必修1 第三章 函数的概念与性质 第3.2节(1)
人教新课标高中数学教材章节目录
必修1→4→5→2→3普通高中课程标准实验教科书数学必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用普通高中课程标准实验教科书数学必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系普通高中课程标准实验教科书数学必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码普通高中课程标准实验教科书数学必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换普通高中课程标准实验教科书数学必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4 基本不等式普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图4．2结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图选修2 系列2由3个模块组成选修2-1常用逻辑用语圆锥曲线空间中的向量与立体几何选修2-2导数及其应用推理与证明数系的扩充与复数的引入选修2-3计数原理统计案例概率选修3 系列3由6个模块组成选修3-1 数学史选讲选修3-2 信息安全与密码选修3-3球面上的几何选修3-4对称与群选修3-5欧拉公式与闭曲面分类选修3-6三等分角与数域扩充选修4 系列4由10专题组成选修4-1几何证明选讲选修4-2矩阵与变换选修4-3数列与差分选修4-4坐标系与参数方程选修4-5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法第一节不等式的基本性质和一元二次不等式的解法第二节基本不等式第三节绝对值不等式的解法第四节绝对值的三角不等式第五节不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用第一节柯西不等式第二节排序不等式第三节平均值不等式（选学）第四节最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式第一节数学归纳法原理第二节用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式选修4-6初等数论初步选修4-7优选法与试验设计初步选修4-8统筹法与图论初步选修4-9风险与决策选修4-10开关电路与布尔代数。
高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件
然，其原因是没有关注到 t 的变化范圈。 下面用更精确的语言表示问题 1 中 S 与 t 的对应 关系。列车行进的路程 S 与运行时间 t 的对应关 系是列车行进的路程 S 与运行时间/的对应关系是 S=350t. ①,
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2.函数的三要素
定义域 值域 对应法则f
定义域
决定
值域
对应法则
3.会求简单函数的定义域和函数值
4.理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式转化为区间。
3.1.2函数的表示法
复习引入
函数的定义：设A、B是非空的实数集，如果
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对 应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定 义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函 数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
显然值域是集合B的子集
复习引入
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R (2)如果y=f (x)是分式，则定义域是
使分母不等于0的实数的集合
(3)如果y=f (x)是偶次根式，则定义域是
高中数学新教材必修第一册第三章 函数的概念与性质基础知识
第三章 函数的概念与性质1函数的概念：一般地，设B A ,是非空的实数集，如果对于集合A 中的 x ，按照某种 f ，在集合B 中都有 y 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(，其中，x 叫做 ，x 的取值范围A 叫做函数的 ，与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的 ，值域是集合B 的子集．2函数的三要素： 、 、 ． 求函数定义域的原则：(1)若()f x 为整式，则其定义域是 ；(2)若()f x 为分式，则其定义域是 ；(3)若()f x 是二次根式(偶次根式)，则其定义域是 ；(4)若()0f x x =，则其定义域是 ；(5)若()()0,1x f x a a a =>≠，则其定义域是 ；(6)若()()log 0,1a f x x a a =>≠，则其定义域是 ；(7)若f (x )=sinx,g (x )=cosx ，则其定义域是 ；(8)若x x f tan )(=，则其定义域是 ；求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)．4分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同对应关系的函数．6函数的单调性：(1)单调递增：设任意 ，当 时，有 .特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；(2)单调递减：设任意 ，当 时，有 特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数．7单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间．8复合函数的单调性：同增异减．9函数的最大值、最小值：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足: ,都有 ； 使得 ，那么称M 是函数的最大(小)值．10函数的奇偶性：偶函数：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数叫做 ；偶函数的图象关于 对称；奇函数：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数叫做 ；奇函数的图象关于 对称；若奇函数)(x f y =的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即(0)0f =.11幂函数：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数． 12幂函数()f x x α=的性质：①所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ； ①如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在区间[)0,+∞上是 ； ①如果0α<，则幂函数的图象在区间()0,+∞上是 ，①幂函数图象不出现于第四象限．。
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件1：3.2.2 奇偶性
[变式探究] 只将本例中的“偶”改为“奇”呢？ 解 方法一：∵函数f(x)是奇函数， ∴其图象关于原点对称，补全图象如图． 由图象可知f(1)＞f(3)． 方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)． 又函数y＝f(x)是奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)，f(－3)＝－f(3)． ∴－f(1)＜－f(3)．∴f(1)＞f(3)．
[变式探究] 把本例(2)的条件“f(－3)＝－3”换为“f(d)＝10”， 求f(－d)的值． 解 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，易知g(x)为奇函数， 所以f(d)＝g(d)＋2＝10，即g(d)＝8， 所以f(－d)＝g(－d)＋2＝－g(d)＋2＝－8＋2＝－6.
探究二 奇、偶函数的图象及应用
例2 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小． 解 方法一：∵函数f(x)是偶函数， ∴其图象关于y轴对称，补全图象如图． 由图象可知f(1)＜f(3)． 方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)． 又函数y＝f(x)是偶函数， ∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．∴f(1)＜f(3)．
探究三 函数奇偶性的简单应用
例 3 (1)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 是定义在[2b－5,2b－3]上的奇函
数，则 f12的值为(
)
A．13
B．98
C．1
D．无法确定
解析 奇函数定义域关于原点对称，∴2b－5＋2b－3＝0，即 b＝2.
又 f(x)是奇函数，故 f(－x)＋f(x)＝0，
[方法总结] 奇、偶函数图象对称性的两大应用 应用一：巧作函数图象． (1)奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称． (2)根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某 区间的部分图象，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图象问题．
高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示
第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。
如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。
函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。
数学必修一第三章知识点总结
数学必修一第三章知识点总结第三章是关于函数的知识点总结。
1. 函数的概念：函数是一个特殊的关系，将一个数集的每个元素与另一个数集的元素对应起来。
函数可以用一个公式、图像或者表格来表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是指能够使函数有意义的所有输入值的集合，值域是所有函数可能的输出值的集合。
3. 函数的图像：函数的图像是将函数的输入和输出对应起来的一种形象表示。
在平面直角坐标系中，函数的图像是一条曲线或者直线。
4. 函数的性质：函数可以是奇函数、偶函数或者普通函数。
奇函数满足 f(-x) = -f(x)；偶函数满足 f(-x) = f(x)；普通函数不满足奇偶性质。
5. 函数的性质：函数可以是单调递增函数、单调递减函数、增函数或者减函数。
单调递增函数满足 f(x1) < f(x2) 当且仅当 x1 < x2；单调递减函数满足 f(x1) > f(x2) 当且仅当 x1 < x2；增函数在定义域上满足 f(x1) < f(x2) 当且仅当 x1 < x2；减函数在定义域上满足 f(x1) > f(x2) 当且仅当 x1 < x2。
6. 反函数：函数的反函数将函数的输入和输出颠倒过来，即输入变为输出，输出变为输入。
反函数的定义域和值域与原函数相反。
7. 复合函数：复合函数是两个或多个函数的组合。
复合函数的定义域是能够使复合函数有意义的所有值的集合。
8. 基本初等函数：基本初等函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
这些函数具有特定的性质和图像特征。
9. 函数的运算：函数之间可以进行加减乘除和求导等运算。
函数的运算结果仍然是一个函数，具有相应的性质和图像特征。
以上是第三章关于函数的知识点总结。
在学习函数时，需要理解函数的概念和性质，掌握常见的函数类型和图像特征，以及函数的运算和组合等操作。
同时，还需要通过练习题和实例来巩固和应用所学知识。
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word
四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2x
0y 2
x
2
D
0
2x
学习新知
初中我们已知接触过函数的三种表示方法：解析法、列表法和图 象法
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6}
学习新知 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷 大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别表示 为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
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函数的性质-函数的单调性函数的单调性核心知识点一：单调函数定义域为I的函数f（x）的增减性2. 函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f （x ）在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间。
证明函数f （x ）＝x ＋x在（2，＋∞）上是增函数。
解析：任取x 1，x 2∈（2，＋∞），且x 1＜x 2， 则f （x 1）－f （x 2）＝x 1＋14x －x 2－24x ＝（x 1－x 2）＋2112)(4x x x x -＝212121)4)((x x x x x x --。
∵2＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，x 1x 2－4＞0， ∴f （x 1）－f （x 2）＜0， 即f （x 1）＜f （x 2）， ∴函数f （x ）＝x ＋x4在（2，＋∞）上是增函数。
总结提升： 方法归纳：利用定义证明函数单调性的步骤作出函数f （x ）＝⎩⎨⎧>+-1,3)2(,2x x 的图象，并指出函数f （x ）的单调区间。
解析：f （x ）＝⎩⎨⎧>+-≤--1,3)2(,1,32x x x x 的图象如图所示， 由图可知，函数f （x ）＝⎩⎨⎧>+-≤--1,3)2(,1,32x x x x 的单调递减区间为（－∞，1]和（1，2），单调递增区间为[2，＋∞）。
总结提升：方法归纳求函数单调区间的两种方法 （1）图象法，可分为三步： ①作出函数的图象； ②观察函数图象；③上升图象对应增区间，下降图象对应减区间。
（2）定义法，可分为三步： ①作差并变形； ②判断各因式符号；③如果各因式符号确定，则函数在该区间上具有单调性，如果因式符号不确定，则需确定分界点分类讨论以确定单调区间。
已知函数f （x ）＝x 2－2（1－a ）x ＋2在区间（－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围。
解析：∵f （x ）＝x 2－2（1－a ）x ＋2＝[x －（1－a ）]2＋2－（1－a ）2， ∴f （x ）的减区间是（－∞，1－a ]。
∵f （x ）在（－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合。
∴1－a ≥4，解得a ≤－3。
总结提升：函数单调性应用的关注点（1）已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数。
（2）应用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式（组）或方程，解不等式（组）或方程可求得参数的取值范围。
（3）“函数f （x ）的单调区间是（a ，b ）”与“f （x ）在区间（a ，b ）上单调”的区别：前者表明区间（a ，b ）是其单调区间的全部，而后者表明区间（a ，b ）是其单调区间的子集。
（4）注意运用数形结合的思想来解决问题。
已知f （x ）是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f （x －2）＜f （1－x ），则x 的取值范围为________。
解析：由题意，得⎩⎨⎧≤-≤-≤-≤-111121x x ，解得1≤x ≤2。
①因为f （x ）是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f （x －2）＜f （1－x ），所以x －2＜1－x ，解得x ＜23。
② 由①②得1≤x ＜23。
易错总结：（1）本题易忽视函数的定义域为[－1，1]，直接利用单调性得到不等式x －2＜1－x ，从而得出x ＜23的错误答案。
（2）解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f ”，从而转化为熟悉的不等式。
若函数y ＝f （x ）在区间D 上是增函数，则对任意x 1，x 2∈D ，且f （x 1）＜f （x 2），有x 1＜x 2；若函数y ＝f （x ）在区间D 上是减函数，则对任意x 1，x 2∈D ，且f （x 1）＞f （x 2），有x 1＜x 2。
需要注意的是，不要忘记函数的定义域。
1. 证明判断单调性，变形是关键，常用的变形方法有“因式分解”，“配方”有理化等方法。
2. 单调性的判断方法，有图像法和定义法。
3. 已知函数单调性，求参数范围，要学会运用数形结合的方法。
结合图形来进行。
4. 抽象函数单调性问题，不要忽视了定义域。
（答题时间：30分钟）1. 若x 1，x 2∈（－∞，0），且x 1＜x 2，函数f （x ）＝x1，则f （x 1）与f （x 2）的大小关系是（ ）A. f （x 1）＞f （x 2）B. f （x 1）＜f （x 2）C. f （x 1）＝f （x 2）D. 以上都有可能2. 下列函数f （x ）中，满足对任意x 1，x 2∈（0，＋∞），当x 1<x 2时，都有f （x 1）>f （x 2）的是（ ）A. f （x ）＝x 2B. f （x ）＝x1C. f （x ）＝|x |D. f （x ）＝2x ＋13. 函数y ＝f （x ）在R 上为增函数，且f （2m ）＞f （－m ＋9），则实数m 的取值范围是（ ）A. （－∞，－3）B. （0，＋∞）C. （3，＋∞）D. （－∞，－3）∪（3，＋∞）4. 函数y ＝ax ＋1在R 上是单调递减的，则g （x ）＝a （x 2－4x ＋3）的单调递增区间是（ ）A. [2，＋∞）B. [－2，＋∞）C. （－∞，2]D. （－∞，－2]5. 已知函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋2在[－5，5]上单调，则实数a 的取值范围是（ ） A. a ≤－5 B. a ≥5C. －5≤a ≤5D. a ≤－5或a ≥56. 如图所示为函数y ＝f （x ），x ∈[－4，7]的图象，则函数f （x ）的单调递增区间是________。
7. 函数y ＝3|x |的单调增区间为________。
8. 证明：函数y ＝1x x在（－1，＋∞）上是增函数。
1. A 【解析】∵函数f （x ）＝x1在（－∞，0）上是减函数，又∵x 1，x 2∈（－∞，0），且x 1＜x 2，∴f （x 1）＞f （x 2）。
2. B 【解析】f （x ）＝x1在（0，＋∞）上为减函数，符合题意。
3. C 【解析】因为函数y ＝f （x ）在R 上为增函数，且f （2m ）＞f （－m ＋9），所以2m ＞－m ＋9，即m ＞3。
4. C 【解析】∵函数y ＝ax ＋1在R 上单调递减，∴a ＜0。
∴g （x ）＝a （x 2－4x ＋3）＝a （x －2）2－a ，抛物线开口向下，∴g （x ）的单调递增区间是（－∞，2]。
5. D 【解析】函数f （x ）＝（x ＋a ）2＋2－a 2的图象的对称轴为x ＝－a 。
∵f （x ）在[－5，5]上是单调的，∴－a≤－5或－a≥5。
故实数a 的取值范围是a≤－5或a≥5。
6. [－1.5，3]和[5，6]【解析】由图象知单调递增区间为[－1.5，3]和[5，6]。
7. [0，＋∞） 【解析】y ＝3|x |＝⎩⎨⎧<-≥.0,3,0,3x x x x由一次函数的单调性可得，单调增区间是[0，＋∞）。
8. 【解析】证明：设x 1>x 2>－1，则y 1－y 2＝111+x x －122+x x ＝)1)(1(2121++-x x x x 。
∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴)1)(1(2121++-x x x x >0，即y 1－y 2>0，y 1>y 2，∴y ＝1+x x在（－1，＋∞）上是增函数。
函数的最值注意：1. 对函数的最值的理解（1）最大值（或最小值）必须是一个函数值，是值域中的一个元素。
如函数f （x ）＝－x2（x∈R）的最大值是0，有f（0）＝0。
（2）使函数f（x）取得最值的自变量的值有时可能不止一个。
如函数f（x）＝x2，x∈[－1，1]的最大值是1，此时有f（1）＝f（－1）＝1，即取得最大值的自变量有两个。
（3）不等式f（x）≥M或f（x）≤M中的x是函数定义域中的任意值，不能是定义域中的部分值。
（4）不等号“≤”或“≥”中的等号必须能够成立，否则M不是函数的最值。
2. 函数的最值与值域的关系（1）函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域。
（2）函数的值域一定存在，而函数的最大（小）值不一定存在。
（3）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，即此时函数的最大值是其值域中的最大值，函数的最小值是其值域中的最小值。
典例一：利用函数的图象求函数的最值（1）函数f（x）在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）A. －2，f（2）B. 2，f（2）C. －2，f（5）D. 2，f（5）解析：由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f（5）。
（2）求函数f（x）＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<)21()10(1xxxx的最值。
函数f（x）的图象如图解析：由图象可知f（x）的最小值为f（1）＝1，无最大值。
总结提升：利用图象法求函数最值（1）利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法，对图象易作出的函数常用此法。
（2求函数f （x ）＝1-x 在区间[2，5]上的最大值与最小值。
解析：任取2≤x 1＜x 2≤5，则f （x 2）－f （x 1）＝122-x x －111-x x ＝)1)(1(1221---x x x x 。
∵2≤x 1＜x 2≤5，∴x 1－x 2＜0，x 2－1＞0，x 1－1＞0， ∴f （x 2）－f （x 1）＜0，∴f （x 2）＜f （x 1），∴f （x ）＝1-x x在区间[2，5]上是减函数， ∴f （x ）max ＝f （2）＝122-＝2，f （x ）min ＝f （5）＝155-＝45。
总结提升：方法归纳函数的单调性与最值的关系：（1）若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f （x ）在[a ，b ]上的最大值为f （a ），最小值为f （b ）；（2）若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f （x ）在[a ，b ]上的最大值为f （b ），最小值为f （a ）。
已知函数f （x ）＝3x 2－12x ＋5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值。
（1）x ∈R ；（2）[0，3]；（3）[－1，1]。
解析：f （x ）＝3x 2－12x ＋5＝3（x －2）2－7。
（1）当x ∈R 时，f （x ）＝3（x －2）2－7≥－7， 当x ＝2时，等号成立。
即函数f （x ）的最小值为－7，无最大值。