初中数学鲁教版八年级下册《正方形的性质与判定(2)》练习
《正方形的性质与判定（二）》评测练习
一、火眼金睛辨对错
1.四个角都相等的四边形是正方形.
2.四条边都相等的四边形是正方形.
3.对角线垂直且相等的四边形是正方形.
4.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.
二、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A ．AC=BD ，A
B ∥CD ，AB=CD
B ．AD ∥B
C ，∠A=∠C
C ．AO=BO=CO=DO ，AC ⊥BD
D ．AO=CO ，BO=DO ，AB=BC
三、例题解析：已知:矩形ABCD 中, BE 平分∠ABC , CE 平分∠DCB ,BF ∥CE ,CF ∥BE. 求证：四边形BECF 是正方形.
四、已知：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ， DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．
求证： 四边形CFDE 是正方形．
1.必做：在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，
ＤＡ上，
且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
2.选做：在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.并说明理由。
鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定课堂基础达标测试题二(拔高部分含答案)
鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定课堂基础达标测试题二（拔高部分含答案）1．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE=CF ．连接AE ，BF ，AE 与BF 交于点G ．下列结论错误的是（ ）A ．AE=BFB ．∠DAE=∠BFCC ．∠AEB+∠BFC=90°D ．AE ⊥BF2．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ，过A 作AE 的垂线交ED 于点P ，若AE=AP=1，PB=，下列结论：①△APD ≌△AEB ；②EB ⊥ED ；③PD=，其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．下列对正方形的描述错误的是（ ）A ．正方形的四个角都是直角B ．正方形的对角线互相垂直C ．邻边相等的矩形是正方形D ．对角线相等的平行四边形是正方形4．如图，矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝8，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP (点A 落在点E 处)，PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则DP 的长为( )A ．B ．C ．1D ．5．已知正方形的边长为，则它的对角线的长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．．6．如图，第1个正方形(设边长为2)的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边……依此不断连接下去．通过观察与研究，写出第2008个正方形的边长a 2008为（ ）A ．a 2008＝4200712⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．a 2008＝22007⎝⎭C ．a 2008＝4200812⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．a 2008＝22008⎝⎭7．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点E 在边CD 上，且BG=CG ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=450；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S △FGC =.其中正确结论的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图，E ，F ，G ，H 分别是BD ，BC ，AC ，AD 的中点，且AB=CD ，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG=（BC﹣AD），其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，是正方形内任意一点，与的面积之和为，则________．10．如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2018个正方形的面积为_____．11．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，若AB=2，则AG的长为______．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△GEF，连接GC，则GC长度的最小值是_____．13．如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3cm和4cm的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为_____cm．14．如图，已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4cm，1cm，若将正方形AEFG 绕点A旋转，则在旋转过程中，点C、F 之间的最小距离为_______.15．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC.其中正确结论的序号是____________．16．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=________. 17．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D 作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE（1）求证:CE=AD（2）若D为AB的中点,则∠A的度数满足什么条件时,四边形BECD是正方形？请说明理由.18．如图，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO=45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y=-2x+8与直线AQ交于点P．（1）求直线AQ的解析式；（2）在y轴正半轴上取一点F，当四边形BPFO是梯形时，求点F的坐标．（3）若点C在y轴负半轴上，点M在直线P A上，点N在直线PB上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由．19．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．20．如图，在▱ABCD中，以点4为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并廷长交BC于点E，连接EF（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝2，AE＝2，求∠BAD的大小．21．为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小华同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼.该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED为正方形，∠DCE＝45°，AB=100米.小华某天绕该道路晨跑5圈，求小华该天晨跑的路程是多少？（结果保留整数，）22．如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连结．若，求证：四边形为正方形；若，求的面积．答案1．C解:∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵BE=CF，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∴△ABE ≌△BCF，∴AE=BF，∠DAE=∠BFC，∵∠FBC+∠BFC=90°，∠AEB=∠BFC，∴∠FBC+ AEB=90°，∴AE⊥BF，所以A、B、D三个选项正确，∠AEB=∠BFC，故C选项错误，故选C2．A解:①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠EAB=∠PAD，又∵AE=AP，AB=AD，∴△APD≌△AEB，故①正确；②∵△APD≌△AEB，∴∠APD=∠AEB，又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∴∠BEP=∠PAE=90°，∴EB⊥ED，故②正确；③在Rt△AEP中，∵AE=AP=1，∴EP=，又∵PB=，∴BE=，∵△APD≌△AEB，∴PD=BE=，故③错误，故选A.3．D解:∵正方形的四个角都是直角，对角线互相垂直，∴A、B正确；∵邻边相等的矩形是正方形，∴C正确；∵对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，∴D不正确；故选：D．4．A解:如图所示，由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=10，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=8-x，DG=PE=x，求出GC=10-x、BG=10-（8-x），根据勾股定理BC2+CG2=BG2,得出方程82+(10-x)2=(x+2)2，解方程即可得到x=，即AP的长为.所以，PD=AD-AP=8-=.故选：A5．D解:∵正方形的边长为2，∴它的对角线的长为2，即．故选：D．6．B解:设第1个正方形的边长a1=2，根据题意得，第2个正方形的边长为a2=a1，2第3个正方形的边长为a321）=2a1，第4个正方形的边长为a432a1=）3a1，…，第2008个正方形的边长a2008=（）2007a1，2∵a 1=2，∴a 2008=2）2007．故选：B ． 7．D解:①正确．理由： ∵AB =AD =AF ，AG =AG ，∠B =∠AFG =90°，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ）；②正确．理由：∵∠BAG =∠F AG ，∠DAE =∠F AE ．又∵∠BAD =90°，∴∠EAG =45°；③正确．理由：设DE =x ，则EF =x ，EC =12-x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得：（12﹣x ）2+62=（x +6）2，解得：x =4，∴DE =x =4，CE =12-x =8，∴CE =2DE ；④正确．理由：∵CG =BG ，BG =GF ，∴CG =GF ，∴∠GFC =∠GCF ．又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB =∠AGF ，∠AGB +∠AGF =2∠AGB =∠GFC +∠GCF =2∠GFC =2∠GCF，∴∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，∴AG ∥CF ；⑤正确．理由：∵S △ECG =GC •CE =×6×8=24．∵S △FCG ===．故选D ．8．C 解:∵E、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，∴EF=CD，FG=AB，GH=CD，HE=AB，∵AB=CD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH是菱形，正确；③HF平分∠EHG，正确；④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，∴连接CD，延长EG到CD上一点N，如下图所示：∴EN=BC，GN=AD，∴EG=(BC-AD)，只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；故①②③对.故选C.9．4解:如图，过点作，，则正方形被分成四个小矩形，所以，，，，，，与的面积之和为，正方形的面积为，.故答案为：.10．52018解:：∵第1个正方形的面积为：1+4××2×1=5=51；第2个正方形的面积为：5+4××2×=25=52；第3个正方形的面积为：25+4××2×=125=53；…∴第n个正方形的面积为：5n；∴第2018个正方形的面积为：52018．故答案为52018．11．解:∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=∠ABD=45°，由折叠的性质可得：∠ADG=∠EDF=∠ADO=22.5°，EF=AE，∴∠AGE=∠GAD+∠ADG=67.5°，∠AEG=90°-∠ADG=67.5°，∠DEF=67.5°，∴∠AGE=∠AEG，∠BEF=180°-∠AEG-∠DEF=45°，∴AE=AG，∠BEF=∠ABD=45°，在△BEF中，∠BEF=∠ABD=45°，∴∠BFE=180°-∠BEF-∠ABD=90°，BF=EF，∴BE2=BF2+EF2=2EF2，∵AE+BE=AB=2，∴BE=2-AE=2-AG，∴（2-AG）2=2AG2，∴AG=，故答案为：.12．﹣1．解：如图，当点G在CE上时，此时CG的值最小，∵将△AEF沿EF所在直线折叠得到△GEF，∴AE=GE，∵E是AB边的中点，AB=2，∴AE=BE=GE=1，∵BC=AB=2，∴CE===∴GC=CE-GE=-1.13．5．解：根据题意可知：这个正方形的面积是32+42=25，所以这个正方形的边长为=5cm．故答案为：5.14．cm解:连接AF、AC、CF，如图，正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm，1cm，CF≥AC-AF（当点A、F、C共线时，取等号），CF的最小值为，故答案为：cm.15．①②④⑤解:连接PC，（1）∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，∠C=90°可得四边形PECF是矩形，∴CP=EF，∵正方形ABCD关于BD对称，点P在BD上，∴AP=CP，∴AP=EF，故①正确；（2）延长AP交EF于点H，过点P作PM⊥AB于点M，则由已知易得PM=PE，∠PMA=∠EPF=90°，结合AP=EF，可得△APM≌△FEP，∴∠EFP=∠PAM，∵∠PAM+∠APM=90°，∠APM=∠FPH，∴∠FPH+∠EFP=90°，∴∠PHF=90°，∴AP⊥EF，即②正确；（3）∵当点P在BD上不同的位置时，△APD的形状不一样，∴△APD不一定是等腰三角形，故③错误；（4）由（2）可知△APM≌△FEP,∴∠BAP=∠PFE，故④正确；（5）如图，由已知易得∠BDF=45°，∠DFP=90°，∴PD=PF，又∵PF=CE，∴PD=CE，故⑤正确.综上所述，上述5个结论中，正确的是①②④⑤.16．解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90°，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAB=∠DBE．在△ABC和△BDE中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AC=BE．∵DE2+BE2=BD2，∴ED2+AC2=BD2．∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．故答案为：6．17．(1);(2) 当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由.（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，AD=BD∴∠CDB=90°，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴四边形BECD是菱形；∴四边形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．18．（1）直线AQ的解析式为y=x+2；（2）F（0，4）；（3）存在，C（0，）或C（0，-10）解：（1）设直线AQ的解析式为y=kx+b，∵直线AQ在y轴上的截距为2，∴b=2，∴直线AQ的解析式为y=kx+2，∴OQ=2，在Rt△AOQ中，∠OAQ=45°，∴OA=OQ=2，∴A（-2，0），∴-2k+2=0，∴k=1，∴直线AQ的解析式为y=x+2；（2）由（1）知，直线AQ的解析式为y=x+2①，∵直线BE：y=-2x+8②，联立①②解得，∴P（2，4），∵四边形BPFO是梯形，∴PF∥x轴，∴F（0，4）；（3）设C（0，c），∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，①当CQ是对角线时，CQ与MN互相垂直平分，设C（0，c），∵CQ的中点坐标为（0，），∴点M，N的纵坐标都是，∴M（，），N（，），∴+=0，∴c=-10，∴C（0，-10），②当CQ为边时，CQ∥MN，CQ=MN=QM，设M（m，m+2），∴N（m，-2m+8），∴|3m-6|=2-c=|m|，∴m=或m=，∴c=或c=（舍），∴，∴（0，）或C（0，-10）.19．（1）证明；（2）50.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，而F是CB的延长线上的点，∴∠ABF=90°，在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：∵BC=8，∴AD=8，在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，∴AE，∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到，∴AE=AF，∠EAF=90°，∴△AEF的面积=12AE2=12×100=50．20．(1);(2)60°.解：（1）在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB=∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）连结BF，交AE于G．∵AB=AF=2，∴GA=AE=×2=，在Rt△AGB中，cos∠BAE==，∴∠BAG=30°，∴∠BAF=2∠BAG=60°，21．小华该天晨跑的路程约为2705米解：∵四边形ABCD是正方形，∴DE＝AB＝BE＝AD＝100，∠DEC＝∠DEB＝90°，又∵∠DCE＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形，∴EC＝DE＝100，∴DC＝，5(AB＋BC＋CD＋AD)＝5(100＋100＋100＋＋100)＝5（400+）≈2705(米)，∴小华该天晨跑的路程约为2705米.22．（1）；（2）2证明：∵四边形为菱形，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵四边形为菱形，∴四边形为正方形；解：作于，连结，如图，∵四边形为矩形，∴，∴，即，∵四边形为菱形，∴，，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，∴的面积．。
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习培优测试题(附答案)
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习培优测试题（附答案）1．如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC=2，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第n个内接正方形的边长为（）A．B．C．D．2．下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有()个．A．4 B．3 C．2 D．13．在边长为2的正方形ABCD中，P为AB上的一动点，E为AD中点，FE 交CD延长线于Q，过E作EF⊥PQ交BC的延长线于F，则下列结论：①△APE≌△DQE；②PQ=EF；③当P为AB中点时，CF=；④若H为QC的中点，当P从A移动到B时，线段EH扫过的面积为，其中正确的是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①②③4．ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为A．B．C．D．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是()A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形6．如图所示，四边形OABC是正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为(2，0)，P是OB上一动点，则PA＋PD的最小值为( )A．B C．4 D．67．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5AB ，点C为半圆AB上动点，以BC为边在⊙O外8．如图，AB为⊙O的直径，4作正方形BCDE，（点D在直线AB的上方）连接OD，当点C运动时，则线段OD的长（）A．随点C的运动而变化，最大值为2 B．不变C．随点C的运动而变化，最小值为D．随点C的运动而变化，但无最值9．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）A．8 B．C．10 D．10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形AEFG的边长为1cm. 正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为_______cm.11．方形边长为1，则它其中一对角线长为________12．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积是____________13．如图，AC是边长为1的正方形ABCD的对角线，点E是射线CB上一点，且CE ＝CA，则EB＝_________.14．如图，在面积为16的四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB 于点P，则DP的长是_____．15．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为_____．16．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为__．17．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离AE、CF分别是1cm、2cm，则线段EF的长为______cm．18．如图，E为正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE=BD，AE交DC于F，则∠AFC=_________.19．探究证明：(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，点E是BC上的一个动点，EG⊥ AB，EF⊥ AC，CD⊥ AB，点G，F，D分别是垂足．求证：CD=EG+EF；猜想探究：(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，点E是BC的延长线上的一个动点，EG⊥AB于G，EF⊥ AC交AC延长线于F，CD⊥ AB于D，直接猜想CD、EG、EF之间的关系为________；(3)如图3，边长为10的正方形ABCD的对角线相交于点O、H在BD上，且BH=BC，连接CH，点E是CH上一点，EF⊥ BD于点F，EG⊥ BC于点G，则EF+EG=________．20．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形.（1）拼成的正方形的面积是, 它的边长是.（2）请你在3×3方格图中，连结四个格点组成一个面积为5的正方形.（3）如图是十个小正方形组成的图形纸，请你将其剪开并拼成正方形，在原图上用虚线画出剪拼示意图.拼成的大正方形的边长是.21．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．(1) 求证：CF＝AD；(2) 若CA＝CB，∠ACB＝90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．23．以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．24．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD垂直平分线上的点，点E关于BD的对BE交于点F.称点是'E，直线DE与直线'∠＝︒；（1）若点E是CD边的中点，连接AF，则FAD（2）小明从老师那里了解到，只要点E不在正方形的中心，则直线AF与AD所夹锐角不变．他尝试改变点E的位置，计算相应角度，验证老师的说法．①如图，将点E选在正方形内，且△EAB为等边三角形，求出直线AF与AD所夹锐角的度数；②请你继续研究这个问题，可以延续小明的想法，也可用其它方法.我选择小明的想法；（填“用”或“不用”）并简述求直线AF与AD所夹锐角度数的思路．25．图中的小正方形边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上，求（1）△ABC的面积；（2）边AC的长．参考答案1．D【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°，BC==2，∵在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；∴EF=EC=DG=BD，∴DE=BC，∴DE=，∵取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形依次进行下去，∴==，∴EI=KI=HI，∵DH=EI，∴HI=DE=（）2﹣1×，则第n个内接正方形的边长为：×（）n﹣1．故选：D．考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质2．C【解析】【详解】∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；其中正确的有2个，故选C．考点：中点四边形；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定．3．B【解析】利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识一一判断即可；解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，∴△AEP≌△DEQ，故①正确，②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，∴∠PGQ=∠EMF=90°，∵EF⊥PQ，∴∠PEF=90°，∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，∴∠NPE=∠NEF，∵PG=EM，∴△EFM≌△PQG，∴EF=PQ，故②正确，③连接QF．则QF=PF，PB2+BF2=QC2+CF2，设CF=x，则（2+x）2+12=32+x2，∴x=1，故③错误，④当P在A点时，Q与D重合，QC的中点H在DC的中点S处，当P运动到B 时，QC的中点H与D重合，故EH扫过的面积为△ESD的面积的一半为，故④正确．故选B．“点睛”本题考查了正方形，全等三角形的性质和判定，平行线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．4．B【解析】分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD 的面积的等量关系，并进行求解．解：如图，过P作PE⊥CD，PF⊥BC，∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1，∴∠PCE=30°，∴PF=PB•sin60°=1×=，PE=FC=，S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD=××1+××1-×1×1=；故选B。
鲁教版八年级数学下册 正方形的性质与判定习题
A B C DOE F12《正方形》习题1.如图，正方形ABCD 的三边中点E 、F 、G ．连ED 交AF 于M ，GC 交DE 于N ，下列结论 ①GM ⊥CM ②CD =CM ③四边形MFCG 为等腰梯形．④∠CMD =∠AGM ．其中正确结论的个数是()GNMF ED C B AA 、①②③B 、①②④C 、①③④D 、①②③④2．(1)在正方形ABCD 中，∠1=∠2．求证：BE OF 21=(2)在正方形ABCD 中，∠1=∠2．AE ⊥DF ，求证：CE OG 21=3．如图正方形ABCD 中，E 为AD 边上的中点，过A 作AF ⊥BE ，交CD 边于F ，M 是AD 边上一点，且有BM ＝DM ＋CD ．A B C DF OEGH 12M F E CDB A(1)求证：点F 是CD 边的中点；(2)求证：∠MBC ＝2∠ABE ．4．已知在正方形ABCD 中．(1)如图1，如果M 是BC 上一点，AN 平分∠DAM 交CD 于N ，那么AM =BM +DN ；(2)如图2如果M 在BC 的延长线上，AN 平分∠DAM 交CD 于N ，那么线段AM 、BM 、DN 的长度关系是_________________________．(3)如图3如果M 在BC 的延长线上，AN 平分∠DAM 交CD 于N ，那么线段AM 、BM 、DN 的长度关系是__________．(写出结论并证明)5．如图，P 为正方形ABCD 边BC 上的一点，BP 的垂直平分线MN 交AC 于点N ，M 为垂足．(1)求证：ND =NP ；(2)延长DN 交AB 于点E ，求证：AE +CP =EP ；(3)若正方形ABCD 的边长为2，P 为BC 的中点，请直接写出线段AN 的长为DAP B CNE 图1N C M 图2B PAD6、如图，正方形ABCD 对角线BD 、AC 交于O ，E 是OC 上一点，AG ⊥DE 交BD 于F ， 求证：EF ∥DC ．A B D CA CB DM NABCD E F G A B CD OEFG A B C DO E F G A BC D E FG O7、如图，正方形ABCD 对角线AC 、BD 交于O ，DE 平分∠ADB ，CN ⊥DE 于N ，求证：OF =AG ．A BC DEFO G N8、如右图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，BE =CF ．(1)AE 与BF 相等吗？为什么？(2)AE 与BF 是否垂直？说明你的理由．9、如图，正方形ABCD 中对角线AC 、BD 相交于O ，E 为AC 上一点，AG ⊥EB 交EB 于G ，AG 交BD 于F ．(1)说明OE =OF 的道理；(2)在(1)中，若E 为AC 延长线上，AG ⊥EB 交EB 的延长线于G ，AG 、BD 的延长线交于F ，其他条件不变，如图2，则结论：“OE =OF ”还成立吗？请说明理由．。
鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定课后作业题一(基础部分含答案) (2)
鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定课后作业题一（基础部分含答案） (2)1．如图是由圆和正方形组成的轴对称图形，对称轴的条数有（）A．2条B．3条C．4条D．6条2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分一组对角3．如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是（）．A．B．C．D．4．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为（）A．9 B．6 C．5 D．9 25．在正方形ABCD中，AB＝12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A．B．C．D．6．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF AC于点F，连接EC，AF=3,△EFC的周长为12，则EC的长为（）A．2B．C．5D．67．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM=23MF．其中正确结论的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个8．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9B．3或5C．4或6D．3或69．五个正方形按如图放置在直线l上，其中第1，2，4个正方形的面积分别为2，5，4，则第5个正方形的面积S＝________．10．如图，正方形中，已知，点，分别在、上，且，，则的面积为________．11．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为_____．12．已知，如图，四边形ABCD是正方形，BE=AC，则∠BED=___________度．13．如图所示，在正方形ABCD中，AB=12，点E在CD 边上，且CD=3DE,将△ADE沿着AE 对折至△AFE, 延长EF交边BC与点G, 连接AG, CF.有下列结论:①△ABG≌△AFG ②BG=GC ③AG//CF ④S△FGC=12正确的是_____________(填序号)14．边长为a的正方形，在一个角剪掉一个边长为的b正方形，则所剩余图形的周长为_________。
鲁教版(五四制)数学八年级下册6.3正方形的性质与判定2教学设计
八年级下册的学生已经具备了一定的几何图形认识和基础逻辑推理能力，对于正方形的概念和基本性质有所了解。然而，在判定正方形的方法、运用性质解决实际问题上，学生可能还存在一定的困难。因此，在教学过程中，应关注以下几点：
1.学生对正方形性质的理解程度，特别是对对角线垂直平分、四边相等等性质的掌握。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.正方形性质的深入理解与运用，特别是对角线垂直平分、四边相等、对角线互相垂直平分等性质的掌握。
2.正方形判定方法的灵活运用，如何准确判断一个四边形是否为正方形，以及与其他图形的区分。
3.解决实际问题时，将正方形的性质与判定方法有机结合，进行合理的推理和计算。
3.小组合作，设计一道关于正方形的性质与应用的题目，要求题目具有一定的挑战性和趣味性。各小组将设计的题目及答案提交给教师，由教师挑选优秀题目在课堂上进行分享。
4.作业拓展：研究正方形与其他图形（如矩形、菱形、等腰三角形等）之间的关系，总结它们之间的相互转化方法和技巧。
5.完成以下思考题：
a.证明正方形的对角线互相垂直平分。
4.教学过程中注Βιβλιοθήκη 启发式教学，激发学生思维，培养学生逻辑推理、归纳总结的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何图形的兴趣，激发学习热情，树立自信心，形成积极的学习态度。
2.通过正方形性质的学习，引导学生体会几何图形的对称美、简洁美，培养审美观念。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，养成认真思考、独立解决问题的习惯。
4.通过生活中的实例，如方桌、地砖等，让学生感受到正方形在实际生活中的广泛应用，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知，500字
1.教师引导学生回顾矩形的性质，如对边平行且相等、对角线互相平分等。
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题(附答案)
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题（附答案）1．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90C ∠=︒，8BC CD ==，过点B 作EB AB ⊥，交CD 于点E ．若6DE =，则AD 的长为（ ）．A ．6B ．8C ．9D ．102．在正方形ABCD 中，AB ＝12cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（ ）A ．12+B ．12+C ．12+D ．24+ 3．C 将一张边长为2的正方形纸片ABCD 对折，设折痕为EF （如图①）；再沿过点D 的折痕将∠A 反折，使得点A 落在EF 上的点H 处（如图②），折痕交AE 于点G ，则EG 的长度是（ ）A ．8-B ．6C ．3D ．4- 4．如图1，正方形纸片ABCD 的边长为2，翻折∠B 、∠D ，使两个直角的顶点重合于对角线BD 上一点P 、EF 、GH 分别是折痕（如图2）．设AE ＝x （0＜x ＜2），给出下列判断：①当x =1时，点P 是正方形ABCD 的中心；②当x ＝时，EF +GH ＞AC ；③当0＜x ＜2时，六边形AEFCHG 面积的最大值是3；④当0＜x ＜2时，六边形AEFCHG 周长的值不变．其中正确的选项是（ ）A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④5．如图，已知E ，F ，G ，H 分别为正方形ABCD 各边上的动点，且始终保持AE=BF=CG=DH ，点M ，N ，P ，Q 分别是EH 、EF 、FG 、HG 的中点．当AE 从小于BE的变化过程中，若正方形ABCD的周长始终保持不变，则四边形MNPQ的面积变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大6．如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是（）A．4cm B．2cm C D．1cm7．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是()A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形8．如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A 处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E．四边形AECF的面积是（）．A．16 B．12 C．8 D．49．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5AB=，点C为半圆AB上动点，以BC为边在⊙O外10．如图，AB为⊙O的直径，4作正方形BCDE，（点D在直线AB的上方）连接OD，当点C运动时，则线段OD的长（）A．随点C的运动而变化，最大值为2+B．不变C．随点C的运动而变化，最小值为D．随点C的运动而变化，但无最值11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和为_____．12．如图，AC是边长为1的正方形ABCD的对角线，点E是射线CB上一点，且CE ＝CA，则EB＝_________.=，13．如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE AC ∠=________。
2020--2021学年鲁教版(五四制)数学八年级下学期《6.3 正方形的性质与判定》 同步练习
6.3 正方形的性质与判定一．选择题1．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直B．菱形的对角线相等C．正方形的对角线互相垂直且相等D．平行四边形的对角线相等2．正方形具有而矩形不一定有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角互补D．四个角相等3．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．4B．2C．D．25．长度相等的三根铁丝，分别做成一个长方形、正方形和圆，（）面积最大．A．长方形B．正方形C．圆6．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当∠ABC＝90°时，它是矩形C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当AC＝BD时，它是正方形8．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形9．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB ＝90°；③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（）A．①④⇒⑥B．①③⇒⑤C．①②⇒⑥D．②③⇒④二．填空题10．边长为1cm的正方形的对角线长是cm．11．正方形的边长与它的对角线的长度的比值为．12．如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB＝．13．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为．三．解答题14．如图，点E在正方形ABCD内，且∠AEB＝90°，AB＝10，BE＝8，求阴影部分的面积．15．如图，若在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE ＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE 的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）：①当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是形；②当△ABC满足条件时，四边形AFBD是正方形．17．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD＝AF；（2）填空：①当∠ACB＝°时，四边形ADCF为正方形；②连接DF，当∠ACB＝°时，四边形ABDF为菱形．18．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．19．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM＝DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．20．如图，△ABC中，∠BAC为锐角，以AB、AC向内作正△ABD、正△ACF，以BC为边向下作正△BCE，连接ED、EF．（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论．（2）三角形ABC满足什么条件，四边形ADEF为正方形？（直接写出结论即可）（3）若∠BAC＝30°，其他条件不变，连接AE，则线段AB、AC、AE之间具有怎样的数量关系？（直接写出结论即可）参考答案一．选择题1．解：A．因为矩形的对角线相等，所以A选项错误，不符合题意；B．因为菱形的对角线互相垂直，所以B选项错误，不符合题意；C．因为正方形的对角线互相垂直且相等，所以C选项正确，符合题意；D．因为平行四边形的对角线互相平分，所以D选项错误，不符合题意．故选：C．2．解：A．因为对角线互相垂直，正方形具有而矩形不具有，所以A选项符合题意；B．因为对角线相等，正方形具有而矩形也具有，所以B选项不符合题意；C．因为对角互补，正方形具有而矩形也具有，所以C选项不符合题意；D．因为四个角相等，正方形具有而矩形也具有，所以D选项不符合题意．故选：A．3．解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；B、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；D、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误．故选：A．4．解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，∴PF＝OE，PE＝AE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA，∵正方形ABCD的边长为2，∴OA＝AC＝＝．故选：C．5．解：设长度为L的三根铁丝，图形的面积用S表示，长方形：设一边为x，S1＝x（﹣x）＝﹣x2+x，那么当x＝时，S1最大，此时S1＝；正方形：S2＝（）2＝；圆：2πr＝L，r＝，S3＝π•r2＝；∴S3＞S2≥S1．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∵AE＝AB，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，故选：B．7．解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故A选项正确；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B选项正确；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，∵AC⊥BD，∴AB2＝BO2+AO2，AD2＝DO2+AO2，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．8．解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选：C．9．解：A、符合邻边相等的矩形是正方形；B、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形；D、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形；故选：C．二．填空题10．解：∵正方形的边长为1cm，∴对角线长为＝cm．故答案为．11．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC＝BD，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝AB，∴＝；故答案为：．12．解：∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∴AB＝BC，∠BAD＝90°，BE＝BC，∠CBE＝60°，∴AB＝BE，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEB＝∠EAB＝（180°﹣30°）＝75°，故答案为：75°．13．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED＝∠BFC＝90°．∵ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°．∴∠DCE+∠BCF＝90°．又∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠BCF．在△CDE和△BCF中，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF＝CE＝2．∵CF＝1，∴BC2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．三．解答题14．解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝10，BE＝8，由勾股定理得：AE＝6，∴正方形的面积是10×10＝100，∵△AEB的面积是AE×BE＝×6×8＝24，∴阴影部分的面积是100﹣24＝76，15．解：AE＝CF，AE⊥CF，理由如下：如图，延长AE交CF于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDE＝90°，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DCF+∠F＝90°，∴∠DAE+∠F＝90°，∴AG⊥CF，即AE⊥CF．∴AE＝CF，AE⊥CF．16．解：（1）∵E是AD中点∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC∴AF＝DC，∵D是BC中点，∴BD＝DC，∴AF＝BD，又∵AF∥BC，即AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）①矩形，②AB＝AC，∠BAC＝90°．17．（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，∵AD＝CD＝BD，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝BD，∴AD＝AF；（2）解：①当∠ACB＝45°时，四边形ADCF为正方形；∵AD＝AF，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是菱形，∴∠ACD＝∠ACF＝45°，∴∠DCF＝90°，∴四边形ADCF是正方形；②当∠ACB＝30°时，四边形ABDF为菱形；∵四边形ADCF是菱形，四边形ABDF是平行四边形，∴CD＝CF，∵∠ACB＝∠ACF＝30°，∴∠DCF＝60°，∴△DCF是等边三角形，∴DF＝CD，∴DF＝BD，∴四边形ABDF为菱形．故答案为：45，30．18．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是正方形．19．猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF＝AC，证明：过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G．则∠EMG＝∠N，∠BMG＝∠BAD，∵∠MEG＝∠NED，ME＝NE，∴△MEG≌△NED，∴MG＝DN．∵BM＝DN，∴MG＝BM．作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∵∠GMB＝∠B＝∠GHB＝90°，∴四边形MBHG是矩形．∵MG＝MB，∴四边形MBHG是正方形，∴MG＝GH＝BH＝MB，∠AMG＝∠CHG＝90°，∴AM＝CH，∴△AMG≌△CHG．∴GA＝GC．又∵DA＝DC，∴DG是线段AC的垂直平分线．∵∠ADC＝90°，DA＝DC，∴DF＝AC即线段DF垂直平分线段AC，且DF＝AC．20．解：（1）四边形ADEF是平行四边形．理由如下：在正△ABD，正△BCE中，AB＝BD，BC＝BE，∠ABD＝60°，∠CBE＝60°，∵∠ABD＝∠ABC+∠DBC＝60°，∠CBE＝∠DBE+∠DBC＝60°，∴∠ABC＝∠DBE，在△ABC与△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴AC＝DE，又∵△ACF是正三角形，∴AC＝AF，∴AF＝DE，同理可证AD＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）若四边形ADEF为正方形，则AF＝AD，∠DAF＝90°，∵AF＝AC，AD＝AB，∴AB＝AC，∵∠BAC+∠BAF＝∠BAC+∠DAC＝60°，∴∠BAF＝∠DAC＝∠DAF﹣60°＝90°﹣60°＝30°，∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，∴当△ABC为顶角∠BAC＝30°的等腰三角形时，四边形ADEF为正方形；（3）根据（2）的结论，当∠BAC＝30°时，∠DAF＝90°，∴四边形ADEF为矩形，∴AE2＝AB2+AC2．。
鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定假期预习自主测试题二(拔高部分含答案)
鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定假期预习自主测试题二（拔高部分含答案）1．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（）A．8B．4C．8D．62．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（）A．3B．C．D．3．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A．B．C．D．4．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，则第2018个正方形的边长为A．22017B．22018C．D．5．如图，在平面内有一等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，点A在直线l上．过点C作CE⊥1于点E，过点B作BF⊥l于点F，测量得CE=3，BF=2，则AF的长为（）A．5 B．4 C．8 D．76．如图，在四边形中，，对角线与相交于点，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形是正方形，则下列添加的一个条件错误的是（）A．B．C．D．、互相垂直平分7．如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则的最小值是A．B．C．D．8．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF 上的点H处，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG= S△FGH；④AG+DF=FG．则下列结论正确的有（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点Q在对角线OB上，若OQ=OC，则点Q的坐标为_______.10．四边形的对角线、相交于点，，，为使四边形为正方形，还需要满足下列条件中：①；②；③；④中的哪两个________（填代号）．11．如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2018个正方形的面积为_____．12．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=________．形填13．已知矩形ABCD，当满足条件______时，它成为正方一个你认为正确的条件即可．14．如图，正方形ABCD的边长为5，连接BD，在线段CD上取一点E，在线段BD上取点F，使得∠BEC=∠DEF，当S△DEF= 13S△EFB时，在线段BC上有一点G，使FG+EG最短，则CG=________．15．如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是____．16．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上任意一点，过点E作EF⊥BC于点F，作EG⊥CD于点G，若正方形ABCD的周长为a，则四边形EFCG的周长为_____．17．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF＝DF；（2）BF⊥FE．18．如图，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO=45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y=-2x+8与直线AQ交于点P．（1）求直线AQ的解析式；（2）在y轴正半轴上取一点F，当四边形BPFO是梯形时，求点F的坐标．（3）若点C在y轴负半轴上，点M在直线P A上，点N在直线PB上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由．19．如图所示，已知等边△ABC的边长为a，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，猜想：PD+PE+PF等于多少，并证明你的猜想．20．如图，在矩形中，，动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动，点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为，则当为何值时，四边形时矩形？21．问题探究请在图中作出两条直线，使它们将圆面积四等分，并写出作图过程；拓展应用如图，是正方形内一定点，是对角线、的交点．连接并延长，分别交、于、．过做直线，分别交、于、．求证：、将正方形的面积四等分．22．如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，AF⊥BE于F，CG⊥BE于G．（1）若∠F AE=20°，求∠DCG的度数；（2）猜想：AF，FG，CG三者之间的数量关系，并证明你的猜想．答案1．C2．C3．C4．C5．B 6．D7．A 8．B9．(,)解:如图，过点Q作QD⊥OA于点D，∴∠QDO=90°.∵四边形OABC是正方形，且边长为2，OQ=OC，∴∠QOA=45°，OQ=OC=2，∴△ODQ是等腰直角三角形，∴OD=OQ==.∴点Q的坐标为.10．①②或①④解:∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，若AB=AD，则四边形ABCD为正方形；若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形.故答案为：①②或①④.11．52018解：∵第1个正方形的面积为：1+4××2×1=5=51；第2个正方形的面积为：5+4××2×=25=52；第3个正方形的面积为：25+4××2×=125=53；…∴第n个正方形的面积为：5n；∴第2018个正方形的面积为：52018．故答案为52018．12．解:如图，延长GH交AD于p,∵矩形ABCD与CEFG，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2，GF=CE=1∴AD∥GF,∴∠GFH=∠PAH∵H是AF的中点，∴AH=FH,在△APH与△FGH中，∠GFH=∠PAH，AH=FH, ∠AHP=∠FHG ∴△APH≌△FGH∴AP=GF=1，GH=PH=PG∴PD=AD-AP=1∴CG=2，CD=1∴DG=1∴GH =PG=.13．AB=BC解:∵四边形ABCD是矩形，∴（1）当AB=BC时，矩形ABCD是正方形；（2）当AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形.故答案为：AB=CD（或AC⊥BD）.14．59解:延长DC 到N ,CN=CE,连接FN 交BC 于G,此时点G ,FG+EG 最短,S △DEF =13S △EFB, 14DF DB ∴=, 过点F 作FM ⊥CD, 四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD =90°， FMBC ,FM DM DF BC DC DB∴==, 5BC CD ∴==， 1554FM DM ∴==， ∴FM=DM =54，∠BEC =∠DEF ,∠EMF =∠ECB =90°，~,EMF ECB ∴545EM FM EC BC ==, ∴EC =4EM , ∴EM+EC+DM =5, ∴EM =43,EC=3, ∴CN=CE =3,MN=CN+CE+ME =3+3+34=27,4∴CG FM, CG CNFM MN ∴=, 344CG ∴=， ∴CG=59.15．2解：如下图，设AB 、CD 的中点分别为K 、G ，连接KG 、BD 相交于点O ，∵当点E 与点B 重合时，由题意可知此时点Q 与点O 重合；而当点E 与点C 重合时，由题意可知此时点Q与点G重合，∴随着点M的移动，点Q的移动路线是线段OG，∵由折叠的性质可知：BO=DO，DG=CG，∴线段OG是△DBC的中位线，∴OG=BC=.故答案为：2.16．解:∵ABCD为正方形，∴∠DBC=∠BDC=45°，AB=BC=CD=AD，又∵EF⊥BC，EG⊥CD，∴∠EFC=∠EGC=90°，又∠C=90°，∴四边形EFCG为矩形，∴EG=FC，EF=GC，∵△BEF和△EDG都为等腰直角三角形，∴DG=EG，EF=BF，则四边形EFCG的周长=EF+FC+CG+EG=DG+GC+CF+FB=DC+BC=．故答案为：．17．证明：如图所示：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF；（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，∴BF=EF，∵BF=DF，∴EF=DF，∴∠FDE=∠FED，∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠FDE，∴∠ABF=∠FED，∵∠FED+∠FEA=180°，∴∠ABF+∠FEA=180°，∴∠BAE+∠BFE=180°，∴∠BFE=90°，∴BF⊥FE．18．（1）直线AQ的解析式为y=x+2；（2）F（0，4）；（3）存在，C（0，）或C（0，-10）解：（1）设直线AQ的解析式为y=kx+b，∵直线AQ在y轴上的截距为2，∴b=2，∴直线AQ的解析式为y=kx+2，∴OQ=2，在Rt△AOQ中，∠OAQ=45°，∴OA=OQ=2，∴A（-2，0），∴-2k+2=0，∴k=1，∴直线AQ的解析式为y=x+2；（2）由（1）知，直线AQ的解析式为y=x+2①，∵直线BE：y=-2x+8②，联立①②解得，∴P（2，4），∵四边形BPFO是梯形，∴PF∥x轴，∴F（0，4）；（3）设C（0，c），∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，①当CQ是对角线时，CQ与MN互相垂直平分，设C（0，c），∵CQ的中点坐标为（0，），∴点M，N的纵坐标都是，∴M（，），N（，），∴+=0，∴c=-10，∴C（0，-10），②当CQ为边时，CQ∥MN，CQ=MN=QM，设M（m，m+2），∴N（m，-2m+8），∴|3m-6|=2-c=|m|，∴m=或m=，∴c=或c=（舍），∴，∴（0，）或C（0，-10）.19．PD+PE+PF=a．理由.解：PD+PE+PF=a．理由如下：如图，延长EP交AB于G，延长FP交BC于H，∵PE∥BC，PF∥AC，△ABC是等边三角形，∴∠PGF=∠B=60°，∠PFG=∠A=60°，∴△PFG是等边三角形，同理可得△PDH是等边三角形，∴PF=PG，PD=DH，又∵PD∥AB，PE∥BC，∴四边形BDPG是平行四边形，∴PG=BD，∴PD+PE+PF=DH+CH+BD=BC=a．20．当时，四边形是矩形解:由题意得：，；∵四边形是矩形，∴，即，解得：．即当时，四边形是矩形．21．（1）过点首先作一条直线，进而过点作直线的垂线，即可将圆面积四等分；（2）解:过点首先作一条直线，进而过点作直线的垂线，即可将圆面积四等分；证明：在和中，∴，同理可得出：，，，∴，∴、将正方形的面积四等分．22．（1）70°；（2）CG=AF+FG，理由解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，∵AF⊥BE，CG⊥BE，∴∠AFE=∠CGE=90°，∵∠F AE=20°，∴∠FED=∠F AE+∠AFE=20°+90°=110°，∴∠DCG=360°-∠D-∠FED-∠CGE=360°-90°-110°-90°=70°；（2）猜想：CG=AF+FG，证明：∵∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，∴∠ABF=∠BCG，在△ABF和△BCG中∴ABF≌△BCG（AAS），∴AF=BG，BF=CG，∴CG=BF=BG+FG=AF+FG．。
鲁教版八年级下册6.3正方形的性质与判定同步课时训练(word版含答案)
鲁教版八年级下册6.3正方形的性质与判定同步课时训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线BD ⊥AD ，AB=10，AD=6，O 为BD 的中点，E 为边AB 上一点，直线EO 交CD 于点F ，连结DE ，BF ．下列结论不成立的是（ ）A ．四边形DEBF 为平行四边形B ．若AE=3.6，则四边形DEBF 为矩形C ．若AE=5，则四边形DEBF 为菱形D ．若AE=4.8，则四边形DEBF 为正方形2．如图，在平面直角坐标系中，将边长为a 的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式连续旋转2021次得到正方形202120212021OA B C ，那么点2021A 的坐标是（ ）A ．,22a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．,22a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭3．如图，正方形ABCD ，对角线,AC BD 相交于点O ，过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G ，过点C 作CF DG ⊥，垂足为F ，交BD 于点E ，则:ADGBCES S的比为（ ）A ．1):1B ．1):1-C ．2∶1D ．5∶24．如图，边长为2+的边长为（ ）A ．0.5BC ．1D5．已知矩形ABCD ，下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是（ ） A ．AC BD ⊥ B ．AC BD = C ．AC 平分BAD∠D ．ADB ABD ∠=∠6．已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ） A ．90D ∠=；B ．AB CD =；C ．AD BC =；D ．BC CD =．7．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=︒<<︒时，有以下结论：①180GCF α∠=︒-；②90HAE α∠=︒+；③HE HG =；④EH GH ⊥；⑤四边形EFGH 是平行四边形．则结论正确的是（ ）8．如图，直线L 上有三个正方形,,a b c ，若,a c 的边长分别为1和3，则b 的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．119．如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，已知6AD =（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），2DF =．则AEF 的面积AEFS =（ ）A ．6B ．12C ．15D ．3010．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为BC 和AB 的中点，DE 和FC 交于点M ，连接AM ．若BC=5，则AM 的长度为___．12．已知正方形ABCD 的边长为6，O 是BC 边的中点．（Ⅰ）如图①，连接AO，则AO的长为______．OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时（Ⅱ）如图②，点E是正方形内一动点，2针旋转90°得DF．则线段OF长的最小值为______．13．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF 的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝5，CG＝3，则CE的长为_____．14．如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为1、3，则正方形的边长为_______．15．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把点B折叠到折痕MN上，折痕为AE，∠=______°．点B在MN上的对应点为H，则ABH16．如图，正方形ABCD中，5AD=，点E、F是正方形ABCD内的两点，且==，则EF的平方为________．BE DF==，3AE FC4三、解答题17．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形的边AB 、CD 、DA 上，1AH =，连接CF ．（1）当1DG =时，求证：菱形EFGH 为正方形； （2）设DG x =，请用x 的代数式表示△FCG 的面积；（3）当DG =时，求GHE ∠的度数． 18．在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 边和CD 上，且满足AEF 是等边三角形,连接AC 交EF 于点G ．（1）求证：CE CF =；（2）若等边AEF 边长为2，求AC 的长．19．已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若CAD DBC ∠=∠． （1）求证：四边形ABCD 是正方形．（2）E 是OB 上一点，DH CE ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OE OF =．20．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，2BC AD =，DE BC ⊥，垂足为点F ，且F 是DE 的中点，联结AE ，交边BC 于点G ． （1）求证：四边形ABGD 是平行四边形；（2）如果AD =，求证：四边形DGEC 是正方形．参考答案1．D 2．C 3．A 4．D 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．C 11．512．； 2； 13．801314 15．75． 16．217．（1）见解析；（2）1322x -+；（3）60°【详解】解：（1）在正方形ABCD 中，1AH =， 2DH ∴=．又1DG =，HG ∴=在AHE ∆和DGH ∆中，90A D ∠=∠=︒，1AH DG ==，EH HG ==AHE DGH ∴∆≅∆，AHE DGH ∴∠=∠．90DGH DHG ∠+∠=︒，90AHE DHG ∠+∠=︒．90GHE ∴∠=︒所以菱形EFGH 是正方形；（2）如图1，过点F 作FM DC ⊥交DC 所在直线于M ，联结GE ．//AB CD ，AEG MGE ∴∠=∠． //HE GF ， HEG FGE ∴∠=∠． HEA FGM ∴∠=∠，在AHE ∆和MFG ∆中， 90A M ∠=∠=︒，EH GF =． AHE MFG ∴∆≅∆．1FM HA ∴==．即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值1，()()1113·31062222FCGSGC FM x x x ∴==-⨯=-+；（3）如图2，当3DG =时，在Rt HDG ∆中，2DH =，根据勾股定理得，3GH ==；HE GH ∴=，在Rt AEH ∆中，根据勾股定理得，AE ==， 过点G 作GN AB ⊥于N ，EN AE DG ∴=-=在Rt ENG ∆中，根据勾股定理得，GE ==， GH HE GE ∴==， GHE ∴∆为等边三角形． 60GHE ∴∠=︒．18．（1）见解析 （21 【详解】 （1）证明：正方形ABCD ，∴AB AD =，B D ∠=∠=90°，BC CD =．AEF 是等边三角形， AE AF ∴=．(HL)Rt ABE Rt ADF ∴△≌△．BE DF ∴=．CE CF ∴=．（2）由（1）得，CE=CF ，AE=AF=2， AC ∴垂直平分EF ．1EG FG ∴==．AG ∴===∵∠ECF=90°，EG=GF ， ∴112CG EF ==，1AC AG CG ∴=+=+．19．（1）见解析；（2）见解析 【详解】 证明：（1）四边形ABCD 是菱形，//,2,2AD BC BAD DAC ABC DBC ∠∠∠∠∴==，180BAD ABC ∴∠+∠=︒ CAD DBC ∠=∠ BAD ABC ∴∠=∠ 2180BAD ∠∴=︒90BAD ∴∠=︒，∴四边形ABCD 是正方形；（2）证明：四边形ABCD 是正方形，11,,,22AC BD AC BD CO AC DO BO ∴⊥===， 90,COB DOC CO DO ∠∠∴==︒=DH CE ⊥，垂足为H ，,9090DHE EDH DEH ∠∠∠︒︒∴=+=，90ECO DEH ∠∠+=︒ECO EDH ∠∠∴=，在ΔECO 和ΔFDO 中，90ECO EDH CO DO COE DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，ΔΔ()ECO FDO ASA ∴≅OE OF ∴=．20．（1）见解析；（2）见解析 解：（1）如图，连接AC 和BE ，∵DE BC ⊥，F 是DE 的中点，答案第5页，总5页 ∴DC EC =，由等腰三角形“三线合一”的性质得DCF ECF ∠=∠， ∵AD ∥BC ，AB CD =，∴B DCF ∠=∠，∴B ECF ∠=∠，∴AB ∥EC ，∵AB EC =，∴ 四边形ABEC 是平行四边形， ∴12BG CG BC ==， ∵2BC AD =，∴AD BG =，∵AD ∥BG ，∴四边形ABGD 是平行四边形；（2）∵四边形ABGD 是平行四边形，∴AB ∥DG ，AB DG =，∵AB ∥EC ，AB EC =，∴DG ∥EC ，DG EC =，∴四边形DGEC 是平行四边形，∵DC EC =，∴四边形DGEC 是菱形，∴DG DC =，由AD =，即得CG ==， ∴222DG DC CG +=，∴90GDC ∠=，∴四边形DGEC 是正方形．。
鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定培优训练题二(含答案)
鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定培优训练题二（含答案）1．下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是等腰梯形C．矩形的两条对角线相等D．两边相等的平行四边形是菱形2．已知正方形的边长为，则它的对角线的长为（）A．B．C．D．3．将一块长为a米，宽为b米的矩形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条入口宽均为x米的小道，其中一条小道两边分别经过矩形一组对角顶点，剩余的地方种植花草，现有从左至右三种设计方案如图所示，种植花草的面积分别为S1，S2和S3，则它们的大小关系为（）A．S3＜S1＜S2B．S1＜S2＜S3C．S2＜S1＜S3D．S1=S2=S34．下列性质中，矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分5．如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点O，再从中点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1走到正方形O1GFH 的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再从中心O3走2走到正方形O3KJP的中心O4，一共走了，则长方形花坛ABCD的周长是（）A．36 m B．48 m C．96 m D．60 m6．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直7．满足下列条件的四边形不是正方形的是（）A．对角线相互垂直的矩形B．对角线相等的菱形C．对角线相互垂直且相等的四边形D．对角线垂直且相等的平行四边形8．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点F，若DE=12，则DF等于（）A．3B．4C．6D．89．是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是、．若，，则的长为________．10．如图，在四边形ABCD中∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，若四边形ABCD的面积是9，则DP的长是________.11．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB:AD=___________时，四边形MENF是正方形．12．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为_______．13．如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D 分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm2．14．若正方形的一条对角线长为2，则该正方形的周长为________.15．正方形ABCD的边长为8，点P是边AD的中点，点E是正方形ABCD的边上一点，若是等腰三角形，则腰长为______．16．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上任意一点，过点E作EF⊥BC于点F，作EG⊥CD于点G，若正方形ABCD的周长为a，则四边形EFCG的周长为_____．17．如图，在正方形中，是上一点，连接.过点作，垂足为.经过点、、，与相交于点.（1）求证；（2）若正方形的边长为，，求的半径.18．如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF=DG=1，DF=2．（1）AE=__________，正方形ABCD的边长=__________；（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′、C′分别在直线l2，l4上．①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；②若α=30°，直接写出菱形AB′C′D′的边长为__________．19．如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠BAO=∠DAO．（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）请添加一个条件使菱形ABCD为正方形．20．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD 于点F．（1）求证：；（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E＝6，C1E＝4时，则BD的长为．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，请你添加适当的条件并证明你的结论．22．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。