命题与证明的知识点总结

命题与证明的知识点总结二、知识点归类 知识点一定义的帳念对于一个槪念待征性质的描述叫做这个概念的定义。

如：“两点Z 间线段的长度,叫做这两点之间的距离”足“两点之间的距离”的宦义.注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如"一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中 出现. 知识点二命题的概念叙述一件事情的句子（陈述句），要么足贞的，要么圧假的，那么称这个陈述句足一个命 如“你是一个学生”、“我们所使用足教科书址湘教版的”等. 注意：（1）命题必须是一个完整的句子.（2〉这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可.知识点三命题的结构毎个命题都冇条件和结论两部分组成.条件尼已知的爭项，结论圧山已知审项推断出的％项.一般地，命 题都可以写出“如果 那么——"的形式.有的命題表面上看不具有“如果 那么——”的形式, 但可以写成这种形式。

如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角足对顶角，那么这两个角相等”。

傍把下列命懸改写成“如果--------- 那么——”的形式，并指出条件与结论。

1、同角的余角相等2、两点确定一条ft 线知识点四真命题与假命题如果一个命题叙述的事情足直的，那么称它足真命题：如果一个命题叙述的爭情址假的，那么称它圧假命题 注童：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点. 知识点五证明及互逆命题的定义1、 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。

注童：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论， 从而判斷这个命題是假命题.2、 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，英中的一个命题 叫作另一个命题的逆命題。

注意：一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，希要具体问题具体分析. 例说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。

<1）H 角二角形的两锐角互余；（2）全等三角形的对应角相等.T0逆 SflrS若计山若狈J p若曲q语q 则p一、知识结构械理图类型一，例、判断下列语句在表述形式上，哪些对韦情作了判断？哪些没有对韦情作出判断？（1）对顶角相等：（2）画一个角等于已知角：（3）两直线平行，同位角相等：（4）a,心两条直线平行吗？（5）鸟是动物：（6）若=4 ,求a的值：（7）若卅=庄,则0=“.思路点拨:通过本电熟悉命也的定义解析：句子（1X3X5X7）对事惜作了判断,句子（2X4X6）没有对事情作出判断.其中⑴⑶⑸判断是正确的, （7）判断址借误的.【变式1】下列语句中，哪些於命题.哪些不於命題。

⑴若3<b,则一⑪WP ：⑵三角形的三条高交于一点；⑶在AABC中，若AB>AC・则ZOZB吗？（4）两点之间线段最短：（5）解方程X2 -2x-3=0 .（6）1+2弼.【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题.类型二：例、指出下列命麗的条件和结论，并改写成••如果……那么……“的形式：（1）三条边对应相等的两个三角形全等：（2）在同一个二角形中，等角对等边：（3）对顶角相等：（4）同角的余角相等：（5）三角形的内角和等于180°：（6）角平分线上的点到角的两边距离相等.思路点拨：找出命题的条件和结论足木题的难点，因为命懸在叙述时要求通顺和简练，把命题中的冇些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去.解析：（1）“三条边对应*11等“是对两个三角形来说的，因此写条件时馆好把“两个三角形“这句话添加卜.去，HU 命题的条件丿6“两个三角形的三条边对应和等“，结论址“这两个三角形全等“.町以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等“.（2）••等角对等边介义“是指有两个角柑等所对的两条边相等.可以改写成“如果在同一个二角形中冇两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

“值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：••在一个三角形中“，在改写时不能遗漏.（3）这个命题的条件圧“两个和足对顶ff广，结论於“两个角相等这个命题可以改写成••如果两个角肚对顶角，那么这两个角相等（4）条件是••两个角是同一个角的余角“，结论是••这两个角相等这个命题可以改写成“如果两个角足同一个角的余角，那么这两个角相等”.（5）条件是•'三个角於-个三角形的三个内角“，结论圧••这三个角的和等于180。

“.这个命题可以改写如果“三个角足一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180。

“：（6）••如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。

“总结升华：注意原命题中省略的重更内内容一定要补充完整。

【变式1】试将下列各个命題的題设和结论相互颠倒或变为否定式.得到新的命题•并判断这些命题的貞•假.（1）对顶用相等：（2）两n线半行•，同位角相等：⑶若a-0,则ab-0：（4）两条直线不平行，则一定相交：【答案】⑴对顶角相等（帥：相筹的角足对顶角（假）：不足对顶如不相等（假）：不相等的角不足对顶角（真）. （2）两£1线平行.同位角相等（真）：同位角相等，两直线平行（直）：两r（线不平行，同位角不相等（貞）；同位角不相等，两ri线不平行（貞•）.⑶若a-O,则ab-O（真）：若ab-O.则a-C（假）：若那O 则abK）（假）：若al#O,则君0（真）.（4）两条直线不平行，则一定相交（假）：两条直线相交，则一定不平行（贞）；两条直线平行，则一定不相交（貞）：两条11线不相交.则一定平行（假）.【变式2】判断正误：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角郴等。

（）（2）如果两个角相等，那么这两个角足对顶角。

（）（3）如果两个角有公共顶点，那么这两个角圧对顶角. （）（4）如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角. （）（5）如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。

（）（6）如果两个角的和出180。

，那么这两个角丛邻补角。

（）（7）对顶角的角平分线在同一条直线上. （）（8）如果两个角有公共顶点.R角平分线吃为反向延长线，那么这两个角是对顶角。

【答案】：（1）7：（2）x：（3）x；（4）x；（5）7：（6尸：（7）P；（8）x.注：判断题如果於正确的命趣需要加以说明或论证，找出依据，如果足错谋的命懸，只婆举出-•个反例即可。

知识点六公理与定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命題貞假的原始依据，这样的氏命题叫做公理。

以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命題的贞假，已经判断为翼的命懸称为定理。

注意：（1）公理是不裕要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明：（2 ）定理都是真命題，但真命題不一定都是定理.例填空：（1）同位角相等，则两11线_______________________ :（2）平而内两条不重合的H线的位巻关系世_____________ :（3）_________________ 四边形绘平行四边形。

知识点七互逆定理如果一个定理的逆命题也於定理，那么称它於原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理.注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理.如：“对顶角相等”就没逆定理.知识点八证明的含义从-•个命融的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立.从而判定该命题为贞，这个过程叫做证明. 推理汪明的必要性：判断瘠想的数学结论是否正确，仅仅依菲经验圧不够的，必须一步一步，有理冇据地进行推理。

证明命题的步9：1（1题设出发，经过一步步的推理故后推出纟当论（〃证）正确的过程叫做证明。

证明中的毎一步推理都要冇根据.不能••想当然“，这些根据，可以兄己知条件，也可以圧定义、公理，在此以前7过的定理.（证明命題的格式一般为：1）按題意画出图形：2）分消命题的条件和结论，结合图形在“己知”中写出条件，在“求证“中写出结论：3）在“证明”中写出推理过程）证明的四个注意（1）注总：①公理足通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的貞命题：②公理可以作为判定梵他命题貞假的根据•（刁注盘，定理都是真命题，但真命题不一定都出定理；一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题一这些被选作定理的翼命题，在教科M中足用黑体字排印的一（3）注总：在几何问题的研丸上•必须经过证明，才能作出貞实可靠的判断.如••两II线平行，同位角相等“ 这个命题，如果只采用测吊:的方法.只能测戢有限个两平行rr•线的同位角是相等的.但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等.（4）注意：证明中的毎-步推理都耍有根据，不能••想当然①论据必须足貞命懸，如：定义、公理、已经学过的定理和己知条件：②论据的貞•实性不能依赖丁论证的真实性：③论拯应圧论题的充足理山. 例1.证明：两直线平行,内错角相等.己知：a〃b.c是截线求证：Z1-Z2分析：嬰证Z1-Z2只要证Z3-Z2即可，囚为Z3与Z1足对顶角，根据平行线的性质，易得1HZ3-Z2证明三•••d〃b（己知）.\Z3-Z2（iqn线平行，同位角相等）••• Z 1-Z3（对顶角相等）••• Z 1-Z2（等虽代换）例2.如图所示，己知：ZA-ZF. ZC-ZD＞求证：BD〃CE分析：要证BD〃CE・只需证得ZD-ZCEF或ZEHZCED-1800即可.由于ZC-ZD,因此只要ZC-Z CEF或ZC-fZCED-180%这就需要右AC〃DF・由己知条件中的ZA-ZF.可以得出AC〃DF・故此题可证证明：V ZA-ZF（已知）・・・AC〃DF（内错角相等，两直线平行）A ZC-ZCEF（两fl线平行，内借角相等）又•••ZD-ZC（己知）•••ZD-ZCEF（等虽代换）•■•BD〃CE（同位角相等,【变式】已知：如图正方形ABCD中.E为CD边匕一点.F为BC延长线上一点• .R CE=CF⑴求证：A BCE^ A DCF（2） 2：NFDC = 3O° •求ZBEF 的度数。

知识点九反证法反证法：在证明一个命题时.人们右时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和己知条件矛炳，或音与定义，公理•定理等矛旺的结论.从而得出假设侖題不成立於借误的，即所求证的命题成立，这种证明方法叫做反正法.反证法的基本步9： 1.假设命题的结论不成立2•从这个假设出发・经过推理论证得出矛盾。

3•有矛盾判定假设不止确，从而肯定命題的结论正确结论的反面不止一种情形的反证法：应用反证法证明命题时，忤先要分清命懸的题设和结论，再全而地否定结论，如果结论的反而不止一种情形，那么必须把并种可能性都列出来，并II在逐一加以否定之后，才能肯定原结论正确。