助,如计算工资、距离、面积等。
掌握这些概念有助于我们更好地分析和解决现实生活中的问题。
2021年北师大版数学六下第四单元《正比例和反比例》章节知识点、达标训练附解析
北师大版数学六年级下册章节复习知识点、达标训练附解析第四单元《正比例和反比例》知识点一：变化的量1.相互关联的变量在一定条件下的变化是有规律的。
2.列表与画图都可以表示变量之间的变化关系。
分析表格时，要弄清两个变量及相对应的数据；分析图时，要弄清图中横轴、纵轴表示的量的名称，以及图中每一个点所对应的两个量的多少。
3. 一般用含有字母的式子表示有规律的变量的变化规律，应先根据题中的条件写出等量关系式，再将等量关系式用字母表示出来。
知识点二：正比例1.成正比例的量的特征：一个量随着另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的比值一定。
2.如果用x和y表示两个相关联的量，用k（一定）表示它们的比值，正比例关系可以表示为=k（一定）。
3.判断两个量是否成正比例的方法（1）首先，要确定这两个量是不是相关联的量（其中一个量是否随着另一个量的变化而变化）；（2）其次，要根据两个变量之间的数值对应关系，计算出两个变量每一对数值的比值；（3）最后，根据比值是否一定来判断这两个变量是否成正比例。
知识点三：正比例图像1.成正比例的两个量表示的各点在同一条直线上，即正比例图象的特征是一条直线。
2.从正比例图象中可以得出任意一点所表示的意义。
3. 观察正比例图象时，要先明确横轴、纵轴表示的意义，从图象中可以直观地看出两个量的变化情况，不需要计算，由一个量的值可以直接找到与它对应的另一个量的值。
知识点四：反比例1.成反比例的量的特征：一个量随着另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的积一定。
2.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k（一定）表示它们的乘积，反比例关系可以表示为xy=k（一定）。
3.判断两个量是否成反比例的方法（1）首先，要确定这两个量是不是相关联的量（其中一个量是否随着另一个量的变化而变化）；（2）其次，要根据两个变量之间的数值对应关系，计算出两个变量每一对数值的积；（3）最后，根据积是否一定来判断这两个变量是否成反比例。
(完整版)正比例和反比例的意义知识点(可编辑修改word版)
正比例和反比例的意义知识点一：正比例和反比例的意义（1）正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么正比例关系可以写成：y=k (一定)x例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。
工总＝工效（一定）工总和工时是成正比例的量工时路程＝速度（一定）所以路程与时间成正比例。
时间（2）反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么反比例关系可以写成：x × y = k （一定）例如，长×宽＝面积（一定）长和宽是成反比例的量每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定）每本的页数和装订的本数是成反比例的量知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。
不同点知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。
（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。
知识点四：正比例和反比例的判断（1）先判断两种量x 和y 是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）若符合y=k (一定)，则x 和y 成正比例；若符合x ×y =k （一定），则x 和y 成反x比例；否则，这两种量就不成比例关系。
【典型例题】题型一：根据图标填写信息例 1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。
人教版六年级数学上册课件：正比例与反比例的意义(共38张PPT)
（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，
它们的关系叫做正比例关系．
x
y
＝ k（一定）
你知道吗？
意义
三要素
关系式
正比例 关系
两种相关联的量， 1、两种相联的量。
一种量变化，另一种 2、一种增加，另一种
量也随着变化，如果 量也增加；一种减少，
这两种量中相对应的 另一种量也减少。
两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正 比例的量，它们的关
……
时间变化，路程也随着变化．
时间扩大，路程随着扩大；
时间和路程是
时间缩小，路程也随着缩小． 两种相关联的量
例题 1、一列火车行驶的时间和所行路程如下表． 时间（时） 1 2 3 4 5 6 7 8 … 路程（千米） 90 180 270 360 450 540 630 720 …
观察下表，回答下面的问题．
答：乙车行完全程需要10小时。
（2）.小王家月收入为300 0元，这些钱用于家 庭日常消费与其他开支的比是3: 2，若在其他开 支 中取出一部分用于孩子的教育储蓄，且其他 开支与教育储蓄也是3: 2。 （1） :其他开支与家庭总收入的比为多少? （2）:其他开支有多少元? （3）:用于教育储蓄是多少元? （4）:教育储蓄与家庭总收入之比是多少?
因为
路程 时间
＝ 速度（一定）
所以 行驶的路程和时间成正比例．
思考
判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并 说明理由．
正方形的面积和边长 正方形的面积和边长是两种相关联的量， 边长 1 2 3 4 5 …
面积 1 4 9 16 25 … 比值 1 2 3 4 5 …
因为
正方形面积 边长
＝
(完整版)六年级下册正比例和反比例的知识点
知识点:
1变化的量：一种量变化，另一种量也随着变化。
2正比例：意义两种相关的量一种量变化另外一种量也随着变化，如果它们的的比值一定（也就是商一定），那么它们之间就成正比例关系。
A ÷B=K （一定）除法关系 B
A =K （一定)
3判断正比例的关系
两种相关的量，一种量随着另一种的变化而变化（同时扩大或者同时缩小）
当它们比值一定时，成正比例
正比例的图像是：一条直线
4.反比例
意义：两种相关的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例关系。
5判断反比例的方法
两种相关的量，一种量变化另一种量随着变化（一种量增加另一种量随着缩小）相反的 积一定 当它们的乘积一定时，成反比例关系
反比例的图像是：一条曲线
6比例尺
比例尺：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺
图上距离÷实际距离=比例尺 （注意：单位 ）
图上距离÷比例尺=实际距离
实际距离×比例尺=图上距离
7比例尺的分类
线段比例尺
数值比例尺
（根据比例尺扩大的就× 根据比例尺缩小就÷）。
六年级数学下册《比例》
练习1：
应用比例来解决一些实际问题
1
小红8分钟走了500米，照这样的速度，她从家里走到学校用了14分钟，小红家离学校大约多少米?
2
练习2: 比例的应用
01
解：设小红家离学校有x米。
02
=500×14
03
=500×14÷８
04
=875
05
答：小红家离学校有875米。
在太阳的照射下，测得某身高为1.75米人的影子长1米长，然后又测得某电线杆的影子长8米，问能求出电线杆的高吗？
4
1
4
10
2
1
4、根据要求写出一个比例式
1）两个外项分别是3和x,两和内项分别是9和12。 2）等号左边的比是x:5，右边比的比值是5。 3）使各项都是整数，且两个比的比值为0.8。
×
×
说说正比例和反比例的意义。
这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．
如果这两种量中相对应的两个数的积一定，
梳理相关联的两种量。
判断相关联的两种量成什么比例，
写出关系式。
写“解”，设未知数。
按两种相关联的量所成的比例关系
列出比例式。
解比例。
用自己熟练的方法检验结果是否正
确是否符合题意。
作答。
5、说一说用比例解决问题的步骤：
01
02
03
甲乙两地相距2千米，画在一幅
图上的距离是5厘米，求这幅图
的比例尺。
0.9∶0.6＝9∶( ) ＝3∶( )
6
2
在比例里，两个内项的积等于两个外项的积.
5∶6 ＝ 20∶24
( )×( )＝( )×( )
6
20
5
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4.成反比例的两个量中，一种量扩大，另一种量（）
A随着扩大B反而缩小
C没有变化D无法确定
5.饼干的总块数一定，每人分得的块数与人数成＿＿＿＿＿＿＿
6.甲数是乙数的80%，甲数和乙数成＿＿＿＿比例
7.a与b成反比例，b与c成正比例，那么a与c成＿＿＿＿＿＿比例
6.甲数的 是甲乙两数和的 ，甲乙两数的比是（ ）。
8.一车水果重1.8吨，按2：3：5的比例分配给甲、乙、丙三个水果店，乙水果店分得这批水果的（）。
教师教案
教学内容
比例尺、正比例、反比例
教学目标
比例尺、正比例、反比例
重 点
比例尺、正比例、反比例
难 点
比例尺、正比例、反比例
教学准备
教学主管
审核
教离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺
2.比例尺的分类：比例尺根据实际距离是缩小还是扩大，分为缩小比
一幅地图的比例尺是1：100000。下面说法不正确的是（ ）。
A图上1厘米的距离相当于地面实际距离的100000米
B把实际距离缩小100000倍后，再画在图纸上。
C图上距离相当于实际的 。
做一批零件，甲需要4小时，乙需要3小时，甲与乙的速度比是（ ）。
A 4：3B 5：4C 3：4
六年级（1）班有科技书和故事书共40本，它们的比可能是（ ）。
课堂训练
一、填空题
1.在一个比例里，两个外项的积是最小的质数，一个内项是0.5，另一个内项是（ ）。
2.甲数× ＝乙数×60%，甲：乙＝（： ）。
3. 0.75： 化成最简整数比是（ ）。
4.一幅地图的线段比例尺是，它表示实际距离是图上距离的（）倍。
5.在 的图纸上，一个正方形的面积为16平方厘米，它的实际面积是（ ）m2
正比例关系与反比例关系
成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示 yx=k（一定）
成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k（一定）
2.比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫比例的基本性质
即：内项×内项＝外项×外项
如：1.5：3＝1：2
1×3＝1.5×2＝3
特别地：组成比例的四个数都不能为零。
3.解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项就可以求出另外一个未知项，
求比例的未知项，叫做解比例。
解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
A 5：1B 4：1C 2：5
在一幅云南地图上用4厘米的线段表示实际距离160千米，这幅地图的比例尺是（ ）。
A B C
比例和比例的性质
1.比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
如：a：b=c：d
内项
外项
只要两个比的比值相等，就能组成比例。
比
比例
意义
两个数相除又叫做这两个数的比
表示两个比相等的式子叫做比例
A．笔记本单价一定，数量和总价B汽车行驶路程一定，行驶的速度和时间
C工作总量一定，工作时间和工作效率D一袋大米的质量一定，吃了的和剩下的
2.如果 ，那么x和y（）
A成正比例B成反比例
C不成比例D无法判断
3.下列关系中，成反比例的是（）
A分数值一定，它的分子和分母的关系
B六（1）班的出勤与缺勤人数
C报纸的单价一定，订阅份数与总价的关系
把四个数组成比例常用的三种方法
①根据比值相等组成比例
②根据比例的基本性质组成比例
③根据从大到小或从小到大的排序组成比例。
例如1:4=5:20（或20:5=4:1），所以1,4,5,20可以组成比例
解比例的方法：
根据比例的基本性质解比例，先把比例转化成外项乘积相等的形式（即方程），再通
过解方程来求出未知项的值。(注：在转化过程中比例的内项、外项要严格区分)
正比例关系与反比例关系的异同点：
正比例关系
反比例关系
相同点
1.都是两种相关联的量
2.一种量随着另一种量变化
1.“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小
1.“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大
不同点
2.相对应的两个数的比值（商）一定
2.相对应的两个数的乘积一定
3.关系式： =k（一定）
3.关系式：xy=k（一定）
正反比例关系的判断：
判断正比例与反比例的关系时应注意的问题
1.先判断两个量是不是相关联的量
2.再判断两种量中相对应的两个数积一定还是商一定，如果积一定，这两种量就成反比例关系；如果商一定，这两种量就成正比例关系
##正比例函数的图像是一条直线！
跟踪训练
1.下面各题中成正比例的是（）
在一个比例式中，两个外项都是质数，它们的积是39，一个内项是这个积的20%，这个比例式可以是（）。
甲、乙两地的实际距离是360千米，在一幅地图上量得它们之间的距离是7.2厘米，这幅地图的比例尺是（）。
一个长方形操场，长110米，宽90米。把它画在比例尺是 的图纸上，长画（）厘米，宽画（ ）厘米。
甲、乙两地之间的距离是120千米，在比例尺是 的地图上，这段距离应该画（）厘米。
构成
由两项组成，分别叫做比的前项和后项
由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项
基本
性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积
比与比例的区别：
判断两个比能否组成比例的方法。
①可以分别求出它们的比值，看比值是否相等。
②可以利用比例的基本性质，看两个外项之积是否等于两个内项之积
例尺和放大比例尺。
根据表现形式的不同，比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺。
3.比例尺的应用：
已知比例尺和图上距离，求实际距离
比例尺=图上距离÷实际距离 图上距离=实际距离×比例尺
实际距离=图上距离÷比例尺
习题
甲数的 等于乙数的 ，甲乙两个数的最简单的整数比是（），比值是（ ）。
在一幅云南地图上，要把实际距离224千米用线段5.6厘米表示出来，请你计算这幅地图的比例尺是（）。