力学中的数学方法-变分法

变分法

取极值必须满足z 1696年瑞士数学家约翰、贝努里提出的“最速降线问题”，发表于《教师学报》，引起广泛关注。z 1697年该杂志刊登了牛顿、莱布尼兹、洛比达和贝努里兄弟的解法，殊途同归！

z 虽蕴含着天才思想，但还是不能建立起变分法！z 历史安排了大数学家尤拉，1734年解决了更广泛的最速降线问题，但他还不满意。最终他找到了，1736年的论文：

§4.1 变分法基本概念与基本理论历史往事——导致变分法建立的著名问题:

[()](,,)b a J y x F x y y dx ′=∫

d ()0d F F y x y ???=′??z 拉格朗日改进了尤拉证明，非常简洁，1755年告诉了尤

一. 基本概念

变分法就是求泛函极值的方法．变分问题即是求泛函的极值问题．

1. 泛函

变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广．先看一个例题：

考虑著名的最速降线落径问题。如图1 所示，已知A和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出A、B间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿这条曲线无摩擦地从A滑到B时，所需的时间T最小．

y x

A

B(x,y)

此时质点的速度是

d 2d s gy t

=从A 滑到B 所需的时间为

d B A t t T t =∫21+[()]d 2B

A y T y x x

gy ′=∫d 2B

A s gy

=∫21+d 2B A y x gy ′=

∫

y ′x T ()y x ()y x [()]T y x 式中代表对求一阶导数．我们称上述的为的泛函，而称为可取的函数类，为泛函的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数（不是复合函数的那种含义）．

泛函定义：一般来说，设C 是函数的集合，B 是实数或复数的集合如果对于C 的任一元素

()y x 在B 中都有一个元素J 与之对应，所谓泛函不过是更广泛意义下的函数关系罢了！

J ()y x [()]

J J y x =则称为的泛函，记为

泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线

落径问题的式. 更为一般而又典型的泛函定义为

[()](,,)d b

a J y x F x y y x ′=∫

1.2 变分法

对于不同的自变量函数()y x ，与此相应的泛函[()]

J y x 也有不同的数值．找出一个确定的自变量函数()y x ，使泛函[()]J y x 具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大值统称为泛函的极值．

变分法：所谓的变分法就是求泛函极值的方法．

引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变[()]J y x 为泛函的极小值问题．

1）泛函自变函数的变分

定义：泛函φ[y(x)],自变函数为y(x)，当△y(x)变化无限小时，称为自变函数的变分，表为δy(x) ，δy.

δy是指函数y(x) 和跟它相接近的另一函数y

1(x)的微差

1.3 变分

如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为();y x 并定义与函数曲线()y x 邻近的曲线（或略为变形的曲线）作为比较曲线，记为

(,)()()y x y x x εεη=+其中ε是一个小参数；()x η是一个具有二阶导数的任意

选定函数，规定它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛函在极值处连续．在研究泛函极值时，通常将()x η固定，而令变化。ε这样规定的好处在于：建立了由参数到泛函[()]J y x 值之间的对应关系，因此泛函[()]J y x 就成为了参数

ε的普通函数．原来泛函的极值问题就成为普通函数对ε的求极值的问题．

ε

()y x 的变分定义为

0(,)|()d y y x d x εδεεηεε

=?==?()d y x δηε

′′=这里,y η′′代表对x 求一阶导数．

d d y y x

δδ′=

即变分和微分可以交换次序．

dy 和δy 的区别

dy : 是针对一条曲线y =y (x ) ，当△x = dx 时函数值增量的线性主部是dy 。

δy ：是在x 不变时，针对两条接近的函数曲线y (x )

和y 1(x )的微差δy 。δy 是x 的函数。y =y (x )x

y

o dy δy y 1=y 1(x )△x =dx

Δy

2）泛函的变分

()d b a F F J y y x y y δδδ??′=+′

??∫在极值曲线()y x 附近，泛函[()]J y x 的增量，定义为

[(,)][()]

J J y x J y x εΔ=?依照上述约定，当0ε→时，泛函增量J

Δ的线性主要部分定义为泛函的变分，记为泛函的变分定义为0|d J J εδεε=?=?[()](,,)d b a

J y x F x y y x ′=∫对于泛函

在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用．因此，通常称泛函极值问题为变分问题；称求泛函极值的方法为变分法．

泛函

函数微分：)

()(x f x x f z ?Δ+=Δx

x x A Δ+Δ=ω)(当Δx →0时，ω→0，则Δz 可

用其线性主部表示其微分。即dx x f dz )(′=[][])()()(x y U x y x y U U ?+=δδ[]y y x y L δβδmax )(+=[])(x y L ——U 增量的线性主部

变分：当max|δy|→0时，βmax →0，则

δU 可用其线性主部表示, 即

[]y

x y L U δδ)(=极值：若

)(x f z =在x 0 处有极值，则有：0)(0=′=x x f 若U [y (x )] 在y 0(x )处有极值，条件：[]0)(=x y U δ——一阶变分为零。

极值：

1.4 泛函的极值

泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的．因为它与泛函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导数的阶数等相关．另外，在求泛函极值时，有的还要加约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等．下面我们首先讨论泛函的极值的必要条件．

1) 泛函的极值的必要条件――欧拉－拉格朗日方程

设[()]J y x 的极值问题有解

()

y y x =现在推导这个解所满足的常微分方程，这是用间接法研究泛函极值问题的重要一环．设想这个解有变分()x εη则[()()]J y x x εη+可视为参数ε

的函数()[()()].J y x x εεηΦ=+而当0

ε=时，

()()()y x x y x εη+=[()()]J y x x εη+取极值．

于是原来的泛函极值问题，就化为一个求普通函数

()εΦ的极值问题．由函数取极值的必要条件

0d |0d εε=Φ=即有0|0J εε

=?=

?a) 泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式[()](,,)b

a J y x F x y y dx

′=∫若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点1122(,),(,)x y x y 的任意曲线进行的，其中12,x a x b

==

泛函中

y 为(,)()()y x y x x εεη=+0[()()]|d J y x x J εεηδεε

=?+=? [()d ()d ]d b a F F x x x y y ηεηε??′=+′

??∫ []d b a F F y y x y y δδ??′=+′??∫()d b a F F J y y x y y δδδ??′=+′

??∫d d y y x δδ′=()d y x δηε

=()d y x δηε

′′=

积分号下既有y δ，又有y δ′对第二项应用分部积分法

d |[()]d d b b a a F F F J y y x y y x y δδδ???=+?′′

???∫0|0J J d εδεε

=?==?d |[()]d 0d b b a a F F F J y y x y y x y δδδ???=+?=′

′???∫ []d b

a F F J y y x y y δδδ??′=+′??

∫