2017中考专题复习八 与圆有关的证明及计算
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• 第二级
• 第三级
方法一：在 Rt△CDE 中，CE＝ CD2＋DE2＝ 3，设⊙O 的半径为 r，则在 Rt△COE 中，CO2＝OE2＋CE2，即( 6－r)2＝r2＋3 解得：r＝
• 第四级 • 第五级
6 .方法二： 4
1 1 AE＝AD－DE＝1，过点 O 作 OM⊥AE 于点 M，则 AM＝ AE＝ ，在 Rt 2 2 △AMO 中，OA＝ AM 1 2 6 ＝ ÷ ＝ cos∠EAO 2 6 4
• 第四级 的切线，B为切点 OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD. • ， 第五级
(1)求证：BD平分∠PBC； (2)若⊙O的半径为1，PD＝3DE，求OE及AB的长．
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解：(1)连接OB.∵PB是⊙O切线，∴OB⊥PB，∴∠PBO＝90°， ∴∠PBD＋∠OBD＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB， • 单击此处编辑母版文本样式 ∵OP BC，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＋∠BDE＝90°，∴∠PBD •⊥ 第二级 •， 第三级 ＝∠EBD ∴BD平分∠PBC
• 第二级
(3)若 AC＝2 5DE 求 tan∠ABD 的值． • ， 第五级
解：(1)∵对角线 AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90° (2)连接 DO，∵∠EDC＝90°，F 是 EC 的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC ＝∠FCD， ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵∠OCF＝90°， ∴∠ODF ＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝90°，∴DF 是⊙O 的切线
• 第四级 • 第五级
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1 DE S△BDE 2BE· DE (2) 作 DK⊥PB 于点 K，∵ ＝ ＝ ，∵BD 平分∠PBE，DE • 单击此处编辑母版文本样式 DP S△BDP 1 PB· DK • 第二级 2 • 第三级 BE ED 1 • PB 第四级 ⊥BE，DK⊥ ，∴DK＝DE，∴ ＝ ＝ ，∵∠OBE＋∠PBE＝90 PB PD 3 °，∠PBE＋∠P＝90°，∴∠OBE＝∠P，∵∠OEB ＝∠BEP＝90°， BO OE OE BE 1 1 ∴△BEO∽△PEB，∴ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，∵BO＝1，∴OE＝ ， PB BE BO PB 3 3 ∵OE⊥BC，∴BE＝EC，∵AO＝OC，∴AB＝2OE＝ 2 3
【点评】 本题综合考查了圆的有关知识与锐角三角函数等知识，根据
题意表示出AD，DC的长是解题关键．
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[对应训练] 3．(2016· 安顺)如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的 长为半径的圆 O 与 AD，AC 分别交于点 E，F，且∠ACB＝∠DCE. (1)判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； • 第三级 2 • 第四级 (2)若 tan∠ACB ＝ ，BC＝2，求⊙O 的半径． • 2 第五级
• 第四级 • 第五级
∴∠CBE＋∠CBF＝∠BAE＋∠ABF.又∵∠EFB＝∠BAE＋∠ABF，∴∠ EBF ＝∠EFB.∴BE ＝ EF (3) 由 (2) 得 BE ＝ EF ＝ DE ＋ DF ＝ 7.∵∠DBE ＝ DE BE 4 7 ＝ ，即 ＝ ， BE AE 7 AE
∠BAE，∠DEB＝∠BEA，∴△BED∽△AEB ，∴ 解得 AE＝ 49 49 21 .∴AF＝AE－EF＝ －7＝ 4 4 4
解：(1)连接 AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
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• 第二级
• 第四级 • 第五级
∴AB 为圆 O 的直径
(2)DE 与圆 O 相切，证明：连接 OD，∵O，D 分
别为 AB，BC 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥ AC，∴DE⊥OD，∵OD 为圆的半径，∴DE 与圆 O 相切 • 第三级
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• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
(3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB＝AC＝ BC＝6，连接 BF，∵AB 为圆 O 的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴ AF＝CF＝3， DE∥BF， ∵D 为 BC 中点， ∴E 为 CF 中点， 即 DE 为△BCF 中位线， 在 Rt△ABF 中， AB＝6， AF＝3， 根据勾股定理得： BF＝ 62－32 1 3 3 ＝3 3，则 DE＝ BF＝ 2 2
• 第四级 OE⊥CE.又OE是⊙ O的半径，∴直线CE与⊙O相切 • 第五级
(2)∵tan∠ACB＝
AB 2 ＝ ，BC＝2，∴AB＝BC· tan∠ACB＝ 2，∴AC BC 2
2 ＝ 6 ；又∵∠ACB ＝∠DCE ， ∴ tan ∠ DCE ＝ tan ∠ ACB ＝ ， ∴ DE ＝ 2 DC· tan∠DCE＝1.
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(3)如图所示：可得∠ABD＝∠ACD，∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋ ∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE DC DE • 第二级 ∽△ADC，∴ ＝ ，∴DC2＝AD· DE.设 DE＝x，则 AC＝2 5x，AC2 AD DC
＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点． •BD 单击此处编辑母版文本样式
(1)求证： AB是⊙O的直径； • 第二级 • 第三级 (2)判断DE 与⊙O的位置关系，并加以证明；
(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．
• 第四级 • 第五级
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广西专用
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• 第二级
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专题八 与圆有关的证明及计算
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单击此处编辑母版标题样式 切线的判定与性质
【例1】 (2016·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，
• 第四级 • 第五级
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【点评】 本题考查了圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、勾股 定理等知识，解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题． • 单击此处编辑母版文本样式 [对应训练 ] • 第二级 • · 第三级 2．(2016 烟台)如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O
•＝ 第五级 48，FG＝ 2，DF 2BF，求 AH 的值．
解：(1)连接 CD，∵BD 是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90 °，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD， ∴BE 是⊙O 切线 (2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG， BC AB ∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴ ＝ ，即 BC2＝BG· BA＝ • 单击此处编辑母版文本样式 BG BC 48，• ∴第二级 BC＝4 3，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2＝ • BF· BD， ∵第三级 DF＝2BF，∴BF＝4，在 Rt△BCF 中，CF＝ BC2－FB2＝4 2， ∴CG＝CF＋FG＝5 2， 在 Rt△BFG 中， BG＝ BF2＋FG2＝3 2， ∵BG· BA ＝48， ∴BA＝8 2， 即 AG＝5 2， ∴CG＝AG， ∴∠A＝∠ACG＝∠BCG， ∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4 3，∵△ABC AC BC CB· CG 20 3 8 3 ∽△CBG，∴ ＝ ，∴AC＝ ＝ ，∴AH＝AC－CH＝ CG BG BG 3 3
单击此处编辑母版标题样式 圆与相似
【例 2】 (2016· 泸州)如图，△ABC 内接于⊙O，BD 为⊙O 的直径，BD 与 AC 相交于点 H，AC 的延长线与过点 B 的直线相交于点 E，且∠A＝ ∠EBC.
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• 第二级
(1)求证：BE 是⊙O 的切线； • 第三级 (2)已知 CG∥ ，且 CG 与 BD，BA 分别相交于点 F，G，若 BG· BA＝ •EB 第四级
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【点评】 本题属于圆的综合题，考查了直线与圆相切的判定与性质
， 圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及平行线 • 单击此处编辑母版文本样式
的性质 ，熟练掌握定理及性质是解题的关键． • 第二级 • 第三级 [对应训练]
• 第四级 1．(2016·德州)• 如图， ⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于 第五级
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• 第二级
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解：(1)直线CE与⊙O相切. 理由如下：∵四边形ABCD是矩形， ∴ BC∥AD，∠ACB＝∠DAC；又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝ • 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级 ∠DCE ，连接OE，有OA＝OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE，∵∠DCE • 第三级 ＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即
• 第五级
单击此处编辑母版标题样式 圆与锐角三角函数
【例 3】 (2016· 长沙)如图， 四边形 ABCD 内接于⊙O， 对角线 AC 为⊙O
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连接 DB，DC，DF. (1)求∠CDE 的度数； • 第三级 (2)求证：DF• 是⊙ O 的切线； 第四级
的直径， 过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E， 点 F 为 CE 的中点，
届中考数学复习专题题型圆的有关计算与证明
（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。
连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。
已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K]（1）求证：△COD ∽△CBE ；（2）求半圆O 的半径r 的长：试题解析： （1）∵CD 切半圆O 于点D ，∴CD ⊥OD ，∴∠CDO=90°，∵BE ⊥CD ，∴∠E=90°=∠CDO ，又∵∠C=∠C ，∴△COD ∽△CBE ．（2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9，∴22CE BE +=15，∵△COD ∽△CBE ． ∴OD OC BE BC=，即15915r r -=， 解得：r=458． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E.（1）求证：DE 是圆O 的切线.(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.(1)如图所示，连接OE，CE∵AC是圆O的直径∴∠AEC=∠BEC=90°∵D是BC的中点∴ED＝12BC＝DC∴∠1=∠2∵OE=OC∴∠3=∠4∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90°∴∠OED=90°,即OE⊥DE又∵E是圆O上的一点∴DE是圆O的切线.考点：圆切线判定定理及相似三角形3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ．（1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标；（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=2243AB AN -=，∴B （43，2）．（2）连接MC ，NC∵AN 是⊙M 的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在R t △NCB 中，D 为NB 的中点，∴CD=12NB=ND ， ∴∠CND=∠NCD ，∵MC=MN ，∴∠MCN=∠MNC ， ∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC ⊥CD ．∴直线CD 是⊙M 的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．4.（2017广西贵港第24题）如图，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA PD =，O 是PAD ∆的外接圆.（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若28,tan 2AC BAC =∠=求O 的半径. 【答案】(1)证明见解析；（236． （1）连结OP 、OA ，OP 交AD 于E ，如图，∵PA=PD ，∴弧AP=弧DP ，∴OP ⊥AD ，AE=DE ，∴∠1+∠OPA=90°，∵OP=OA ，∴∠OAP=∠OPA ，∴∠1+∠OAP=90°，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA ⊥AB ，∴直线AB 与⊙O 相切；（2）连结BD ，交AC 于点F ，如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴DB 与AC 互相垂直平分，∵AC=8，tan ∠，∴AF=4，tan ∠DAC=DF AF =∴∴∴在Rt △PAE 中，tan ∠1=PE AE =2，∴设⊙O 的半径为R ，则OE=R OA=R ，在Rt △OAE 中，∵OA 2=OE 2+AE 2，∴R 2=（R 2+2，∴R=4，即⊙O 的半径为4．考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．5.（2017贵州安顺第25题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 3，求阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析；（2）43﹣43π．（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD 垂中平分BC ，∴EC=EB ，在△OCE 和△OBE 中OC OB OE OE EC EB ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴△OCE ≌△OBE ，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB ⊥BE ，∴BE 与⊙O 相切；（2）解：设⊙O 的半径为r ，则OD=r ﹣1，在Rt △OBD 中，BD=CD=12BC=3， ∴（r ﹣1）2+（3）2=r 2，解得r=2， ∵tan ∠BOD=BD OD=3， ∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，在Rt △OBE 中，BE=3OB=23，∴阴影部分的面积=S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC=2S △OBE ﹣S 扇形BOC=2×12×2×23﹣21202360π⨯⨯343π． 考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．6.（2017湖北武汉第21题）如图，ABC ∆内接于O ，,AB AC CO =的延长线交AB 于点D ．（1）求证AO平分BAC∠；（2）若36,sin5BC BAC=∠=，求AC和CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）310；90 13.（2）过点C作CE⊥AB于E∵sin∠BAC=35,设AC=5m，则CE=3m∴AE=4m，BE=m在RtΔCBE中，m2+(3m)2=36∴m=310，∴AC=310延长AO交BC于点H，则AH⊥BC，且BH=CH=3，过点O作OF⊥AH交AB于点F，∵∠HOC=∠BAC∴OH=4，OC=5∴AH=9∴tan∠BAH=1 3∴OF=13AO=53∵OF∥BC∴OF DOBC DC，即5DC-53=6DC∴DC=90 13.考点：1.全等三角形的判定与性质；2.解直角三角形；3.平行线分线段成比例.7.（2017湖南怀化第23题）如图，已知BC是O⊙的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB AD，AC CD.(1)求证：ACD BAD△∽△；(2)求证：AD是O⊙的切线.试题解析：（1）∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；（2）连接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．考点：相似三角形的判定与性质；切线的判定．11.（2017江苏盐城第25题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙F的半径为52；（3）AG=AD+2CD．证明见解析.试题解析：（1）连接EF ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ，∵FA=FE ，∴∠FAE=∠FEA ，∴∠FEA=∠EAC ，∴FE ∥A C ，∴∠FEB=∠C=90°，即BC 是⊙F 的切线；（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，则r 2=（r-1）2+22，解得，r=52，即⊙F 的半径为52； （3）AG=AD+2CD ．证明：作FR ⊥AD 于R ，则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF 是矩形，∴EF=RC=RD+CD ，∵FR ⊥AD ，∴AR=RD ，∴EF=RD+CD=12AD+CD ， ∴AG=2FE=AD+2CD ．.考点：圆的综合题．13.（2017甘肃兰州第27题）如图，ABC △内接于O ⊙，BC 是O ⊙的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ，AD ，使得FAC AOD ∠∠，D BAF ∠∠.(1)求证：AD是O⊙的切线；(2)若O⊙的半径为5，2CE，求EF的长.（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．（2）连接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△DCA，∴AC AE CE OC OA AC==，∴255AC AEAC==，∴10，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴AE BE CE EF=，∴108EF=，∴EF=810．考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．14.（2017贵州黔东南州第21题）如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PAPB；（2）若PT=TB=3，求图中阴影部分的面积．（1）证明：连接OT．∵PT是⊙O的切线，∴PT⊥OT，∴∠PTO=90°，∴∠PTA+∠OTA=90°，∵AB是直径，∴∠ATB=90°，∴∠TAB+∠B=90°，∵OT=OA，∴∠OAT=∠OTA，∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，∴△PTA∽△PBT，∴PT PA PB PT=，∴PT2=PAPB．（2）∵TP=TB=3，∴∠P=∠B=∠PTA，∵∠TAB=∠P+∠PTA，∴∠TAB=2∠B，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，∴tanB=3 ATTB=∴AT=1，∵OA=OT，∠TAO=60°，∴△AOT是等边三角形，∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=22601331360464ππ⨯-⨯=-.考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算．16.（2017四川泸州第24题）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．（1）求证：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2.（1）证明：连接OD．∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，∴AC=AD，∵OC=OD，∴OA⊥CD，∴CD⊥OA，∵CF是直径，∴∠CDF=90°，∴DF⊥CD，∴DF∥AO．（2）过点作EM⊥OC于M，∵AC=6，AB=10，∴，∴AD=AC=6，∴BD=AB-AD=4，∵BD2=BFBC，∴BF=2，∴CF=BC-BF=6．OC=12CF=3，∴，∵OC2=OEOA，∴∵EM∥AC，∴15 EM OM OEAC OC OA===，∴OM=35，EM=65，FM=OF+OM=185，∴3.6365 EM FMCG FC===，∴CG=53EM=2．考点：切线的性质．17.（2017四川宜宾第23题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC=3，CD=32，求弦AD的长．（1）证明：连结OC，如图，∵AD平分∠EAC，∴∠1=∠3，∵OA=OD，∴∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴OD∥AE，∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，∴△CDB∽△CAD，∴CD CB BD CA CD AD==，∴CD2=CBCA，∴（22=3CA，∴CA=6，∴AB=CA﹣BC=3，32262BDAD==,设BD=2K，AD=2K，在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，∴k=306，∴AD=303．考点：切线的判定与性质．18.（2017新疆建设兵团第22题）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）333-22π．（1）如图所示，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE=12CD=BC，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE 是⊙O 的切线；（2）当BE=3时，BC=3，∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC=90°，又∵∠ACB=30°，∴AB=tan30°×BC=3， ∴AC=2AB=23，AO=3，∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt △ABC 的面积=12π×AO 2﹣12AB ×BC=12π×3﹣12×3×3=333-22π． 考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．1. (2017北京第24题)如图，AB 是O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作O的切线交CE 的延长线于点D .（1）求证：DB DE =；（2）若12,5AB BD ==，求O 的半径.（1）证明：∵DC ⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD 为切线，∴OB ⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB 中, ∠4=∠5，∴DE=DB.(2)作DF ⊥AB 于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=12BE=3，在 RT △DEF 中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 , ∴22534-=∴sin ∠DEF=DF DE = 45 , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT △AOE 中，sin ∠AOE=45AE AO = ,∵AE=6, ∴AO=152. 考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数2. (2017天津第21题)已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，050=∠ABT ，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D .（1）如图①，求T ∠和CDB ∠的大小；（2）如图②，当BC BE =时，求CDO ∠的大小.：(1)如图，连接AC,21世纪教育网∵AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，∴AT ⊥AB,即∠TAB=90°.∵050=∠ABT ，∴∠T=90°-∠ABT=40°由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠ABC=40°∴∠CDB=∠CAB=40°;（2）如图，连接AD,在△BCE 中，BE=BC ，∠EBC=50°，∴∠BCE=∠BEC=65°,∴∠BAD=∠BCD=65°∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD=65°∵∠ADC=∠ABC=50°∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.3. (2017福建第21题)如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，点P 在CA 的延长线上，45CAD ∠=．（Ⅰ）若4AB =，求弧CD 的长；（Ⅱ）若弧BC =弧AD ，AD AP =，求证：PD 是O 的切线．（Ⅰ）连接OC ，OD ，∵∠COD=2∠CAD ，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=12 AB=2，∴CD 的长=902180π⨯⨯ =π；（Ⅱ）∵BC =AD ，∴∠BOC=∠AOD ，∵∠COD=90°，∴∠AOD=1802COD ︒-∠ =45°，∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD ，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA=1802AOD ︒-∠=°，∵AD=AP ，∴∠ADP=∠APD ，∵∠CAD=∠ADP+∠APD ，∠CAD=45°，∴∠ADP=12∠CAD=°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD 是半径，∴PD 是⊙O 的切线.4. (2017河南第18题)如图，在ABC ∆中， AB AC =，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作//CF AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD .（1）求证：BD BF =；（2）若10AB =，4CD =，求BC 的长.(1)∵AB AC =∴∠ABC=∠ACB∵//CF AB∴∠ABC=∠FCB∴∠ACB=∠FCB ，即CB 平分∠DCF∵AB 为⊙O 直径∴∠ADB=90°，即BD AC ⊥∵BF 为⊙O 的切线∴BF AB ⊥∵//CF AB∴BF CF ⊥∴BD=BF考点：圆的综合题.6. （2017湖南长沙第23题）如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CD CE =．（1）求证：OB OA =；（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）2=233S π-阴影试题解析：（1）连接OC ，则OC ⊥AB∵CD CE =∴∠AOC=∠BOC在△AOC 和△BOC 中，90AOC BOC OC OCOCA OCB ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴△AOC ≌△BOC （ASA ） ∴AO=BO（2）由（1）可得AC=BC=12AB=3∴在Rt △AOC 中，OC=2∴∠AOC=∠BOC=60° ∴11==232=2322BOC S BC OC ⋅⨯△26022==3603S ππ⨯⨯扇形BOC ∴2==233BOC S S S π-△阴影扇形BOC 考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积 7. （2017山东临沂第23题）如图，BAC ∠的平分线交ABC 的外接圆于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E .（1）求证：DE DB =；（2）若90BAC ∠=︒，4BD =，求ABC 外接圆的半径.【试题解析：（1）AD 平分BAC ∠，BE 平分ABC ∠，,BAD CAD ABE CBE ∴∠=∠∠=∠，又BED ABE BAD ∠=∠+∠，DBE DBC CBE ∠=∠+∠，DBC DAC ∠=∠,BED DBE ∴∠=∠.DE DB ∴=.（2）解：连接CD ，90BAC ∠=，BC ∴是圆的直径.90BDC ∴∠=，90BDC ∴∠=.BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=，BD CD ∴=，BCD ∴∆是等腰直角三角形.4BD =，42BC ∴=.ABC ∴∆的外接圆的半径为22.考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理8. (2017四川泸州第24题)如图，⊙O 与ABC Rt ∆的直角边AC 和斜边AB 分别相切于点;,D C 与边BC 相交于点F ,OA 与CD 相交于点E ，连接FE 并延长交AC 边于点G .（1）求证：DF AO ,10,6==AB AC CG（1）证明：AB 与⊙O 相切与点D BDF BCD ∠=∠∴ （弦切角定理）又AC 与⊙O 相切与点C由切线长定理得：;,DAO CAO AD AC ∠=∠=AO CD ⊥∴,;BDF DAO DAO CAO BCD ∠=∠∴∠=∠=∠∴ 即：DF E OC EM ⊥M 88,622=-=∴==AC AB BC AB AC 4,6=-=∴==AD AB BD AC AD ∴BCBF BD ⋅=2;2=BF ;321,6===-=∴FC OC BF BC FC 5322=+=∴OC AC OA 553,2=⋅=OE OA OE OC 解之得：235;5366.3;518;56,53;51==∴===∴=+===∴===∴EM CG FC FM CG EM OM OF FM EM OM OA OE OC OM AC EM (2017山东滨州第23题)（本小题满分10分）如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ；连接BD ，过点D 作直线DM ，使∠BDM ＝∠DAC ．（1）求证：直线DM 是⊙O 的切线；（2）求证：DE 2＝DF ·DA ．【答案】详见解析.试题解析：证明：（1）如图1，连接DO ，并延长交⊙O 于点G ，连接BG ；∵点E 是△ABC 的内心，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ．21世纪教育网∵∠G ＝∠BAD ，∴∠MDB ＝∠G ，21世纪教育网∵DG 为⊙O 的直径，∴∠GBD ＝90°，∴∠G ＋∠BDG ＝90°．∴∠MDB ＋∠BDG ＝90°．∴直线DM 是⊙O 的切线；（2）如图2，连接BE．∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD2＝DF·DA．∴DE2＝DF·DA．10. (2017辽宁沈阳第22题)如图，在ABC⊥于点F，∆中，以BC为直径的O交AC于点E，过点E做EF AB延长EF交CB的延长线于点G，且2∠=∠.ABG C（1）求证：EF是O的切线；（2）若3sin5EGC∠=，O的半径是3，求AF的长.【答案】（1）详见解析；（2）245.试题解析：(1)连接OE，则2EOG C∠=∠,∵2ABG C∠=∠∴ABG EOG∠=∠∴//AB OE∵EF AB⊥∴090AFE∠=∴090GEO AFE∠=∠=∴OE EG⊥又∵OE是O的半径∴EF是O的切线；（2）∵2ABG C∠=∠，∵ABG C A∠=∠+∠∴C A∠=∠∴BA=BC又O的半径为3，∴OE=OB=OC∴BA=BC=2×3=6在Rt△OEG中，sin∠EGC=OEOG，即335OG=∴OG=5在Rt△FGB中，sin∠EGC=BFGB，即352FB=∴BF=6 5∴AF=AB-BF=6-65=245. 考点：圆的综合题.13. (2017山东菏泽第22题)如图，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C .连接BC .（1）求证：CBP BAC ∠=∠；（2）求证：PA PC PB ⋅=2；（3）当3,6==CP AC 时，求PAB ∠sin 的值.【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）3.【解析】试题分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得CBP BAC ∠=∠；（2）先证△PB ∽C △ABP ，根据相似三角形的性质即可得结论； （3）利用PA PC PB ⋅=2，得33=PB ，从而求PAB ∠sin =3试题解析：【解】（1）∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠A+∠ABC=90°∵PB 与⊙O 相切于点B∴∠CBP+∠ABC=90°∴CBP BAC ∠=∠(2)∵CBP BAC ∠=∠，∠P=∠P∴△PB ∽C △ABP∴BPPC AP PB = ∴PA PC PB ⋅=2（3）∵3,6==CP AC∴AP=9∵PA PC PB ⋅=2 ∴33=PB∴PAB ∠sin =3339==AP PB 14. (2017浙江金华第22题)如图，已知：AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 是O 的切线，AD CD ⊥于点,D E 是AB 延长线上的一点，CE 交O 于点F ，连接,OC AC ．(1)求证：AC 平分DAO ∠．(2)若105DAO ∠=，30E ∠=．①求OCE ∠的度数．②若O 的半径为2，求线段EF 的长．【答案】(1)详见解析；（2）①∠OCE=45°；②3（1）解：∵直线与⊙O 相切，∴OC ⊥CD ；又∵AD ⊥CD,∴AD （2）解：①∵AD ②作OG ⊥CE 于点G,可得FG=CG,∵2,∠OCE=45°.∴CG=OG=2,∴FG=2;∵在RT △OGE 中，∠E=30°，∴3,∴315. （2017浙江湖州第21题）（本小题8分）如图，O 为Rt C ∆AB 的直角边C A 上一点，以C O 为半径的O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ．已知C 3B =，C 3A =．（1）求D A 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（132）6π （1）在Rt △ABC 中，22AC BC +223(3)+3 ∵BC ⊥OC∴BC 是⊙O 的切线 ∵AB 是⊙O 的切线∴3∴3（2）在Rt △ABC 中，sinA=31223BC AB == ∴∠A=30°∵AB 切⊙O 于点D∴OD ⊥AB∴∠AOD=90°-∠A=60°∵tan =tan 30OD A AD=∴3 =3∴OD=1∴2601==3606 Sππ⨯阴影考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积16. （2017浙江台州第22题）如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与,B C重合），PE是ABP∆的外接圆⊙O的直径.（1）求证：APE∆是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求22PC PB+的值.【答案】（1）证明见解析（2）4（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=∠ABC=45°,∴∠PEA=∠ABC=45°又∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE=90°,∴∠PEA=∠APE=45°,∴△APE是等腰直角三角形.（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB,同理AP=AE,又∵∠CAB=∠PAE=90°,∴∠CAP=∠BAE,∴△CPA≌△BAE,∴CP=BE,在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,∴PB2+BE2=PE2,∴CP2+PB2=PE2=4.考点：1、全等三角形的判定与性质，2、等腰三角形的判定与性质，3、勾股定理，4、圆心角、弧、弦的关系，5、等腰直角三角形14．（2017四川省南充市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接D E并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．考点：切线的判定与性质．15．（2017四川省广安市）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）5219． （1）连接BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠C DB=90°，∵∠EAC=∠ADC ，∠CDB=∠BAC ，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE 是⊙O 的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，Rt △ACB 中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC=2284-=43，Rt △ADB 中，cos ∠BAD=34=AD AB ，∴34=8AD ，∴AD=6，∴BD=2286- =27，∵∠BDC=∠BAC ，∠DFB=∠AFC ，∴△DFB ∽△AFC ，∴BF BD FC AC =，∴2710433BF =，∴BF=521．考点：1．切线的判定与性质；2．解直角三角形．。
圆中的相关证明与计算
圆中的相关证明与计算圆是平面上到一个给定点的距离恒定的所有点的集合。
通过研究圆的性质和相关的定理，我们可以了解圆的性质和概念，并可以进行相关的证明和计算。
以下是一些关于圆的相关证明和计算的例子：1.圆的半径与直径的关系证明：首先，我们知道直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段。
现在我们要证明直径是半径的两倍。
证明：假设圆的半径为r，直径为d。
根据直径的定义，我们知道直径是通过圆心的，并且它的两个端点在圆上。
所以直径d可以看作是两个半径r的长度相加，即d=r+r=2r。
所以我们可以得出结论：直径等于半径的两倍。
即d=2r。
2.圆周率的计算：周长的计算公式为：C=2πr，其中r为圆的半径。
面积的计算公式为：A=πr^2，其中r为圆的半径。
例如，如果一个圆的半径为5厘米，则它的周长为：C=2π*5=10π≈31.42厘米；面积为：A=π*5^2=25π≈78.54平方厘米。
3.弦和半径的垂直关系证明：在圆中，连接圆周上的两点的线段称为弦。
现在我们要证明如果一个弦与半径相交，那么这个弦就是半径的垂直平分线。
证明：假设在圆中有一个弦AB，如果它与半径OC相交于点M，我们要证明AM=MB。
根据圆的性质，半径OC与弦AB相交于点M，则角OMC是直角，因为OC是半径，所以OM=MC。
又由于弦AB与半径OC相交于点M，所以AM=MC，MB=MC。
综上所述，AM=MB，即弦AB是半径OC的垂直平分线。
通过以上证明和计算，我们可以更深入地了解圆的性质和相关的定理。
圆是几何学中重要的概念之一，它在各种数学和科学领域中都有广泛的应用。
希望以上内容对您有所帮助。
圆的证明及计算精编版
"圆的证明与计算"专题讲解圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比拟关键。
圆的有关证明一、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长〔或面积〕；②求线段比；③求角度的三角函数值〔实质还是求线段比〕。
知识点一：判定切线的方法：〔1〕假设切点明确，则“连半径，证垂直〞。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；〔2〕假设切点不明确，则“作垂直，证半径〞。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径〔过圆上一点〕；②直线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进展由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：方法一：假设直线l过⊙O上*一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直〞，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，∴BE=CE，⌒⌒∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB 的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE〔SAS〕∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切方法二：假设直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径〞(一般用于函数与几何综合题〕例1：如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例2：：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，假设∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB. ∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO. ∴OD OCOB AC =. ∵OA=OB ， ∴ODOCOA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD, ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线.证明二：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB. ∵AC ∥BD ， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB ，O∴△AOF ≌△BOD 〔AAS 〕 ∴OF=OD. ∵∠COD=900， ∴CF=CD ，∠1=∠2. 又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线.证明三：连结AO 并延长，作OE ⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF. ∵AC 与⊙O 相切， ∴AC ⊥AO. ∵AC ∥BD ， ∴AO ⊥BD.∵BD 与⊙O 相切于B ， ∴AO 的延长线必经过点B. ∴AB 是⊙O 的直径.∵AC ∥BD ，OA=OB ，CF=DF ， ∴OF ∥AC ， ∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ， ∴CF CD OF ==21. ∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.课后练习：〔1〕如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O 的切线；〔2〕如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线.〔3〕如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D⊥AC于E〔或E为CF中点〕，求证：DE是⊙O的切线.〔4〕如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、的结合，形式复杂，无规律性。
中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)
圆的证明与计算1.如图，已知八ABC内接于AO, P是圆外一点，PA为40的切线, = PB,连接0P ,线段AB与线段0P相交于点D.(1)求证：PB为40的切线；- 4⑵ 若PA=4P0, z\0的半径为10,求线段PD的长.5(1)证明：△△△△△0Az\0Bz\ZSPA/SPBA0AA0BA0PA0PA△ 3APz\8BP(SSS) △A210APA210BPA/SPAA210AAAAA210APA90 △A210BPA90 △A0BA210AAAA/SPBA210AAAA_ _ 4_ _ ............(2)解：APA/VP0A210AAAA 10A PA第1题图第1题解图△ △ Rt AOP A Z1OA A A J P O22\21|P O^ A10A人人八人50人A/POA V A3AO OD△ cos AOP/^O P A A O AAODA6A人_ _____ 32APD APOAODA-y.32.AAAAABCA/iAB^CA/lDABCAAAAADADCA/lAAB/SDAAAzOA AEA21OAAAAADE.A 1AAAACA/1OAAAAA2AA C OSA32^C A 24 A A A AE A A.第2题图(1)证明：AABAACAAD ADC △Az^CAz^BAz^DACA^CA△RAC△2△AAZEA21BA△RAC△任△Z^EA/IOAAAAA21ADEA90 △△任△21EAD"0° △A/DACA21EADA90 △△任AC490° △AOAA21OAAAAAACAODAAAA(2)解：AAAAADA DF 丛C△任△第2题解图DAADCCA…1… 人△CF A2ACA12ACF 3ARtzCDFAAA G(C/\C D A5A△DC A 20 △AAD A 20 △ARtzCDFAAAAAAA DF ,CD2-CF216 △A21ADEA21DFCA90 AEA21CAA21ADEA21DFCA噬噜△AE 20A— A20 AA Z^EA25A20 16A21OAA/AEA 25.3.如图，在AABC中，AB=BC,以AB为直径作AO,交BC于点D,交AC 于点E,过点E作AO的切线EF,交BC于点F.(1)求证：EFABC;(2)若 CD=2, tan C=2,求 AO 的半径.第3题图(1)证明：如解图，连接BE, OE.第3题解图AAB为AO的直径，△MEB=90 .AAB=BC,△点E是AC的中点，△点O是AB的中点，AOEABC,△EF是AO的切线，△EF4E.△EFABC;(2)解：如解图，连接AD,八AB为AO的直径，△ AADB=90 ,△CD=2, tan C=AD 2CDAAD=4.设 AB=x,贝U BD=x-2.在 RtAABD 中, 由勾股定理得AB2=AD2+BD2,即 x2=42+ (x— 2) 2, 解得x=5,即AB=5,△ 8的半径为5 .24.AAAAZOWZ1ABAAAAABCAAADA21BCAAAAAE.A 1AAA/SDACA21DCEA..................1人人人人A2A ABA 2A siD △不△ AAE4/X.第4题图(1)证明：Z^DA/IOAAAA△PAB A90 .Z^BA/IOAAAAA21ACBA90 .A/DACA21CABA90 2ICABA/^ABCA 90 △A/DACA/^BC.AOCAOBAA.BCBCOCOCBAAAZDCEAz^OCBAA21DACA21DCEA(2)解：AABA2 △AAOA1.△sinD A ODAODA3ZDC A2 △ARtzDAOAA△△△△△AD △ OD2AOA2A2 2 △A21DACA21DCEA21DA/1DAA21DECA21DCAA A DC A DE A DA A DC 人2人DEA2 ,2 A2△RE △ ,2 △AAEAAD ADE △ 2.5.AAABA21OAAZDAA/DAAAAAADACDAOAA21ABA21EAA/OA1AAACEACBAA2AAAFABFAA/ABFAAAA人人-人人人 DE人5人人…人人人A3A/CDA 15ABE4 1OZ A E A13AAZ O AA A-(:第5题图(1)证明：△△△△△OB4A第5题解图BBCAOJAAAAAOBABCA AzOBCA 90 △A21OBAA21CBEA90 △AOAAOBAA21OABA21OBAAA21OAB+ACBEA 90 △A21CDAOAAA21OABA21DEAA90 △AA/CEBA21DEAAA21CBEA21CEBAACEACBA(2)解：△△△△△/△ADA ADO ACD AOAA AAF AOF △Az^OAAOFAA21AOFAAAAAAA/AOF=60O△」_1 _____ ____ _A21ABFA2^AOFA30 △(3)解：△△△△△C\CG》B△工△△CD AOAAA21ADEA21CGEA900△AA/AEDA21CEGAA21ADEA21CGEA人DE人EG人5人A AE A CE A13AACEABCAACEA13A人 (26)△DE -旌.-------- 24△ △•■△△△△△△" ..AE DE△石△486.AAAA/lABCDAAAzO^BA/lOAAAADADCAAAABAACDAAA EA/®FAECA21ECAAAAA/W\AZBD.△ 1 △△△ ABFC△2DAAA2AAE/^OAA cosADEAA3AAA 2AAAA/BCA6AzBFAA.第6题图(1)证明：Z^BA/IOAAAAA21BDAA90 .ABF /SECAA21BFCA90 △AAAABCDA/1OAAAAAAAA21BCFA21BADAA21BFCA21BDAA(2)解：△△△△△OD3C4A21BFCA21BDAABF BC△BD'^A B'AODA/lOAAAzADACDA AODAAAACAZ^BA/IOAAAA△ AACB=90 △AODABCA △任OD△心X OE ODA BE A BC AZ^E^OA21OEA2OB/SBEA3OBAOD OE 2△■占M—— -ABC BE 3ABC Z^ODA3瑞瑞舄△:△△ 21ADB A 90 △A21ADEA21BDFA90 △A21BDFA21DBFA90 △A21ADEA21DBFAR第6题解图/SRt/SBDFAA cosDBF 混率△ cos ADE2^A4(3)解：ABCz^ODABCA6AAODA4A /^EA4ZBEA12 △ △任OD△心CA 人DE人OD人A CE A BC A…人3 人ACEA2DEA △ △/EDA△八EBC△任△小£△A21AEDA21CEBA 人AE人DE人A C E A BE AADE CEAAE BEAADE 3D E A4X 12 △ /SDEA4V2( AAAA )△ACDA2V2A/^DA2V2AA21BFCA21BDAA 人CF 人AD 人A CF A2_J A△BC△母△造△ 8 △… 3 2ACF A^AARtzBCFAAAAAAAAAABFA . BC2A CF2Z^3~214.7.AAABAA OAAA/ICD^BAAAzHAAAAC△△知作EG3C交CD的延长线于点 G,连接AE交CD于点F,且EG=FG,连接CE.(1)求证：z\ECF△&CE;(2)求证：EG是AO的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点 M ,若tan工=3 ,AH=3,4求EM的值.第7题图(1)证明：3cAEG,△8=3CG,「AB是AO的直径，ABACD,△A D = A C ,△3EF=AACD,△8=MEF,△任CF=4ECG,△任CF△&CE;(2)证明：如解图，连接OE,第7题解图△GF=GE,△&FE=^GEF=AAFH,△OA=OE,△3AE=4OEA,△AAFH+^FAH=90 ,△&EF+AAEO=90 ,△&EO=90 ,AGEAOE,VOEMAO的半径，△EG是AO的切线；(3)解：如解图，连接OC,设AO的半径为r.在 Rt「AHC 中，一一AH 3tan zACH=tan 应=空=± , HC 4AAH=3,AHC=4.在 Rt^HOC 中，△OC=r, OH=r—3, HC=4, △ (r —3) 2+42=r2,解得r= 25 ,6△GM AAC,△ 3AH=2\M,△ 3EM=AAHC=90 △ AAHC/XNEO,AH HCEM OE ，即高8.如图，AB 为AO 的直径，C 、G 是AO 上两点，过点 C 的直线CD^BG 交BG 的延长线于点D,交BA 的延长线于点E,连接BC,交OD 于点F, 且BC 平分4ABD.(1)求证：CD 是AO 的切线；⑵若OF 2,求4E 的度数； FD 3⑶连接AD,在(2)的条件下，若CD=2V3,求AD 的长.H第8题图(1)证明：如解图，连接OC,△ EM 25 8△OC=OB, BC 平分 AABD, △3CB=z\OBC, AOBC=ADBC,AzX)BC=AOCB,AOC ABD,Az^BDC=AECO,△CD ABD,△ z!BDC=90 ,△任CO=90 ,△OC 是AO 的半径，△CD 是AO 的切线；(2)解：由(1)知，OC^BD, △8CF=4DBF, △COFMBDF,A21OCFA21DBF, △.史FD△器AOC ABD, △任OC △任BD,△如 FD3,设 OE=2a,则 EB=3a,△OB=a,△OC=a,△3CE=90 , OC=1OE, 2△任=30 ;(3)解：△任=30 , ABDE=90 ,△任BD=60 ,VBC 平分 ADBE,/. AOBC=ADBC=1 EBD=30 , 2△CD=2 .3 ,ABC=4 3, BD=6,△空2 , DB 3△OC=4,如解图，过点D作DM3B于点M ,△RMB=90 ,ABD=6, ADBM=60 ,ABM=3, DM=3 3 ,△OC=4,△AB=8,AAM=AB—BM=5,△ RMA=90 , DM=3J3,AAD= VDM 2 AM 2 2V13 .9.如图，在3BC中，八ACB=90°,。
2017中考圆的切线综合题专题复习
2017年中考专题复习 -圆的切线证明和计算一、 直线与圆的切线 1、（平行线）（2014•铜仁24）如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，连接DC ，且AC=DC ，BC=BD ． （1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）作CD 的平行线AE 交⊙O 于点E ，已知DC=10，求圆心O 到AE 的距离． 2、（角平分线）（2015•铜仁24）如图，已知三角形ABC 的边AB 是⊙0的切线，切点为B ．AC 经过圆心0并与圆相交于点D 、C ，过C 作直线CE 丄AB ，交AB 的延长线于点E ． （1）求证：CB 平分∠ACE ；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O 的半径． 3、（角平分线）如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，点D 在AB 上，DE ⊥AE ，⊙O 是Rt △ADE 的外接圆，且交AC 于G 。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若CE ＝4，AC ＋GC ＝10，求直径AD 、DE 的长。
4、（中位线）已知，如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，过D 作DE ⊥BC 交BC 于点E 。
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果CD ＝4，CE ＝3，求⊙O 的半径。
二、 曲线与圆的切线5、(2011•铜仁)如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ．(1)求证： ；(2)求证：CD 是⊙O 的切线．三、 三角形与圆的切线 6、（周长）如图，钝角△ABC ，CD ⊥AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，且∠CEB ＝45°，以AD 为直径作⊙O 。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 直径为10，AC ＝BC ，求△ABC 的周长。
CB7、（相似）（2013•铜仁）如图，AC 是⊙O 的直径，P 是⊙O 外一点，连结PC 交⊙O 于B ，连结PA 、AB ，且满足PC=50，PA=30，PB =18. （1）求证：△PAB ∽△PCA ； （2）求证：AP 是⊙O 的切线. 8、（相似）（2014铜仁中考练习（三）23题）如图，AB 为⊙O 的直径，AB ⊥AC ，BC 交O 于D ，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于点F （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）求证：.AB BFAC DF四、 四边形与圆的切线9、已知如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，且满足AD ＋BC ＝CD ，以AB 为直径作⊙O 。
2017届云南中考数学题型专项(九)圆的证明与计算
题型专项(九) 圆的证明与计算圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算、证明的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质与判定，利用圆的性质求线段长、角度或阴影部分的面积等，都是考查的重点． 类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明1．(2015²安徽)在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ.(1)如图1，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；(2)如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值． 解：(1)连接OQ.∵PQ ∥AB ，OP ⊥PQ ， ∴OP ⊥AB.在Rt △OBP 中，∵tanB ＝OPOB，∴OP ＝3tan30°＝ 3.在Rt △OPQ 中，∵OP ＝3，OQ ＝3，∴PQ ＝OQ 2－OP 2＝ 6.(2)连接OQ.在Rt △OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2，当OP 的长最小时，PQ 的长最大，此时OP ⊥BC ，则OP ＝12OB ＝32， ∴PQ 长的最大值为9－（32）2＝332.2．(2013²玉溪)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，OF ⊥AC 于点F.(1)请探索O F 和BC 的关系并说明理由；(2)若∠D ＝30°，BC ＝1时，求圆中阴影部分的面积．(结果保留π)解：(1)OF ∥BC ，OF ＝12BC.理由：由垂径定理得AF ＝CF. ∵AO ＝BO ，∴OF 是△ABC 的中位线． ∴OF ∥BC ，OF ＝12BC.(2)连接OC.由(1)知OF ＝12.∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ＝2BC ＝2. ∴AC ＝ 3.∴S △AOC ＝12³AC ²OF ＝34.∵∠AOC ＝120°，OA ＝1， ∴S 扇形AOC ＝120³π³OA 2360＝π3.∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △AOC ＝π3－34.类型2 与圆的切线有关的计算与证明3．(2016²云南模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于点E ，∠POC ＝∠PCE.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若OE ∶EA ＝1∶2，PA ＝6，求⊙O 的半径．解：(1)证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠CEP ＝90°.∴∠PCE ＋∠P ＝90°. ∵∠PO C ＝∠PCE ，∴∠POC ＋∠P ＝90°，即∠OCP ＝90°. ∴PC 是⊙O 的切线．(2)∵∠POC ＝∠PCE ，∠P ＝∠P ， ∴△CEP ∽△OCP. ∴CP OP ＝EP CP. 设半径为R ，则OE ＝R 3，EA ＝2R3.∴CP 2＝OP ²EP.∴(R ＋6)2－R 2＝(6＋R)²(2R 3＋6)．解得R ＝3(R ＝0舍去)． ∴⊙O 的半径为3.4．(2016²永州)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为直径，过点B 的切线与AC 的延长线交于点D ，E 是BD 中点，连接CE.(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若AC ＝4，BC ＝2，求BD 和C E 的长．解：(1)证明：连接OC.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∴∠ACO ＋∠BCO ＝90°，∠BCD ＝90°. ∵E 是BD 中点， ∴CE ＝12BD ＝BE.∴∠BCE ＝∠CBE ＝∠A. ∵OA ＝OC ， ∴∠ACO ＝∠A. ∴∠ACO ＝∠BCE.∴∠BCE ＋∠BCO ＝90°， 即∠OCE ＝90°，CE ⊥OC. ∴CE 是⊙O 的切线． (2)∵∠ACB ＝90°，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝2 5.∵tanA ＝BD AB ＝BC AC ＝24＝12，∴BD ＝12AB ＝ 5.∴CE ＝12BD ＝52.5．(2016²云南模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 在AB 延长线上，且∠BCD ＝∠A.(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)若∠A ＝30°，AC ＝23，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OC. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，即∠ACO ＋∠BCO ＝90°. ∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠ACO. ∵∠A ＝∠BCD ， ∴∠ACO ＝∠BCD.∴∠BCD ＋∠BCO ＝90°. ∴DC 是⊙O 的切线．(2)过点O 作OE ⊥AC 于点E. ∵AC ＝23，∴AE ＝ 3. ∵∠A ＝30°，∴OE ＝1，AO ＝2，∠AOC ＝120°. ∴S 扇AOC ＝120³π³4360＝4π3，S △AOC ＝12³23³1＝ 3.4π(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为2，∠BAC ＝30°，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)证明：∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ADB ＝90°.∴∠BAC ＋∠ABD ＝90°. ∵∠DBC ＝∠BAC ，∴∠DBC ＋∠ABD ＝90°. ∴AB ⊥BC.∵OB 为⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 切线．(2)连接OD ，过O 作OM ⊥BD 于点M. ∵∠BAC ＝30°，∴∠BOD ＝2∠A ＝60°. ∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形． ∴OB ＝BD ＝OD ＝2. ∴BM ＝DM ＝1.由勾股定理得：OM ＝ 3.∴S △DOB ＝12³2³3＝ 3.∴阴影部分的面积S ＝S 扇形DOB －S △DOB ＝60π³22360－3＝23π－ 3.7．(2016²红河模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，点F ，C 是⊙O 上两点，且AF ︵＝FC ︵＝CB ︵，连接AC ，AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 延长线于点D ，垂足为D.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若CD ＝23，求⊙O 的半径．解：(1)证明：连接OC. ∵FC ︵＝BC ︵，∴∠FAC ＝∠BAC. ∵O A ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA. ∴∠FAC ＝∠OCA.∴OC ∥AF. ∵CD ⊥AF ，∴OC ⊥CD. ∴C D 是⊙O 的切线． (2)连接BC.∵AF ︵＝FC ︵＝CB ︵，∴∠BOC ＝13³180°＝60°.∴∠BAC ＝30°.∴∠DAC ＝30°.在Rt △ADC 中，CD ＝23，∴AC ＝2CD ＝4 3. 在Rt △ACB 中，BC ＝33AC ＝33³43＝4， ∴AB ＝2BC ＝8.∴⊙O 的半径为4.8．(2016²普洱模拟)如图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交CB 于点D ，点E 是AC 的中点，连接OE 、DE.(1)判断ED 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若tanC ＝52，DE ＝2，求BD 的长．解：(1)结论：ED 与⊙O 相切．理由如下：连接OD. ∵点E 是AC 的中点，点O 是AB 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线． ∴OE ∥BC.∴∠EOA ＝∠B ，∠EOD ＝∠ODB. 又∵OD ＝OB ，∠ODB ＝∠B ， ∴∠EOA ＝∠EOD.又∵OA ＝OD ，OE ＝OE ， ∴△AOE ≌△DOE(SAS)． ∴∠EAO ＝∠EDO.又∵∠EAO ＝90°，∴∠EDO ＝90°. ∴OD ⊥ED.∵OD 是⊙O 的半径， ∴ED 是⊙O 的切线． (2)连接AD.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∴∠ADC ＝180°－∠ADB ＝90°.在Rt △ADC 中，∵点E 是斜边AC 的中点， ∴AC ＝2ED ＝4. ∵tanC ＝AD CD ＝52，∴设AD ＝5x ，CD ＝2x.∵AD 2＋DC 2＝AC 2，∴(5x)2＋(2x)2＝42.4∴AD ＝5x ＝435.在Rt △ADC 中，∠C ＋∠CAD ＝90°， 又∵∠BAD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C. ∴tan ∠BAD ＝tanC ＝52. 又在Rt △ADB 中，∵tan ∠BAD ＝BDAD，∴BD ＝AD ²tan ∠BAD ＝435³52＝103.9．(2016²曲靖模拟)已知：如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，过点C 的切线与直径AB 的延长线相交于点P ，连接PD.(1)求证：PD 是⊙O 的切线；(2)求证：PD 2＝PB ²PA ；(3)若PD ＝4，tan ∠CDB ＝12，求直径AB 的长．解：(1)证明：连接OC 、OD. 设AB 与CD 交于点E. ∵CP 为⊙O 的切线， ∴OC ⊥CP.∴∠OCP ＝90°. ∵OD ＝OC ，AB ⊥CD ，∴∠ODE ＋∠DOE ＝∠OCE ＋∠COE ＝90°. 又∵∠ODE ＝∠OCE ， ∴∠DOE ＝∠COE.又∵OD ＝OC ，OP ＝OP ， ∴△ODP ≌△OCP(SAS)． ∴∠ODP ＝∠OCP ＝90°. ∴PD 是⊙O 的切线．(2)证明：∵∠PDB ＋∠ODB ＝∠ADO ＋∠ODB ＝90°， ∴∠PDB ＝∠ADO.又∵OA ＝OD ，∴∠A ＝∠ADO. ∴∠PDB ＝∠A.又∵∠DPB ＝∠APD ， ∴△PBD ∽△PDA. ∴PD PA ＝PB PD， 即PD 2＝PB ²PA.(3)设BE ＝x ，则DE ＝2x ，BD ＝5x. ∵∠CDB ＋∠ADC ＝∠A ＋∠ADC ＝90°， ∴∠A ＝∠CDB.∴AE ＝2DE ＝4x ，AB ＝AE ＋BE ＝5x ，AD ＝25x. 由(2)知△PBD ∽△PDA. ∴PD PA ＝BD DA. ∴45x ＋PB ＝5x25x. 得PB ＝8－5x.又∵PD 2＝PB ²PA ，∴16＝(8－5x)(5x ＋8－5x)． 得x ＝65.∴AB ＝5x ＝6.10．(2016²红河模拟)如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F.(1)求证：∠ABC ＝2∠CAF ；(2)若AC ＝210，CE ∶EB ＝1∶4，求CE ，AF 的长．解：(1)证明：连接BD. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∴∠DAB ＋∠ABD ＝90°. ∵AF 是⊙O 的切线， ∴∠FAB ＝90°，即∠DAB ＋∠CAF ＝90°. ∴∠CAF ＝∠ABD.∵BA ＝BC ，∠ADB ＝90°， ∴∠AB C ＝2∠ABD. ∴∠ABC ＝2∠CAF.(2)连接AE.∵AB 是⊙O 直径， ∴∠AEB ＝90°. 设CE ＝x ，∵CE ∶EB ＝1∶4，∴EB ＝4x ，BA ＝BC ＝5x ，AE ＝3x.在Rt △ACE 中，AC 2＝CE 2＋AE 2. 即(210)2＝x 2＋(3x)2. ∴x ＝2(x ＝－2舍去)． ∴CE ＝2.∴EB ＝8，BA ＝BC ＝10，AE ＝6. ∵tan ∠ABF ＝AE EB ＝AFBA ，∴AF ＝152.11．(2016²昆明模拟)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，延长DO 交⊙O 于点P ，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作射线DE 交BC 的延长线于点F ，连接PF.(1)若∠POC ＝60°，AC ＝12，求劣弧PC 的长；(结果保留π) (2)求证：OD ＝OE ；(3)求证：PF 是⊙O 的切线．解：(1)∵AC ＝12， ∴CO ＝6.∴lPC ︵＝60³π³6180＝2π.(2)证明：∵PE ⊥AC ，OD ⊥AB ， ∴∠PEA ＝∠ADO ＝90°.在△ADO 和△PEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADO ＝∠PEO ，∠AOD ＝∠POE ，OA ＝OP ，∴△POE ≌△AOD(AAS)．∴OD ＝OE.(3)证明：连接AP ，PC.∵OA ＝OP ，∴∠OAP ＝∠OPA.由(2)得OD ＝EO ，∴∠ODE ＝∠OED. 又∵∠AOP ＝∠EOD ，∴∠OPA ＝∠ODE. ∴AP ∥DF.∵AC 是直径，∴∠APC ＝90°. ∴∠PQE ＝90°，即PC ⊥EF. 又∵DP ∥BF ，∴∠ODE ＝∠EFC. ∵∠OED ＝∠CEF ，∴∠CEF ＝∠EFC. ∴CE ＝CF.∵PC 为EF 的中垂线， ∴∠EPQ ＝∠QPF. ∵△CEP ∽△CPA ， ∴∠EPQ ＝∠EAP. ∴∠QPF ＝∠EAP. ∴∠QPF ＝∠OPA.∵∠OPA ＋∠OPC ＝90°， ∴∠QPF ＋∠OPC ＝90°. ∴OP ⊥PF.∴PF 是⊙O 的切线．12．(2016²德州)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E ，交BC 于点D ，过点E 作直线l ∥BC.(1)判断直线l 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC 的平分线BF 交AD 于点F ，求证：BE ＝EF ；解：(1)直线l 与⊙O 相切． 理由：连接OE 、OB 、OC. ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE ＝∠CAE. ∴BE ︵＝CE ︵.∴∠BOE ＝∠COE.又∵O B ＝OC ，∴OE ⊥BC. ∵l ∥BC ，∴OE ⊥l. ∴直线l 与⊙O 相切．(2)∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF. 又∵∠CBE ＝∠CAE ＝∠BAE ， ∴∠CBE ＋∠CBF ＝∠BAE ＋∠ABF. 又∵∠EFB ＝∠BAE ＋∠ABF ， ∴∠EBF ＝∠EFB. ∴BE ＝EF.(3)由(2)得BE ＝EF ＝DE ＋DF ＝7. ∵∠DBE ＝∠BAE ，∠DEB ＝∠BEA ， ∴△BED ∽△AEB. ∴DE BE ＝BE AE ，即47＝7AE ，解得AE ＝494. ∴AF ＝AE －EF ＝494－7＝214.。
中考专题复习——圆的相关证明(附答案)
中考复习专题——圆的相关证明题1．在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．（Ⅰ）如图①，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若P ∠︒=42，求∠CAB 的大小； （Ⅱ）如图②，D 为上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ， 若∠CAB ︒=10，求∠P 的大小．2.已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点P ．（Ⅰ）如图①，连接AC ，BC ，若OB BP =，求A ∠和∠P 的大小；（Ⅱ）如图②，过点P 作⊙O 的切线PD ，切点为D ，连接CD ，BD ，若∠BDC ＝32°，求BDP ∠的大小．图①图②O B COB D CPE AC3.已知点A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，︒=∠120AOB . （Ⅰ）如图①，若AC =BC ，求C ∠和CAO ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，若AC =AD ，求CAO ∠的大小.4.已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ．（Ⅰ）如图①，求证：AC 平分DAB ∠；（Ⅱ）如图②，过B 作BF AD ∥交⊙O 于点F ，连接CF ，若45AC =4DC =，求CF 和⊙O 半径的长． ABCDEO图①ABCDEO图②F5.已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E=30°，求∠BDC的度数.①②6.已知P A，PB分别与⊙O相切于点A,B，PO交⊙O于点F，且其延长线交⊙O于点C，∠BCP=28°，E为CF上一点，延长BE交⊙O于点D.（Ⅰ）如图1，求∠CDB与∠APB的大小；（Ⅱ）如图2，当BC=CE时，求∠PBE的大小.7.在ABC △中90B ∠=︒D 为AC 上一点，以CD 为直径的⊙O 与AB 相切于点E ，与BC 相交于点F ，连接CE ．（Ⅰ）如图①，若27ACE ∠=︒，求A ∠和ECB ∠的大小； （Ⅱ）如图②，连接EF ，若//EF AC ，求A ∠的大小．8. 已知：在⊙O 中OA BC ⊥垂足为E ，点D 在⊙O 上．（Ⅰ）如图①若50AOB ∠=︒，求ADC ∠和∠CAO 的大小；（Ⅱ）如图②CD ∥AO ，过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线相交于点P ，若26∠=︒ABC 求∠P 的大小．图①图②ABCF OED ABCOED F 图①O EDCBA图②POE DCBA9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，58ABC ∠=︒. （Ⅰ）如图①若85AEC ∠=︒，求BAD ∠和CDB ∠的大小；（Ⅱ）如图②若CD AB ⊥过点D 作⊙O 的切线DF ，与AB 的延长线相交于点F ，求F ∠的大小．10. 已知AB 是⊙O 的直径，CD 、CB 是⊙O 的弦，且AB CD ∥.（Ⅰ）如图①若25ABC ∠=︒，求BAC ∠和ODC ∠的大小；（Ⅱ）如图②过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线交于点F 若OD CF ∥求ABC ∠的大小．图①图②EABO DCFE ABO DC图②图①11. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 切⊙O 于点A ，AE 与直径BD 的延长线相交于点E ．（Ⅰ）如图①，若∠C =71°，求∠E 的大小；（Ⅱ）如图②，当AE =AB ，DE =2时，求∠E 的大小和⊙O 的半径．12. 已知DA 、DC 分别与⊙O 相切于点A 点C ，延长DC 交直径AE 的延长线于点P ． （Ⅰ）如图①若DC =PC ，求∠P 的度数；（Ⅱ）如图②在⊙O 上取一点B ，连接AB 、BC 、BE ，当四边形ABCD 是平行四边形时，求∠P 及∠AEB 的大小． OEEDCBAD O C BA图①图②DECAPOB图① 图②ECAPOD13.如图①，AB 是⊙O 的弦，OE ⊥AB ，垂足为P ，交AB 于点E ，且OP =3PE ，AB =74．（Ⅰ）求⊙O 的半径；（Ⅱ）如图②过点E 作⊙O 的切线CD ，连接OB 并延长与该切线交于点D ，延长OA 交CD 于C ，求OC 的长． 图②图①EP A BCODP EOBA参考答案1.解：（Ⅰ）如图，连接OC∵ ⊙O 与PC 相切于点C ∴ OC PC ⊥，即90OCP ∠=︒ ∵ 42P ∠=︒∴ 9048COB P ∠=︒-∠=︒ 在Rt OPC △中，48CAB ACO COP ∠+∠=∠=︒ ∵OA =OC ∴∠CAB =∠ACO ∴ 24CAB ∠=︒（Ⅱ）∵ E 为AC 的中点∴ OD AC ⊥，即90AEO ∠=︒在Rt AOE △中，由10EAO ∠=︒得9080AOE EAO ∠=︒-∠=︒ ∴ 1402ACD AOD ∠=∠=︒∵ ACD ∠是ACP △的一个外角∴ 30P ACD CAP ∠=∠-∠=︒2. 解：（Ⅰ）如图①连接OC ∵PC 是⊙O 的切线∴︒=∠90OCP ∵OB BP =∴OB BC =∵OC OB =∴BOC ∆为等边三角形， ∴∠BOC=60° ∴︒=∠=∠3021BOC A ∠P=90°－∠COB ＝30°（Ⅱ）如图② 连接OC 、OD 设CD 交OP 于点E∵PC ，PD 是⊙O 的切线∴PD PC = ︒=∠=∠90ODP OCP ∵OD OC =∴OP 为CD 的垂直平分线 ∴︒=∠=∠90DEP CEP∵∠BDC ＝32°∴∠OBD ＝90°－∠BDC ＝58° ∵OB OD =∴∠ODB ＝∠OBD ＝58° ∴∠BDP ＝90°－58°＝32°3.解： （Ⅰ）∵︒=∠120AOB ∴∠ACB= 12 ∠AOB=60°如图① 连接OC∵AC =BC ∴∠AOC=∠BOC∵∠AOC+∠BOC +∠AOB=360° ∴∠AOC =12 （360°-120°）=120° ∵OA OC ∴∠CAO=∠ACO=12（180°-120°）=30°O AB PCOAB D CPE（Ⅱ）如图② 连接OC设∠ACD= x ∵ACAD ∴∠ACD =∠ADC= x∴∠CAB=2x ∵∠AOB=120°OAOB ∴∠OAB =∠OBA= 12（180°-120°）=30°∵CD 是⊙O 的切线∴∠OCD=90° ∵OAOC ∴∠OCA =∠OAC∴90°－x=2x －30° 解得x=40° ∴∠CAB=80°∴∠CAO=∠CAB －∠OAB =50°4.（Ⅰ）证明：连接OC ∵CD 为⊙的切线∴OC CD ⊥即90OCM OCD ∠=∠=︒ ∵AD CD ⊥垂足为D ∴90ADC ∠=︒ ∵90ADC OCM ∠=∠=︒∴OC AD ∥ ∴DAC ACO ∠=∠∵OC OA =∴CAO ACO ∠=∠∴DAC CAO ∠=∠∴AC 平分DAB ∠ （Ⅱ）解：连接AF 延长CO 交AF 于G ∵AB 为⊙的直径 ∴=90AFB ∠︒ ∵OC AD BF AD ∥，∥ ∴CO BF ∥∴90AFB AGC ∠=∠=︒ ∴OC AF ⊥由垂径定理可得AC=CF∴45AC CF == ∵90ADC ∠=︒22O O ABC DEOF GABCDEOM∴90ADC DCO AGC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ADCG 是矩形∴8AD CG == 4CD AG == 在Rt AGO 中，得222AG OG AO += 设OC x =则,8OA x OG x ==- 可得方程()22248x x +-=解得5x =． ∴⊙半径的长为545CF =．5.（Ⅰ）解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形∴∠DAB +∠C ＝180° ∵∠EAD +∠DAB ＝180° ∴∠C ＝∠EAD ∵∠EAD ＝75° ∴∠C ＝75° ∵DB ＝DC∴∠DBC ＝∠C ＝75°∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30°（Ⅱ）解：连结OB OD∵EB ED 与⊙O 相切于点B 点D∴ED OD ⊥⊥，EB OB ∴ ︒=∠︒=∠90ODE 90，OBE∵︒=∠+∠+∠+∠360BOD ODE E OBE ︒=∠30E ∴︒=∠150BOD∴︒=∠=∠7521BOD C ∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠C ＝75°，∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30° O6. （I ）解：连接OB∵P A 、PB 与圆O 相切于点A 点,B∴PO 平分∠APB 且∠PBO ＝90° ∵∠BCP ＝28°∴∠BOP ＝2∠BCP ＝28°×2＝56° ∴∠BPO ＝90°－∠BOP ＝90°－56°＝34° ∴∠APB ＝2∠BPO ＝2×34°＝68°又∠BDC ＝BOC ∠21＝)180(21BOP ∠- ∴∠BDC = 62)56180(21=-∴∠APB =68°∠BDC= 62 （II ）连接OB∵BC ＝CE ∴∠CBE ＝∠CEB∵∠BCP ＝28° ∴∠CBE ＝76228180=-∵OB ＝OC ∴∠OBC ＝∠OCB ＝28° ∴∠EBO ＝∠CBE －∠OBC ＝76°－28°＝48° ∵P A 与圆O 相切于点A∴OB ⊥PB ∴∠PBO ＝90°∴∠PBE ＝90°－ ∠EBO ＝90°－48°＝42°7.解：（Ⅰ）如图连接OE ．∵ AB 与⊙O 相切∴ OE AB ⊥，即90AEO ∠=︒ ∵ 27ACE ∠=︒∴ 254AOE ACE ∠=∠=︒ ∴ 9036A AOE ∠=︒-∠=︒ ∵ OE OC =∴ OEC OCE ∠=∠∵ 90B ∠=︒∴ //OE BC ∴ ECB OEC ∠=∠ ∴ 27ECB ∠=︒ （Ⅱ）如图，连接OE OF∵ //OE BC //EF AC ∴ 四边形OEFC 为平行四边形 ∴ OE CF = ∴ OC OF CF == ∴ 60ACB ∠=︒∴ 9030A ACB ∠=︒-∠=︒ABCOED F ABCF OED8. 解：（Ⅰ）∵OA BC ⊥ ∴AB AC = 90∠=︒AEC∴∠=∠ACB ADC ∵1252∠=∠=︒ACB AOB∴25∠=∠=︒ADC ACB9065∠=︒-∠=︒CAO ACB（Ⅱ）连接BD . 由OA BC ⊥知，90∠=∠=︒AEB BEO∴ 9064∠=︒-∠=︒OAB ABC ∵AO ∥CD ∴90∠=∠=︒BCD BEO ∴BD 是⊙O 的直径又PD 与⊙O 相切∴⊥BD PD . 即90∠=︒BDP∵=OA OB ∴64∠=∠=︒OBA OAB∴642636∠=∠-∠=︒-︒=︒CBD ABO ABC ∴9052∠=︒-∠=︒P CBD9. （Ⅰ）∵∠AEC 是ΔBEC 的一个外角 58ABC ∠=︒85AEC ∠=︒27C AEC ABC ∴∠=∠-∠=︒∵在⊙O 中BAD C ∠=∠27BAD ∴∠=︒ AB 为⊙O 的直径90ADB ∴∠=︒ ∵在⊙O 中58ADC ABC ∠=∠=︒ 又CDB ADB ADC ∠=∠-∠32CDB ∴∠=︒（Ⅱ）连接OD∵CD ⊥AB 90CEB ∴∠=︒．9032E E CB BC =-∴∠=∠︒︒∴264DOB DCB ∠=∠=︒ ∵DF 是⊙O 的切线∴90ODF ∠=︒90906426F DOB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒图②POE DCBA图①O E DCBA10. 解：（Ⅰ）如图连接OC ∵ AB 是⊙O 的直径 ∴ 90ACB ∠=︒∴ 90BAC ABC ∠+∠=︒由25ABC ∠=︒得65BAC ∠=︒又AB CD ∥得25ABC BCD ∠=∠=︒ ∵ OB OC = ∴ 25OCB ABC ∠==∠=︒ 则50OCD OCB BCD ∠=∠+∠=︒ 由OC OD =得50ODC OCD ∠=∠=︒（Ⅱ）如图，连接OC∵CF 切⊙O 于点C ∴OC FC ⊥则90OCF ∠=︒∵ OD CF ∥ ∴ 90DOC OCF ∠=∠=︒ 又OC OD =则45ODC OCD ∠==∠=︒ 由AB CD ∥得45BOD ODC ∠=∠=︒∴135BOC DOC BOD ∠=∠+∠=︒ ∵ OC OB = ∴22.5ABC OCB ∠=∠=︒11. 解：（Ⅰ）连接OA .∵AE 切⊙O 于点A ∴OA ⊥AE ，∴∠OAE =90° ∵∠C =71° ∴∠AOB =2∠C =2×71°=142° 又∵∠AOB +∠AOE =180° ∴∠AOE =38° ∵∠AOE +∠E =90° ∴∠E =90°﹣38°=52° （Ⅱ）连接OA 设∠E = x .∵AB =AE ∴∠ABE =∠E = x ∵OA =OB ∴∠OAB =∠ABO = x ∴∠AOE =∠ABO +∠BAO =2x∵AE 是⊙O 的切线∴OA ⊥AE ，即∠OAE =90°在△OAE 中∠AOE +∠E =90°即2x +x =90°解得30x =︒∴∠E =30° 在Rt △OAE 中OA =21OE∵OA =OD ∴OA =OD =DE∵DE =2∴OA =2即⊙O 的半径为212.解：（Ⅰ）∵DA 、DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC OA ⊥DA ∴∠DAO ＝90°∵DC =PC ∴DA ＝DC =PC ∵∠DAP ＝90° ∴sin P=DP AD =21∴∠P=30° （Ⅱ）连接OC 、AC∵DA ，DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC∵四边形ABCD 是平行四边形∴□ABCD 是菱形 ∴DA =DC =CB =AB ∠ABC =∠ADC ∵∠AOC =2∠ABC ∴∠AOC =2∠ADC∵DA 、DC 是⊙O 的切线∴OA ⊥AD OC ⊥DC ∴∠DAO ＝∠DCO ＝90°∵∠ADC +∠DCO+∠AOC +∠DAO =360° ∴∠ADC +∠AOC =180°∴3∠ADC ＝180°∴∠ADC ＝60°∴∠P ＝90°－∠ADC ＝30°，∠ABC =60°又AB =BC ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠ACB ＝60° ∴∠AEB ＝∠ACB=60°13. 解：（Ⅰ）∵OE ⊥AB∴1272APAB 设PE =x 则OP =3x OA =OE =4x在Rt OAP △中222OA OP AP =+即2216928x x =+ 解得x =2（负舍）∴4x =8 ∴半径OA 为8 （Ⅱ）∵ CD 为⊙O 的切线 ∴OE ⊥CD又∵OE ⊥AB ∴AB //CD ∴34OA OP OCOE∴323OCECAPODB。
(完整版)中考数学专题复习圆压轴八大模型题(学生用)(最新整理)
2.（2018·云南昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，∠AC 平分∠BAD，连接 BF． （1）求证：AD⊥ED； （2）若 CD＝4，AF＝2，求⊙O 的半径．
圆压轴题八大模型题（二）
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化 与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用 技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
直线 CM 是⊙O 的切线．
【变式运用】
1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE⊥AB 于点 E 且 DE 交 AC 于点 F，DB 交 AC 于点 G，若 ＝ ，则
＝ ．
（图 1-2）
2.（2018·泸州）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，且 AE 与 DE 分别 平分∠BAD 和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F，连接 DF
求 PA 和 AD.
求 AD、PD、PA 的长.
【典例】 （2018·四川乐山）如图，P 是⊙O 外的一点，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，PO 交 AB 于点 F，延长 BO 交⊙O 于点 C，交 PA 的延长交于点 Q，连结 AC． （1）求证：AC∥PO；
（2）设 D 为 PB 的中点，QD 交 AB 于点 E，若⊙O 的半径为 3，CQ＝2，求 的值．
中考《圆》有关的证明和计算
中考《圆》有关的证明和计算圆是数学中的重要概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文将围绕圆的性质、定理和计算等方面展开，旨在帮助读者更好地理解和掌握圆的相关知识。
一、圆的定义和性质1.定义：平面上的圆是由一组与给定点的距离相等的点组成的几何体。
这个给定点称为圆心，与圆心距离相等的线段称为半径。
2.性质：（1）所有点到圆心的距离相等；（2）圆上的任意两点与圆心的距离相等；（3）半径相等的圆互为同心圆；（4）圆的直径是通过圆心的线段，且长度等于半径的两倍；（5）圆的周长是圆周上所有点之间的距离之和，用2πr表示（r为半径）；（6）圆的面积是圆所包围的平面区域的大小，用πr²表示。
二、圆的计算1.计算周长：圆的周长公式为：C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
例如，如果一个圆的半径为5，则周长C=2π×5=10π。
2.计算面积：圆的面积公式为：S=πr²，其中S表示面积，r表示半径。
例如，如果一个圆的半径为5，则面积S=π×5²=25π。
三、圆的相关定理1.弧长与圆心角的关系：在圆上，如果两个弧所对的圆心角相等，那么这两个弧的弧长也相等。
2.弦和弧对应角的关系：在圆上，如果两个弦所对的弧相等，那么这两个弦所对应的圆心角也相等；反之亦成立。
3.正交弦的性质：在圆上，如果一条弦和一条半径相交且相互垂直，那么这条弦被分成的两个弧是相等的。
4.切线与半径的垂直性：在圆上，从圆外一点引一条切线，这条切线与半径的连线相互垂直。
5.弦切角定理：在圆上，切线和半径之间的夹角等于所对的弦所对应的圆心角的一半。
6.切线定理：从圆外一点引两条切线，这两条切线的切点与该点连结的线段平分该点外接圆所对应的弦。
7.弦的垂直平分线：圆上一条弦与它的垂直平分线所在的直径垂直。
四、圆的证明1.圆心角相等的证明：设AB和CD是圆上的两条弧，且它们所对的圆心角相等。
要证明的是，这两条弧的弧长也相等。
2017年中考知识点之圆的计算与证明
3．若两圆的半径分别是 2cm 和 5cm，圆心距为 3cm，则这两圆的位置关系是 A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 4．如图，点 A、B、C 是⊙O 上三点，∠C 为 20° ，则∠AOB 的度数为__________° ．
C O
⌒ 5．如图，小正方形方格的边长为 1cm，则AB 的长为___________cm．
2017 年中考知识点之圆的计算与证明
第一组： 1．如图，点 O 在⊙A 外，点 P 在线段 OA 上运动．以 OP 为半径的⊙O 与⊙A 的位置关系 不可能 是下列中的（ ） ．．． A.外离． B.相交． C.外切． D.内含．
O P A
2．⊙O 的半径为 5 ，圆心 O 到直线 l 的距离为 3 ，则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是 （ ） A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A. （1）求证： BC 是⊙O 的切线； （2）若 OC∥AD，OC 交 BD 于 E，BD=6，CE=4，求 AD 的长.
C D E B O A
8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，E 是 AB 延长线上的一点，D 是⊙O 上的一点，且 AD 平分∠FAE，ED⊥AF 交 AF 的延长线于点 C． （1）判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O 的直径 AB 的长．
Ａ
3. 如图，圆锥的高 AO 为 12，母线 AB 长为 13，则该圆锥的侧面积等于 A． 36 C． 18 B． 27 D． 9
Ｏ
C O A
Ｂ
4. 如图，△ABC 内接于⊙O，∠C =45° ，AB=2，则⊙O 的半径为 A．1 B． 2 C．2 D． 2 2