第五章--GM系列模型
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GM模型
Φ = [a u]T 为待辨识参数向量, 则(2 − 21)可写成
Y = BΦ (2 − 22)
参数向量Φ可用最小二乘法求取,即 ˆ = [a , u]T = ( BT B )−1 BT Y Φ ˆ ˆ
(2 − 23)
把求取的参数代入(2 − 16)式, 并求出其离散解为
ˆ ˆ ˆ u − ak u ˆ x ( k + 1) = [ x (1) − ]e + ˆ ˆ a a 还原 到原始 数据 得
(1) (1)
(2 − 24)
ˆ (0) ( k + 1) = x (1) ( k + 1) − x (1) ( k ) ˆ ˆ x ˆ ˆ u − ak ˆ a (1) = (1 − e )[ x (1) − ]e ˆ a
(2 − 25)
(2 − 24),(2 − 25)式称为GM (1.1)模型的时间相应函数 模型, 它是GM (1.1)模型灰色预测的具体计算公式.
计算后 验差 比为
C = S 2 / S1
计算小误 差概率为
(2 − 36)
(2 − 37)
p = P { e( k ) − e < 0.6745 S1 }
指标C 和p是后验差检验的两个重要指标.指标C 越小 越好, C 越小表示S1大而S2 越小. S1大表示原始数据方差 大,即原始数据离散程度大.S2小表示残方差小,即残 差离散程度小.C 小就表明尽管原始数据很离散,而模 型所得计算值与实际值之差并不太离散.
(2 − 32)
计 算相对误 差得
e( k ) rel ( k ) = (0) × 100%, k = 1, 2,L , n x (k )
计 算平 均相对 误差 得
第五章--GM系列模型
x (k ) ax (k ) b
( 0) (1)
其中
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n)) k (1) x (k ) x (0) (i) k 1,2,, n
齐次指数序列模拟分析
分别以
X ，X
( 0) 1
( 0) 2
,, X
( 0) 25
作为基础数据序列建立均值GM(1,1)模型(EGM)、
原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)
模型(EDGM)和离散GM(1,1)模型(DGM)，对模拟误
差进行对比分析。
20
第五章 GM系统模型
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
非指数增长序列模拟分析
表5.2.2 4种GM(1,1)模型非指数增长序列模拟误差
序列序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
BACK
-a 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
EGM 0.030994 0.658978 0.495833 1.010474 1.550886 1.626294 1.343565 5.155856 4.353253 4.736323 5.236438
型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)和离散
GM(1,1)模型(DGM)的适用范围，为人们在实际建模
过程中正确地选择模型提供参考和依据。 方法手段
分别对齐次指数序列、非指数增长序列和振
GM模型的应用
GM(1,1)预测模型的应用灰色预测是基于GM(1,1)预测模型的预测，按其应用的对象可有四种类型： (1)数列预测。
这类预测是针对系统行为特征值的发展变化所进行的预测。
(2)灾变预测。
这类预测是针对系统行为的特征值超过某个阙值的异常值将在何时出现的预测。
(3)季节灾变预测。
若系统行为的特征有异常值出现或某种事件的发生是在一年中的某个特定的时区，则该预测为季节性灾变预测。
(4)拓扑预测。
这类预测是对一段时间内系统行为特征数据波形的预测。
例1（数列预测）：设原始序列)679.3,390.3,337.3,278.3,874.2())5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0(==x x x x x X试用GM(1,1)模型对)0(X 进行模拟和预测，并计算模拟精度。
解：第一步：对)0(X 进行一次累加，得)558.16,897.12,489.9,152.6,874.2()1(=X 第二步：对)0(X 作准光滑性检验。
由)1()()()1()0(-=k x k x k ρ得5.029.0)5(,5.036.0)4(,54.0)3(<≈<≈≈ρρρ。
当k>3时准光滑条件满足。
第三步：检验)1(X 是否具有准指数规律。
由)(1)1()()()1()1()1(k k x k x k ρσ+=-=得29.1)5(,36.1)4(,54.1)3()1()1()1(≈≈≈σσσ当k>3时，5.0],5.1,1[)k ()1(<=∈ρσ，准指数规律满足，故可对)1(X 建立GM(1,1)模型。
第四步：对)1(X 作紧邻均值生成，得)718.14,184.11,820.7,513.4()1(=Z于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=679.3390.3337.3278.3)5()4()3()2(,1718.141184.111820.71513.41)5(1)4(1)3(1)2()0()0()0()0()1()1()1()1(x x x x Y z z z z B 第五步：对参数列T b a ],[ˆ=α进行最小二乘估计。
GM模型
1111140122 经创1102 董林威 基于GM （1，1）模型的全国铁路货运量预测摘要：本文将灰色系统理论应用于全国铁路货运量预测，建立了全国铁路货运量的GM（1，1）模型，并通过残差检验、关联度检验和后验差检验等方法验证模型的可行性。
该方法预测精度高、计算速度快，非常适用于全国铁路货运量预测。
关键词：灰色预测；GM （1，1）；货运量一、 引言铁路货运作为现代综合运输体系中的重要组成部分，在煤、电、油、粮食大宗货物运输等方面发挥着不可替代的作用，因而对国民经济的增长具有重大影响。
铁路货运量是评估中国GDP 增长量的重要指标之一，并与用电量、贷款发放量一起被用于分析宏观经济形势。
这三大指标又称为“克强指数”。
所以说对全国铁路货运量进行预测分析可以间接的对我国的宏观经济的走向进行分析和整体上认识预测。
同时铁路运输是一个庞大复杂的运输系统，充满了很多确定性因素和不确定因素，利用灰色预测方法能够很好的对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，本文利用灰色预测理论建立GM （1，1）模型对全国铁路未来几年的货运量进行预测。
二、 建模实证分析1、灰色预测模型信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统成为灰色系统。
灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知"的“小样本"、“贫信息"不确定性系统，它通过对“部分"已知信息的生产、开发实现对现实世界的确切描述和认识。
灰色预测是基于GM 模型作出的定量预测，有GM(1,1)模型、残差 模型、新陈代谢 模型、灰色Verhulst 模型、离散灰色模型等几种类型。
本文采用使用最广泛的GM(1,1)模型。
2、GM （1，1）模型设(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)((1),(2),,,()),((1),(2),,,())X x x x n X x x x n ==称(0)()()()k Xk ax k b +=为 模型的原始形式。
第五章-车辆跟驰理论.
T，前车在t时刻的动作，后车要经过（t+T）时刻才能做 出相应的动作，这就是延迟性。
3、传递性
由制约性可知，第一辆车的运行状态制约着第二辆车的运 行状态，第二辆车又制约着第三辆车，…，第n辆车制约 着第n+1辆。一旦第一辆车改变运行状态，其效应会一辆 接一辆的向后传递，直至车队最后一辆，这就是传递性。
Weidman的研究则认为车头间距小于等于150m时，车辆 处于跟驰状态。
在跟驰理论中，目前常用的判定跟驰状态的方法有两种。
➢ 一种是基于期望速度的判定方法，它是通过判断前车速度 是否小于后随车的期望车速来判定车辆是否处于跟驰状态；
➢ 另一种是基于相对速度绝对值的判定方法，它是利用前后 车速度差的绝对值随车头时距变化规律定量地判定车辆行 驶的状态。
其中，L-1表示拉普拉斯的逆变形。 类似地，可以得到车辆速度和车辆间距的变化情况。
因此，可将拉普拉斯逆变换表示成e a 0 t 、e ib 0 t 。对于不 同的C值，跟驰行驶两车的运动情况可分为四类：
a）如果C≤e-1(≈0.368)，a0≤0，b0=0，间距不发生波 动，振幅呈指数衰减；
b）如果 e-1 ＜C＜π/2， a0 ＜0，b0＞0，间距发生 波动，振幅呈指数衰减；
左图为利用计算机模拟的方
法给出的相关运动参数曲线。 C=e-1，由前面所讲可知，属第一 类，即车头间距不发生波动的情 况。头车先减速行驶，然后加速 到起始速度，采用恒定的加速度 和减速度。实线代表头车，虚线 代表跟车。由于C 在车辆局部稳 定的限制范围内，所以跟车的加 速度和速度以及车头间距都没有 发生波动。
紧随要求、车速条件和间距条件构成了一对汽车跟驰行驶 的制约性，即前车的车速制约着后车的车速和车头间距。
3、传递性
由制约性可知，第一辆车的运行状态制约着第二辆车的运 行状态，第二辆车又制约着第三辆车，…，第n辆车制约 着第n+1辆。一旦第一辆车改变运行状态，其效应会一辆 接一辆的向后传递，直至车队最后一辆，这就是传递性。
Weidman的研究则认为车头间距小于等于150m时，车辆 处于跟驰状态。
在跟驰理论中，目前常用的判定跟驰状态的方法有两种。
➢ 一种是基于期望速度的判定方法，它是通过判断前车速度 是否小于后随车的期望车速来判定车辆是否处于跟驰状态；
➢ 另一种是基于相对速度绝对值的判定方法，它是利用前后 车速度差的绝对值随车头时距变化规律定量地判定车辆行 驶的状态。
其中，L-1表示拉普拉斯的逆变形。 类似地，可以得到车辆速度和车辆间距的变化情况。
因此，可将拉普拉斯逆变换表示成e a 0 t 、e ib 0 t 。对于不 同的C值，跟驰行驶两车的运动情况可分为四类：
a）如果C≤e-1(≈0.368)，a0≤0，b0=0，间距不发生波 动，振幅呈指数衰减；
b）如果 e-1 ＜C＜π/2， a0 ＜0，b0＞0，间距发生 波动，振幅呈指数衰减；
左图为利用计算机模拟的方
法给出的相关运动参数曲线。 C=e-1，由前面所讲可知，属第一 类，即车头间距不发生波动的情 况。头车先减速行驶，然后加速 到起始速度，采用恒定的加速度 和减速度。实线代表头车，虚线 代表跟车。由于C 在车辆局部稳 定的限制范围内，所以跟车的加 速度和速度以及车头间距都没有 发生波动。
紧随要求、车速条件和间距条件构成了一对汽车跟驰行驶 的制约性，即前车的车速制约着后车的车速和车头间距。
2025届高考物理一轮复习课件第五章第3课时专题强化：卫星变轨问题双星模型
m2 2G r2
√B.每颗星体运行的周期均为 2π
r3 3Gm
C.若 r 不变，星体质量均变为 2m，则星体的角速度变为原来的 4 倍
D.若 m 不变，星体间的距离变为 4r，则星体的线速度变为原来的14
考点二 双星或多星模型
任意两颗星体间的万有引力大小 F0＝Gmr22， 每颗星体受到其他两个星体的引力的合力为 F＝2F0cos 30°＝ 3Gmr22，A 错误； 由牛顿第二定律可得 F＝m(2Tπ)2r′，
考点三 星球“瓦解”问题 黑洞
2.黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家 一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃 逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的 2倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
考点三 星球“瓦解”问题 黑洞
例6 2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星
考点一 卫星的变轨和对接问题
(3)周期 卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为 T1<T2<T3 。 (4)机械能 在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒 。若卫星在 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道 Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速， 则机械能关系为 E1<E2<E3 。
卫星的变轨和对接问题
考点一 卫星的变轨和对接问题
1.卫星发射模型
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上， 卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有GMr1m2 ＝mvr12，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心 力变大，GMr1m2 <mvrA12，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在椭圆轨道 B 点(远地点)，GMr2m2 >mvrB22，将做近心运 动，再次点火加速，使 GMr2m2 ＝mvBr′2 2，进入圆轨道Ⅲ。
灰色模型GM的建模
功的。
《企业经济》!""! 年第 ## 期
管理纵横
图 # 的曲线 )折线有明显的摆动，而图 ! 则无摆动。或
说图 # 有明显的随机性，而图 ! 的随机性有明 Nhomakorabea的弱化。
二、./ ) #，# * 模型的特点
)# * 、灰色模型建立的是微分方程型的模型；
) ! * 、灰色理论把随机变量当作是在一定范围内的灰色
) 3 * 、可以建立残差 ./ ) #，# * 模型，提高预测精度；
) 4 * 、可以建立残差检验、后验差检验、关联度检验三
种检验方法。
三、./ ) #，# * 的建模原理
)# * 、数据处理
给定待测数据序列 5)"* ) % * & ) ()"* )# * 6 ()"* )! * ，………6
()" * ) 7 * * ，采用累加生成 ) 0.1 * 法，得到没有随即性和波动
的生成数列 ) 递增或递减 *。基于光滑离散函数的收敛性
与关联空间的极限概念定义灰导数。目前使用最广泛的
模 型 是 关 于 数 列 预 测 一 个 变 量 、 一 阶 微 分 的 ./ ) #， # *
模型。经证明，经一阶线性方程的解逼近所揭示原始时
间数据列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含
着 指 数 变 化 规 律 时 ， 灰 色 ./ ) #， # * 的 预 测 将 是 非 常 成
)作者单位：江西省物资学校 * ) 责任编辑 吴赣英 *
!"
性的新的数据序列 5)# *$) % * & ) 5)# * ) # * 6 5)# * ) ! * 6 ………，
5)# * ) 7 * * 。其中 5)# * ) 8%*&&# ,()" * ) % * & ) 8 & #6 !6 ………，7 *
GM模型课件
优点分析
简洁性
GM模型在形式上非常简洁，易于理解和实 现。
高效性
GM模型在训练和预测阶段都表现出较高的 效率，尤其在大数据集上。
通用性
GM模型适用于多种类型的预测问题，如时 间序列预测、回归分析和分类问题等。
灵活性
GM模型可以通过调整参数和核函数来适应 不同的数据分布和预测需求。
缺点分析
对异常值敏感
人口预测
利用GM模型预测未来人口数量和结构变化，为政府制定人口政 策提供数据支持。
决策模型的应用
投资决策
通过GM模型评估不同投资项目的风险和收益， 帮助企业选择最优的投资方案。
生产计划
利用GM模型制定生产计划，优化资源配置，提 高生产效率。
物流配送
通过GM模型优化物流配送路线，降低运输成本，提高配送效率。
发展
随着GM模型的广泛应用，其理论和应用方法不断得 到完善和发展。
未来展望
随着大数据和人工智能技术的不断发展，GM模型有 望在未来实现更加精准和智能化的预测。
02
GM模型的原理与计算
GM模型的数学原理
灰色系统理论
GM模型基于灰色系统理论，该理论认为现实世界中许多 系统都是部分信息已知、部分信息未知的，因此可以通过 已知信息来推导未知信息。
预测精度
预测精度是另一个重要的参数，用于衡量预测结果的准确程度。根据实际需求，可以选择不同的预测精度要求。
GM模型的计算过程
数据预处理
对原始数据进行预处 理，包括缺失值填充 、异常值处理等。
生成数据序列
根据累加生成的方式 ，将原始数据转换为 新的数据序列。
建立GM模型
根据已知数据序列建 立GM模型，包括选 择合适的灰数类型和 预测精度要求。
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化微分方程式的解构造GM(1,1)时间响应式的差分、
微分混合模型称为GM(1,1)模型的均值混合形式，简 称均值GM(1,1)模型（Even Grey Model, EGM）
定理3
均值GM(1，1)模型的时间响应式为：
ˆ x
BACK
(1)
(k ) ( x
(0)
b a ( k 1) b (1) ) e a a
ODGM的时间响应式直接借助原始差分方程的解：
原始差分GM（1,1）模型的时间响应式
ˆ x
BACK
(1)
b 1 k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 a a
(0)
19
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
均值GM(1,1)模型(EGM) 基于GM(1,1)模型的均值形式估计模型参数，借助白
第五章 GM系统模型
20
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
均值差分GM(1,1)模型 基于GM(1,1)模型的均值形式估计模型参数，直接以 均值差分方程的解作为时间响应式所得模型称为 GM(1,1)模型的均值差分形式，简称均值差分GM(1,1) 模型（Even Difference Grey Model, EDGM）. EDGM的时间响应式直接借助均值差分方程的解：
4
第五章 GM系统模型
引 言
少数据信息：序列有 效建模数据少，不符 合统计预测建模要求
灰信息 内涵
灰数信息：序列数据 真实信息难以获取， 只能了解大概的范围
5
第五章 GM系统模型
引 言
首篇论文: 邓聚龙,灰色动态模型(GM)及在粮食长期预测中的应用,大自 然探索,1984年第3期,37-43. 出发点: (1)通过对数据序列的映射处理,为微分拟合建模提供中间信 息 (2)通过数据的序列生成弱化原始数据序列的随机性(尤其是 对非平稳数据序列随机性的弱化) (3)提出模块预测和累加生成的思想
Modelling sequence generating Parameter solving of main variable
Model form choice
Forecasting/ simulating sequence
GM(1,N) DGM(1,N) GM(n, h)
Background value generating
GM(1,1) 模型的离散形式
x(1) (k 1) 1x(1) (k ) 2
其中
(1) k
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n))
x (k ) x (0) (i) k 1,2,, n
x
BACK
(1)
b 1 0.5a k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 0.5a a
(0)
21
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
离散GM(1,1)模型
x(1) (k 1) 1x(1) (k ) 2
称为GM(1,1)模型的离散形式 离散 GM(1,1) 模型的递推公式（时间响应式）为 定理 4 离散 GM(1,1) 模型的时间响应式为
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n))
Z (1) ( z (1) (2), z (1) (3),, z (1) (n))
1 (1) , n z (k ) ( x (k ) x (1) (k 1)) k 2,3， 2
(1)
BACK
我国”十一五”节能降耗总目标实
现难度加大,准确把握未来发展趋势, 及时调整产业结构,将具有重要的意 义.
2004 2005 2006 2007
6
第五章 GM系统模型
引 言
模块:在时间-数据二维平面将连续曲线及其底部相连接区域.
数据t 数据t
灰色模块
模块变动趋势
白色模块
时间t
时间t 预测时点
白色数据构成的称为白色模块,由白色模块外推 到未来的模块,即预测值的模块,称为灰色模块.
7
第五章 GM系统模型
引 言
灰色预测模型是通过数据处理来分析和对待随机量,也就是通 过数据到数据的”映射”,时间序列到时间序列的”映射”来处 理和发现规律, 称之为灰色序列生成 邓聚龙,累加生成的灰指数律—灰色控制系统的 优化信息处理问题,华中工学院学报 累加生成是一种有效的弱化数据序列随机性的方法 . ,1987
i 1
BACK
18
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
原始差分GM(1,1) 模型 基于GM(1,1)模型的原始形式估计模型参数，直接以
原始差分方程的解作为时间响应式所得模型称为
GM(1,1)模型的原始差分形式，简称原始差分GM(1,1)
模型（Original Difference Grey Model, ODGM）
x (k ) x (0) (i) k 1,2,, n
i 1
Grey Model 1阶方程 1个变量
GM(1,1)
BACK
14
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
GM(1,1) 模型的白化方程
d
x
(1)
dt
ax
(1)
b
白化方程的解
x
(1)
(t ) ( x
BACK
24
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
ˆ [a, b]T ( BT B) 1 BT Y，则 定理2.1.2 设 B, Y , a a ˆ如定理2.1.1所述，
(1) dx (1)白化方程 ax (1) b 的解也称时间响应函数为 dt
b b x (1) (t ) ( x (1) (1) )e at a a
ˆ x
(1)
b 1 k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 a a
(0)
（2）均值形式差分方程的解
x
(1)
b 1 0.5a k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 0.5a a
(0)
17
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
(2)GM(1,1)模型 x (0) (k ) az (1) (k ) b 的时间响应序列为
b b ˆ (1) (k 1) ( x (0) (1) )e ak ; k 1, 2, x a a
(3)还原值
n
b ˆ (0) (k 1) (1) x ˆ (1) (k 1) x ˆ (1) (k 1) x ˆ (1) (k ) (1 e a )( x (0) (1) )e ak x a
图1.1 4 3 2 1 0 系列1 1 1 2 2 3 1.5 4 3
8 6 4 2 0 系列1 1 1 2 3 3 4.5 4 7.5
图1.2
8
第五章 G典型模块(典型曲线)的信息 收集; (2)对原始白色信息进行典型曲 线建模; (3)对原始白色信息和典型曲线 拟合信息进行精度检验和关联 分析; (4)选定典型拟合曲线; (5)确定上下界灰模块; (6)预测.
k 1,2,n
定义2.1.4 称GM(1,1)模型中的参数 a为发展系数，b 为灰色作用量
。
BACK
25
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
例2.1.1
2003年以来我国宏观经济
和能源消耗均持续快速增长,其中最
重要的推动力就是工业化进程的加 速,高耗能行业产值占工业比重,工业 产值占全国GDP比重不断上升,使得
2 k 2 ˆ (k ) [x (1) x ]1 1 - 1 1 1
(1) (0)
22
BACK
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
GM(1,1) 模型的均值形式
x (k ) az (k ) b
( 0) (1)
其中
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
23
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
定理2.1.1 设 X (0) , X (1) , Z (1) 如定义2.1.1和2.1.2所示： 若a ˆ (a, b)T 为参数列，且
x (0) (2) (0) x (3) Y (0) x ( n)
(1)
b at b (1) ) e a a
15
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
GM(1,1) 模型的均值形式
x (k ) az (k ) b
( 0) (1)
其中
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n))
–GM(1,1)模型群
–GM(0,N )模型 –灰色 Verhulst模型（拓展内容）
10
第五章 GM系统模型
第一节
GM(1,1)模型的基本形式
BACK
11
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 GM(1,1)模型4种基本形式： （1）均值GM(1,1)模型(EGM)
（2）原始差分GM(1,1)模型(ODGM)
13
第五章 GM系统模型