高二数学寒假作业 专题18 复数(学)
高二数学复数试题答案及解析
高二数学复数试题答案及解析1.已知复数，（，是虚数单位）．（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先算出，再根据在复平面上对应的点落在第一象限，可得不等式组，从中求解即可得出的取值范围；（2）根据实系数的一元二次方程有一复数根时，则该方程的另一个根必为，且，从而可先求解出的值，进而求出的值.（1）由条件得 2分因为在复平面上对应点落在第一象限，故有 4分∴解得 6分（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以也是该方程的一个根根据二次方程根与系数的关系可得，即 10分把代入，则， 11分所以 14分.【考点】1.复数的几何意义；2.实系数的一元二次方程在复数范围内根与系数的关系；3.复数的运算.2.已知复数Z=，则Z在复平面上对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】，其对应的点落在第四象限。
故选D。
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，属于基础题．3.设是虚数，是实数，且，则的实部取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于是虚数，是实数，且，=0,则可知b=0,=,则可知其实部取值范围,故答案为B【考点】复数的计算点评：主要是考查了复数的计算的运用，属于基础题。
4.若复数是纯虚数（是虚数单位，为实数），则A．2B．C．D．【答案】A【解析】，复数为纯虚数，则，解得：。
故选A。
【考点】复数的概念点评：在复数中，当时，复数为实数；当时，复数为虚数；当时，复数为纯虚数。
5.若复数是纯虚数（是虚数单位），则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于复数是纯虚数，则可知 (2+ai)(1+i)=，那么可知2-a=0,故可知a=2，答案为D.【考点】复数的概念点评：主要是考查了复数的计算以及概念的运用，属于基础题。
高二数学寒假作业 专题18 复数(练)(含解析)
专题18 复数
【练一练】
一．选择题
1．已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）
A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i
【答案】B
【解析】
试题分析：（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，
2. 设a是实数，且是实数，则a=（）
A．B．1 C．D．2
3. 在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4. 复数=（）
A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i
【答案】C
【解析】
试题分析：=﹣2+i
5. 设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z=（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【答案】A
二、填空题
6. 复数3＋2i
2－3i ＝
________.
7. 已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(x －1)i －y ＝2＋i ，则(1＋i)x －y ＝________.
【答案】－4
【解析】
试题分析：由(x －1)i －y ＝2＋i 得x ＝2、y ＝－2，所以(1＋i)x －y ＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4.
三．解答题
8. 若虚数z 同时满足下列两个条件：①5
z z 是实数；②z+3的实部与虚部互为相反数. 这样的虚数是否存在？若存在，求出z;若不存在，请说明理由
.。
高二数学复数试题答案及解析
高二数学复数试题答案及解析1.已知复数，（，是虚数单位）．（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先算出，再根据在复平面上对应的点落在第一象限，可得不等式组，从中求解即可得出的取值范围；（2）根据实系数的一元二次方程有一复数根时，则该方程的另一个根必为，且，从而可先求解出的值，进而求出的值.（1）由条件得 2分因为在复平面上对应点落在第一象限，故有 4分∴解得 6分（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以也是该方程的一个根根据二次方程根与系数的关系可得，即 10分把代入，则， 11分所以 14分.【考点】1.复数的几何意义；2.实系数的一元二次方程在复数范围内根与系数的关系；3.复数的运算.2.已知复数(),是实数，是虚数单位.（1）求复数z；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.【答案】（1）．(2) 时，复数所表示的点在第一象限．【解析】（1）．又是实数，,，即．(2) ，，,又复数所表示的点在第一象限，解得，即时，复数所表示的点在第一象限．【考点】复数的相等，复数的代数运算，复数的几何意义。
点评：中档题，复数的除法，通过分子分母同乘分母的共轭复数，实现“分母实数化”。
3.设为实数，复数【答案】1+3i【解析】根据题意，由于设为实数，复数（1-2i）(-1+i)=1+3i，故可知答案为1+3i.【考点】复数的运算点评：主要是考查了复数的运算，属于基础题。
4.在复平面内，复数＋(1＋)2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】根据题意，由于复平面内，复数＋(1＋)2=，故可知实部虚部为正数，故可知对应的点在第一象限，故答案为A.【考点】复数的运算点评：主要是考查了复数的运算，属于基础题5.复数的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】==，故选A。
数学选修2-2分层作业18 复数的乘法 复数的除法 含解析
课时分层作业(十八)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．－1B ．1C ．－iD ．i[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2＝(1－i )2(1＋i )2＝－2i 2i ＝－1． [答案] A2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．[答案] B3．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.12 D.14[解析] 由z ＝32－a i ，a ∈R ，得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×a i ＋(a i)2＝34－a 2－3a i ，因为z 2＝12－32i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12. [答案] C4．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A.14B.12 C ．1D ．2 [解析] ∵z ＝3＋i (1－3i )2＝－3i 2＋i (1－3i )2＝i (1－3i )(1－3i )2 ＝i1－3i ＝i (1＋3i )4＝－34＋i 4， ∴z ＝－34－i 4，∴z ·z ＝14. [答案] A5．已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( )A ．5B. 5 C ．3 D. 3[解析] z ·z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i 2＝4＋1＝5，故选A.[答案] A二、填空题6．复数(1＋2i )23－4i的值是________ . [解析] (1＋2i )23－4i ＝－3＋4i3－4i ＝－1．[答案] －17．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x 等于________．[解析] ∵z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，∴z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i.∵z 1z 2∈R ，∴x ＋2＝0，即x ＝－2.[答案] －28．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝__________.[解析] ∵a ＋2i i ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ，∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1．[答案] 1三、解答题9．计算：(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；(2)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i . [解] (1)原式＝－1＋i ＋i －i 2－1＋i ＝－1＋3i.(2)原式＝(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝1＋i. 10．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．[解] (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应向量为(－2,4＋a )，其模为4＋(4＋a )2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2,4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.[能力提升练]1．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22[解析] A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] D2．已知3－3i ＝z ·(－23i)，那么复数z 在复平面内对应的点应位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵3－3i ＝z ·(－23i)，∴z ＝3－3i －23i ＝(3－3i )(23i )(－23i )(23i )＝6＋63i 12＝12＋32i. ∴其对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，在第一象限． [答案] A 3．若复数z ＝7＋a i 2－i 的实部为3，则z 的虚部为________________．[解析]z＝7＋a i2－i＝(7＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝(14－a)＋(7＋2a)i5＝14－a5＋7＋2a5i.由题意知14－a5＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.∴z的虚部为1．[答案] 14．已知z为复数，z－1i为实数，z1－i为纯虚数，求复数z. [解]设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z－1i＝a－1＋b ii＝(a－1＋b i)·(－i)＝b－(a－1)i.因为z－1i为实数，所以a－1＝0，即a＝1．又因为z1－i＝(a＋b i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝(a－b)＋(a＋b)i2为纯虚数，所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1．故复数z＝1＋i.。
高二数学复数练习题及答案
高二数学复数练习题及答案复数是数学中的一个重要概念，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
在高二数学中，复数也是一项重要的学习内容，通过掌握复数的性质和运算规则，可以解决各种与实数无法解决的问题。
本文将为同学们提供一些高二数学复数练习题及其答案，帮助巩固复数的知识。
练习题一：1. 计算并写出结果的精确值：(3+2i)+(1-4i)2. 求复数的共轭数：(4+3i)的共轭数是多少？3. 计算并写出结果的精确值：(2-5i)(1+3i)4. 求复数的模：计算|(4-1i)|的值。
5. 求复数的幅角：计算辐角arg(2i)的值。
练习题二：1. 计算并写出结果的精确值：(1+i)^2的值是多少？2. 计算并写出结果的精确值：(1+i)^4的值是多少？3. 计算并写出结果的精确值：(1+i)^5的值是多少？4. 求复数的幂：计算(2+3i)^3的值。
5. 求复数的根：计算方程x^4+1=0的全部根。
练习题三：1. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1的图像与坐标轴的交点。
2. 求函数f(x) = (x+1)^2 - 4的图像与坐标轴的交点。
3. 求函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像与坐标轴的交点。
4. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的最小值。
5. 求函数f(x) = -2x^2 + 4x - 3的最大值。
答案及解析：练习题一：1. (3+2i)+(1-4i) = 3+2i+1-4i = 4-2i2. (4+3i)的共轭数为4-3i3. (2-5i)(1+3i) = 2+6i-5i-15i^2 = 2+6i-5i+15 = 17+i4. |(4-1i)| = √(4^2 + (-1)^2) = √175. 辐角arg(2i)的值为π/2练习题二：1. (1+i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1+2i-1 = 2i2. (1+i)^4 = (1^2 + 2i + i^2)^2 = (1+2i-1)^2 = (2i)^2 = -43. (1+i)^5 = (1+i)(1+2i-1)^2 = (1+i)(2i)^2 = (1+i)(-4) = -4-4i4. (2+3i)^3 = (2^2+2*2*3i+(3i)^2)(2+3i) = (4-9+12i)(2+3i) = (-5+12i)(2+3i) = (-34+1i)5. 方程x^4+1=0的全部根为±i，±i^3练习题三：1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1的图像与坐标轴的交点为：x轴上的交点：令f(x) = 0，得到2x^3 - 3x^2 + x + 1 = 0的解；y轴上的交点：x = 0时，y = f(0) = 1，所以与y轴的交点为(0, 1)2. 函数f(x) = (x+1)^2 - 4的图像与坐标轴的交点为：x轴上的交点：令f(x) = 0，得到(x+1)^2 - 4 = 0的解；y轴上的交点：x = 0时，y = f(0) = -3，所以与y轴的交点为(0, -3)3. 函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像与坐标轴的交点为：x轴上的交点：令f(x) = 0，得到x^2 - 3x + 2 = 0的解；y轴上的交点：x = 0时，y = f(0) = 2，所以与y轴的交点为(0, 2)4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的最小值为函数的顶点坐标的y值，顶点的横坐标为 x = -b/2a = -2/(2*3) = -1/3；将x = -1/3代入函数中，得到f(-1/3) = 3*(-1/3)^2 + 2*(-1/3) - 1 = -8/9，所以最小值为-8/9。
高二数学寒假作业专题18复数学
专题18 复数学一学------基础知识结论1. 复数的概念(1) 虚数单位i: i2＝－1；i 和实数在一起，服从实数的运算律．(2) 代数形式：a ＋bi(a ，b ∈R)，其中a 叫实部，b 叫虚部．2. 复数的分类复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)中，z 是实数a ∈R ，b ＝0，z 是虚数b ≠0，z 是纯虚数a ＝0，b ≠0.3. 共轭复数a ＋bi 与a －bi(a ，b ∈R)互为共轭复数．4. 复数相等的条件a ＋bi ＝c ＋di(a 、b 、c 、d ∈R)，则a ＝c 且b ＝d.特殊的，a ＋bi ＝0(a 、b ∈R)，则a ＝0且b ＝0.5. 复数的模设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z 在复平面内对应点为Z ，则OZ→的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，即|z|＝|OZ→|＝22a b +. 6. 运算法则z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di ，(a 、b 、c 、d ∈R)． (1)i i n =+14、124-=+n i 、i i n -=+34、14=n i(2)复数的加减（类比合并同类项）i d b c a di c bi a )()()()(±+±=+±+(3)复数的相乘（类比整式乘法）i bc ab bd ac di c bi a )()()()(++-=+⋅+(4)复数的相除（类比分母有理化）i d c ad bc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a 2222))(())((+-+++=-+-+=++7.复数的乘法的运算律：对于任何123,,z z z C ∈，有交换律:1221z z z z ⋅=⋅；结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ .8.复平面上的两点间的距离公式22122121||()()d z z x x y y =-=-+-（111z x y i =+，222z x y i =+）.9.复平面向量的垂直非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ ，2OZ ，则12OZ OZ ⊥⇔12z z ⋅的实部为零⇔21z z 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).10.实系数一元二次方程的解 ：实系数一元二次方程20ax bx c ++=：①若240b ac ∆=->,则21,242b b ac x a -±-=；②若240b ac ∆=-=,则122b x x a ==-; ③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2b b ac i x b ac a -±--=-<.11．注意点(1)复数的确定可以多考虑用待定系数法。
秋高中数学课时作业18复数的几何意义新人教A版选修2-2(2021年整理)
2018年秋高中数学课时分层作业18 复数的几何意义新人教A版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学课时分层作业18 复数的几何意义新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋高中数学课时分层作业18 复数的几何意义新人教A版选修2-2的全部内容。
课时分层作业(十八）复数的几何意义(建议用时：40分钟)[基础达标练］一、选择题1．下列命题中,假命题是( )A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1〉z2的充要条件是｜z1|＞|z2|D[①任意复数z＝a＋b i(a、b∈R)的模｜z|＝错误!≥0总成立．∴A正确;②由复数相等的条件z＝0⇔错误!⇔|z｜＝0，故B正确；③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R），若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2,∴｜z1｜＝|z2|.反之由｜z1|＝|z2｜，推不出z1＝z2,如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时｜z1｜＝｜z2｜，故C正确;④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．］2．在复平面内，O为原点，向量错误!对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B,则向量错误!对应的复数为（)【导学号：31062205】A．－2－i B．－2＋iC．1＋2i D．－1＋2iB［∵A（－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量错误!对应的复数为－2＋i.］3．若复数(m2－3m－4）＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上,则实数m的值是( ) A．－1 B．4C．－1和4 D．－1和6C［由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.]4．当错误!＜m＜1时，复数z＝（3m－2）＋(m－1）i在复平面上对应的点位于（) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D［∵错误!＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1）在第四象限．]5．如果复数z满足条件z＋｜z｜＝2＋i，那么z＝( )A．－错误!＋i B.错误!－iC．－错误!－i D.错误!＋iD[设z＝a＋b i(a，b∈R),由复数相等的充要条件，得错误!解得错误!即z＝错误!＋i.]二、填空题6．i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________。
高中数学复数知识点及练习
【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部。
实数：当b = 0时复数a + b i 为实数； 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b =；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-【3】复数的化简c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+【例1】若复数()312a iz a R i +=∈-（i 为虚数单位），(1)若z 为实数，求a 的值 (2)当z 为纯虚数，求a 的值。
【变式1】设a 是实数，且112a ii -++是实数，求a 的值。
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专题18 复数
学一学------基础知识结论
1. 复数的概念
(1) 虚数单位i: i2＝－1；i 和实数在一起，服从实数的运算律．
(2) 代数形式：a ＋bi(a ，b ∈R)，其中a 叫实部，b 叫虚部．
2. 复数的分类
复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)中，z 是实数a ∈R ，b ＝0，z 是虚数b ≠0，z 是纯虚数a ＝0，b ≠0.
3. 共轭复数
a ＋bi 与a －bi(a ，
b ∈R)互为共轭复数．
4. 复数相等的条件
a ＋bi ＝c ＋di(a 、
b 、
c 、
d ∈R)，则a ＝c 且b ＝d.
特殊的，a ＋bi ＝0(a 、b ∈R)，则a ＝0且b ＝0.
5. 复数的模
设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z 在复平面内对应点为Z ，则OZ →的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，即|z|＝|OZ
→|＝22a b +.
6. 运算法则
z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di ，(a 、b 、c 、d ∈R)． (1)i i n =+14、124-=+n i 、i i n -=+34、14=n i
(2)复数的加减（类比合并同类项）i d b c a di c bi a )()()()(±+±=+±+
(3)复数的相乘（类比整式乘法）i bc ab bd ac di c bi a )()()()(++-=+⋅+
(4)复数的相除（类比分母有理化）
i d c ad bc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a 2222))(())((+-+++=-+-+=++ 7.复数的乘法的运算律：对于任何
123,,z z z C ∈，有 交换律:1221z z z z ⋅=⋅；结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ .
8.复平面上的两点间的距离公式
22
122121||()()d z z x x y y =-=-+-（111z x y i =+，222z x y i =+）. 9.复平面向量的垂直
非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ ，2OZ ，则
12OZ OZ ⊥⇔12z z ⋅的实部为零⇔2
1z z 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+
⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).
10.实系数一元二次方程的解 ：实系数一元二次方程2
0ax bx c ++=：
①若240b ac ∆=->,则21,242b b ac x a -±-=；②若240b ac ∆=-=,则
122b x x a ==-; ③若
240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2b b ac i x b ac a -±--=-<.
11．注意点
(1)复数的确定可以多考虑用待定系数法。
先设bi a z +=（a 、R b ∈）再根据题意及复数有关知识列出关于a 、b 的方程。
解方程得a 、b ，从而可以确定复数bi a z +=．
(2)数的概念扩展为复数后，实数集中一些运算性质、概念、关系不一定适用了，如不等式的性质，绝对值的定义，偶次方非负等． （3）两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小，两个复数的模可以比较大小.
学一学------方法规律技巧
1．复数的分类
复数是高中学生学习的最大数集范围，它包括实数和虚数这两大类，这是初学者所难搞清的，因为高中数学很多问题都是在实数范围内所完成的．解题时一定要注意纯虚数的条件：一个复数的实部为零且虚部不为零．
例1若复数z ＝lg(m2－2m －3)＋i ·lg(m2＋3m －3)为实数，求实数m 的值．
【答案】m ＝－4
【解析】解：z ＝a ＋bi ∈R 的充要条件是b ＝0，前提必须是a ，b ∈R ，因此必须先保证a ，b 有意义．由
条件知，⎩⎪⎨⎪⎧
m2＋3m －3＝1m2－2m －3>0
，∴m ＝－4. 例2、若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A .1 B .2 C .1或2 D .1
-
2. 复数代数形式的运算
复数与实数类似，它也有加、减、乘、除、乘方等运算，其中一定要注意两点：一是i 的平方等于-1，这是学生在复数部分最易出现的错误;二是复数与它的共轭复数的关系要搞清．
例3如果复数2－bi 3＋i
(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b
＝________.
例4已知复数z ＝1＋i ，则2z
－z ＝________.
3．复数的几何意义 复数是由实部和虚部构成的，这就决定了复数与向量有着极其想似的性质：比如说复数有模或绝对值，复数也可以放在一个坐标（称之为复平面）内对应于一个点．
例5已知复数z1＝2－i ，z2＝a ＋(1－a2)i 在复平面内的对应点分别为P1、P2，向量P2P1→对应的复数为－3
＋i ，求实数a 的值．
例6若a 、b ∈R ，则复数(a2＋6a ＋10)＋(－b2－4b －5)i 对应的点在第几象限？
【答案】第四象限
【解析】a2＋6a ＋10＝(a ＋3)2＋1>0，－b2－4b －5＝－(b ＋2)2－1<0.
所以复数所对应的点在第四象限．。