常数项级数
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常数项级数的概念和
n(n 2
1)
.
ln im snln im n(n21), ∴所给级数是发散的. 3
定 义 如 果 级un数 的 部 分{和 sn}有 数极 列 s， 限
n1
则 称 级 un数 收 敛 ， 并 un且 s.
n1
n1
例2 判定级数1 的收敛 . 性
课堂练习 判别级数1 的敛散. 性
P255.4(3)
n2 n 3
解ln im un
1 lim
3 nn
级数
1 发散.
lim
n
1
1
3n
1 1 0. 1
|q|1,
该级数收敛,
并且
4
n
n0 5
1
1
4
5.
5
9
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常k数 0,则kun与un有相同的敛
n1
n1
证 设u n的部sn 分 u 1 和 u 2 为 u n;
n 1
则knu 的 部n 分 k1 u 和 k2u 为 knu ksn . n 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) snn,
ln i m nln i (m snn)s,
(un vn)收敛，且其和s为 ．
n1
11
性质2 如果级 数 un、 vn分别收敛s、 于 , 和
例3 讨 论 等a比 nq aa 级 qa数 2q anq
n0
7.1常数项级数的概念和性质
| an – a |
3. 有关性质： (1) 单调有界数列必收敛.
(2) 如果一数列收敛于S，那么其任一子数列 均收敛于S.
lim s2 n1 = S， 则 (3) 若 lim s2 n = S， n
n n n
1
lim sn = S
n
2
(4) 设 lim sn = S1， lim sn = S2， 若S1≠S2， 则数列Sn发散； 若 S 1= S 2， 则数列Sn 可能收敛也可能发散.
二、级数的基本性质
性质 1 级数 an 与任一余项级数
n 1
an ( k 1) n k 1
有相同的敛散性.
证明
a n a k 1 a k 2 a k n n k 1
n ak 1 ak 2 ak n sn k sk ,
性质 3
设两收敛级数 a n s , bn ,则级数
n 1 n 1
(an bn ) 收敛,其和为 s . n 1
结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.
思考:
1. 若级数 an 与 bn 一个收敛一个发散 , 级数
n 1 n 1
(an bn ) 敛散性如何? n 1
级数发散.
综上
当 | q | 1 时 , 收敛 aq 当 | q | 1 时 , 发散 n 0
n
例4 一个球从a米高下落到地平面上.球每次落下距
离h后碰到地平面再弹起的距离为rh,其中r是小于1的正
数.求这个球上下的总距离.
2ar a(1 r ) . s a 2ar 2ar 2ar a 1 r 1 r
常数项级数的概念与性质
性质1
如果级数
un
n1
收敛于和S，则它的各项同乘以一
个常数k所得的级数 kun 也收敛，且其和为kS。
n1
性质2 如果级数 un、 vn 收敛于和S1, S2 ，则级数 n1 n1
un vn 也收敛，且其和为S1 ± S2 。
n1
性质3 若级数 un收敛，则对该级数的项任意加（或去）
4
3 5
0
所以，由级数收敛的必要条件知，该级数发散。
高等数学
性质4 在一个级数中任意去掉、增加或改变有限项后，级 数的收敛性不会改变，但对于无穷级数收敛级数，其和将受 到影响。
性质5
如果
lim
n
un
0
（包括极限不存在），则级数
un
n1
必发散。
例4 判定级数
3n 的敛散性。
n1 5n 4
解 级数的一般项
un
3n 5n
4
因为
lim
n
un
lim
n
3n 5n
3 103
，
可以得到如下的表达式
33 3
3
0.33 3 10 102 103 10n
显然，如果n →∞，那么我们就得到
0.3
1 3
3 10
13 3 3
3
3 10 102 103 10n
二、常数项级数的概念
定义1 如果给定一个数列u1, u2, u3, …, un, …，则由这数列 构成的表达式
定义2 如果级数 un 的部分和数列{Sn} 的极限存在，即 n 1
lim
n
Sn
S
则称级数un 收敛，S为级数的和，记为 n 1
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
常数项级数
n=1
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
根值判别法
设
∑a
n=1
∞
n 为正项级数
, 且 lim
n
n
n→ ∞
an = ρ
则 (1 ) ρ < 1 时 ,
∑a
n=1 ∞
∞
收敛 ,
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 . n=1 ρ 1 , 注 : 根值判别法对 = 1的情形没有下任何结论
, 比值判别法无效 且比值判别法不是充要 . 条件 2 : 由根值判别法的证明过 程可见： 程可见：
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
积分判别法
且单减， 设 (1) f在[1,+∞ )上连续 , f ≥ 0且单减， ( 2) an = f ( n) ( n = 1,2,K),
与条件收敛 常数项级数的绝对收敛
定义： 定义：
, , 若绝对值级数 an 收敛 则称级数 an绝对收敛 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
, , 若级数 an收敛 但绝对值级数 an 发散 则称级 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
. 数∑an条件收敛
n=1
∞
定理
, 若级数 an绝对收敛 则级数 an收敛. ∑ ∑
n=1 n=1
n
为正项级数 , 且
∞
an+1 lim = ρ n→ ∞ a n
则 (1) ρ < 1 时 , ∑ a n 收敛 .
n=1 ∞
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 .
第一节常数项级数的概念与性质
性质4 若级数 un收敛，则对级数的项任意加括号后所成
n 1
的级数仍然收敛，且其和不变. 即 若s u1 u2 un1 un1 1 un2 成立，则
s u1 u2 un1 un1 1 un2 也成立
n 1
如果级数 un的部分和数列sn 没有极限，则称级数 un发散.
n 1 n 1
记 rn s sn un1 un2 ，称为级数的余项.
1 例1 判别级数 的敛散性. n 1 n n 1
解 级数的一般项可变形为 1 1 1 un n n 1 n n 1 所以级数的部分和为
性质2 若级数 un , vn分别收敛于s与 ，则级数
n 1 n 1
u
n 1
n
vn 收敛于s ；级数 un vn 收敛于s .
n 1
性质3 在级数 un的前面部分去掉或添加有限项，
n 1
级数的收敛性不变. 但级数的和会改变！
可见改变级数的有限项，不改变级数的敛散性， 但改变级数的和！
1 例4 证明：调和级数 发散. n 1 n 1 证明：假设调和级数 收敛于s. n 1 n 则应有 lim sn s, lim s2 n sn n Nhomakorabea
所以有 lim s2n sn 0
n
而 s2n sn un1 un2 u2n
n
2 当公比 q 1时，
若q 1 ，则级数的部分和为sn na n ；
若q 1，则级数的部分和为sn a 1
n 1 n 1
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
§9.1常数项级数的概念与性质
un 2
L
)
0.
注：rn un1 un2 L 称为级数 un的余项。 n1
例 7 判定下列级数的敛散性：
n
(1) n ln
n1n11 2(2)[ n1 n
3n
]
定理 2(Cauchy收敛准则)
级数 un收敛的充分要条件为： n1
对于任给的 0,存在正整数N，使当n>N时，对任
意正整数p，总有
（2） 一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组 成的级数一定发散。
性质 3 在级数中去掉或加上有限多项，不改变级数的 敛散性。
如 a1 1,
q1 2
的等比级数1 1 1 1 248
是收敛的，
其和
S
1 1 1
2
，
2
减去它的前五项得到的级数 1 1 1 仍收敛 ， 32 64 128
1
其和
n1
推论1 乘以非零常数不改变级数的敛散性。
性质 2 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与 T ，
n1 n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为S T 。
n1
即：两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
例 6．试问下列说法是否正确，并说明理由或举例。 （1）两个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。
n
n1
称 S 为级数的和，记为 un S 。若部分和 数列Sn
n1
极限不存在，则称级数 un 发散。
n1
例 1.判别级数
1 的敛散性，若收敛，求其和。
n1n(n 1)
例 2. 讨论等比级数（几何级数） aqn (a 0) 的敛散性。
n0
注：
aq
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对于级数 ，我们不妨考虑其前 项和
此即：
一般地，对于级数 ，称其前n项的和为级数的部分和，记做： ，
其中：
。由上分析，我们可以概括出无穷级数的收敛与发散的定义如下：
Df：若 （有限），则称级数收敛，否则说级数不收敛（或发散），S——级数和，记做： 。
可见，判定一个级数的收敛或发散的问题，实际上是观察其部分和数列是否有极限的问题，而收敛级数的求和，则是求部分和数列的极限。
3、按基本性质
作业与思考题：
习题9-1 P233 1（4,5,6），2（4，6），3
参考资料：
1、《高等数学》（第五版）同济大学应用数学系主编高等教育出版社
2、《微积分辅导及习题精解》滕加俊陕西师范大学出版社
本次课教学体会：
随进度板书标题、提纲。例题用PPT，例题讲解用板书，定义用PPT与板书结合。定理用PPT，定理证明板书与PPT结合。
例1讨论几何级数 的敛散性
解：1、设
当 时， （敛）
当 时， （散）
2、设
综上所述，几何级数：
例2判别无穷级数 的收敛性.
例3、判数发散
例4、讨论调和级数 的敛散性。
解：考虑曲线 与直线 ，及x轴所围曲边梯形
的面积 ，
∴
故当 时，Sn的极限不存在，因此调和级数是发散的。
显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值愈接近于1；当 式， 的极限为1。此时上式中的加项无穷增多，成为无穷多个数相加的式子，这便是级数。
一般地设有数列 和式：
称为无穷级数。第n项： 称为一般项（或通项）n为求和变量
例如：
——调和级数
——几何级数
——P－级数
研究无穷级数的一个重要问题是，无穷多项相加之和是否为一个确定的有限数，此即，无穷级数的收敛与发散的问题。
内容
备注
高等数学课程教案
讲课题目：常数项级数
目的要求：使学生理解理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了
解无穷级数收敛的必要条件，知道无穷级数的基本性质
重点难点：无穷级数收敛、发散以及和的概念
方法步骤：理论讲授与提问相结合
器材保障：多媒体设备
教学内容与时间安排:
一、常数项级数的概念与性质50分钟
（一）前言5分钟
例5、求
解：令
则：原极限 通项
∴
二、级数的性质：50分钟
为了利用一些比较简单的级数的敛散性来推求较为复杂的级数的敛散性，下面介绍级数的性质：
1、若 ，则 （收敛级数可以逐项相加或者逐项相减）；
2、若 ，则 ，( )，（级数的每一项乘以非0常数后，其收敛性不变）；
3、增加、去掉或改变级数的有限项，不改变其敛散性（但其和一般要改变）；
若 0 ( ) 发散，此即： 0是级数发散的充分条件。
例如：级数 ，当 ， ，∴原级数发散
级数 发散，∵
性质1的补充说明：若 和 同散，则 未必发散，如 ， 发散，但 ，收敛；若 和 一敛一散，则 必散（反证之）
回顾与小结：5分钟
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1、由定义，若 ，则级数收敛
2、当 ，则级数发散
我们在前面所学的定积分，所表达的是一类和式极限。有限和的极限实际上是无穷多个数相加之和，所谓和式极限存在是指无穷多项相加之和是一个有限数。下面我们将专门研究无穷和的问题，并把无穷多个数相加的式子称为无穷级数，简称级数。
（二）概念：45分钟
下面还从极限问题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”谈起，如果把每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒长之和为：
强调有限和与无限和的区别
可突出性质的应用
强调非充分性
处理意外情况预案：①如果停电，PPT部分用板书讲解，例题精讲。②如果班车迟到（十分钟之内），例题内容略讲，迟到二十分钟以上，学员自习，内容安排在辅导时间讲。
4、对收敛级数的项任意加括号后，所求级数仍收敛，且和不变；（①若加括号后，所得级数收敛，则去括号后不能判断原级数收敛，②若加括号后，所得级数发散，则原级数必定发散）；
5、级数收敛的必要条件：若级数 收敛，则
proof：设 ，则
∴
反之，若 ，那么级数 未必收敛。例如，级数 ， ，但 却不收敛。
性质4的等价命题：（逆否命题）
此即：
一般地，对于级数 ，称其前n项的和为级数的部分和，记做： ，
其中：
。由上分析，我们可以概括出无穷级数的收敛与发散的定义如下：
Df：若 （有限），则称级数收敛，否则说级数不收敛（或发散），S——级数和，记做： 。
可见，判定一个级数的收敛或发散的问题，实际上是观察其部分和数列是否有极限的问题，而收敛级数的求和，则是求部分和数列的极限。
3、按基本性质
作业与思考题：
习题9-1 P233 1（4,5,6），2（4，6），3
参考资料：
1、《高等数学》（第五版）同济大学应用数学系主编高等教育出版社
2、《微积分辅导及习题精解》滕加俊陕西师范大学出版社
本次课教学体会：
随进度板书标题、提纲。例题用PPT，例题讲解用板书，定义用PPT与板书结合。定理用PPT，定理证明板书与PPT结合。
例1讨论几何级数 的敛散性
解：1、设
当 时， （敛）
当 时， （散）
2、设
综上所述，几何级数：
例2判别无穷级数 的收敛性.
例3、判数发散
例4、讨论调和级数 的敛散性。
解：考虑曲线 与直线 ，及x轴所围曲边梯形
的面积 ，
∴
故当 时，Sn的极限不存在，因此调和级数是发散的。
显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值愈接近于1；当 式， 的极限为1。此时上式中的加项无穷增多，成为无穷多个数相加的式子，这便是级数。
一般地设有数列 和式：
称为无穷级数。第n项： 称为一般项（或通项）n为求和变量
例如：
——调和级数
——几何级数
——P－级数
研究无穷级数的一个重要问题是，无穷多项相加之和是否为一个确定的有限数，此即，无穷级数的收敛与发散的问题。
内容
备注
高等数学课程教案
讲课题目：常数项级数
目的要求：使学生理解理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了
解无穷级数收敛的必要条件，知道无穷级数的基本性质
重点难点：无穷级数收敛、发散以及和的概念
方法步骤：理论讲授与提问相结合
器材保障：多媒体设备
教学内容与时间安排:
一、常数项级数的概念与性质50分钟
（一）前言5分钟
例5、求
解：令
则：原极限 通项
∴
二、级数的性质：50分钟
为了利用一些比较简单的级数的敛散性来推求较为复杂的级数的敛散性，下面介绍级数的性质：
1、若 ，则 （收敛级数可以逐项相加或者逐项相减）；
2、若 ，则 ，( )，（级数的每一项乘以非0常数后，其收敛性不变）；
3、增加、去掉或改变级数的有限项，不改变其敛散性（但其和一般要改变）；
若 0 ( ) 发散，此即： 0是级数发散的充分条件。
例如：级数 ，当 ， ，∴原级数发散
级数 发散，∵
性质1的补充说明：若 和 同散，则 未必发散，如 ， 发散，但 ，收敛；若 和 一敛一散，则 必散（反证之）
回顾与小结：5分钟
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1、由定义，若 ，则级数收敛
2、当 ，则级数发散
我们在前面所学的定积分，所表达的是一类和式极限。有限和的极限实际上是无穷多个数相加之和，所谓和式极限存在是指无穷多项相加之和是一个有限数。下面我们将专门研究无穷和的问题，并把无穷多个数相加的式子称为无穷级数，简称级数。
（二）概念：45分钟
下面还从极限问题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”谈起，如果把每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒长之和为：
强调有限和与无限和的区别
可突出性质的应用
强调非充分性
处理意外情况预案：①如果停电，PPT部分用板书讲解，例题精讲。②如果班车迟到（十分钟之内），例题内容略讲，迟到二十分钟以上，学员自习，内容安排在辅导时间讲。
4、对收敛级数的项任意加括号后，所求级数仍收敛，且和不变；（①若加括号后，所得级数收敛，则去括号后不能判断原级数收敛，②若加括号后，所得级数发散，则原级数必定发散）；
5、级数收敛的必要条件：若级数 收敛，则
proof：设 ，则
∴
反之，若 ，那么级数 未必收敛。例如，级数 ， ，但 却不收敛。
性质4的等价命题：（逆否命题）