2021年高考数学一轮复习平面向量专题练习(高三党必入)
向量复习
一、单选题
1．已知向量a ⃑=(2,1)，b ⃑⃑=(3,4)，c ⃑=(k,2).若(3a ⃑−b ⃑⃑)//c ⃑，则实数k 的值为（ ）
A ． −8
B ． −6
C ． −1
D ． 6
2．已知等边ΔABC 的边长为2，则|AB
⃑⃑⃑⃑⃑ +2BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |= A ． 2√3 B ． 2√7 C ． 3√2 D ． 3√3
3．已知向量a =(1,−√3)，b =(0,−2)，则a 与b 的夹角为（ ）
A ． π6
B ． π3
C ． 5π6
D ． 2π3
4．已知向量a ⃑ =(λ+1,2) ，b ⃑⃑ =(−2,2)若|a ⃑−2b ⃑⃑|=|a ⃑+2b
⃑⃑|，则λ A ． -3 B ． -1 C ． 1 D ． 2
5．若两个非零向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|=2|a ⃑|，则向量a ⃑+b ⃑⃑与a ⃑−b
⃑⃑的夹角的余弦值是（ ）
A ． 12
B ． −12
C ． √32
D ． −√32
6．设向量a ,b ⃑ 满足|a |=2,|b ⃑ |=|a +b ⃑ |=3,则|a +2b
⃑ |=( ) A ． 6 B ． 3√2 C ． 10 D ． 4√2
7．已知平面向量a ⃑,b ⃑⃑的夹角为23π且|a ⃑|=1 , |b ⃑⃑|=12
，则(a ⃑+2b ⃑⃑)•b ⃑⃑=（ ） A ． −14 B ． 14 C ． 12 D ． −32 8．已知向量a =(x,y ),b ⃑ =(−1,2)，且a +b ⃑ =(1,3)，则|a −2b
⃑ |等于（ ） A ． 1 B ． 3 C ． 4 D ． 5
9．已知向量a ⃑ =(2,1)，b ⃑⃑ =(m,2)，若a ⃑⊥b
⃑⃑，则实数m 的值为 A ． −2 B ． −1 C ． 2 D ． 4
10．已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足a ⃑⋅b ⃑⃑=0,|a ⃑+b ⃑⃑|=m |a ⃑|，若a ⃑+b ⃑⃑与a ⃑−b ⃑⃑的夹角为2π3，则m 的值为
A ． 2
B ． √3
C ． 1
D ． 12 11．向量a ⃑=(3,2),b ⃑⃑=(6,10),c ⃑=(x,−2),若(2a ⃑+b ⃑⃑)//c ⃑，则x =（ ）
A ． −2
B ． −127
C ． 76
D ． 73
二、填空题
12．平面向量a ⃑ 与b ⃑⃑的夹角为60°，若|a ⃑|=2,|b ⃑⃑ |=1，则|a ⃑-2b
⃑⃑|=____。
13．已知a =(x,1) (x >0), b ⃑⃑=(−1,2), |a ⃑+b ⃑⃑|=√10，则a ⋅b
⃑⃑=_____________． 14．在平行四边形ABCD 中，AB =4，CP
⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=__________．
15．在ΔABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√3，|CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=4，∠ACB =2π3
，则CP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CA
⃑⃑⃑⃑⃑⃑=__________． 16．已知向量a =(1,2),b ⃑ =(2,4),若(a +mb ⃑ )⊥a ，则m =_________ . 17．平面向量a ,b ⃑ 的夹角为60∘,若|a |=2,|b ⃑ |=1，则|a −2b
⃑ |=____________ . 18．已知平面向量a ⃑与b ⃑⃑的夹角为120°，且|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=4，若(ma ⃑+b ⃑⃑)⊥a ⃑，则
m =__________．
19．设非零向量a ⃑，b ⃑⃑满足a ⃑⊥(a ⃑+b ⃑⃑)，且|b ⃑⃑|=√2|a ⃑|，则向量a ⃑与b ⃑⃑的夹角为__________． 20．单位向量a ⃑,b ⃑⃑的夹角为60∘，则|a ⃑−2b
⃑⃑|=____________.
三、解答题
21．已知向量a ⃑=(√2sinα,1)，b ⃑⃑=(1,sin(α+π4
)). （1）若角α的终边过点(3,4)，求a ⋅b 的值；
（2）若a//b ，求锐角α的大小.。
2021高考数学一轮提高复习版块练习《第五章 平面向量与复数》
3. (2019·南昌十校二模)已知向量 a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且 a∥b，若 x，y 均为正 数，则 xy 的最大值是________．
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1，0)，B(0，1)，C 为坐标平面内第一象限内一 点且∠AOC＝π ，且|OC|＝2，若O→C ＝λO→A ＋μO→B ，则λ＋μ＝________．
二、 解答题 6. 设O→A ＝(1，－2)，O→B ＝(a，－1)，O→C ＝(－b，0)，a>0，b>0，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，求1 ＋2 的最小值．
ab
7. 如图，以向量O→A ＝a，O→B ＝b 为邻边作OADB，B→M ＝1 B→C ，C→N ＝1 C→D ，
3
3
用 a，b 表示O→M ，O→N ，M→N .
(第 7 题)
B 组 能力提升 一、 填空题 1. 已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 DC＝2AB，若三个顶点分别为 A(1，2)，B(2，1)， C(4，2)，则点 D 的坐标为________．
2. 已知|O→A |＝1，|O→B |＝ 3 ，O→A ·O→B ＝0，点 C 在∠AOB 内，且O→C 与O→A 的夹角 为 30°，设O→C ＝mO→A ＋nO→B (m，n∈R)，则m 的值为________．
3
3
＝a，A→C ＝b，则P→Q 等于( )
A. 1 a＋1 b 33
B. －1 a＋1 b 33
C. 1 a－1 b 33
D. －1 a－1 b 33
5. (多选)设 e1，e2 为平面α上不共线的两个向量，则下列命题中正确的是( ) A. λe1＋ue2(λ，u∈R)可以表示平面α内的所有向量 B. 对于平面α内任一向量 a，使 a＝λe1＋ue2 的实数对(λ，u)有无穷多个 C. 若向量λ1e1＋u1e2 与λ2e1＋u2e2 共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋u1e2＝λ(λ2e1 ＋u2e2) D. 若实数λ，u 使得λe1＋ue2＝0，则λ＝u＝0
2021年高三数学专题复习 平面向量检测题
2021年高三数学专题复习 平面向量检测题一．知识梳理1． 平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 .(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为 .(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量．(5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影．2． 平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．3． 平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：(1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔ .(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔ .4． 平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝ .(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝ .(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝ . 二．预习练习1． 下列命题中正确的序号是________．①若λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0；②若a ·b ＝0，则a ∥b ；③若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a |；④若a ⊥b ，则a ·b ＝(a ·b )2.2． 已知i 与j 为互相垂直的单位向量a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj 且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．3． (xx·湖北改编)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．4． (xx·福建改编)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．5． (xx·湖南改编)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是________．三．典型例题考点一 平面向量的概念及线性运算例1 (1)(xx·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0且|OA →|＝|AB →|，则向量CA →在CB→上的投影为________．变式(1)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m的值为________．(2)如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________． 考点二 平面向量的数量积例2 (1)(xx·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．(2)若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b－c |的最大值为________．变式(1)(xx·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB→＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．(2)(xx·重庆改编)在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是________． 考点三 平面向量与三角函数的综合应用例3 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值； (2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值． 变式 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围．四．课后练习一、填空题1． 已知两点A (1,0)，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC→＝－2OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ＝________.2． 函数y ＝tan(π4x －π2)(0<x <4)的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝______.3． 若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．4． (xx·安徽)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．5． (x x·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________. 6． 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x 、y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．7．(xx·湖南改编)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝________.二、解答题8．(xx·江苏)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．9．(xx·湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围． 10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m·n ＝72. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试判断bc 取得最大值时△ABC 的形状．11． 在△ABC 中，向量m ＝(2cos B,1)，向量n ＝(1－sin B ，－1＋sin 2B )，且满足|m ＋n |＝|m －n |.(1)求角B 的大小；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．25992 6588 斈29117 71BD 熽20996 5204 刄 26800 68B0 械40642 9EC2 黂 ]C39387 99DB 駛35368 8A28 訨PeI。
(3套)2021年高考数学复习第一轮 平面向量(含3套汇总)
所以 解得
λ k, 1 3k,
k
1 3
,
λ
1 3
.
考点突破
栏目索引
考点一 向量的有关概念 典例1 给出以下命题: (1)假设|a| =|b|,那么a =b; (2)假设A、B、C、D是不共线的四点,A那B么D C = 是四边形ABCD为平行 四 边形的充要条件; (3)假设a =b,b =c,那么a =c; (4)两向量a、b相等的充要条件是|a| =|b|且a∥b; (5)假如a∥b,b∥c,那么a∥c. 其中假命题的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5
(用a,b表示).
答案
-
1 4
1
a+ 4
b
解析
由
ANΒιβλιοθήκη =3NC,得AN
3
=4 AC
3
=4
(a+b),又AM
1
=a+2
b,所以MN
=AN -
AM
=
3 4
(a+b)-
a
1 2
b
=-
1 4
a+
1 4
b.
栏目索引
4.a与b是两个不共线向量,且向量a +λb与 -(b -3a)共线,那么λ =
.
答案 -1 解析 由3 题意知存在k∈R,使得a +λb =k[ -(b -3a)],
解析 (1) AD= AB+ BD= AB+ BC+ CD= A+B 4 BC= A+B 4( AC- A)B= - 1 AB+
4 .应选A.
3
3
3
AC
(32)连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且 = = a,
2021年高考数学一轮精选练习：26《平面向量的概念及其线性运算》(含解析)
2021年高考数学一轮精选练习：26《平面向量的概念及其线性运算》一、选择题1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a|D.|－λa|≥|λ|·a2.已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC→＋CB→=0，则向量OC→等于( ) A.23OA→－13OB→B.－13OA→＋23OB→C.2OA→－OB→D.－OA→＋2OB→3.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→=mAM→，AC→=nAN→，则m＋n的值为( )A.1B.2C.3D.44.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，BC→=3EC→，F为AE的中点，则BF→=( ) A.23AB→－13AD→B.13AB→－23AD→C.－23AB→＋13AD→D.－13AB→＋23AD→5.在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且AD→=13AB→＋12AC→，则S△BCDS△ABD=( ) A.16B.13C.12D.236.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若AP→=23AB→＋λ·AC→，则|AP→|的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，210＋333B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2133D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，21337.设P 是△ABC 所在平面内的一点，若AB →·(CB →＋CA →)=2AB →·CP →且|AB →|2=|AC →|2－2BC →·AP →，则点P是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心8.如图所示，在△ABC 中，AD=DB ，点F 在线段CD 上，设AB →=a ，AC →=b ，AF →=xa ＋yb ，则1x ＋4y ＋1的最小值为( )A.6＋2 2B.6 3C.6＋4 2D.3＋2 2二、填空题9.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →=0，若存在实数m 使得AB →＋AC →=mAM →成立，则m= .10.设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →=3e 1＋2e 2，CB →=ke 1＋e 2，CD →=3e 1－2ke 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为 .11.在直角梯形ABCD 中，A=90°，B=30°，AB=23，BC=2，点E 在线段CD 上，若AE →=AD →＋μAB →，则μ的取值范围是 .12.设G 为△ABC 的重心，且sinA ·GA →＋sinB ·GB →＋sinC ·GC →=0，则角B 的大小为 .13.线AB ，AC 分别交于点M ，N ，AM →=λAB →，AN →=μAC →.若λ＞0，μ＞0，则λ＋μ最小值为 .14.定义两个平面向量的一种运算a ⊗b=|a|·|b|sin 〈a ，b 〉，则关于平面向量上述运算的以下结论中，①a ⊗b=b ⊗a ；②λ(a ⊗b)=(λa)⊗b ； ③若a=λb ，则a ⊗b=0；④若a=λb 且λ＞0，则(a ＋b)⊗c=(a ⊗c)＋(b ⊗c). 正确的序号是 .三、解答题15.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →=a ，AC →=b ，试用a ，b 表示向量AO →.答案解析1.答案为：B ；解析：对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa|=|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.2.答案为：C ；解析：因为AC →=OC →－OA →，CB →=OB →－OC →，所以2AC →＋CB →=2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)=OC →－2OA →＋OB →=0，所以OC →=2OA →－OB →.3.答案为：B ；解析：∵O 为BC 的中点，∴AO →=12(AB →＋AC →)=12(mAM →＋nAN →)=m 2AM →＋n 2AN →，∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2=1，∴m ＋n=2.4.答案为：C ；解析：BF →=BA →＋AF →=BA →＋12AE →=－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →=－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →=－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)=－23AB →＋13AD →.5.答案为：B ；解析：由AD →=13AB →＋12AC →得点D 在平行于AB 的中位线上，从而有S △ABD =12S △ABC ，又S △ACD =13S △ABC ，所以S △BCD =⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC =16S △ABC ，所以S △BCDS △ABD=13.故选B.6.答案为：D ；解析：在AB 上取一点D ，使得AD →=23AB →，过D 作DH ∥AC ，交BC 于H.∵AP →=23AB →＋λAC →，且点P 是△ABC 内一点(含边界)，∴点P 在线段DH 上.当P 在D 点时，|AP →|取得最小值2；当P 在H 点时，|AP →|取得最大值， 此时B ，P ，C 三点共线，∵AP →=23AB →＋λAC →，∴λ=13，∴AP →=13AC →＋23AB →，∴AP →2=19AC →2＋49AB →2＋49AB →·AC →=529，∴|AP →|=2133.故|AP →|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133.故选D.7.答案为：A ；解析：由AB →·(CB →＋CA →)=2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)=0， 即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]=0，所以AB →·(PB →＋PA →)=0.设D 为AB 的中点，则AB →·2PD →=0，故AB →·PD →=0.因为|AB →|2=|AC →|2－2BC →·AP →，所以(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)=2BC →·AP →，所以BC →·(AC →＋AB →－2AP →)=0.设BC 的中点为E ，同理可得BC →·PE →=0， 所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点， 所以P 是△ABC 的外心.故选A.8.答案为：D ；解析：由题意知AF →=xa ＋yb=2xAD →＋yAC →，因为C ，F ，D 三点共线，所以2x ＋y=1，即y=1－2x.由题图可知x ＞0且x ≠1.所以1x ＋4y ＋1=1x ＋21－x =x ＋1x －x 2.令f(x)=x ＋1x －x 2，则f ′(x)=x 2＋2x －1x －x 22，令f ′(x)=0，得x=2－1或x=－2－1(舍).当0＜x ＜2－1时，f ′(x)＜0，当x ＞2－1且x ≠1时，f ′(x)＞0. 所以当x=2－1时，f(x)取得极小值，亦为最小值，最小值为f(2－)=22－1－2－12=3＋2 2.一、填空题 9.答案为：3；解析：由已知条件得MB →＋MC →=－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点. 延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点， 同理可证E ，F 分别为AC ，AB 的中点，即M 为△ABC 的重心，∴AM →=23AD →=13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →=3AM →，则m=3.10.答案为：-2.25；解析：由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →=λBD →. 又AB →=3e 1＋2e 2，CB →=ke 1＋e 2，CD →=3e 1－2ke 2，所以BD →=CD →－CB →=3e 1－2ke 2－(ke 1＋e 2)=(3－k)e 1－(2k ＋1)e 2， 所以3e 1＋2e 2=λ(3－k)e 1－λ(2k ＋1)e 2，又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ3－k ，2＝－λ2k ＋1，解得k=－94.11.答案为：[0,0.5]；解析：由题意可求得AD=1，CD=3，∴AB →=2DC →，∵点E 在线段CD 上，∴DE →=λDC →(0≤λ≤1).∵AE →=AD →＋DE →，又AE →=AD →＋μAB →=AD →＋2μDC →=AD →＋2μλDE →，∴2μλ=1，即μ=λ2，∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是[0,0.5].12.答案为：60°.解析：∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →=0，GA →=－(GB →＋GC →)，将其代入sinA ·GA →＋sinB ·GB →＋sinC ·GC →=0，得(sinB －sinA)GB →＋(sinC －sinA)GC →=0. 又GB →，GC →不共线，∴sinB －sinA=0，sinC －sinA=0.则sinB=sinA=sinC. 根据正弦定理知，b=a=c ，∴△ABC 是等边三角形，则B=60° 13.答案为：3＋223.解析：连接AD.因为2BD →＋CD →=0，所以BD →=13BC →，AD →=AB →＋BD →=AB →＋13BC →=AB →＋13(AC →－AB →)=23AB →＋13AC →.因为D ，M ，N 三点共线，所以存在x ∈R ，使AD →=xAM →＋(1－x)AN →， 则AD →=x λAB →＋(1－x)μAC →，所以x λAB →＋(1－x)μAC →=23AB →＋13AC →，所以x λ=23，(1－x)μ=13，所以x=23λ，1－x=13μ，所以23λ＋13μ=1，所以λ＋μ=13(λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋1μ=13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223，当且仅当λ=2μ时等号成立，所以λ＋μ的最小值为3＋223.14.答案为：①③④；解析：①恒成立，②λ(a ⊗b)=λ|a|·|b|sin 〈a ，b 〉， (λa)⊗b=|λa|·|b|sin 〈a ，b 〉，当λ＜0时，λ(a ⊗b)=(λa)⊗b 不成立，③a=λb ，则sin 〈a ，b 〉=0， 故a ⊗b=0恒成立，④a=λb ，且λ＞0，则a ＋b=(1＋λ)b ，(a ＋b)⊗c= |(1＋λ)||b|·|c|sin 〈b ，c 〉，(a ⊗c)＋(b ⊗c) =|λb|·|c|sin 〈b ，c 〉＋|b|·|c|sin 〈b ，c 〉 =|1＋λ||b|·|c|sin 〈b ，c 〉， 故(a ＋b)⊗c=(a ⊗c)＋(b ⊗c)恒成立.二、解答题15.解：由D ，O ，C 三点共线，可设DO →=k 1DC →=k 1(AC →－AD →)=k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a =－12k 1a ＋k 1b(k 1为实数)，同理，可设BO →=k 2BF →=k 2(AF →－AB →)=k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a =－k 2a ＋12k 2b(k 2为实数)，① 又BO →=BD →＋DO →=－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b =－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b=－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b=0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧121＋k 1－2k2＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →=－23a ＋13B.所以AO →=AB →＋BO →=a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b =13(a ＋b).。
2021届高考数学一轮复习《平面向量》测试卷及答案解析
（1）求 的值；
（2）若 的平分线交线段 于点 ，求点 的坐标；
（3）在单位圆上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
2021届高考数学一轮复习测试卷
平面向量答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
13．若 ， ， ，则 与 的夹角为．
14．在平面直角坐标系 中，已知 ， ，若 ，则实数 的值为．
15．已知平面向量 ， ， ， ， ，则 的最大值是．
16．如图，在同一平面内，点 位于两平行直线 ， 同侧，且 到 ， 的距离分别为 ．点 ， 分别在 ， 上， ，则 的最大值为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系 中，已知向量 ， ， ， ，点 满足 ．曲线 ，区域
．若 为两段分离的曲线，则（）
A． B． C． D．
12．如图，正方形 的中点与圆 的圆心重合， 是圆 上的动点，则下列叙述不正确的是（）
A． 是定值B． 是定值
C． 是定值D． 是定值
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
【解析】过点 作 的垂线为 轴，以 为 轴，建立平面直角坐标系，
， ， ，
设 ， ，
所以 ， ， ，
由 ，可知 ，∴ 或 ，
．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1） ， ， ；（2） ．
【解析】（1）因为在平行四边形 中， 为 的中点， ，
2021年高考数学一轮总复习 4-1 平面向量的概念及其线性运算练习 新人教A版
2021年高考数学一轮总复习 4-1 平面向量的概念及其线性运算练习 新人教A 版一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．如图，在四边形ABCD 中，下列各式成立的是( )A.BC →－BD →＝CD →B.CD →＋DA →＝AC →C.CB →＋AD →＋BA →＝CD →D.AB →＋AC →＝BD →＋DC →解析 BC →－BD →＝BC →＋DB →＝DC →，故A 项错误；CD →＋DA →＝CA →，故B 项错误；CB →＋AD →＋BA →＝CB →＋BA →＋AD →＝CD →，故C 项正确；BD →＋DC →＝BC →≠AB →＋AC →，故D 项错误．答案 C 2.如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( ) A.12AB →－13AD → B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 解析 在△CEF 中，EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D.答案 D3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( )A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b 解析 ∵CB →＝AB →－AC →＝a －b ，又BD →＝3DC →， ∴CD →＝14CB →＝14(a －b )．∴AD →＝AC →＋CD →＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .答案 B4．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .答案 D5．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心B ．重心 内心C ．外心 重心D ．外心 内心解析 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；NA →＋NB →＋NC →＝0，知，N 为△ABC 的重心．答案 C 6.(xx·烟台高三诊断)如图，O 为线段A 0A 2 013外一点，若A 0，A 1，A 2，A 3，…，A 2 013中任意相邻两点的距离相等，OA 0→＝a ，OA 2 013＝b ，用a ，b 表示OA 0→＋OA 1→＋OA 2→＋…＋OA 2 013，其结果为( )A ．1 006(a ＋b )B ．1 007(a ＋b )C ．2 012(a ＋b )D ．2 014(a ＋b )解析 OA 0→＋OA 2→＝2OA 1→，OA 3→＋OA 5→＝2OA 4→，…，OA 2 011＋OA 2 013＝2OA 2 012，OA 0→＋OA 1→＋OA 2→＋…＋OA 2 013＝OA 0→＋OA 2 013×2 0142＝1 007(a ＋b )．选B.答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(xx·北京东城区综合练习)设a ，b ，c 是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于________．解析 不妨设a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，由a ＝b ＋c 可知，OA →＝OB →＋OC →，又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，故四边形OBAC 为菱形，且∠BOA ＝60°，故向量a ，b 的夹角为60°.答案 60°8．(x x·无锡质检)设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝__________.解析 因为8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.答案 ±49．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A ＝________.解析 由G 为△ABC 的重心知GA →＋GB →＋GC →＝0，则GC →＝－GA →－GB →，因此aGA →＋bGB →＋33c (－GA →－GB →)＝(a －33c )GA →＋(b －33c )GB →＝0，又GA →，GB →不共线，所以a －33c ＝b －33c ＝0，即a ＝b ＝33c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22×33c2＝32，又0<A <π，所以A ＝π6.答案π6三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．(xx·东莞阶段检测)如图所示，在△ABC 中，点D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解 (1)延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG 、CG ，得到▱ABGC ，所以AG →＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)由(1)可知，BE →＝23BF →，所以B ，E ，F 三点共线．11．(xx·临沂模拟)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →. 即－23a ＋13b ＝λt b －λa .∴⎩⎪⎨⎪⎧－23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．12．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP →＝OA →＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．解 依题意，由OP →＝OA →＋λa ＋λb ， 得OP →－OA →＝λ(a ＋b )， 即AP →＝λ(AB →＋AC →)．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于O ，则AP →＝λAD →， ∴A ，P ，D 三点共线．即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点．30504 7728 眨G2657067CA 柊 39518 9A5E 驞I33991 84C7 蓇33545 8309 茉23975 5DA7 嶧•P32290 7E22 縢.20681 50C9 僉。
2021年高考新题型——数学平面向量多选题专项练习含答案
2021年高考新题型——数学平面向量多选题专项练习含答案一、平面向量多选题1．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1a b+= B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+3222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．2．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC 【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC3．下列命题中真命题的是（ ）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向 【答案】BC 【分析】对于A ：利用共线定理判断 对于B ：利用平面向量的数量积判断 对于C ：利用数量积的应用判断 对于D ：利用向量的四则运算进行判断 【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确.对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BD cosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.4．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1- 【答案】BCD 【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确. 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ 1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确 故选：BCD 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.5．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→→=<<，则下列结论正确的是（ ）A ．当13λ=时，1233E A A E D B →→→=+B ．当23λ=时，10cos ,10AE BE →→=C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →→⊥不成立D ．AE BE →→+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→→=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，当13λ=时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →→→=+，即可判断A 选项；当23λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出10cos ,10AE BE →→=，即可判断B 选项；若AE BE →→⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.【详解】解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→→=，可得()3,2E λ，A项，当13λ=时，()1,2E，则()1,2AE→=，()2,2BE→=-，设AD m AE n BE→→→=+，又()0,2AD→=，所以02222m nm n=-⎧⎨=+⎩，得2313mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133AD AE BE→→→=+，A错误；B项，当23λ=时，()2,2E，则()2,2AE→=，()1,2BE→=-，故10cos10,225AE BEAE BEAE BE→→→→→→⋅===⨯⋅，B正确；C项，()3,2AEλ→=，()33,2BEλ→=-，若AE BE→→⊥，则()2333229940AE BEλλλλ→→⋅=-+⨯=-+=，对于方程29940λλ-+=，()2Δ94940=--⨯⨯<，故不存在()0,1λ∈，使得AE BE→→⊥，C正确；D项，()63,4AE BEλ→→+=-，所以()226344AE BEλ→→+=-+≥，当且仅当12λ=时等号成立，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.6．已知ABC的面积为3，在ABC所在的平面内有两点P，Q，满足20PA PC+=，2QA QB=，记APQ的面积为S，则下列说法正确的是（）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =【答案】BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.7．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上B ．123OC OC OC ==C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅【答案】AC 【分析】利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案； 【详解】()12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()233232C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1223C C C C =，A 正确.由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()21OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，()2222OC OB OA OB OB OA OB OB⋅=+⋅=⋅+，同理233OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 【点睛】本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（ ）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =【答案】AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系9．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】AD 【分析】由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果. 【详解】平面向量,,a b c 两两夹角相等，∴两两向量所成的角是0︒或120︒.当夹角为0︒时，,,a b c 同向共线，则4a b c ++=； 当夹角为120︒时，,a b 为单位向量，1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，又2c =，1a b c ∴++=.故选：AD. 【点睛】本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.10．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b -=【答案】BC 【分析】(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.【详解】由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=，所以A 选项错误；因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，所以D 选项错误；2()cos ,2||||1a a b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4π.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或2222||)2?(a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解． 判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a b cos a b ＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值.。
2021年高考数学平面向量多选题专项练习及答案
2021年高考数学平面向量多选题专项练习及答案一、平面向量多选题1．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1a b+= B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+3222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．2．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC 【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ）A ．0GA GB GC ++=B ．24AB AC HM MO +=-C ．3AH OM =D ．OA OB OC ==【答案】ABD 【分析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =可得23HG HO =，利用向量的线性运算()266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以12GO HG =， 对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =， 又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，3AM GM =，因为12GO HG =，所以23HG HO =， ()226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫+===-=- ⎪⎝⎭()646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，故选项B 正确；对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确； 对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即OA OB OC ==，故选项D 正确；故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得23HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.4．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+C ．0PA PC ⋅<D ．2S =【答案】BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.5．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（ ）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =【答案】AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =-∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系6．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD 【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.8．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)- B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)【答案】ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.9．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-【答案】AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()+⊥，D选项正确.6a b BC故选：ABD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。
测试卷04平面向量备战2021年新高考数学一轮专题必刷卷(教师版)
2021年高考数学一轮复习平面向量专题必刷卷(新高考专用)一、单选题（共60分，每题6分）1．已知平面向量(1,)a x =，(4,2)b =，若向量2a b +与向量b 共线，则x=（ ） A ．13B ．12C ．25D ．27【答案】B 【解析】 【分析】先写出向量2a b +的坐标，然后由向量平行的坐标公式列方程解出x 即可. 【详解】解：由()1,a x =，()4,2b =，得()26,22a b x +=+ 因为()2a b +∥b所以()622240x ⨯-+⨯=，解得12x = 故选B2．若平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与夹角的余弦是（ ）A ．B ．C ．D ．－【答案】A【解析】试题分析：由，所以平面与夹角的余弦是3．如果12,e e 是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）A ．1e 与12e e +B ．122e e -与122e e +C ．12e e +与12e e -D ．123e e +与2162e e + 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，两个向量满足平面的一组基，需要这两个向量不共线。
【详解】选项A 中，设121e e e λ+=，则1,10,λ=⎧⎨=⎩无解；选项B 中，设()121222e e e e λ-=+，则1,1,λλ=⎧⎨=-⎩无解；选项C 中，设()1212e e e e λ+=-，则1,1,λλ=⎧⎨=-⎩无解；选项D 中，()122113622e e e e +=+，所以两向量是共线向量． 故D 中向量不能作为平面内所有向量的一组基底． 故选:D 4．若向量是非零向量，且，则函数(x)=(x(是A ．一次函数且是奇函数．B ．一次函数但不是奇函数．C ．二次函数数且是偶函数 ．D ．二次函数但不是偶函数【答案】A【解析】由题意，∵，∴a ?b =0，∴f(x)=(x?a +b )?(x?b -a )=x?(b 2-a 2)，∵|a |≠|b |，∴函数是一次函数，且是奇函数， 故选A ．5．已知非零向量AB 与AC 满足()0AB AC BC ABAC+⋅=且12AB AC ABAC⋅=则ABC ∆为 ( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】因为非零向量AB 与AC 满足()0AB AC BC ABAC+⋅=所以A ∠的平分线与BC 垂直，ABC ∆为等腰三角形，且AB AC =，22||||cos AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅∠且12AB AC ABAC⋅=， 1cos ,23A A π∴∠=∴∠=，所以ABC ∆为等边三角形， 故选：A.6．设等边三角形ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足1123AM AB AC =+，向量AM 与AB 夹角的余弦值为（ ） A ．63B ．36C ．1912D ．41919【答案】D【解析】22211||()()23AM AM AB AC ==+22111119()()2232336AB AC AB AC =++⨯⨯⨯⋅=，196AM =，对1123AM AB AC =+两边用AB 点乘，2112,233AB AM AB AB AC AM ⋅=+⋅=与AB夹角的余弦值为41919AM AB AM AB⋅=. 故选D.7．在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量,a b 的大小与方向如图所示，则向量,a b 所成角的余弦值是（ ）A ．22B ．8585 C 15 D 613【答案】B【解析】如图所示，建立直角坐标系， 不妨取1241a b ==（，），（，）， 则6685.85517a b cos a b a b⋅===⋅＜，＞ ．故选B.8．已知正方形PQRS 两对角线交于点M ，坐标原点O 不在正方形内部，(0,3)OP =，(4,0)OS =，则向量RM 等于( ) A ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．71,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．71,22⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】D【解析】由(0,3)OP =，(4,0)OS =，则(0,3)P =，(4,0)S =由坐标原点O 不在正方形内部，作出如图的正方形,过R 作RN x ⊥轴，垂足为N . 则RT OSP 与RT NRS 全等,所以3,4SN OP RN OS ====,则7ON =. 所以(7,4)R =,所以()11717,1,2222RM RP ⎛⎫==--=-- ⎪⎝⎭故选：D9．a 、b 为非零向量．“a b ⊥”是“函数()()?()f x xa b xb a =+-为一次函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】f(x)=(x a +b )(x b -a ) =a ?b x 2+(b 2-a 2)x-a ?b ， 如a ⊥b ，则有a ?b =0，如果同时有a =b ，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分， 而如果f （x ）为一次函数，则a ?b =0，因此可得a ⊥b ，故该条件必要． 故答案为B ．10．已知e ，f 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n e a n ⋅=，21n f a n ⋅=+，n b 是向量f 与n a 夹角的正切值，则数列{}n b 是（ ）． A ．单调递增数列且1lim 2n n b →∞=B ．单调递减数列且1lim 2n n b →∞=C ．单调递增数列且lim 2n n b →∞= D ．单调递减数列且lim 2n n b →∞= 【答案】A【解析】设()1,0f =，()0,1e =，(),n n n OP a x y ==，设向量f 与n a 夹角为n θ. 则tan n n b θ=，(),n n P x y 由n e a n ⋅=，可得n y n =， 由21n f a n ⋅=+，可得21n x n =+ 所以tan 21n n n n y n b x n θ===+ 所以()()()+111021*******n n n n b b n n n n +-=-=>+++++所以数列{}n b 是单调递增数列，又1lim lim 122n n n n b n →∞→∞=+=.故选：A11．如图， A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB 在A 点处与圆O 相切，点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP ⋅ AB 的取值范围是（ ）A ．()5,5-B ．[]5,5- C ．55,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．[]0,5 【答案】B【解析】 AP ⋅ =()5cos AB AO OP AB OP AB θ+⋅=⋅=，其中θ为,OP AB 的夹角，范围为[]0,π，所以AP ⋅ AB 的取值范围是[]5,5- 12．已知函数12)(+=x x f ，点O 为坐标原点，点)())(,(*∈N n n f n A n ，向量)1,0(=j ，n θ是向量n OA 与j 的夹角，则=++++20162016112211sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ （ ） A ．10082015 B ．20162017 C ．20172016 D ．20174032 【答案】D【解析】因为点)())(,(*∈N n n f n A n 在函数12)(+=x x f 的图象上，所以2(,)1n A n n +，因为向量)1,0(=j ，所以()222221cos 1421n n nj OA n OA n n n n θ⋅+===++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，由平方关系可得1sin n n n θ+==，所以()cos 2112sin 11n n n n n n θθ⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，所以20161211212016cos cos cos cos 1111121sin sin sin sin 23420162017θθθθθθθθ⎛⎫++++=-+-++- ⎪⎝⎭,故选D. 二、填空题（共20分，每题5分）13．已知向量1e 、2e 为不共线向量，向量1232a e e =-，向量12b e e λ=+，若向量//a b ，则λ= ． 【答案】23λ=- 【解析】1e 、2e 为不共线向量//a b ，则存在非零实数,k ，使a kb =，即()()()12121230232320203k e e k e e k e k e k λλλλ-=⎧-=+⇒--+=∴∴=-⎨+=⎩.14．已知向量(),6a k =与向量()3,4b =-垂直，若()(),,0,65c x y x c =>=且，向量a c +，在向量b方向上的投影为1，则向量c 的坐标为 ． 【答案】()4,7【解析】因为向量(),6a k=与向量()3,4b =-垂直，所以0243=-k ，得8=k ；则()6,8++=+y x c a ，又因为向量a c +，在向量b 方向上的投影为1且65=，所以()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=+-+=+01564836522x y x y x ，得⎩⎨⎧==47y x ，故向量c 的坐标为()4,7．15．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模a b a b ⨯=⋅，若()3,1a =--，()1,3b=，则ab ⨯=__________．【答案】2.【解析】设()3,1a =--，()1,3b =的夹角为θ，则cos 222θ==-⨯， 1sin 2θ∴=，1sin 2222a b a b θ∴⨯=⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为2.16．已知向量(2,1),(,)a b x y ==，若{}{}1,0,1,2,1,0,1x y ∈-∈-，则向量//a b 的概率为_______. 【答案】16【解析】若x ∈{﹣1，0，1，2}，y ∈{﹣1，0，1}， 则满足条件的b 向量共有4×3=12个， 若向量a ∥b ，则2y ﹣x=0，故满足条件的b 向量共有（0，0），（2，1）两个， 故向量a ∥b 的概率P=212=16， 故答案为16三、解答题（共70分）17．（10分）已知向量()1,1m =，向量n 与向量m 的夹角为34π，且·1m n =-. （1）求向量n ；（2）若向量()1,0q =，且q n q n +=-，向量2cos ,2cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,,A B C 为ABC ∆的内角且有2A C B +=，求n p +的取值范围.【答案】（1）()1,0n =-或()0,1n =-；（2）2,2n p ⎡+∈⎢⎣⎭. 【解析】(1)令(),n x y =，∴·1m n x y =+=-， 2223?1cos 14·m nx y m nx π-==⇒+=+2211{{10x y x x y y +=-=-⇒⇒+==或0{1x y ==-，∴()1,0n =-或()0,1n =-，(2)∵()0,1q n q n q n n +=-⇒⊥⇒=-， 而23A C B B π+=⇒=， ()2cos ,2cos 1cos ,cos 2C n p A A C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，∴22cos cos n p A C +=+而2241cos 21cos23cos cos 22A A A C π⎛⎫+- ⎪+⎝⎭+=+， ∴11sin 226n p Aπ⎛⎫+=--⎪⎝⎭，∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴25,22n p ⎡⎫+∈⎪⎢⎪⎣⎭. 18．（10分）如图，已知正三角形ABC 的边长为1，设,AB a AC b ==.（1）若D 是AB 的中点，用a ，b 表示向量CD ； （2）求2a b +与32a b -+的夹角.【答案】（1）12CD a b =-；（2）120 【解析】（1）1122CD AB AC a b =-=-.（2）由题意知，1a b ==，a 与b 的夹角为60,()()22172?326?26222a b a b a a b b +-+=-++=-++=-, ()2222244?7a b a ba ab b +=+=++=，()2223232912?47a b a ba ab b -+=-+=-+=，设2a b +与32a b -+的夹角为θ，则()()2?3212232a b a b cos a b a bθ+-+==-+-+， 所以2a b +与32a b -+的夹角为120.19．（12分）向量()2,2a =，向量b 与向量a 的夹角为34π，且2a b ⋅=-. （1）求向量b ；（2）若()1,0t =，且b t ⊥，2cos ,2cos 2C c A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角，若A 、B 、C 依次成等差数列，试求b c +的取值范围.【答案】（1）()1,0b =-或()0,1b =-；（2）22⎫⎪⎪⎣⎭. 【解析】（1）设(),b x y =，则222a b x y ⋅=+=-，且13cos4a b b a π⋅===⋅，联立方程222221x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，()1,0b ∴=-或()0,1b =-； （2）b t ⊥，且()1,0t =，()0,1b ∴=-，A 、B 、C 依次成等差数列，3B π∴=. ()2cos ,2cos 1cos ,cos 2C b c A A C ⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭，222cos cos b c A C ∴+=+，()1141cos 2cos 21cos 2cos 2223A C A A π⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1111cos 2cos 221cos 222223A A A A π⎛⎫⎛⎫=+--=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则52,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，11cos 232A π⎛⎫∴-≤+< ⎪⎝⎭，21524b c ∴≤+<，522bc ≤+<，故b c +的取值范围为22⎣⎭. 20．（12分）已知函数2()2cos cos ()f x x x x x R =+∈. （1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且3,()2c f C ==，若向量(1,sin )m A =与向量(2,sin )n B =共线，求,a b 的值．【答案】（1）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2【解析】（1）∵()222f x cos x x ==221cos x x ++=2216sin x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 令222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，，解得222233k x k ππππ-≤≤+，即36k x k ππππ-≤≤+， ∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴f （x ）的递增区间为06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．（2）由()22126f C sin C π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得1262sin C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 而C ∈（0，π），∴132666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴5266C ππ+=，可得3C π=． ∵向量向量m =（1，sinA ）与向量n =（2，sinB ）共线，∴12sinA sinB =， 由正弦定理得：a b =12①． 由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2ab•cosC ，即9=a 2+b 2﹣ab ②，由①、②解得a b ==21．（12分）已知圆22:420C x y x y m +-++=与y 轴交于,A B 两点，且90ACB ∠=（C 为圆心），过点()0,2P 且斜率为k 的直线与圆C 相交于,M N 两点 （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若4MN ≥，求k 的取值范围；（Ⅲ）若向量OM ON +与向量OC 共线（O 为坐标原点），求k 的值 【答案】（Ⅰ）3m =-（Ⅱ）5(,]12-∞-（Ⅲ）32k =- 【解析】（Ⅰ）由圆22:420C x y x y m +-++=得：()()22:215C x y m -++=-∴圆心()2,1C -，25r m =-由题意知，ABC ∆为等腰直角三角形设AB 的中点为D ，则ACD ∆也为等腰直角三角形AC ∴== 58m ∴-=，解得：3m =-（Ⅱ）设直线方程为：2y kx =+则圆心()2,1C -到直线2y kx =+的距离：d ==由r =4MN ≥2≤，解得：512k ≤-k ∴的取值范围为：5,12⎛⎤ ⎥⎝--⎦∞（Ⅲ）联立直线与圆的方程：2242302x y x y y kx ⎧+-+-=⎨=+⎩消去变量y 得：()()2216450kx k x ++-+=设()11,M x y ，()22,N x y ，由韦达定理得：122461kx x k -+=+ 且()()22642010k k∆=--+>，整理得：241210kk -->解得：k >或k <()21212224441k k y y k x x k-+++=++=+， ()212122246244,,11k k k OM ON x x y y k k ⎛⎫--++∴+=++= ⎪++⎝⎭OM ON +与向量OC 共线，()2,1OC =- 22264244211k k k k k--++∴=⨯++， 解得：2k =或32k =-2k =不满足3322k k ><32k ∴=- 22．（14分）平面内．．．的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b，如果2且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12n a a a +++；（2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =；{}n b 是“等比向量列”，“公比”2q，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =.求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅．【答案】（1）11(1)2na n n d +-；（2）(32)22n n -⋅+. 【解析】（1）利用坐标法，设(),n n n a x y =，()12,d d d =，可知{}n x 是以1x 为首项，公差为1d 的等差数列；数列{}n y 是以1y 首项，公差为2d 的等差数列，利用向量相加求得答案；（2）设(),n n n a x y = ，(),n n n b m k =，则数列{}n x 是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32n x n =-.数列{}n y 是常数列，1n y =，数列{}n m 是以1为首项，公比为2的等比数列；数列{}n k 是以3为首项，公比为2的等比数列，利用数量积公式，得到答案． 试题解析： （1）设(),n n n a x y =，()12,d d d =.由1n n a a d +-=，得1112n n n n x x d y y d ++-=⎧⎨-=⎩，所以数列{}n x 是以1x 为首项，公差为1d 的等差数列；数列{}n y 是以1y 首项，公差为2d 的等差数列.∴ 121212,)n n n a a a x x x y y y +++=++++++（()()()()()111211121111,1,1,222nx n n d ny n n d n x y n n d d ⎛⎫=+-+-=+- ⎪⎝⎭()1112na n n d =+-.（2）设(),n n n a x y = ，(),n n n b m k =. 由()()()()11111,,,3,0n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y +++++-=-=--=，从而13n n x x +-=，10n n y y +-=.数列{}n x 是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32n x n =-.数列{}n y 是常数列，1n y =.由12n n b b +=得12n n m m +=，12n n k k +=，又11m =，13k =，∴数列{}n m 是以1为首项，公比为2的等比数列；数列{}n k 是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有12n n m -=，132n n k -=⋅.……10分112211221122n n n n n n a b a b a b x m x m x m y k y k y k ⋅+⋅++⋅=+++++++令()211122114272322n n n n S x m x m x m n -=+++=⨯+⨯+⨯++-⨯………①()232124272322n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯…………②.①-②得，()()231132222322n n n S n --=+++++--⋅，得()5352n n S n =+-⨯令()()112231232112nnn n n T y k y k y k ⋅-=+++==⋅--从而()11223222n n n n n a b a b a b S T n ⋅+⋅++⋅=+=-⋅+。
2021年高考数学一轮精选练习：28《平面向量的数量积及应用举例》(含解析)
2021年高考数学一轮精选练习： 28《平面向量的数量积及应用举例》一、选择题1.设向量a ，b 满足|a ＋b|=4，a ·b=1，则|a －b|=( )A.2B.2 3C.3D.2 52.已知平面向量a ，b 满足|a|=2，|b|=1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb)⊥(2a －b)，则实数λ的值为( )A.－7B.－3C.2D.33.如图，一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( A )A.27B.2 5C.2D.64.已知△ABC 中，AB=6，AC=3，N 是边BC 上的点，且BN →=2NC →，O 为△ABC 的外心，则AN →·AO →的值为( )A.8B.10C.18D.95.设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，AP →=λAB →，若OP →·AB →≥PA →·PB →，则实数λ的取值范围是( ) A.12≤λ≤1 B.1－22≤λ≤1 C.12≤λ≤1＋22 D.1－22≤λ≤1＋226.已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=|b|=|c|=1，若a ·b=12，则(a ＋b)·(2b －c)最小值为( )A.－2B.3－ 3C.－1D.07.若直线ax －y=0(a ≠0)与函数f(x)=2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x的图象交于不同的两点A ，B ，且点C(6,0)，若点D(m ，n)满足DA →＋DB →=CD →，则m ＋n 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.48.设a ，b 为非零向量，|b|=2|a|，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6 D.0二、填空题9.如图，在△ABC 中，AB=3，AC=5，∠BAC=60°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接CD ，BE 交于点F ，连接AF ，取CF 的中点G ，连接BG ，则AF →·BG →= .10.已知在△OAB 中，OA=OB=2，AB=23，动点P 位于线段AB 上，则当PA →·PO →取最小值时，向量PA →与PO →的夹角的余弦值为 .11.已知在直角梯形ABCD 中，AB=AD=2CD=2，AB ∥CD ，∠ADC=90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为 .12.已知平面上的两个向量OA →和OB →满足|OA →|=a ，|OB →|=b ，且a 2＋b 2=1，OA →·OB →=0，若向量OC →=λOA→＋μOB →(λ，μ∈R)，且(2λ－1)2a 2＋(2μ－1)2b 2=4，则|OC →|的最大值为 .三、解答题13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m=(cos(A －B)，sin(A －B))，n=(cosB ，－sinB)，且m ·n=－35.(1)求sinA 的值；(2)若a=42，b=5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影.14.已知平面上一定点C(2,0)和直线l ：x=8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →=0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2=1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值.15.已知向量a=⎝⎛⎭⎪⎫sinx ，34，b=(cosx ，－1). (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin2x 的值；(2)设函数f(x)=2(a ＋b)·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a=3，b=2，sinB=63，求f(x)＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围.答案解析1.答案为：B ；解析：由|a ＋b|=4，a ·b=1，得a 2＋b 2=16－2=14，∴|a －b|2=a 2－2a ·b ＋b 2=14－2×1=12，∴|a －b|=2 3.2.答案为：D ；解析：依题意得a ·b=2×1×cos 2π3=－1，(a ＋λb)·(2a －b)=0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b=0,3λ＋9=0，λ=3.3.答案为：A ；解析：如题图所示，由已知得F 1＋F 2＋F 3=0，则F 3=－(F 1＋F 2)，即F 23=F 21＋F 22＋2F 1·F 2=F 21＋F 22＋2|F 1|·|F 2|·cos60°=28.故|F 3|=27.4.答案为：D ；解析：由于BN →=2NC →，则AN →=13AB →＋23AC →，取AB 的中点为E ，连接OE ，由于O 为△ABC 的外心，则EO →⊥AB →，∴AO →·AB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋EO →·AB →=12AB →2=12×62=18，同理可得AC →·AO →=12AC →2=12×32=92，所以AN →·AO →=⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·AO →=13AB →·AO →＋23AC →·AO →=13×18＋23×92=6＋3=9，故选D.5.答案为：B ；解析：因为AP →=λAB →，OP →=(1－λ，λ)，AP →=λAB →=(－λ，λ)，OP →·AB →≥PA →·PB →， 所以(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，所以2λ2－4λ＋1≤0，解得1－22≤λ≤1＋22，因为点P 是线段AB 上的一个动点，所以0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－22≤λ≤1.6.答案为：B ；解析：由|a|=|b|=1，a ·b=12，可得〈a ，b 〉=π3.令OA →=a ，OB →=b ，以OA →的方向为x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a=OA →=(1,0)，b=OB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设c=OC →=(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，则(a ＋b)·(2b －c)=2a ·b －a ·c ＋2b 2－b ·c=3－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋12cos θ＋32sin θ=3－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，则(a ＋b)·(2b －c)的最小值为3－3，故选B.7.答案为：B ；解析：因为f(－x)=2cos 2－x ＋1ln 2－x 2＋x =2cos 2x ＋1－ln 2＋x 2－x =－f(x)，且直线ax －y=0过坐标原点，所以直线与函数f(x)=2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x 的图象的两个交点A ，B 关于原点对称，即x A ＋x B =0，y A ＋y B =0，又DA →=(x A －m ，y A －n)，DB →=(x B －m ，y B －n)，CD →=(m －6，n)， 由DA →＋DB →=CD →，得x A －m ＋x B －m=m －6，y A －n ＋y B －n=n ， 解得m=2，n=0，所以m ＋n=2，故选B.8.答案为：B ；解析：a ·a=|a|2，b ·b=|b|2=4|a|2，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b=|a|·|b|·cos θ=2|a|2·cos θ. ①若x i ·y i (i=1,2,3,4)中2个a 均与a 相乘，则x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4=a 2＋a 2＋b 2＋b 2=10|a|2； ②若x i ·y i (i=1,2,3,4)中仅有一个a 与a 相乘，则x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4=a 2＋b 2＋2a ·b=5|a|2＋4|a|2cos θ； ③若x i ·y i (i=1,2,3,4)中的a 均不与a 相乘，则x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4=4a ·b=8|a|2·cos θ.因为5|a|2＋4|a|2cos θ－8|a|2cos θ=5|a|2－4|a|2cos θ=|a|2(5－4cos θ)＞0，所以5|a|2＞4|a|2cos θ得5·|a|2＋4|a|2cos θ＞8|a|2cos θ，即x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4的所有可能取值中的最小值为8|a|2cos θ，依题意得8·|a|2cos θ=4|a|2，从而cos θ=12，又0≤θ≤π，故θ=π3.一、填空题9.解析：依题意，F 是△ABC 的重心，AF →=23×12(AB →＋AC →)=13(AB →＋AC →)，BG →=12(BF →＋BC →)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫13BA →＋43BC →=12·⎝ ⎛⎭⎪⎫43AC →－53AB →=23AC →－56AB →. 故AF →·BG →=13(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－56AB →=9536.10.解析：易知∠AOB=120°，记OA→=a，OB→=b，则a·b=－2，设PA→=λBA→=λa－λb(0≤λ≤1)，则PO→=PA→＋AO→=(λ－1)a－λb，则PA→·PO→=(λa－λb)·[(λ－1)a－λb]=12λ2－6λ，当λ=14时，PA→·PO→取最小值－34，此时，|PA→|=14|BA→|=32，PO→=－34a－14b=－14(3a＋b)，|PO→|=14|3a＋b|=72，所以向量PA→与PO→的夹角的余弦值为PA→·PO→|PA→||PO→|=－3432×72=－217.11.答案为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.解析：建立如图所示的平面直角坐标系.则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设AM→=λAC→(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，故MD→=(－λ，2－2λ)，MB→=(2－λ，－2λ)，则MB→＋MD→=(2－2λ，2－4λ)，|MB→＋MD→|=2－2λ2＋2－4λ2= 20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，当λ=0时，|MB→＋MD→|取得最大值22，当λ=35时，|MB→＋MD→|取得最小值为255，∴|MB→＋MD→|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.12.答案为：1.5；解析：设AB的中点为M，∵OA→·OB→=0且a2＋b2=1，∴|MA→|=|MB→|=|MO→|=12|AB→|=12，又∵OM→=12(OA→＋OB→)，∴MC→=OC→－OM→=(λOA→＋μOB→)－12(OA→＋OB→)=⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－12OB →.∴|MC →|2=⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫μ－122b 2，① 又∵(2λ－1)2a 2＋(2μ－1)2b 2=4，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫μ－122b 2=1，代入①式得|MC →|2=1，即|MC →|=1，即点C 的轨迹是以点M 为圆心，1为半径的圆，又∵|OM →|=12，∴当OM →与OC →同向时，|OC →|的值最大，此时|OC →|=32，故填32.二、解答题13.解：(1)由m ·n=－35，得cos(A －B)cosB －sin(A －B)sinB=－35，所以cosA=－35.因为0＜A ＜π，所以sinA=1－cos 2A=1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352=45. (2)由正弦定理，得a sinA =b sinB ，则sinB=bsinAa =5×4542=22，因为a ＞b ，所以A ＞B ，且B 是△ABC 一内角，则B=π4. 由余弦定理得(42)2=52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c=1，c=－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB=ccosB=1×22=22.14.解：(1)设P(x ，y)，则Q(8，y).由⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →=0，得|PC →|2－14|PQ →|2=0，即(2－x)2＋(－y)2－14(8－x)2=0，化简得x 216＋y 212=1.所以动点P 在椭圆上，其轨迹方程为x 216＋y212=1.(2)易知PE →=PN →＋NE →，PF →=PN →＋NF →，且NE →＋NF →=0，由题意知N(0,1)，所以PE →·PF →=PN →2－NE →2=(－x)2＋(1－y)2－1=16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 212＋(y －1)2－1=－13y 2－2y ＋16=－13(y ＋3)2＋19. 因为－23≤y ≤23，所以当y=－3时，PE →·PF →取得最大值19，当y=23时，PE →·PF →取得最小值12－4 3.综上，PE →·PF →的最大值为19，最小值为12－4 3.15.解：(1)因为a ∥b ，所以34cosx ＋sinx=0，所以tanx=－34.cos 2x －sin2x=cos 2x －2sinxcosx sin 2x ＋cos 2x =1－2tanx 1＋tan 2x =85.(2)f(x)=2(a ＋b)·b=2⎝⎛⎭⎪⎫sinx ＋cosx ，－14·(cosx ，－1) =sin2x ＋cos2x ＋32=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sinA =b sinB ，得sinA=asinB b =3×632=22，所以A=π4或A=3π4.因为b ＞a ，所以A=π4.所以f(x)＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12， 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12，所以32－1≤f(x)＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤ 2－12.所以f(x)＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.。