数学建模国赛A题获奖论文
2021年国赛数学建模A题优秀论文
2021年国赛数学建模A题优秀论文本文基于FAST的工作原理，通过机理分析、坐标変换、非线性最小二乘优化等方法，建立了反射面板谟节优化模型・并利用BFGS 算法、蒙特卡洛积分算法等算法，对不同条件下反射光线吸收比率进行了研究。
问题一中，首先基于固定的仰角观测目标S、圆心C和焦点P・利用旋转抛物面的中心对祢性，选取焦距作为自由度控制变量，构建在极坐标系下开口竖直向上的二维抛物线方程.得到不同偏转角度下原点到抛物线的距离.进而导出三维下的旋转掀物面方程。
其次，以焦距为决策变量，将口径300米的拋物面作为积分域•将理想抛物面到原点的距离与基准球面半径差值平方作为被积函数进行积分作为最小化目标函数.建立了确定理想抛物面的优化模型。
最后，使用二分法求得目标函数导函数在定义区间上的零点.得到理想抛物面焦距的精确值为280.854,误差平方积分的最小偵为10.112o此时对应理想抛物面的解析式为z=Q+#)2/561.708300.841,问题二中，首先利用球坐标下不同轴线方向抛物面的旋转不变性.在原坐标系和问题一的坐标系之间建立了双向可逆的变换关系.得到了不同方位角下理想抛物面到原点的距离。
其次.以主索节点的工作坐标和促动器的伸缩长度为决策变量:.以积分域覆盖的主索节点到原点的距离与理想抛物面到原点的距厲之差的平方和为最小化目标函数.分别考虑下拉索长度固定、相邻节点的距离变化幅度不超过0.07%.促动器的伸缩范围在±0.6m为约束条件.建立反射面板调节优化模型。
最后，使用拉格朗日乗子法和BFGS算法进行求解.得到误差平方在抛物面口径上的积分的最小值为5.1353X109.理想抛物线的顶点坐标为(-49.392,-36.943,-294.450).调节后反射面300米口径内的主索节点编号、位置坐标、各促动器的伸缩量等结果见文件result.xlsxe问题三中，首先通过旋转变换.将反肘问题的倾斜入射光线转化为垂直入射光线。
数学建模全国赛07年A题一等奖论文
关于中国人口增长趋势的研究【摘要】本文从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色预测、动态模拟等方法进行建模预测。
首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2007至2020年的人口数目进行了预测，得出在2015年时，中国人口有13.59亿。
在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。
然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文建立了GM(1,1) 灰色预测模型，对2007至2050年的人口数目进行了预测，同时还用1990至2005年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2030年时，中国人口有14.135亿。
与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。
为了对人口结构、男女比例、人口老龄化等作深入研究，本文利用动态模拟的方法建立模型三，并对数据作了如下处理：取平均消除异常值、对死亡率拟合、求出2001年市镇乡男女各年龄人口数目、城镇化水平拟合。
在此基础上，预测出人口的峰值，适婚年龄的男女数量的差值，人口老龄化程度，城镇化水平，人口抚养比以及我国“人口红利”时期。
在模型求解的过程中，还对政府部门提出了一些有针对性的建议。
此模型可以对未来人口做出细致的预测，但是需要处理的数据量较大，并且对初始数据的准确性要求较高。
接着，我们对对模型三进行了改进，考虑人为因素的作用，加入控制因子，使得所预测的结果更具有实际意义。
在灵敏度分析中，首先针对死亡率发展因子θ进行了灵敏度分析，发现人口数量对于θ的灵敏度并不高，然后对男女出生比例进行灵敏度分析得出其灵敏度系数为0.8850，最后对妇女生育率进行了灵敏度分析，发现在生育率在由低到高的变化过程中，其灵敏度在不断增大。
数模国赛2017A题原创优秀论文
数模国赛2017A题原创优秀论文三、模型假设1.假设CT光源的旋转中心在探测器的中垂线上。
2.假设X光不会发生衍射等其他影响吸收强度的现象。
四、符号说明五、模型建立与求解1.问题一1.1．建立坐标系椭圆方程较为复杂，为方便分析，选择在椭圆中心建立直角坐标系，可得模板椭圆和圆的方程为：1.2. 增益的确定1.2.1 的模型查阅资料可知X光吸收强度与其穿过的介质长度和密度有关，令模板的密度函数为，可得由于椭圆和圆模板均为均匀介质，可认为为常数，可得可知X光吸收强度和其穿过的介质长度呈正比，令增益，即可得1.2.2 的计算选取中非0数据最多的六列数据，可以有效减小系统误差。
取每一列数据数值最大的几个值，其表示椭圆短轴和圆直径吸收衰减后的X射线能量经增益处理的量值，取六个方向平均值，对应为38；同理选取中非0数据最少的六列数据，此时探测器位于平行于x 轴的位置，两段不为0 数据中的最大值分别表示椭圆长半轴和圆直径吸收衰减后的射线能量增益后的量值，取三个方向平均值分别得,对应的,为80 和8。
对这三组数据用excel进行最小二乘法拟合，得到μ=1.7713。
过程如图所示：1.3 探测器间距离确定通过附件2，可知中每一列非0数据的个数，即为X光源截得相应弦长，对应的探测器的个数。
则当探测器平行于y轴时，探测器的个数最多；平行于x轴时，探测器的个数最少。
将附件2数据，用Matlab可视化,如图可确定在，有最少个数探测器;,有最多个数探测器。
得到当时，之间，有个探测器；当时，之间，有个探测器。
最终可算出取均值得1.4 旋转中心的确定当时，设第行, 使得取到最大值；当时，设第行, 使得取到最大值,。
显然当时，其X射线路径通过原点。
其截得模板的长度分别为椭圆长轴和短轴。
有1.3图像可知：将在这两个位置将椭圆中心即坐标系原点与旋转中心之间的探测器单元数目差值分别确定，找到模板和探测器系统的相对位置，代入d 值，分别求得纵坐标和横坐标。
全国大学生数学建模大赛国家一等奖论文A题
=
− − ( − 1)′
, = 1, 2, · · ·, 210
当逐渐增大，锚链受到的竖直向下方向的合力与支持力之差先逐渐接近于0，
再等于0，直至小于0。当合力小于0时，锚链以海床接触，此时海床提供向上的支持
力，其大小与′ 相等。因此可将小于0 的值都作零处理，故锚链接触海床时，
对于问题二，首先考虑第一个子问题，将风速36/直接代入问题一的模型中，
得出此条件下的吃水深度为0.723，各钢管倾斜角度(度)依次为8.960、9.014、9.068
、9.123，钢桶倾斜角(度)为9.179，锚链链接处的切线方向与海床的夹角(度)为18.414，
游动区域半径为18.80。发现此条件下，水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被
计与应用对海上科学发展有重要意义。
1.2 问题的提出
已知某近浅海传输节点(如图1所示)，将浮标视作底面直径2为、高为2、质量
为1000的圆柱体，锚的质量为600，钢管共4节，每节长度为1，直径为50，
每节钢管的质量为10。水声通讯系统安装在一个长为1、外径为30的密封圆
柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100。
Step1: 遍历求解
令吃水深度ℎ的初始值为0.1，以0.0005为单位逐步增加至2。( 浮标高度为2，
完全浸没时吃水深度ℎ则为2 )，记录对应的数据，选取水下物体竖直方向高度和
与海域水深最接近的组别，进一步进行计算，结果如下表所示(具体程序见附录)：
表 1: 不同风速的相关结果表
以风速24/的情况为例，绘制游动区域图：
题意的变量临界值。以水深16、系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小
于5°为约束条件，将多目标优化转化为单目标优化。通过调节决策变量中锚链的型
全国大学生数学建模优秀论文(A题) 国家一等奖
地下储油罐的变位分析与罐容表标定摘要加油站地下储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因会发生纵向倾斜及横向偏转，导致与之配套的“油位计量管理系统”受到影响，必须重新标定罐容表。
本文即针对储油罐的变位时罐容表标定的问题建立了相应的数学模型。
首先从简单的小椭圆型储油罐入手，研究变位对罐容表的影响。
在无变位、纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系，在忽略罐壁厚度等细微影响下，运用积分的方法求出储油量和测量油位高度的关系。
将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图，经计算得误差均保持在3.5%以内。
纵向变位中，要分三种情况来进行求解，然后将三段的结果综合在一起与变位前作比较，可以得到变位对罐容表的影响。
通过计算，具体列表给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。
把储油罐分成中间的圆柱体和两边的球冠体分别求解。
中间的圆柱体求解类似于第一问，要分为三种情况。
在计算球冠内储油量时为简化计算，将其内油面看做垂直于圆柱底面。
根据几何关系，可以得到如下几个变量之间的关系：测量的油位高度0h 实际的油位高度h 计算体积所需的高度H于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
再利用附表2中的数据列方程组寻找α与β最准确的取值。
αβ一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
题目给出了一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
数学建模优秀优秀论文A题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则•我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：_________________________________ 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：_______________________________________ 所属学校（请填写完整的全名）：________________________________________________________ 参赛队员（打印并签名）：1. _______________________________________________2. ____________________________________________3. ____________________________________________指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：____________________________日期：—年—月—日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于系统综合评价的城市表层土壤重金属污染分析摘要本文针对城市表层土壤重金属污染问题，首先对各重金属元素进行分析，然后对各种重金属元素的基本数据进行统计分析及无量纲化处理，再对各金属元素进行相关性分析，最后针对各个问题建立模型并求解。
国赛数学建模A题优秀论文之欧阳美创编
葡萄酒的评价模型海军航空工程学院(烟台) 史成巍许志鹏王鑫指导教师司守奎专家点评：本文格式基本规范，表达较清晰。
解决问题一方法适当，结论正确；问题二以相关系数筛选出与葡萄酒质量相关性较大的理化指标与葡萄酒质量一起作为评估葡萄质量的评价指标，进行聚类分析，思路简明，结论较合理。
问题三进行理化指标的相关性分析，切入准确，但对结果的说明不够充分。
不足之处是在问题二到问题四中没有充分考虑芳香类物质的使用，问题四中对如何判定“葡萄和葡萄酒的理化指标是否能用来评价葡萄酒”时方法略有不妥，导致结论不当。
点评人：济南大学数学科学学院许振宇副教授摘要：本文主要针对葡萄酒的评价问题建立了相关数学模型。
在对两组评酒员的评价是否存在显著性差异的问题中，首先验证了两组评酒员的评价结果服从正态分布，并通过方差分析法对两组评酒员的评价结果进行了分析，发现两组评酒员对于红葡萄酒和白葡萄酒的评价结果均存在显著性差异，由于第二组评酒员的评分方差更小，故评价结果均衡度更好,其结果可信度更大。
在对酿酒葡萄进行分级的问题中，首先以相关系数衡量葡萄理化指标与葡萄酒质量的相似性程度，然后筛选出与葡萄酒质量相关性较大的理化指标与葡萄酒质量一起作为评估葡萄质量的评价指标，利用筛选出的评价指标对酿酒葡萄进行聚类分析，将红葡萄和白葡萄均分成了四类。
最后以每类中对应葡萄酒质量评分的均值作为该类葡萄的分数，从而定出四类的级别，以对应国家葡萄酒的四级分类标准。
在分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标间的联系问题中，本文采用偏最小二乘回归分析法对指标间的联系进行了分析计算，发现葡萄酒中的某些理化指标与葡萄的某些理化指标存在较强的相关性，比如白葡萄中的总糖和还原糖对白葡萄酒中顺式白藜芦醇苷和顺式白藜芦醇以及反式白藜芦醇的影响较大。
在判断葡萄与葡萄酒的理化指标与葡萄酒的质量间关系的问题中，首先对葡萄和葡萄酒的理化指标与葡萄酒的质量进行了相关性分析，发现某些理化指标与葡萄酒的质量相关性很大。
全国数学建模大赛A题获奖论文
全国数学建模大赛A题获奖论文城市表层土壤重金属污染分析摘要本文旨在对城市土壤地质环境的重金属污染状况进行分析，建立模型对金属污染物的分布特点、污染程度、传播特征以及污染源的确定进行有效的描述、评价和定位。
对于重金属空间分布问题，首先基于克里金插值法，应用Surfer 8软件对各数据点的分布情况进行模拟，得到了直观的重金属污染空间分布图形；随后，分别用内梅罗综合污染指数以及模糊评价标准和模型对城区内不同区域重金属的污染程度进行了评判。
对于金属污染的主要原因分析问题，基于因子分析法、问题一的结果和对各个金属污染物的来源分析等因素，判断出金属污染的主要原因有：工业生产、汽车尾气排放、石油加工并推测该区域是镍矿富集区。
随后讨论了污染源之间的相互关系和不同金属的污染贡献率。
针对污染源位置确定问题，我们建立了两个模型：模型一以流程图的形式出现，基于污染传播的一般规律建立模型，求取污染源范围，模型作用更倾向于确定污染源的位置；模型二基于最小二乘法原理，建立了拟合二次曲面方程，在有效确定污染源的同时也反映了其传播特征，模型更加清楚，理论性也更强。
在研究城市地质环境的演变模式问题中，我们对针对污染源位置确定问题所建模型的优缺点进行了评价，同时建立了考虑了时间，地域环境和传播媒介的污染物传播模型，从而反映了地质的演变。
综上所述，本文模型的特点是从简单的模型建立起，强更准确的数学模型发展，逐步达到目标期望。
关键词：重金属污染，克里金插值最小二乘法因子分析流程图一、问题重述问题背景随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
评价和研究城市土壤重金属污染程度，讨论土壤中重金属的空间分布，研究城市土壤重金属污染特征、污染来源以及在环境中迁移、转化机理，并对城市环境污染治理和城市进一步的发展规划提出科学建议，不仅有利于城市生态环境良性发展，有利于人类与自然和谐，也有利于人类社会健康和城市可持续发展[1]。
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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
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我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：10057066所属学校（请填写完整的全名）：南京信息工程大学参赛队员(打印并签名)：1.石婧2.张蔚华3.罗钰婧指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期：2014年09月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要2013年底我国发射了嫦娥三号月球探测器，首次进行月面软着陆，是我国航天事业的一大跨步。
本文针对嫦娥三号软着陆的六个过程进行轨道设计与控制策略的确定，并做相应的误差分析和敏感性分析。
对于问题一，我们运用开普勒第二定律,迅速找出近日点和远日点之间的速度关联,根据机械能守恒定律使求得近日点和远日点的速度分别为1.673和1.633km/s 。
然后建立动力方程，利用轨道根数将软着陆过程中的运行轨迹重建，求导迭代计算出探测器从近月点到落地点的水平距离为430km ，，最终求得近月点位置为（19.0464°W ，28.9989°N ，15km ），远月点位置为(160.9536°W ，28.9989°N,100km)，俯仰角为84°。
对于问题二，我们先建立三维空间下的月心坐标系，通过对初始下降位置的计算，基于牛顿第二定律建立月球探测器在惯性坐标系下的精确数学模型，给出着陆轨道方程。
主减速过程利用燃料最优制导律，快速调整段利用重力转弯制导求最优解。
然后，在粗避障和精避障阶段，对数字高程图进行聚类分析，确定最佳着陆点并借鉴障碍回避最优制导律求解。
最终解得主减速模式历时约493s ，快速调整模式历时16s ，接近模式历时128s ，悬停模式17s ，避障模式19s ，缓速下降模式18s 。
对于问题三，对月球软着陆主制动段的位置、速度、力学、传感和燃料制导进行误差分析并建立模型，通过模拟整个闭环制导控制系统，仿真给出误差敏感性矩阵并分析得出位置偏差的敏感系数为4-10数量级，速度误差为2-10数量级。
误差结果表明，初始位置偏差对终端速度的影响较小，初始速度偏差对终端位置的影响较大，即此种制导方法对初始速度偏差较敏感。
相对于初始状态偏差和测量误差，制导律对刻度因素误差的敏感性明显要高。
关键词：动力学方程重力转弯轨道根数Pontryagin 极大值原理一、问题的重述随着中国航空航天事业的发展，继嫦娥一号，二号登月之后，嫦娥三号携带中国的第一艘月球车，实现了中国首次月面软着陆。
嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。
但由于月球地形的不确定性，最终“落月”地点的选择仍存在一定难度。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点将在近月点15公里处以抛物线下降，相对速度从每秒1.7公里逐渐降为零。
整个过程大概需要十几分钟的时间至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
二、问题的分析对于问题一，运用开普勒定律，根据机械能守恒定律先求出近日点和远日点的速度，在此基础上根据牛顿第二定律，结合科氏定律建立动力方程，将软着陆过程中的运行轨迹重建，求导迭代计算出探测器从近月点到落地点的水平距离，然后根据着陆点的位置倒推出近日点和远日点的位置和速度方向。
对于问题二，先建立三维空间下的月心坐标系，通过对初始下降位置的计算，基于牛顿第二定律建立月球探测器在惯性坐标系下的精确数学模型，给出着陆轨道方程。
而后将软着陆过程六个阶段分成三种情况分别给出制导公式，主减速过程利用燃料最优制导律，主减速段利用重力转弯制导求最优解，避障阶段使用障碍回避最优制导律求解并利用简单易操作的聚类分析得出最佳降落位置。
对于问题三，首先对探测器着陆过程中的各种误差进行简单列举，分析参数扰动对最优策略分析结果的影响。
然后着重讨论了位置和速度误差，力学模型误差，传感误差与燃料制导律误差，最后给出误差分析系统结构图，并通过模拟整个闭环制导控制系统。
进行仿真，给出误差敏感性矩阵并分析。
三、基本假设及符号说明3.1基本假设1.探测器在制动阶段受到的摄动影响仅考虑月球非球形重力场对着陆舱运动的影响和月球扁率的间接效应。
2.假设初始时刻月固坐标系与惯性坐标系重合。
3.假设制动过程中探测器的质量不变。
4.假设探测器轨道与月球本初子午线重合。
5.假设制动时，发动机推力P 的方向与探测器纵轴重合。
6.假设月球是一个标准的球体，质心和月心重合。
7.忽略月球的自转。
3.2符号说明m探月器的质量B A v v ,近月点，远月点的速度S ∆一段时间里扫过的面积探月器与月球的连线在E 探月器的总机械能zL yL xL V V V ,,探月器速度矢量在月固坐标系各轴上的投影F 发动机的推力g 月球重力加速度L ω月球自传角速度γ下降速度矢量与x 轴的夹角r 探月器月心距e v 发动机单位质量推进剂产生的冲量C燃料质量变化率e 轨道偏心率ω近地点幅角L a 着陆器的赤经J 终极性能指标rr ∆∆,位置误差，速度误差四、问题一的模型与求解4.1近月点远月点速度模型设该行星质量为B A m ,,分别为该行星运动的近日点和远日点,以B A v v 和分别表示经这两点的速度,由于速度沿轨迹的切线方向,可知B A v v 和的方向均与椭圆的长轴垂直(如图1),且B A ,两点距太阳的距离分别为c a L c a L B A +==,-,在B A ,两点分别取极短的相等时间t Δ,则行星与月球连线在这两段时间内扫过的面积分别为,Δ21Δ,Δ21ΔB B B A A A L t v S L t v S ••=••=根据开普勒第二定律:行星和太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积,故有B A S S ΔΔ=,代入得A B v c a c a v +=-（1）行星运动的总机械能等于其动能和引力势能之和,故当行星分别经过B A ,两点时的机械能为c a GMm mv L GMm mv E A A A A --=-+=2221)(21（2）,-21)-(2122ca GMm mv L GMm mv E B B B B +=+=（3）由于行星在运动过程中只受万有引力作用，所以遵循机械能守恒定律，故有BA E E =（4）将(1)~(4)式联立求解得a c a GM c a v a c a GM c a vB A )()-(,)-()(+=+=很明显，B A v v ，正好符合我们对近月点和远月点速度大小关系的认知，即近月点的速度是1.673s km /，可得远月点的的速度是1.633s km /.图1图2月球下降轨道分段示意图4.2近月点远月点位置模型探月飞行器到达与月球附近之后，通过霍曼转移变轨，从圆形环月轨道进入一条近月点高度为15km的椭圆轨道。
当到达近月点时，制动发动机点火，探测器进入动力下降段，不断的降低速度和高度，同时寻找着陆点，最终以趋近于零的相对速度降落到月面指定位置。
着陆舱在制动减速段的飞行过程中,除了受到主发动机的推力和月球重力外,还会受到许多扰动力，主要摄动影响有:月球非球形重力场、球扁率的间接效应、太阳系其它天体的引力摄动、地球扁率的直接效应以及太阳辐射压等。
本文由仅考虑月球非球形重力场对着陆舱运动的影响和月球扁率的间接效应。
为了确定探测器的运动轨迹，进而确定近月点、远月点的位置，首先定义月心惯性坐标系]1[oxyz ，原点在月心，参考平面是月球赤道面，ox 轴指向月球赤道相对于白道的升交点，oy 轴指向月球自转角速度方向，oz 轴垂直于赤道平面。
再定义月固坐标系l l l z y ox ，以月球赤道面为参考平面，L ox 轴指向赤道面与起始子午面的交线方向，L oy 指向月球自转角速度方向，L oz 轴按右手坐标系确定。
111z y Ax 为原点在探测器质心的轨道坐标系，1Ay 指向从月心到着陆器的延伸线方向，11Ay Ax 垂直指向运动方向，1Az 按右手坐标系确定。
图3坐标系示意图制动发动机推力F 的方向与探测器纵轴重合，1P Ay 与为θ轴正向所成夹角，轴负向所成夹角平面上的投影与在为111Ax Az x P ψ，所成夹角与为oy Ax 1β，α为1Ax 在xoz 平面上的投影与ox 轴正向所成夹角，θ为P 与1Ay 为月球自转而产生的月固坐标系相对惯性坐标系的转角。
显然有轨道坐标系到惯性坐标系转换矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=a aa a a a T cos 0sin sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos 1ββββββ惯性坐标系到月固坐标系的转换矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=γγγγcos 0sin 010sin 0cos 2T 根据牛顿第二定律，结合科氏定律整理得到探测器在月固坐标系中的运动方程为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡xL L zL L zL yL xL V V m F m F m F T T V V V ωωψθθψθ202-g g g -sin sin cos cos sin zL yL xL 12 （5）其中和xL V ，yL V 和zL V 为探测器速度矢量在月固坐标系各轴上的投影，F 为发动机推力，m 为探测器质量，xL g ，yL g 和zL g 为该高度月球重力加速度在月固坐标系各轴上的投影，L ω为月球自转角速度，通过轨道六要素计算得俯仰角为84°。