2011年清华自主招生数学试题和答案解析

2011年高水平大学自主招生选拔学业能力测试

数学

注意事项：

1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

（1）设复数z 满足|z|<1且1

5

|z+|2

z

=

，则|z |=（ ） A 45 B 34 C 23 D 1

2

解析：设|z |a bi =+代入15|z+|2

z =整理得22

22

1174a b a b ++=+，又|z |<1，所以2214a b +=，|z |

=1

2

=

（2）在正四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切

.则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A

13 B 16 C 18 D 112

解析：设2AB =,

容易算出2PB =,以底面中心为

原点建立空间坐标系，1

111(1,1,0),(1,1,0),(,,

(,,222222

D A M N ------，由1cos 6

|DM AN ||DM ||AN |θ⋅==⋅uuu u r uuu r

uuu

u r uuu r （3）过点(1,1)-的直线l 与曲线3

2

21y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的

斜率是（ ）

A 2

B 1

C 1-

D 2-

解析：3

2

2

21(),()322y x x x f x f x x x '=--+==--，设切点(),()t f t ，

()()()y f t f t x t '-=-，把(1,1)-代入且1t ≠-得到1t =，所以2k =-

（4）若23

A B π+=

,则22

cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）

A.312-

， B.13

22

，

C.11

D.112， 解析：22222

11

cos cos cos cos ()1cos(2)323

A B A A A ππ+=+-=+

+，选B （5）如图，1O e 和2O e 外切于点C ，1O e ，2O e 又都和O e 内切，切点分别为,A B . 设AOB ACB αβ∠=∠=，，

则（ ） A cos sin

02

α

β+= B sin cos

02

α

β-=

C sin 2sin 0βα+=

D sin 2sin 0βα-= 解析：连接12O O 过点C ，设12CAO CBO ∠=∠∠=∠，，

12O C O C 、，则+1+2=+21+22=βαπ∠∠∠∠,即2=βαπ-，只有D 是错的。

（6）已知异面直线,a b 成060角，A 为空间中一点，则过A 与,a b 都成045角的平面（ ） A 有且只有一个 B 有且只有两个 C 有且只有三个 D 有且只有四个

解析：060，范围是00,60⎡⎤⎣⎦，有两个；0

120，范围是0

0,30⎡⎤⎣⎦，没有。选B

（7）已知向量11(0,1)()(),(1,1)2222

a b c xa yb zc ==--=-++=r r r r r r ，

，.则 222x y z ++的最小值为（ ）

A 1 B

43 C 3

2

D 2 解析：由11(0,1)()),(1,1)22

a b c xa yb zc ==-=-++=r r r r r r ，

，消去,x z 整理得到 22224

3(3

x y z y ++=+

+，选B （8）AB 为过抛物线2

4y x =焦点F 的弦，O 为坐标原点，且0

135OFA ∠=,C 为抛物线

准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为（ ） A 5 C 3 D 3

解析：直线AB 方程是1y x =-，联立抛物线2

4y x =解得

E

C

B

F

D

A

(32(32A B ++--，容易算出直线AC,BC 的斜率，由tan()αβ+得

到ACB ∠

的正切值为

（9）如图，已知ABC ∆的面积为2,D ，E 分别为边AB ,边AC 上的点，

F 为线段DE 上一点，设

AD AE DF

x y z AB AC DE

===，，，

且1y z x +-=，则BDF ∆面积的最大值为（ ） A

8

B 1027

C 1427

D 16

27 ,

1,

BDE ABE ABE

ABC

S S S S z x y ∆∆∆∆==-=，于是

(1)2

BDF ABC

S S z x y

∆∆-=

联立1

y z x +-

= 得到

[]2()(2(122

BDF ABC

S S zy zy

y z

zy ∆∆=

-+≤-=- 3

(148

22432727

BDF S ∆⎡⎤

-++⎢⎥≤=∴≤

⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

（10）将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两

不相交，则（ ）

A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形

B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形

C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形

D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 解析：思路暂缺。

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （11）（本小题满分14分）

已知BC A ∆不是直角三角形.

（I ）证明：tan tan tan tan tan tan A B

C A B C ++=； （II tan tan 1tan B C

C A

+-=

，且sin 2sin 2sin 2A B C ，

，的倒数成等差数列. 求cos

2

A C

-的值.