2017年4月浙江省学业水平考试数学试题(含答案)

2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题
满分100分，考试时间80分钟
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1. 已知全集U ={1，2，3，4}，若A ={1，3}，则C u A = （ ）
A .{1，2}
B .{1，4}
C .{2，3}
D .{2，4}
2. 已知数列1，a ，5是等差数列，则实数a 的值为 （ ）
A .2
B .3
C .4
D .5
3.计算lg 4+lg 25= （ ）
A .2
B .3
C .4
D .10
4. 函数y =3x 的值域为 （ ）
A .(0，+∞)
B .[1，+∞)
C .(0，1]
D .(0，3]
5. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =3，A =60°，B =45°，则
b 的长为 （ ） A .
2
2 B .1 C .2 D .2
6. 若实数x ，y 满足⎩
⎨⎧<->+-020
1y x y x ，则点P (x ，y )不可能落在 （ ）
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
7. 在空间中，下列命题正确的是 （ ）
A.若平面α内有无数条直线与直线l 平行，则l∥α
B.若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β
C.若平面α内有无数条直线与直线l 垂直，则l⊥α
D.若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则α⊥β
8. 已知θ为锐角，且sinθ=53，则sin (θ+4
π
)= （ ）
A.
1027 B.1027- C.102 D.10
2
-
9. 直线y =x 被圆(x −1)2+y 2=1所截得的弦长为 （ ）
A.
2
2
B.1
C.2
D.2 10. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +1=2a n +1，n ∈N *，则a 3= （ ）
A .3
B .2
C .1
D .0
11.如图在三棱锥A−BCD 中，侧面ABD ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，AB=AD=4，BC=6，BD=43，该三棱锥三视图的正视图为 （ ）
12.在第11题的三棱锥A−BCD 中，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为 （ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
13设实数a ，b 满足|a|>|b|，则“a−b>0”是“a+b>0”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.过双曲线12222=-b y a x (a>0，b>0)的左顶点A 作倾斜角为4
π
的直线l ，l 交y 轴于点B ，交双
曲线的一条渐近线于点C ，若BC =AB ，则该双曲线的离心率为 （ ） A.5 B.5 C.
3 D.
2
5
15.若实数a ，b ，c 满足1<b<a<2，0<c<18，则关于x 的方程ax 2+bx+c=0 （ ） A.在区间(−1，0)内没有实数根
B.在区间(−1，0)内有一个实数根，在(−1，0)外有一个实数根
C .在区间(−1，0)内有两个相等的实数根
D .在区间(−1，0)内有两个不相等的实数根
16. 如图1，把棱长为1的正方体沿平面AB 1D 1和平面A 1BC 1截去部分后，得到如图2所示几
何体，该几何体的体积为 （ ）
A .
43
B . 24
17
C .
3
2 D .
2
1 17.已知直线2x +y +2+λ(2−y )=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S (λ)， 当λ∈(1，+∞)时，S (λ)的最小值是 （ ）
A .12
B .10
C .8
D .6
18. 已知)(x f =2x +ax +b (a ，b ∈R )，记集合A={x ∈R |)(x f ≤0}，B ={x ∈R |)1)((+x f f ≤0}，
若A =B ≠∅，则实数a 的取值范围为 （ ）
A .[−4，4]
B .[−2，2]
C .[−2，0]
D .[0，4]
二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)
19. 设向量a =(1，2)，b =(3，1)，则a +b 的坐标为________，a •b =____________
20. 椭圆3
2
x +y 2=1两焦点之间的距离为____________________________
21. 已知a ，b ∈R ，且a ≠−1,则b a b a -++
+1
1
的最小值是_______________ 22. 设点P 是边长为2的正三角形ABC 的三边上的动点，则)PC +PB (PA ⋅的取值范围为______ 三、解答题(本大题共3小题，共31分)
23.（本题10分）已知函数R x x x f ∈-=,1cos 2)(2
①求)6(π
f 的值
②求)(x f 的最小正周期 ③设x x f x g 2cos 3)4
()(+-=π
，求)(x g 的值域
24.(本题10分)已知抛物线C：y2=2px过点A(1，1)
①.求抛物线C的方程
②.过点P(3，−1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值
25.(本题11分)已知函数)
f=3|x−a|+|ax−1|，其中a∈R
(x
①当a=1时，写出函数)
(x
f的单调区间
②若函数)
f为偶函数，求实数a的值
(x
③若对任意的实数x∈[0，3]，不等式)
f≥3x|x−a|恒成立，求实数a的取值范围
(x
2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学参考答案
一． 选择题
23.解：①x x f 2cos )(=由已知可得
213cos )6(==∴ππf
②T =
ππ
=2
2 ③x x f x g 2cos 3)4
(
)(+-=π
)3
2sin(22cos 232sin 21(22cos 3)22cos()(π
π+=+=+-=∴x x x x x x g
]2,2[)(-∈∴x g 24.解：①∵A 在抛物线上
∴1=2p 即p=2
1
∴抛物线C 的方程为x y =2 ②令M （x 1,y 1）,N(x 2,y 2)
MN:m(y+1)=x-3代入x y =2可得
032=---m my y
∴y 1+y 2=m, y 1*y 2=-m-3, x 1+x 2=m 2+2m+6, x 1*x 2=(m+3)2 又k 1•k 2=1
)(1
)(1111212121212211++-++-=--*--x x x x y y y y x y x y =
2442
21
62)3(132
2-=+--=+---++---m m m m m m m 为定值 25.(本题11分)已知函数)(x f =3|x−a|+|ax−1|，其中a∈R ①当a=1时，写出函数)(x f 的单调区间 ②若函数)(x f 为偶函数，求实数a 的值
③若对任意的实数x∈[0，3]，不等式)(x f ≥3x|x−a|恒成立，求实数a 的取值范围 25.解：（1）当a=1时
⎩⎨
⎧<--≥-=-=-+-=1
)1(41
)1(414113)(x x x x x x x x f ∴的单调增区间是)(),1[x f x +∞∈，()的单调减区间是，
)(1-x f x ∞∈ （2）∵)(x f 是偶函数
∴)1()1(f f =- ∴113113-+-=--+--a a a a
即a a -=+11
∴0=a
(3)。