命题与证明知识点总结

命题、定理与证明的知识点总结

一、知识结构梳理

二、知识点归类

知识点一定义的概念对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。

注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。

知识点二命题的概念

叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命

如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是湘教版的”等。

注意：（1）命题必须是一个完整的句子。

（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。

知识点三命题的结构

每个命题都有题设和结论两部分组成。题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。

例把下列命题改写成“如果------，那么-------”的形式，并指出条件与结论。

1、同角的余角相等

2、两点确定一条直线

知识点四真命题与假命题

如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题

注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。

知识点五证明及互逆命题的定义

1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。

注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。

2、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其

中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。

注意：一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。

例说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。

（1）直角三角形的两锐角互余；（2）全等三角形的对应角相等。

类型一：

例、判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？

（1）对顶角相等； (2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；

（４），两条直线平行吗? (5)鸟是动物； (6)若，求的值； (7)若，则．思路点拨:通过本题熟悉命题的定义

解析：句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的．

【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?

(1)若a＜b，则； (2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC中，若AB＞AC，则∠C ＞∠B吗?

(4)两点之间线段最短；(5)解方程；(6)1＋2≠3．

【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．

类型二：

例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：

(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；

(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；

(5)三角形的内角和等于180°；(6)角平分线上的点到角的两边距离相等．

思路点拨:找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去．

解析：（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏．

（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．

（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．

（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”．这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”；

(6) “如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。”

总结升华：注意原命题中省略的重要内内容一定要补充完整。

【变式1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否定式，得到新的命题，并判断这些命题的真假．

(1)对顶角相等；(2)两直线平行，同位角相等；

(3)若a=0，则ab=0；(4)两条直线不平行，则一定相交；

【答案】(l)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；不是对顶角不相等(假)；不相等的角不是对顶角(真)．

(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；

两直线不平行，同位角不相等(真)；同位角不相等，两直线不平行(真)．

(3)若a=0，则ab=0(真)；若ab=0，则a=0(假)；若a≠0，则ab≠0(假)；若ab≠0，则a≠0(真)．

(4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)；

两条直线平行，则一定不相交(真)；两条直线不相交，则一定平行(假)．【变式2】判断正误：

(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。（）

(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。（）

(3)如果两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。（）

(4)如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角。（）

(5)如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。（）

(6)如果两个角的和是180°，那么这两个角是邻补角。（）

(7)对顶角的角平分线在同一条直线上。（）

(8)如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。

【答案】：(1)√；(2)×；(3)×；(4)×；(5)√；(6)×；(7)√；(8)×。

注：判断题如果是正确的命题需要加以说明或论证，找出依据，如果是错误的命题，只要举出一个反例即可。

知识点六公理与定理

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理。

注意：（1）公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明；

(2 ) 定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。

例填空：（1）同位角相等，则两直线；（2）平面内两条不重合的直线的位置关系是；（3）四边形是平行四边形。

知识点七互逆定理

如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。

注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。如：“对顶角相等”就没逆定理。

知识点八证明的含义

从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。推理证明的必要性：判断猜想的数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够的，必须一步一步，有理有据地进行推理。

证明命题的步骤：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。

证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”

中写出推理过程）

证明的四个注意

(1)注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命

题：

②公理可以作为判定其他命题真假的根据.

(2)注意，定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择一些最基本最常用的真

命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题. 这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的.

(3)注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法. 只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的. 但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等.

(4)注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. ①论据必须是真命题，如；定义、公理、已经学过的定理和已知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由.

例1.证明：两直线平行，内错角相等。

已知：a∥b,c是截线求证：∠1=∠2

分析：要证∠1=∠2

只要证∠3=∠2即可，因为∠3与∠1是对顶角，根据平行线的性质，易得出∠3=∠2 证明：∵a∥b(已知)

∴∠3=∠2(两直线平行，同位角相等)

∵∠1=∠3(对顶角相等) ∴∠1=∠2(等量代换)

例2. 如图所示，已知：∠A=∠F，∠C=∠D，求证：BD∥CE

分析：要证BD∥CE，只需证得∠D=∠CEF或∠D+∠CED=180°即可，由于∠C=∠D，因此只要∠C=∠CEF或∠C+∠CED=180°，这就需要有AC∥DF，由已知条件中的∠A=∠F，可以得出AC∥DF，故此题可证

证明：∵∠A=∠F(已知)

∴AC∥DF(内错角相等，两直线平行)

∴∠C=∠CEF(两直线平行，内错角相等)

又∵∠D=∠C(已知)

∴∠D=∠CEF(等量代换) ∴BD∥CE(同位角相等，两直线平行)

【变式】已知：如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF （1）求证：ΔBCE≌ΔDCF

（2）若∠FDC＝30°，求∠BEF的度数。

A D

E

B C F

知识点九反证法

反证法：在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾的结论，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题成立，这种证明方法叫做反正法。

反证法的基本步骤：1.假设命题的结论不成立 2.从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾。

3.有矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

结论的反面不止一种情形的反证法：应用反证法证明命题时，首先要分清命题的题设和结论，再全面地否定结论，如果结论的反面不止一种情形，那么必须把各种可能性都列出来，并且在逐一加以否定之后，才能肯定原结论正确。

例1、已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，13与11相交于点P.

求证：13与l2相交．

（使用反证法）

思路点拨:仔细阅读反证法的定义，掌握这种方法的规律。

解析：证明：假设，13与l2不相交，

即l3∥l2，

又∵l1∥l2（已知），

∴过直线12外一点P有两条直线11,13与直线12平行，

这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，

∴假设不成立，即求证的命题成立，∴ 13与12相交．

【变式1】用反证法证明不是有理数

【变式2】我们年级有367名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日．

巩固训练

1.把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“如果……,那么……”的形式是________________________________________________________________________.

2.命题“如果22a b = ,那么a b =”的逆命题是________________________________.

3.命题“三个角对应相等的两个三角形全等”是一个______命题(填“真”或“假”).

4.如图,已知梯形ABCD 中, AD ∥BC, AD ＝3,

AB ＝CD ＝4, BC ＝7,则∠B ＝_______.

5.用反证法证明“b 1∥b 2”时,应先假设_________.

6.下列语句中,不是命题的是（ ）

A.直角都等于90°

B.面积相等的两个三角形全等

C.互补的两个角不相等

D.作线段AB

7.下列命题是真命题的是（ ）

A.两个等腰三角形全等

B.等腰三角形底边中点到两腰距离相等

C.同位角相等

D.两边和一角对应相等的两个三角形全等

8.下列命题的逆命题是真命题的是（ ）

A.两直线平行同位角相等

B.对顶角相等

C.若a b =,则22a b =

D.若(1)1a x a +>+,则1x >

9.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）

A.两条直角边对应相等

B.斜边和一锐角对应相等

C.斜边和一条直角边对应相等

D.面积相等

10.△ABC 的三边长,,a b c 满足关系式()()()0a b b c c a ---=，则这个三角形一定是（

） A.等腰三角形 B.等边三角形

C.等腰直角三角形

D.无法确定

11.如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB 的长为1，

EC 的长为2，那么正方形ABCD 的面积是（ ） 35 C.3 D.5

12、判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一个反例说明.

（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形.