比例边界等几何方法在断裂力学中的应用
边界元法在断裂力学中综述
边界元法在断裂力学中的研究综述摘要：边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，代数方程组的未知数少，对应力变化剧烈的地方能得到较好计算结果。
本文简要介绍了国内外利用边界元法研究断裂力学中裂纹问题的现状，并对研究中的一些关键问题进行了探讨。
关键词：边界元法；裂纹；断裂力学；特殊单元法引言在断裂力学中，由于裂纹尖端附近的应力场存在奇异性,以致直接应用常规数值方法分析断裂力学问题的效果往往较差,因此需要结合断裂力学的特点发展更有效的数值计算方法.边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法[1]。
边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，因此实际上是将问题降维处理，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数将按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存贮量与机时[1]。
另外，计算误差只来源于边界，区域内由解析公式计算，这就具有解析-数值计算的特点，有较高精度，对应力变化剧烈的地方能得到较好的结果，在边界上也能保持其精度，这些是有限元法所做不到的。
这些特点，对边界元法应用在线弹性断裂力学问题上的应用是很有利的。
本文首先对边界元法在断裂力学中研究现状作一简介，在此基础上提出研究中存在的一些关键问题进行了初步探讨。
1．边界元法在断裂力学中研究现状断裂力学研究的裂纹问题关键是确定应力强度因子（sif）。
应力强度因子(sif)通常用来表征裂纹尖端附近区域应力场的强弱，通过它可以把构件几何形状、裂纹形状、尺寸及应力联系起来，并以它为基础来定义材料断裂的临界参数，从而把裂纹对构件断裂的影响进行定量计算。
用边界元解决裂纹问题,一般可以归纳为以下几个关键步骤:1)、建立边界积分方程；2)、选择单元模式；3)、处理裂纹尖端及其他边界奇异性；4)、实施数值或精确积分；5)、解最终线性代数方程组；6)、计算应力强度因子[2]。
要得到精确程度可信的应力强度因子值，这些关键步骤中更为重要的是正确模拟裂纹尖端附近区域位移和应力的变化规律。
断裂力学理论及应用研究
断裂力学理论及应用研究断裂是指材料在外部加载下受到破坏产生裂纹或破片分离的物理过程，是所有材料科学中重要的研究领域之一。
断裂力学理论涉及力学、物理、化学等学科，是从宏观探讨结构构件断裂行为规律的一门学科。
本文主要从断裂力学理论的基本概念、发展历程、应用研究等方面进行探讨。
一、断裂力学理论的基本概念断裂力学理论的基本概念包括断裂韧性、应力场、应变场等。
1. 断裂韧性断裂韧性是材料断裂过程中抵抗裂纹扩展的能力。
对于材料强度越高的材料，其断裂韧性一般也越高。
一个材料的断裂韧性大小可以通过测量其断裂过程中断裂面上的裂纹扩展能量来确定。
当裂纹扩展时，其边缘会释放出能量，断裂韧性就是指在裂纹在材料中传播的过程中能够消耗这些能量的材料性质。
2. 应力场在载荷下，一个构件内的所有部分都会承受不同的应力。
应力场指的是构件内各点的应力分布状态。
应力场是描述材料内部应力状态的最基本模型。
例如，当一个材料受到拉压载荷时，其内部就会产生相应的拉伸和压缩应力。
3. 应变场应变是指材料受到外力后的形变程度，是衡量材料变形能力的重要指标。
与应力场类似，应变场指的是材料内部各点的应变状态。
例如，在机械制造过程中，材料会受到剪切应力，这会导致材料存在剪切应变。
二、断裂力学理论的发展历程断裂力学理论的发展历程可以简单划分为以下阶段：经验试验阶段、线弹性断裂力学阶段、实验与理论相结合阶段、转捩点理论阶段以及非线性断裂力学阶段。
1. 经验试验阶段经验试验阶段是断裂力学理论的雏形阶段。
在这个阶段，人们通过实验来探究材料的断裂行为，并总结出了一些经验规律。
例如，在实验中，人们发现时强度与应力之间成正比关系，这就为后来的弹性断裂力学理论的发展提供了依据。
2. 线弹性断裂力学阶段线弹性断裂力学阶段是断裂力学理论的基础阶段。
这个阶段出现了很多具有代表性的理论，例如弹性理论、能量释放率理论以及裂纹扩展跟踪技术等。
在这个阶段中，人们主要依靠线弹性理论来探究材料断裂规律。
应用断裂力学
应用断裂力学一、断裂力学的形成断裂力学是固体力学的一个新分支，它研究物体裂纹扩展的条件和规律，预测物体裂纹扩展的寿命。
断裂力学起源于对航空航天、能源、化工、机械和材料科学等领域中出现的脆性材料或构件的断裂问题进行研究而发展起来的。
断裂力学与材料力学、塑性力学、弹性力学等基本理论相互渗透，已逐渐形成了自己的体系。
二、断裂力学的基本内容断裂力学的基本内容包括裂纹的分类、裂纹的萌生和扩展机理、裂纹的宏观扩展阻力、材料抵抗裂纹扩展的能力等。
其中，对裂纹尖端的应力场和位移场的研究是研究断裂力学的重要手段。
1. 裂纹的分类根据裂纹的形状和扩展方向，可以将裂纹分为三种类型：张开型（Ⅰ型）、滑开型（Ⅱ型）和撕开型（Ⅲ型）。
这三种类型的裂纹在受力时，裂纹尖端附近的应力场和位移场有明显的不同。
2. 裂纹的萌生和扩展机理在材料或构件受力时，裂纹会在材料的缺陷或应力集中处萌生。
当受力超过某一临界值时，裂纹将迅速扩展，直至构件断裂。
为了预测材料的断裂寿命，需要研究裂纹的萌生和扩展机理。
3. 裂纹的宏观扩展阻力当裂纹扩展时，会受到材料内部和外部阻力（如其他材料的摩擦力、外部施加的载荷等）的作用。
这些阻力将阻止裂纹的扩展，使裂纹扩展的速度逐渐减缓。
研究这些阻力对预测材料的断裂寿命具有重要意义。
4. 材料抵抗裂纹扩展的能力材料抵抗裂纹扩展的能力是其抵抗外力作用的固有属性，主要取决于材料的成分、显微组织、热处理状态和工作环境等。
这种能力可以通过实验进行测定，如通过测定材料的韧性、强度等指标来评估其抵抗裂纹扩展的能力。
三、断裂力学的应用断裂力学在许多领域中得到了广泛的应用，包括航空航天、能源、化工、机械和材料科学等。
以下是一些具体的实例：1. 航空航天领域：飞机和航天器的结构和零部件在制造和使用过程中可能会产生裂纹，这些裂纹可能会导致灾难性的后果。
应用断裂力学可以预测和防止这些裂纹的产生和发展，提高航空航天器的安全性和可靠性。
2. 能源领域：在石油和天然气开采中，管道和储罐可能会因为受到内部压力和其他因素的影响而发生破裂。
断裂力学及其工程应用
断裂力学及其工程应用概述断裂力学是研究材料在外界加载下发生断裂的力学学科，它研究材料的断裂机理、断裂过程以及预测和评估断裂行为。
在工程应用方面，断裂力学为我们提供了对结构材料的强度和可靠性进行评估的依据。
断裂理论基础断裂分类1.脆性断裂：材料在加载情况下突然断裂，没有明显的塑性变形。
2.韧性断裂：材料在加载情况下发生明显的塑性变形后才发生断裂。
断裂模式1.剪切断裂：沿一个平面发生剪切破坏。
2.弯曲断裂：材料在受到弯曲力作用下发生断裂。
3.拉伸断裂：材料在受到拉力作用下发生断裂。
断裂力学的应用断裂评估断裂力学可以用于评估材料的强度和可靠性，为工程结构的设计提供依据。
通过对材料的本构关系、断裂韧度等参数的计算和预测，可以预防工程结构的断裂失效。
断裂预测断裂力学可以通过对材料的试验研究和模型建立，预测材料在不同加载情况下的断裂性能。
这对于材料选择、设计优化以及工程结构的安全性评估非常重要。
断裂控制利用断裂力学的理论和方法，可以通过控制和改善材料的断裂性能，提高工程结构的抗断裂能力。
例如，在航空航天工程中，采用了各种断裂控制技术来提升飞机的安全性能。
断裂分析通过断裂力学的分析方法，可以对已发生断裂的材料进行破坏模式分析和失效原因分析。
这有助于我们总结经验教训，改进设计和制造工艺，减少事故的发生。
断裂力学研究的挑战断裂力学的研究面临着许多挑战，其中主要包括以下几个方面： 1. 多尺度效应：材料的断裂行为在不同尺度下表现出不同的特性，从宏观到微观的转换是一个难点。
2. 多物理场耦合：许多工程应用中，断裂问题往往与温度、湿度、电磁场等物理场耦合，这给研究带来了复杂性。
3. 断裂预测精度：目前断裂力学的预测精度仍有待提高，特别是在复杂载荷和多尺度情况下。
结语断裂力学是一个综合性学科，它对材料的强度和可靠性评估以及工程结构的设计和安全性评估起着重要作用。
尽管面临许多挑战，但随着科学技术的不断进步，断裂力学将在未来发挥更重要的作用，并为工程领域的发展做出更大贡献。
理论与应用断裂力学
理论与应用断裂力学断裂力学是材料力学中的一个重要分支，研究的是材料在受到外力作用下发生断裂的机理、规律和行为。
它在工程设计和实际应用中具有广泛的应用价值。
本文将介绍断裂力学的基本理论和应用。
断裂力学的基本理论主要包括线弹性断裂力学和非线性断裂力学两个方面。
线弹性断裂力学主要研究在小应变范围内材料的断裂行为，采用线弹性模型描述材料的应力-应变关系，并以弹性应变能作为断裂的判据。
非线性断裂力学主要研究在大应变范围内材料的断裂行为，考虑到材料的非线性本质，采用塑性断裂模型描述材料的应力-应变关系，并以应变能释放率或塑性延伸度作为断裂的判据。
断裂力学的理论基础主要有劲度法、能量法和应力场理论。
断裂力学的应用范围非常广泛。
在工程设计中，断裂力学可以帮助工程师预测和避免材料的断裂失效，提高工程结构的安全性和可靠性。
在航空航天领域，工程师可以利用断裂力学的知识来设计飞机机身和发动机零件的结构，以确保它们在极端工作条件下不会发生断裂失效。
在建筑领域，断裂力学可以帮助工程师设计和评估混凝土、钢结构等材料的断裂行为，确保建筑物的安全性和稳定性。
在材料科学和材料研究领域，断裂力学可以帮助科学家研究和了解材料的断裂机理和性能。
通过对材料的断裂行为进行实验和数值模拟，科学家可以得到材料的断裂韧性、断裂强度等参数，从而为新材料的设计和应用提供理论依据。
断裂力学还可以应用于材料的断裂评价和标准制定，为不同材料的选择和使用提供科学参考。
除了在工程设计和材料科学中的应用，断裂力学在地质学、地震学等领域也具有重要的应用价值。
地震断裂力学研究地壳中断裂带的形成和演化，可以为地震活动的预测和防灾减灾提供理论支持。
断裂力学还可以应用于地下水资源开发和油气勘探等领域，研究地下水和油气管道在断裂带中的运动和扩散规律，为资源开发和环境保护提供科学依据。
断裂力学是材料力学中一个重要的研究领域，它的理论基础和应用价值都非常广泛。
通过研究断裂力学，可以提高工程结构的安全性和可靠性，实现材料的高性能和可持续发展。
断裂力学及其工程应用
断裂力学是研究材料在受到外界作用下发生断裂的力学行为的学科，它主要关注材料在断裂过程中的应力和应变分布，以及断裂前后的变形和破坏机制。
断裂力学在工程领域有着广泛的应用，涉及到材料选择、结构设计、事故分析等方面。
一、应用背景 1. 材料选择：在工程设计中，需要根据不同工况下材料的抗拉强度、韧性等断裂性能指标来选择合适的材料。
断裂力学提供了一种评估材料断裂性能的方法，可以帮助工程师选择最合适的材料。
2.结构设计：在结构设计中，需要考虑结构的稳定性和安全性。
断裂力学可以通过分析结构中可能出现的缺陷、接缝等问题，预测结构在受到外界作用时是否会发生断裂，并提供相应的改进措施。
3.事故分析：当工程事故发生时，需要对事故原因进行分析和评估。
断裂力学可以通过对事故现场进行调查和实验研究，分析事故发生的断裂机制，为事故原因的查找提供科学依据。
二、应用过程 1. 断裂试验：断裂试验是断裂力学研究的基础，通过对材料进行拉伸、剪切等试验，获得材料在不同应力条件下的断裂性能参数。
试验结果可以用来验证理论模型和计算方法的准确性。
2.数值模拟：断裂力学可以通过建立数值模型，利用有限元分析等方法对结构在受力过程中的应力和应变进行计算。
通过数值模拟可以预测结构在不同工况下的破坏形态和破坏位置，为结构设计提供指导。
3.疲劳分析：疲劳是一种常见的结构失效形式，它与材料的断裂性能密切相关。
断裂力学可以通过分析材料在循环加载下的断裂行为，预测结构在长期使用过程中可能出现的疲劳破坏问题，并提出相应的改进措施。
三、应用效果 1. 提高结构安全性：通过断裂力学分析，可以预测结构在受到外界作用时是否会发生断裂，并提供相应的改进措施。
这样可以避免结构在使用过程中发生意外事故，提高结构的安全性。
2.优化材料选择：断裂力学可以评估材料的断裂性能，帮助工程师选择最合适的材料。
选用具有良好断裂性能的材料可以延长结构的使用寿命，减少维修和更换成本。
3.加速设计过程：通过数值模拟和试验验证，断裂力学可以快速评估不同结构方案的可行性，加速设计过程。
应用断裂力学理论分析金属切削过程中的刀具断裂问题
应用断裂力学理论分析金属切削过程中的刀具断裂问题在金属切削过程中，刀具的断裂问题是制约切削效率和加工质量的重要因素之一。
应用断裂力学理论对刀具断裂问题进行分析，可以帮助我们更好地理解切削过程中刀具断裂的原因和机理，从而采取相应的措施来解决这一问题。
首先，刀具断裂的原因可以归结为外力作用和材料内部缺陷两个方面。
外力作用包括切削压力、切削热等，这些外力作用会导致刀具产生应力集中，从而导致刀具的断裂。
材料内部缺陷包括晶体结构、气孔、夹杂物等，这些缺陷会降低刀具的强度和韧性，增加其断裂风险。
其次，断裂力学理论可以为我们提供刀具断裂的分析方法。
断裂力学理论主要包括线性弹性断裂力学、线性弹塑性断裂力学和非线性断裂力学等。
其中，线性弹性断裂力学适用于判断刀具的静态断裂问题，而线性弹塑性断裂力学和非线性断裂力学适用于分析刀具的动态断裂问题。
对于静态断裂问题，可以利用线性弹性断裂力学理论来分析刀具的破坏韧性。
破坏韧性是刀具材料抵抗断裂的能力，通常用断裂韧性指标来表示，如KIC值和GIc值。
这些指标可以通过断裂试验来测定，然后与切削过程中的应力集中区域进行对比，从而预测刀具是否会发生静态断裂。
而对于动态断裂问题，需要考虑切削过程中的载荷速率和温度变化等因素。
可以利用线性弹塑性断裂力学理论和非线性断裂力学理论来分析刀具在动态载荷下的破坏行为。
具体分析过程可以采用有限元模拟方法，通过建立准确的刀具模型和加载条件，预测刀具的动态断裂风险。
除了分析刀具断裂的原因和机理，断裂力学理论还可以指导我们采取相应的措施来解决刀具断裂问题。
例如，在刀具设计过程中，可以选择具有较高强度和韧性的材料，以提高刀具的抗断裂能力。
此外，合理的刀具几何形状和刀具刃磨工艺也可以减少切削过程中的应力集中和刀具磨损，从而延长刀具的使用寿命。
总之，应用断裂力学理论分析金属切削过程中的刀具断裂问题，可以帮助我们更好地理解刀具断裂的原因和机理，并采取相应的措施来解决这一问题。
理论与应用断裂力学
理论与应用断裂力学断裂力学是材料力学的一个重要分支，研究材料在受力作用下发生破裂或断裂的行为。
断裂力学的理论和应用对于工程材料的设计、加工和使用具有重要意义，能够帮助工程师和科学家更好地理解材料的破裂行为，并提出相应的改进方案。
本文将从理论和应用两个方面探讨断裂力学的重要性和影响。
一、理论断裂力学理论断裂力学是对材料在受力条件下破裂行为进行理论分析和建模的学科。
在断裂力学领域，最著名的理论之一就是弹性断裂力学，它是材料断裂力学研究的基础和核心。
1. 弹性断裂力学的基本理论在弹性断裂力学理论中，研究了材料在受外力作用下的应力和应变分布规律，以及断裂的准则和模型。
应力集中的分析是弹性断裂力学的重要内容之一。
当材料受到外力作用时，往往会在应力集中处产生裂纹或者断裂，因此需要对应力集中进行深入的研究和分析。
断裂形式也是弹性断裂力学关注的重点之一。
材料的断裂形式多种多样，常见的有拉伸断裂、剪切断裂、冲击断裂等。
对不同断裂形式的分析有助于了解材料在不同受力条件下的断裂行为。
2. 断裂准则和模型在弹性断裂力学理论中，还提出了一些断裂准则和模型，用于预测材料的破裂行为。
常见的断裂准则有最大应力准则、最大应变能准则等，它们能够帮助工程师在设计材料结构时预测和避免破裂的发生。
断裂力学还衍生出了一些断裂模型，如线弹性断裂力学模型、非线弹性断裂力学模型等，这些模型可以更加准确地描述材料在受力下的断裂行为，为工程实践提供了重要的参考。
应用断裂力学是将断裂力学的理论知识应用于工程实践中，通过分析和改进材料结构来提高材料的抗断裂能力，进而提高工程结构的安全性和可靠性。
1. 材料的选择和设计在工程设计中，经常需要根据实际的工作条件和要求选择合适的材料。
断裂力学的知识可以帮助工程师理解材料的断裂行为和特性，从而选择合适的材料来确保工程结构的安全性。
应用断裂力学的知识还可以指导工程师设计和改进材料结构，提高材料的抗断裂能力。
在设计复合材料结构时，需要考虑不同层间材料的粘合性和断裂行为，这就需要应用断裂力学的知识来指导材料结构的设计和改进。
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再将其有理化就得到了 CAD 系统重要的造型 工具—非均匀有理 B 样条。 ( ) wi N i, p Ri , p ( ) n ( ) wi N i, p
i 0
(2)
S ( ) Ri , p ( ) Pi
i 0
n
(3)
。
其中： Ri , p ( ) 为阶数为 p 的第 i 个 NURBS 基函数；
Abstract: A novel numerical boundary method, scaled boundary isogeomtric analys (SBIGA), is applied to fracture mechanics problem. Comparisons on accuracy and convergence rate in calculating stress intensity factor (SIFs) have been carried out for SBIGA and the scaled boundary finite element method (SBFEM). In contrast to SBFEM, NURBS is used to geometric modeling and boundary discretization in SBIGA. It is characterized by the following two aspects. Firstly, the model of boundary isogeometric representation can be imported from CAD directly. Thus, the time costs of mesh generation are saved and it avoids geometric approximation. On the other hand, it can be automatically refined without further communication with the CAD system and keeps geometry invariability. Adaptive analysis strategy can be employed conveniently for 2D problems. The numerical results show that, in comparison with SBFEM, more accurate result and higher convergence rate could be achieved through SBIGA. This is due to geometric accurate description, as well as higher order continuity of NURBS. Key words: SBFEM; NURBS; stress intensity factor; fracture mechanics; adaptive analysis 断裂特性分析在结构安全性能评定中具有重 要意义。其中的一个重要内容是计算应力强度因 子。计算机飞速发展使包括有限元 、边界元 、 扩展有限元 等各种数值手段准确模拟复杂工程结 构的断裂行为成为可能。然而这些数值方法还存在 着不同程度的局限性，如在分析裂纹尖端奇异应力 时需要引入特殊的函数、特殊的单元或密集的网格。
要：该文将比例边界等几何方法(SBIGA)应用在断裂力学中，并就应力强度因子(SIFs)计算精度和收敛速度与
传统比例边界有限元(SBFEM)进行了比较。与 SBFEM 不同，SBIGA 采用非均匀有理 B 样条(NURBS)作为造型和 离散的工具。主要包括了以下两个特点：一方面，有限元模型可直接继承于 CAD 系统，即节约划分网格的时间 也避免了几何近似。另一方面，因为不需要进一步与 CAD 系统数据交换就可以保型细分，二维问题中自适应分 析策略的实施十分方便。算例表明，SBIGA 方法可以给出较 SBFEM 更为精确的结果和更快的收敛速度。其原因 不仅得益于对曲边几何形状的精确描述，还来源于 NURBS 高阶的连续性。 关键词：比例边界有限元；非均匀有理 B 样条；应力强度因子；断裂力学；自适应分析 中图分类号：O346.1 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2014.12.1085
[3] [1] [2]
这使得分析变得不方便或带来较大的计算工作量。 比例边界有限元是最早于 20 世纪 90 年代末由 Song 和 Wolf[4
―5]
提出的一种全新的半解析方法。 由
于引入比例坐标系统，该方法如同边界元一样仅需 要离散计算域的边界，但不需要基本解。不但避免 了奇异积分的复杂计算，还使其可以方便地分析各 向异性材料。在裂纹尖端，物理场沿环向的变化平
使用加权余量法对弹性力学微分方程环向弱 化，可以得到控制方程(二阶常微分方程组)和边界 条件如下：
函数相关。
E 0 2 u( ), ( E 0 + E 1T E 1 ) u( ), E 2 u( ) 2 Fb ( ) Ft ( ) 0 E u, E u P
第 33 卷第 7 期 2016 年 7 月
Vol.33 No.7 July 2016
工
程
力
学 7
ENGINEERING MECHANICS
文章编号：1000-4750(2016)07-0007-08
比例边界等几何方法在断裂力学中的应用
庞
摘
林，林 皋，钟 红
(大连理工大学建设工程学部水利工程学院，大连 116024)
———————————————
收稿日期：2014-12-29；修改日期：2015-03-30 基金项目：国家自然科学基金项目(51579033)；国家自然科学青年基金项目(51109134)；中国博士后基金特别项目(2013T60283)；国家自然科学 基金委创新研究群体项目(51421064) 通讯作者：庞林(1989―)，男，河北人，博士生，主要从事水工结构抗震研究(E-mail: panglin1989@). 作者简介：林皋(1929―)，男，江西人，教授，博导，中国科学院院士，主要从事水利工程及地震工程研究(E-mail: gaolin@)； 钟红(1981―)，女，湖南人，副教授，博士，主要从事混凝土结构静动力分析研究(E-mail: hzhong@).
0 1T
(6) (7)
图 2 坐标系变换及 NURBS 离散模型 Fig.2 Coordinates system transformation and NURBS discrete model
其中：E0、E1 和 E2 为与几何相关的常系数矩阵；P 为=1 的外边界力。当体积力 Fb ( ) 或通过相似中 心 O 的非离散的侧边界(图 2 中 OA、OB)上的作用 力 Ft ( ) 均为零时，满足控制方程的通解可以表示 成位移模态求和的形式，其中积分常数 ci 可由边界 条件确定。
3 自适应分析策略
图 3 给出了 h 细分(结点插入)和 p 细分(连续性 升阶)两种细分方式， 从图中可以看出非均匀有理 B 样条具有灵活的保型细分特性，计算模型始终与从 CAD 导入的设计模型一致。 计算中， 可以根据求解 的收敛情况细分模型，达到自适应分析的目的。预 先给定允许位移容差 u 和判据：
( ) 对应的权系数。非均 wi 为与 B 样条基函数 N i, p
匀有理 B 样条 S ( ) 由式(3)给出，式中 Pi 为控制点 向量。
(a) 基函数
(b) 非均匀有理 B 样条曲线 图 1 非均匀有理 B 样条曲线的构造 Fig.1 Construction of NURBS curve
图 1 中样条曲线的节点矢量为 ={0,0,0,0.5, 0.5,1,1,1}，基函数的阶数 p=2，控制点构成的控制 网如上图中虚线所示。 非均匀有理 B 样条作为基函 数具有以下特点[13]： 非负性、 单位分解性、 凸包性、 紧支性、灵活的连续性、保型的 p 细分(升阶)或 h 细分(插入节点)策略；显式的导数表达式。
SCALED BOUNDARY ISOGEOMTRIC ANALYS APPLIED TO FRACTURE MECHANICS PROBLEM
PANG Lin , LIN Gao , ZHONG Hong
(School of Hydraulic Engineering, Faculty of infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)
2 比例边界等几何分析方法
如图 2 所示，外边界采用 NURBS 基函数离散 表示，可写成式(5)所示形式。进而通过比例变换的 思想，域内任一点坐标可表示为：
工
程
力
学
9
ˆ ( , ) ( R( ) xcps x0 ) x0 x (4) ˆ( y , ) ( R( ) ycps y0 ) y0 物理域的位移场可以近似地按等参的形式 构造： u ( , ) R( )u( )cps (5)
传统的比例边界有限元方法，边界采用拉格朗 日基函数离散。使用该基函数进行插值，对于不连 续数据，震荡现象会随基函数阶数的增加而加剧。 而计算机辅助设计(CAD)系统中常用的基函数非均 匀有理 B 样条(NURBS)则可以保持插值曲线的平滑 性[13]。用 NURBS 插值沿环向平滑变化的应力场应 更加合适。此外，NURBS 具有优秀的造型能力， 是沟通 CAD 几何模型设计和有限元分析的重要手 段[14]。使有限元分析的模型与设计的模型一致，无 需剖分网格。这不但确保了几何外形的精确性还节 省了划分网格的耗时。由于其具有保型细分的能 力，二维问题中自适应分析策略的实施也十分方 便。因而使用 NURBS 作为外边界造型和离散的基 函数可以在一定程度上提高了比例边界有限元分 析问题的能力，并使其有望实现 CAD 与 CAE 的无 缝对接。在文献[15]中，本文作者之一将这种方法 称 作 比 例 边 界 等 几 何 分 析 方 法 (Scaled Boundary Isogeomtric Analys-SBIGA)，并已被应用于求解静 力和动力问题[16]。本文将该方法进一步扩展到断裂 力学问题的分析中。基于简单的自适应策略，比较 了该方法与传统比例边界有限元的收敛行为。并定 性讨论其能够提高分析精度的原因。值得注意的 是，几乎同时 Natarajan[17]也做了相关的研究。与之 不同，本文更侧重于通过自适应策略对 SBIGA 收 敛行为和精度来源的讨论。