力学中的数学方法-张量-6-2013改

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4) 矢量的逆变分量和协变分量 任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：
V = v gi = vi g
i
i ij ⎧ ⎪v = g v j ⎨ j = v g v ⎪ ij ⎩ i
i
表明矢量V也可以用它沿逆变基矢量 gi 方向的分量表示。 vi称 为矢量V的协变分量； vi是矢量V的逆变分量。
k ij
⎧ g ij ,k = Γkij + Γ jki ⎪ ⎨ g jk ,i = Γkij + Γijk ⎪ ⎩ g ki , j = Γijk + Γ jki
2式+3式-1式
2Γijk = g jk ,i + g ki , j − g ij ,k
若度量张量的分量已知，可计算坐标系的克里斯托弗符号， 克里斯托弗符号也是坐标系的几何特性。由于直角坐标系的 14 gij 是常数，所以在直角坐标系中克里斯托弗符号=0
k gi , j ⋅ g k = Γ lij g l ⋅ g k = Γ lijδ lk = Γ ij
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2) 克里斯托弗符号的性质及其计算 a) 克里斯托弗符号它的第三个指标可以象矢量分量的指 标一样提升或下降(但不是张量)
Γ ijk = Γ g lk
l ij
Γ = Γ ijl g
k ij
lk
b) 克jt = δ jjδ tk − δ jk δ t j = 2δ tk ε ijk = 2δ = 6
k k
10
e
ijk
eijk = ε
ijk
三、张量演算
《弹性力学与张量分析》，郭日 修，高等教育出版社
将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变 导数是另一个张量，这是张量演算发展中最重要的里程碑。张量的 协变导数是本节讨论的重点。
g = g gj
i ij
式中 gij 是对偶基矢量在 gj 方向的分量，共有9个,称为相伴度量张量， 或共轭度量张量
1
3) 相伴（共轭）度量张量的性质
g ⋅ g = g gk ⋅ g = g δ = g
i
j
ik
j
ik
j k
ij
g = g ⋅gj
ij i
i j
g ⋅ gj =δ
i
i j
g gk ⋅ g j = δ
d) 克里斯托弗符号不是张量 证明略
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3) 对偶基矢量 gi 的偏导数gi,j
gi ⋅ g = δi
j
j
gi ,k ⋅ g j + gi ⋅ g j ,k = 0 gi ⋅ g j ,k = − gi ,k ⋅ g j = −Γikj g i , j = −Γ ijk ⋅ g k
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四、矢量的协变导数
g = g ij = x
( (
) ( ) ) (
) = (x )
2
1 2
( )
1 2
6
基本度量张量
⎧g1 = cos x 2 i1 + sin x 2 i 2 ⎪ 1 2 1 2 ⎨g 2 = − x sin x i1 + x cos x ⎪g = i ⎩ 3 3
( (
) ( ) ) (
⎧ g = cos x 2 2 + sin x 2 2 = 1 ⎪ 11 1 2 2 ⎪ )i g 22 = − x sin x + x1 cos x 2 ⎨ ⎪ g 33 = 1 ⎪ ⎩ g12 = g 23 = g13 = 0
( (
) ( ) ) (
)
⎧ g1 = 1 ⎪ ⎪ 1 ⎨ g2 = x ⎪ ⎪ ⎩ g3 = 1
基本度量张量
⎧ g = cos x 2 2 + sin x 2 2 = 1 ⎪ 11 ⎪ g 22 = − x1 sin x 2 2 + x1 cos x 2 ⎨ ⎪ g 33 = 1 ⎪ ⎩ g12 = g 23 = g13 = 0
i ⎧ v ⎪ =V⋅gi ⎨ ⎪ ⎩vi = V ⋅ g i
表示矢量的逆变分量和协变分量的大小等于矢量和相应的基 矢量的点积。
3
4
例题1 求圆柱坐标系xi的基矢量、基本度量 张量、对偶基矢量及相伴度量张量 解： 由笛卡尔直角坐标系zi
1 1 2
2 2 ⎧ 1 1 2 ⎧ z = x cos x x = z + z ⎪ ⎪ 2 1 2 ⎪ 2 2 1 sin = z x x ⎨ ⎨ x = arctan(z / z ) ⎪z 3 = x3 ⎪x3 = z 3 ⎩ ⎪ ⎩
2
( (
) ( ) ) (
) = (x )
2
1 2
Dsr g = g
rs
g = g ij = x
( )
1 2
g = 1,
11
g
22
= 1/ x
( ),
1 2
g 33 = 1,
对偶基矢量
i ij ⎧ g g g = ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ g i = g ij g j
j
⎧g 1 = g 11g1 ⎪ 2 22 1 2 g g g x 1 /( ) = = ⎨ 2 ⎪ 3 33 g g g3 = i3 = ⎩
i
v i | j = vi , j − v k Γ
k ij
协变矢量 vi的协变导数。
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2) 矢量的微分
d V = V, j dx = v | j gi dx
j i
j
d V = V, j dx = v i | j g dx
j
i
j
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1）基矢量的偏导数与克里斯托弗(Christoffel)符号
求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乘积之和求导：
∂V i = ( v gi ) j ,j ∂x
= vi g
= v , j gi + v gi, j
i i
(
i
)
,j
= vi , j g + vi g , j
i
i
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gi , j
k 2 k ⎛ ⎞ ∂ z ∂ ∂z i i = j⎜ k ⎟ = i j i k ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂x
《张量分析》第二版，黄克智等，清华大学出版社
ε
= ge ijk ijk
j k
g g kj = δ
ik
i j
ε
ijk
ijk
= 1/ ge
l k
ijk
g = g ij
g ×g ⋅g = ε
i
=ε δ ijl
= ε gl ⋅ g k ijl
g × g = ε gl i j ijl
类似
j ijl i g ×g = ε g
ik
g g kj = δ
ik
i j
Dsr rs g = g
类似
g = g ij Dsr = ⎡ ⎣ gij ⎤ ⎦ 中元素g sr的代数余子式
j
g i = g ij g
i ij ⎧ ⎪g = g g j ⎨ j ⎪ ⎩ g i = g ij g
协变基矢量和逆变基矢量之间可以通过度量张量和相伴度量张量变换， 提升或下降指标。
六、对偶基矢量、相伴度量张量
1) 对偶基矢量
对偶基矢量 （逆变基矢量 ）gi 由下式定义：
g ⋅ gj =δ
i
i j
在三维空间中， g1 、 g2 、 g3 分别垂直于（g2，g3）、 （g1，g3） 及 （g1，g2）所在的平面。
2) 相伴（共轭）度量张量
将对偶基矢量 gi 沿基矢量 gj 的方向分解:
可以看出基矢量 gi对于坐标 xj 的偏导数也是矢量，它也可以分 解成沿对偶基矢量或基矢量方向的分量：
gi , j = Γijk g = Γ g k
k k ij
式中: Γijk是 沿 gk方向的分量；称为第一种克里斯托弗符号；
Γijk 是 沿 gk方向的分量; 称为第二种克里斯托弗符号。
gi , j ⋅ g k = Γ ijl g l ⋅ g k = Γ ijlδ kl = Γ ijk
g 12 = g 23 = g 13 = 0 ⎧ g1 = 1 ⎪ ⎪ 2 1 ⎨ g = 1/ x ⎪ 3 = 1 g 7 ⎪ ⎩
例题2 求球坐标系xi的基矢量、基本度量 张量、对偶基矢量及相伴度量张量
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1.7 张量分析
一、置换张量
j k ijk i ε =ε g g g =ε g g g i j k ijk
Γ ijk = Γ jik
Γ =Γ
k ij
k ji
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c) 克里斯托弗符号可按以下公式计算
g ij = g i ⋅ g j g ij ,k = g i ,k ⋅ g j + g i ⋅ g j ,k = Γikj + Γ jki = Γkij + Γ jki
2Γ = 2 g kl Γ ijl = g kl (g jk ,i + g ki , j − g ij ,k )
1) 矢量的偏导数
V, j = v
i ,j
i
,j
gi + v Γ g k
i k ij
k i jk i
变换最后一项中两个哑指标的字符，
V, j = v
i
gi + v Γ gi = v | j gi
i ,j
v |j = v
+v Γ
k
i jk
i 称为逆变矢量 vi的协变导数。 jk
V, j = vi , j g − v i Γ g k = v i | j g i
( ) ( )
∂r ∂z gi = i = i i j ∂x ∂x
j