河北省高考数学 基础知识备考训练(1)(详解)
2024年河北省高考数学试卷(新高考Ⅰ)含答案解析
绝密★启用前2024年江苏省高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|−5<x 3<5}，B ={−3,−1,0,2,3}，则A ∩B =( ) A. {−1,0} B. {2,3} C. {−3,−1,0} D. {−1,0,2}2.若z z−1=1+i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.已知向量a ⃗=(0,1)，b ⃗⃗=(2,x)，若b ⃗⃗⊥(b ⃗⃗−4a ⃗⃗)，则x =( ) A. −2B. −1C. 1D. 24.已知cos(α+β)=m ，tanαtanβ=2，则cos(α−β)=( ) A. −3mB. −m3C. m3D. 3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√ 3，则圆锥的体积为( ) A. 2√ 3πB. 3√ 3πC. 6√ 3πD. 9√ 3π6.已知函数为f(x)={−x 2−2ax −a,x <0,e x +ln(x +1),x ≥0在R 上单调递增，则a 取值的范围是( )A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞)7.当x ∈[0,2π]时，曲线y =sinx 与y =2sin(3x −π6)的交点个数为( ) A. 3B. 4C. 6D. 88.已知函数为f(x)的定义域为R ，f(x)>f(x −1)+f(x −2)，且当x <3时，f(x)=x ，则下列结论中一定正确的是( ) A. f(10)>100B. f(20)>1000C. f(10)<1000D. f(20)<10000二、多选题：本题共3小题，共18分。
河北高三数学练习题零基础
河北高三数学练习题零基础为了帮助河北高三学生提高数学水平，在这里提供一些零基础的数学练习题。
这些练习题包含了高中数学基础知识的各个方面，旨在帮助大家加深对数学概念和解题方法的理解，为高考提供更好的准备。
1. 解方程（1）求方程x^2 - 5x + 6 = 0的根。
（2）求方程2x + 5 = 3x + 2的根。
（3）求方程3x^2 + 4x + 1 = 0的根。
2. 因式分解（1）将4x^2 - 13x + 3进行因式分解。
（2）将8x^3 + 12x^2 - 10x进行因式分解。
（3）将x^2 + 6x + 9进行因式分解。
3. 求导数（1）求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 5的导数。
（2）求函数f(x) = 3x^2 + 4x + 2的导数。
（3）求函数f(x) = 2sin(x) - 3cos(x)的导数。
4. 极限计算（1）计算lim（x->2）(x^2 - 4) / (x - 2)的值。
（2）计算lim（x->0）sin(3x) / x的值。
（3）计算lim（x->∞）(3x + 2) / (4x - 1)的值。
5. 几何相关题目（1）已知直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度。
（2）正方形的面积为49平方单位，求其对角线的长度。
（3）在平面直角坐标系中，点A(2, 5)和点B(7, 9)的距离是多少？以上仅为部分练习题，供大家练习。
希望大家能够通过不断的练习提高数学水平，为高考取得好成绩做好准备。
在解题过程中，可以利用课本、参考书等资源，加深对数学知识的理解和应用。
祝愿各位河北高三学生在数学学习中取得好成绩！。
2023-2024学年河北省沧州市高考数学押题模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年河北省沧州市高考数学押题模拟试题（一模）一、单选题1．若复数z 满足5i 2iz =+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第一象限C ．第二象限D ．第四象限【正确答案】B【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而得12i z =-+，即可由几何意义求解.【详解】由5i 2iz =+，得()()()()512i 5512i i 2i 12i 12i 12i z --====--+-+-+--，所以12i z =-+，所以z 在复平面内对应的点为()1,2-，该点位于第二象限.故选:B.2．已知集合{}24,,3401A x x k B x x x k ⎧⎫=∈=∈=--≤⎨⎬+⎩⎭Z Z ∣∣，则A B = （）A ．{}1,1,2,4-B ．{}4,2,1,1---C ．[)(]1,00,4-⋃D ．[)(]4,00,1- 【正确答案】A【分析】根据列举法求解集合和求解一元二次不等式的解法即可求解.【详解】41x k =+，若要Z x ∈，则需14,2,1,1,2,4k +=---，所以解得1,2,4,4,2,1x =---所以{}4,2,1,1,2,4,A =---，{}()(){}{}234041014B x x x x x x xx =--≤=-+≤=-≤≤∣∣∣所以{}1,1,2,4A B ⋂=-.故选.A3．已知点)P为角α终边上一点，绕原点O 将OP 顺时针旋转5π6，点P 旋转到点Q 处，则点Q 的坐标为（）A ．()1-B ．(1,-C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】由三角函数的定义求得1cos 2αα==，根据题意得到射线OQ 为角5π6α-的终边，结合两角差的正、余弦公式，求得5πcos 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭和5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，进而求得点Q 的坐标，得到答案.【详解】因为)P，可得2OP =，由三角函数的定义，可得1cos 2αα==，又由绕原点O 将OP 顺时针旋转5π6，可得且射线OQ 为角5π6α-的终边，所以5π5π5π1cos cos cos sin sin6662ααα⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，5π5π5πsin sin cos cos sin 6662ααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，所以点Q 的坐标为(1,-.故选：B.4．某圆锥的侧面展开图是一个半径为π的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（）A B C ．4πD ．6π【正确答案】A【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，进而利用相似即可求解内切球半径.【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2ππr =⨯，所以r h ==R ，作出轴截面如图，利用相=，所以R =，所以34π4π333R V ⨯==.故选：A.5．已知平面向量,a b满足||1,||a b == ，且a 与b 的夹角为θ，则“1a b -= ”是“π6θ=”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据平面向量的夹角公式以及充要条件的概念可得答案.【详解】若1a b -= ，则2221a b a b +-⋅=，所以32a b ⋅=，所以cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，又[0,π]θ∈，所以π6θ=；若π6θ=，则222π||213213cos 16a b a b a b -=+-⋅=+-⨯= ，所以1a b -= ，所以a b -= 1”是“π6θ=”的充要条件.故选：C.6．2021年9月24日，继上世纪60年代在世界上首次完成人工合成结晶牛胰岛素之后，中国科学家又在人工合成淀粉方面取得颠覆性､原创性突破——国际上首次在实验室实现二氧化碳到淀粉的从头合成.网友戏称这一技术让“喝西北风”活着成为可能.从能量来源看，该技术涉及“光能一电能一化学能”等多种能量形式的转化，从技术流程上，该工艺分为四个模块：第一步是利用光伏发电将光能转变为电能，通过光伏电水解产生氢气，然后通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原成甲醇，将电能转化为甲醇中储存的化学能；第二步是将甲醇转化为三碳；第三步利用三碳合成六碳；最后一步是将六碳聚合成淀粉.在这个过程中的能量转化效率超过10%，远超光合作用的能量利用效率.经过实验测试，已知通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原生成甲醇的浓度()t ϕ与其催化时间t （小时）满足的函数关系式为()(0t t ma a ϕ=>，且1)a ≠.若催化后20小时，生成甲醇的浓度为20%，催化后30小时，生成甲醇的浓度为40%.若生成甲醇的浓度为50%，则需要催化时间约为（）（参考数据：lg20.301≈）A ．23.5小时B ．33.2小时C ．50.2小时D ．56小时【正确答案】B【分析】根据题意列方程组求得a 和m 的值，从而求出()t ϕ的表达式，令()0.5t ϕ=解方程即可求解.【详解】由题意得()()2030200.2,300.4,ma ma ϕϕ⎧==⎪⎨==⎪⎩解得1102,0.05a m ==，所以()100.052t t ϕ=⨯，令()100.0520.5t t ϕ=⨯=，所以10210t =，所以lg2lg1010t=，故lg10101033.2lg20.301t =⋅=≈小时.故选：B.7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(),4,(0)F A n n >为C 上一点，且5AF =，直线AF 交C 于另一点B ，记坐标原点为O ，则OA OB ⋅= （）A ．5B ．-4C ．3D ．-3【正确答案】D【分析】根据抛物线的焦半径可得2p =，进而可得()()1,0,4,4F A ，联立直线AF 与抛物线方程可得点1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由向量数量积的坐标公式即可求解.【详解】由题意得，抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为2px =-，因为()4,A n 为C 上一点，且5AF =，所以245,8,02pAF n p n =+==>，解得2,4p n ==，故抛物线2:4C y x =，焦点为()()1,0,4,4F A ，所以AF 的方程为()413y x =-，代入2:4C y x =，得216(1)49x x -=，整理得241740x x -+=，解得14x =或4x =，因为B 为C 上一点，则2144B y =⨯，由于A 在第一象限，所以1B y =-，所以1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以143OA OB ⋅=-=-.故选:D.8．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且在(],0-∞上单调递减，若34ln3351,,ln 81e 322a f b f c f⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】C【分析】构造函数()ln x g x x =，求导得函数的单调性，进而可判断33lne ln32ln810e 3281>>>，结合()f x 的奇偶性和单调性即可求解.【详解】由题意知，33ln81lne 51ln32,,ln 81e 32232a f b f c f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()ln x g x x =，则()21ln xg x x -'=，当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，此时()g x 在()e,+∞上单调递减，又354e e 23<<<，所以()()()354e 23g g g >>，即33lne ln32ln810e 3281>>>，又()f x 为奇函数且在(],0-∞上单调递减，所以()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以33lne ln32ln81e 3281f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b<c<a .故选：C.二、多选题9．已知函数()2f x ax bx c =++，其中a b c >>，若()10f =，则（）A ．2b bc >B ．ac bc <C ．ab ac >D ．22a c >【正确答案】BC【分析】由()10f =可得0,0a c ><，作差法可判断A ，根据不等式的性质判断BCD.【详解】由()10f =，得0a b c ++=，又a b c >>，所以0,0a c ><，且b 的符号不确定，故()2b bc b b c -=-的符号也不确定，故A 错误；由,0a b c ><，得ac bc <，故B 正确；由,0b c a >>，得ab ac >，故C 正确；因为0a c >>，两边平方后不等式不一定成立，故D 错误.故选：BC.10．已知2012(2)n nn x a a x a x a x -=++++ ，若12411a a =-，则（）A ．0121n a a a a ++++=B ．0123(1)3n nn a a a a a -+-++-=- C ．1232312n a a a na ++++=- D ．123231n a a a na ++++=- 【正确答案】AC【分析】根据二项式通项公式，展开式系数对应关系和特殊值法即可求解.【详解】(2)n x -的通项为1C (2)rn rr r n T x -+=-，由题意得()1312(2),(2)1n n a n a n n --=-⋅=--⋅-，因为12411a a =-，所以12n =.故1221201212(2)x a a x a x a x -=++++ .令1x =，得012121a a a a ++++= ，故A 正确；令=1x -，得120123123a a a a a -+-++= ，故B 错误；将1221201212(2)x a a x a x a x -=++++ 两边求导，得112111231212(2)2312x a a x a x a x -=++++ ，令1x =，得12312231212a a a a ++++=- ，故C 正确，D 错误.故选.AC11．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，,P M 分别是棱11,BC A B 的中点，连接1,,,BM CM C M R 是线段BM 的中点，Q 是线段AB 上靠近点B 的四等分点，则下列说法正确的是（）A ．平面RPQ //平面1C CMB ．三棱锥B RPQ -的体积与正三棱柱111ABC A B C -的体积之比为1:48C ．直线AC 与平面RPQ 所成的角为30D ．若124AB AA ==，则过,,A P R 三点作平面α，截正三棱柱111ABC A B C -所得截面图形的393【正确答案】ABC【分析】根据中位线可证线面平行，即可判断A,利用锥体体积以及柱体体积公式，结合比例关系即可判断B,利用线面角的定义即可求解C,利用面面垂直得到线面垂直,进而利用线线垂直求解长度即可判断D.【详解】取AB 的中点N ，连接,MN CN ，则四边形1MNCC 是矩形，又,P R 分别是棱BC BM ⋅的中点，Q 是线段AB 上靠近点B 的四等分点，所以,PR MC PR ⊄∥平面1,C CM MC ⊂平面1C CM ，所以PR //平面1C CM ，同理可得PQ //平面1C CM ，又,,PR PQ P PR PQ =⊂ 平面PQR ，所以平面PQR平面1C CM ，故A 正确,11112224B PQR P BRQ C BRQ R BCQ R ABCV V V V V -----====⨯三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥11111111111111242242348ABC ABC A B C ABC A B C V V V ---=⨯⨯=⨯⨯⨯=三棱锥M 三棱柱三棱柱,棱锥B RPQ -的体积与正三棱柱111ABC A B C -的体积之比为1:48，故B 正确；因为AB ⊥平面1MNCC ，平面RPQ //平面1MNCC ，所以ACN ∠即直线AC 与平面RPQ 所成的角，又,2CN AB AC AN ⊥=，所以30ACN ∠= ，即直线AC 与平面PQR 所成的角为30 ，故C 正确；连接AR 并延长交1BB 于点S ，连接PS ，则平面α截正三棱柱111ABC A B C -所得截面图形为PAS ，由于AP ⊂底面ABC ,AP BC,^BC 是平面11CBB C 与底面ABC 的交线，且平面11CBB C ⊥面ABC ，所以AP ⊥平面11CBB C ，PS ⊂平面11CBB C ,所以AP PS ⊥，所以124AB AA ==，故42,23,3BP AP SB ===，故224213233SP ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故121323923233PASS=⨯⨯=，故D 错误.故选.ABC12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为2，焦点6过2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，若H 、G 分别为12AF F △与12BF F △的内心，则（）A ．C 的渐近线方程为3y x =B ．点H 与点G 均在同一条定直线上C ．直线HG 不可能与l 平行D ．HG 的取值范围为4622,3⎡⎢⎣⎭【正确答案】ABD【分析】根据题意求出b 、a 、c 的值，可得出双曲线C 的渐近线方程，可判断A 选项；利用切线长定理以及双曲线的定义可判断B 选项；取l x ⊥轴，可判断C 选项；设直线AB 的倾斜角为θ，求出22HG =求出θ的取值范围，结合正弦函数的基本性质求出HG 的取值范围，可判断D 选项.【详解】设双曲线C 半焦距为c ，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，双曲线C 的右焦点()2,0F c b ==由题意知2c e a ===，所以22a =，所以c ==，故双曲线C 的方程为22126x y -=，故渐近线方程为y =，故A 正确；对于B 选项，记12AF F △的内切圆在边1AF 、2AF 、12F F 上的切点分别为M 、N 、E ，由切线长定理可得AM AN =，11F M F E =，22F N F E =，由122AF AF a -=，即()122AM MF AN NF a +-+=，得122MF NF a -=，即122F E F E a -=，记H 的横坐标为0x ，则()0,0E x ，于是()002x c c x a +--=，得0x a =，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG x ⊥轴，即H 、G 均在直线x a =上，故B 正确；对于C 选项，当l 与x 轴垂直时，//HG l ，故C 错误；对于D 选项，设直线AB 的倾斜角为θ，则22OF G θ∠=，2902HF O θ∠=-（O 为坐标原点），在2HF G △中，()()sin 90sin 22tan tan 9022cos cos 9022HG EG HE c a c a θθθθθθ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=-+-=-+ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.()()()sin cos 12222sin sin cos sin sin cos 2222c a c a c a θθθθθθθθ⎛⎫ ⎪-+=-=-⋅= ⎪⎝⎭，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C的一条渐近线的斜率为ba=60 ，结合图形可知60120θ<< ，sin 1θ<≤，所以，sin 3HG θ⎡=∈⎢⎣⎭，故D 正确.故选：ABD.方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.三、填空题13．已知函数()log 2e a f x x x a =++-，若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线310x y -+=平行，则=a __________.【正确答案】e【分析】根据求导公式和导数的几何意义即可求解.【详解】由题意知()12ln f x x a=+'，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率()1123ln k f a'==+=，所以12=3ln a+，解得e a =，故答案为.e14．已知实数,a b 满足221a b +=，则2b a -的取值范围为__________.【正确答案】33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意转化为圆221x y +=上的点与定点()2,0A 之间的连线的斜率，结合圆的性质，即可求解.【详解】由题意，设()(),,2,0P a b A ，且022b b k a a -==--可得2b a -表示点P 与点A 连线的斜率，其中点P 为圆221x y +=上的点，如图所示，在直角1OP A 中，可得1113tan 3OP OAP P A ∠==，可得直线1P A 的斜率为133k =-；在直角2OP A 中，可得2223tan 3OP OAP P A ∠==，可得直线2P A 的斜率为133k =，所以2b a -的范围为33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为.33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线π12x =-对称，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列判断正确的是__________.（请将所有正确答案的序号写在横线上）①()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；②()g x 的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；③()g x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④()g x 的图象关于直线π12x =对称.【正确答案】①②④【分析】根据函数()f x 关于直线π12x =-对称可得π3ϕ=-，进而可判断①，由函数图象的平移可得()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而利用代入验证可判断②④，利用正弦型函数的单调性可判断③.【详解】因为函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线π12x =-对称，所以ππ2π,Z 122k k ϕ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭，所以2ππ,Z 3k k ϕ=+∈，又π2<ϕ，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以π03f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故①正确；将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以π2sinπ03g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()g x 的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故②正确；令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，得5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，当1k =时，得函数()g x 在7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()g x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调递增，故③错误；令ππ2π,32x k k +=+∈Z ，得ππ,122k x k =+∈Z ，当0k =时，得函数()g x 的图象关于直线π12x =对称，故④正确.综上，正确的结论有①②④.故①②④.四、双空题16．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且()2*,,n n n a S a n ∈N 成等差数列.则{}n a 的通项公式为__________；若Πn 为数列212n n a a ⎧⎫-⎨⎩⎭的前n项积，不等式Πn ≤*n ∀∈N 恒成立，则实数λ的最小值为__________.【正确答案】n a n=2【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求得n a ，求出Πn ，由Πn ≤得Πλ≥令()Πf n =()f n 的单调性，求出()f n 的最大值即可得解.【详解】由题意知22n n n S a a =+，又数列{}n a 的各项均为正数，所以当1n =时，11a =；当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，所以22112n n n n n a a a a a --=-+-，即11n n a a --=，所以数列{}n a 为首项为1，公差为1的等差数列，故2121,22n n n a n a n a n--==，所以135721Π24682n n n -=⨯⨯⨯⨯⨯ ，则1Π21Π22n n n n ++=+，由Πn ≤Πλ≥故问题转化为*N ,Πn λ∀∈≥令()Πf n =则()()121122f n n f n n ++===<+，所以()()1f n f n +<，所以()f n 单调递减，故()max ()1f n f =2λ≥，即实数λ故n a n =关键点点睛：利用比商法判断出函数()Πf n =.五、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的外接圆的半径为R ，且22sin sin 2sin sin c C a B R A B-=+.(1)求角C 的大小；(2)若c =ABC 的面积的最大值.【正确答案】(1)2π34.【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得222a b c ab +-=-，由余弦定理即可求解，（2）利用余弦定理以及不等式即可求解.【详解】（1）22sin sin 2sin sin c C a B R A B-=+ ，∴由正弦定理得2222sin 2sin sin 2sin sin R C R A B R A B-=+，222sin sin sin 1sin sin C A B A B-∴=+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，∴由正弦定理得222a b c ab +-=-，∴由余弦定理可得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，2π0π,3C C <<∴=.（2）由（1）知222a b c ab +=-，所以223a b ab ++=，又223a b ab ab ++≥，当且仅当1a b ==时等号成立，所以33ab ≤，即1ab ≤，所以ABC 的面积1sin 2S ab C =，即ABC 18．据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩()2,X N μσ，其中μ近似为女生短跑平均成绩2,x σ近似为样本方差2s ，经计算得2 5.79s =，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在(]11.34,20.98内的人数为Y ，求()8P Y ≤（结果保留2个有效数字）.5.79 2.41≈，随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545,(33)0.9974,P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=-<≤+=101010990.68270.0220,0.95450.6277,0.99740.9743,0.68270.0322,0.95450.6576≈≈≈≈≈.【正确答案】(1)16.16(2)0.073【分析】（1）利用频率分布直方图求解平均数即可.（2）根据()2,X N μσ，可求得成绩在(]11.34,20.98内的概率，利用()10,0.9545Y B ~二项分布的概率公式求解即可.【详解】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：110.04130.12150.36170.28190.12210.06230.0216.16⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由题意知()216.16,5.79,16.16, 5.79, 5.79 2.41X N μσσ~===≈，则211.34,220.98μσμσ-=+=，故该校女生短跑成绩在(]11.34,20.98内的概率(22)0.9545p P X μσμσ=-<≤+=，由题意可得()10,0.9545Y B ~，所以()()99109C 0.954510.9545100.65760.04550.299208P Y ==⨯⨯-≈⨯⨯=，()10101010C 0.95450.6277P Y ==⨯≈，所以()()()819100.073P Y P Y P Y ≤=-=-=≈.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设212log 1n n n b a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)12n na =(2)2332n n n T +=-【分析】（1）由n a 与n S 的关系即可求解；（2）求出数列{}n b 的通项公式后用错位相减法求解.【详解】（1）因为1n n S a +=，所以当2n ≥时，()1111n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，又当1n =时，121a =，解得112a =，所以0n a ≠，所以112n n a a -=，所以{}n a 是首项为12､公比为12的等比数列，所以{}n a 的通项公式为12n na =.（2）由（1）知21212log 12n n n n nb a a ⎛⎫-=⋅-= ⎪⎝⎭，所以231135232122222n n n n n T ---=+++++L ，所以231113232122222n n n n n T +--=++++ ，两式相减，得121111111111211213234222122222222212n n n n n n n n n T -+++⎛⎫- ⎪--+⎛⎫⎝⎭=+++-=+⨯-=- ⎪⎝⎭- ，所以2332n nn T +=-.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，E 为棱AB 的中点，DE 与AC 交于点,F G 为PBC 的重心.(1)求证：FG 平面PAB ；(2)已知4,3AB AD ==，若G 到平面PCD 的距离为2，求平面CFG 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)41【分析】（1）根据线线平行和线面平行的证法和线面平行的判定即可求解；（2）根据二面角的法向量求法即可求解.【详解】（1）证明：延长CG 交PB 于点H ，连接AH ，则H 为PB 的中点，因为E 为AB 的中点，所以2AB CD AE ==，又AE CD ∥，所以2CF CD FA AE==，因为G 为PBC 的重心，所以2CG GH =，所以CF CG FA GH=，所以FG AH ∥，又AH ⊂平面,PAB FG ⊄平面PAB ，所以FG 平面PAB .（2）由题意易知,,AB AD AP 两两垂直，故以A 为坐标原点，以直线AB ，,AD AP 分别为x 轴，y 轴，z轴建立如图所示坐标系，设3(0)AP λλ=>，则()()()()34,0,0,4,3,0,0,3,0,0,0,3,2,0,2B C D P H λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()()334,3,3,4,0,0,4,3,0,2,0,,2,3,22PC CD AC AH CH λλλ⎛⎫⎛⎫=-=-===-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为23CG CH = ，所以4,2,3CG λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设平面PCD 的一个法向量(),,m x y z =，则0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即4330,40,x y z x λ+-=⎧⎨-=⎩令1z =，解得0,x y λ==，所以()0,,1m λ= ，因为G 到平面PCD的距离为2，所以2CG m m ⋅== ，解得1λ=，所以()30,1,1,2,0,2m AH ⎛⎫== ⎪⎝⎭ .设平面CFG 的一个法向量(),,n a b c = ，则0,0,n AC n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,320,2a b a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令4c =，解得3,4a b =-=，所以()3,4,4n =- ，.设平面CFG 与平面PCD 所成的锐二面角大小为θ，则cos cos ,41m n m n m n θ⋅====⋅ ，即平面CFG 与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为41.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为,F A 为C 上的一点，AF 的最大值与最小值的差为F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于,M N 两点，记C 的右顶点为P ，直线PM 与直线PN 的斜率分别为12,k k ，若12120k k =，求PMN 面积的取值范围.【正确答案】(1)2214x y +=(2)50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用椭圆方程的性质可列出方程组，得到,a b ，即可得到椭圆方程.（2）根据题意，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得到()222148440k x mkx m +++-=，利用韦达定理结合已知化简得2260m km k --=，即2m k =-或3m k =，讨论分析直线l 经过定点()3,0Q -，即可表示出PMN 面积，求出结果.【详解】（1）设C 的半焦距为c ，由题意知()()222221a c a c b a a b c ⎧+--=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由题意知()2,0P ，设()()1122,,,M x y N x y ，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x mkx m +++-=，所以()()2222Δ64414440m k k m =-+->，即22410k m -+>，且2121222844,1414mk m x x x x k k -+=-=++.因为12120k k =，所以121212220y y x x ⋅=--，又1122,kx m y kx m y =+=+，所以()()()()12122022kx m kx m x x ++=--，①因为()()()()2222121484414k x mkx m k x x x x +++-=+--，所以令2x =，得()()22122161642214k mk m x x k ++--=+，②令m x k =-，得()()2222122144414m m m k m k x x k k k ⎛⎫⎛⎫+⋅--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22122414m k kx m kx m k -++=+，所以()()2212220802014m k kx m kx m k -++=+，③把②③代①，得2222161642080k mk m m k ++=-，化简得2260m km k --=，所以2m k =-或3m k =.所以当2m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线过点()2,0P ，不合题意，舍去；当3m k =时，直线l 的方程为()3y k x =+，所以直线l 经过定点()3,0Q -，所以12121522PMN RQM RQN S S S PQ y y k x x =-=⋅-=-52==因为22410k m -+>且3m k =，所以2150k ->，所以2105k <<，设29411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以50,3PMN S ⎛⎤= ⎥⎝⎦，即PMN 面积的取值范围为50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．已知函数()21e 21(0)2x f x x a x a =-+->的导函数为()f x '.(1)当1a =时，求函数()f x 的极值点的个数；(2)若()ln11a f x x x '<+++恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)2(2)()1,+∞.【分析】（1）求导得到导函数，构造()e 2x g x x =-+，再次求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算最值确定()()200f f ''-⋅<，()()020f f ''⋅<，得到极值点个数.（2）变换得到()e ln 1ln 10x a x a -++->在()1,-+∞上恒成立，构造函数，考虑01a <≤和1a >两种情况，求导得到导函数，再次构造函数，确定函数的单调区间，利用隐零点代换得到答案.【详解】（1）当1a =时，()21e 212x f x x x =-+-，定义域为R ，()e 2x f x x =-+'，令()e 2x g x x =-+，则()1e x g x '=-.当0x <时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，即()f x '在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()max ()010f x f =='>'，又()22e 0f --=-<'，()224e 0f =-<'，所以()()200f f ''-⋅<，()()020f f ''⋅<，所以存在唯一的()12,0x ∈-，()20,2x ∈，使得()()120f x f x ''==，且当()1,x x ∈-∞和()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，函数单调递减；当()12,x x x ∈时，()0f x ¢>，函数单调递增，故()f x 在1x 处取得极小值，在2x 处取得极大值，即函数()f x 的极值点的个数为2.（2）()e 2x f x a x =-++'，()ln 11a f x x x '<+++，即e 2ln 11x a a x x x -++<+++恒成立，即()e ln 1ln 10x a x a -++->在()1,-+∞上恒成立.记()()()e ln 1ln 1,1,x h x a x a x ∞=-++-∈-+，当01a <≤时，()0ln 10h a a =+-≤，不合题意；当1a >时，()()1e 11e 11x xa x h x a x x +-=-=++'.记()()()1e 1,1,x x a x x ϕ=+-∈-+∞，则()()2e 0x x a x ϕ=+>'，所以()x ϕ在()1,-+∞上单调递增，又()()11,010a ϕϕ-=-=->，所以()31,0x ∃∈-使得()30x ϕ=，即()331e 10x a x +-=，①故当()31,x x ∈-时，()0x ϕ<，即()0h x '<，当()3,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，即()0h x '>，所以()h x 在()31,x -上单调递减，在()3,x +∞上单调递增，所以()()3min 33()e ln 1ln 1x h x h x a x a ==-++-，②由①式可得331e 1x a x =+，所以()33ln ln 1a x x =-+-，代入②式得()()min 3331()12ln 11h x x x x =-+-++，因为()31,0x ∈-，即()310,1x +∈，故()()333110,2ln 101x x x -+>+<+，即min ()0h x >，所以当1a >时，()0h x >恒成立，故实数a 的取值范围为()1,+∞.关键点睛：本题考查了利用导数判断极值点个数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用隐零点代换可以简化运算，是解题的关键，隐零点代换是常考的方法，需要熟练掌握.。
河北省2022届高考数学一轮复习知识点攻破习题：数列的综合应用
数列的综合应用时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则此数列的奇数项的前n 项和是( )(2n ＋1－1) (2n ＋1－2) (22n －1) (22n －2)解析：由S n ＝2n －1，得a n ＝2n －1，∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列．∴此数列的奇数项的前n 项和为a 1[1－(q 2)n ]1－q 2＝1－22n 1－4＝13(22n－1)．答案：C2．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1，则m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(0,8)D ．(8，＋∞) 解析：∵a ，b ，a ＋b 成等差数列， ∴2b ＝2a ＋b ，b ＝2a .① ∵a ，b ，ab 成等比数列，∴a ≠0，b ≠0，且b 2＝a 2b ，b ＝a 2.② 由①②知a 2＝2a ，a ＝2，b ＝4，ab ＝8. ∵0<log m (ab )＝log m 8<1，∴m >8. 答案：D3．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是( )A ．1994B ．1996C ．1998D ．2000 解析：设出齐这套书的年份是x ，则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13958，∴7x －7(12＋0)2＝13958，x ＝2000. 答案：D 4．(2022·宁夏银川一模)已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 解析：由S 20＝100得a 1＋a 20＝10，∴a 7＋a 14＝10. 又a 7>0，a 14>0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝25.答案：A5．(2022·河南郑州一模)数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n 等于( )解析：∵a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，∴a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n ·a n ＋1＝1b n.∴b n ＝1a n ·a n ＋1.又a 1＝1，∴a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n .∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：B6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－(9＋a )n ＋6＋2a (其中a 为常数)，若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．B ．C ．{a |27≤a ≤33，a ∈N *}D ．{a |24≤a ≤36，a ∈N *}解析：设f (x )＝3x 2－(9＋a )x ＋6＋2a ，其对称轴为x ＝9＋a 6，当112≤9＋a 6≤152时，即24≤a ≤36时，a 6与a 7至少有一项是a n 的最小值．答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)7．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读的字数为__________．解析：设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，2为公比的等比数列，可求得三日共读的字数为a (1－23)1－2＝7a ＝34685，解得a ＝4955，∴2a ＝9910，即该君第二日读的字数为9910.答案：99108．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝__________.解析：设公差d ，由题设3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)(－433a 1)>0，所以n <374，则n ≤9，当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10时，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值． 答案：99．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝__________.解析：本题考查利用递推公式确定数列通项公式．据已知有：n ≥2时利用累乘法得：a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1·31·42·53·…·n n －2·n ＋1n －1＝n (n ＋1)2，又验证知a 1＝1也适合，故a n＝n (n ＋1)2.答案：n (n ＋1)210．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2022的值为解析：∵x 0＝5，x n ＋1n ∴x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (x 1)＝f (2)＝1， x 3＝f (x 2)＝f (1)＝4，x 4＝f (x 3)＝f (4)＝5.从而知数列{x n }是以4为周期的数列，而x 2022＝f (x 2022)＝f (x 1)＝f (2)＝1. 答案：1三、解答题(共50分)11．(15分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225；数列{b n }是等比数列，b 3＝a 2＋a 3，b 2b 5＝128.(1)求数列{a n }的通项a n 及数列{b n }的前8项和T 8；(2)求使得1a n －7>14成立的正整数n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知a 1＋2d ＝5,15a 1＋12×15×14d ＝225，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋7d ＝15，解得d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.设等比数列{b n }的公比为q ， 因为b 3＝a 2＋a 3，所以b 1q 2＝8，因为b 2b 5＝128，所以b 21q 5＝128， 解得q ＝2，b 1＝2，T 8＝2×(1－28)1－2＝510.(2)1a n －7>14即12n －8>14， 解之得4<n <6，所以n ＝5. 12．(15分)(2022·福建泉州一模)某城市决定对城区住房进行改造，在新建住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房a m 2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m 2；已知旧住房总面积为32a m 2，每年拆除的数量相同．(1)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m 2?(2)求前n (1≤n ≤10且n ∈N )年新建住房总面积S n .解：(1)10年后新建住房总面积为a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＝42a . 设每年拆除的旧住房为x m 2， 则42a ＋(32a －10x )＝2×32a ，解得x ＝a ，即每年拆除的旧住房面积是a m 2. (2)设第n 年新建住房面积为a ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1a ，1≤n ≤4，(12－n )a ，5≤n ≤10.所以当1≤n ≤4时，S n ＝(2n －1)a ；当5≤n ≤10时，S n ＝a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋…＋(12－n )a ＝15a ＋(n －4)(19－n )a2＝(23n －n 2－46)a 2，故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(2n－1)a ，1≤n ≤4且n ∈N ，(23n －n 2－46)2a ，5≤n ≤10且n ∈N .13．(20分)(2022·江西高考)各项均为正数的数列{a n }，a 1＝a ，a 2＝b ，且对满足m ＋n ＝p ＋q 的正整数m ，n ，p ，q 都有a m ＋a n (1＋a m )(1＋a n )＝a p ＋a q(1＋a p )(1＋a q ).(1)当a ＝12，b ＝45时，求通项a n ；(2)证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有1λ≤a n ≤λ.解：(1)由a m ＋a n (1＋a m )(1＋a n )＝a p ＋a q(1＋a p )(1＋a q )得a 1＋a n (1＋a 1)(1＋a n )＝a 2＋a n －1(1＋a 2)(1＋a n －1)， 将a 1＝12，a 2＝45代入上式化简得a n ＝2a n －1＋1a n －1＋2，所以1－a n 1＋a n ＝13·1－a n －11＋a n －1.故数列{1－a n1＋a n }为等比数列，从而1－a n 1＋a n ＝13n ，即a n ＝3n －13n ＋1.可验证，a n ＝3n －13n ＋1满足题设条件．(2)由题设a m ＋a n (1＋a m )(1＋a n )的值仅与m ＋n 有关，记为b m ＋n ，则b n ＋1＝a 1＋a n(1＋a 1)(1＋a n )＝a ＋a n(1＋a )(1＋a n )考察函数f (x )＝a ＋x(1＋a )(1＋x )(x >0)，则在定义域上有f (x )≥g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧11＋a，a >112， a ＝1a 1＋a ， 0<a <1故对n ∈N *，b n ＋1≥g (a )恒成立．又b 2n ＝2a n (1＋a n )2≥g (a )，注意到0<g (a )≤12，解上式得：g (a )1－g (a )＋1－2g (a )＝1－g (a )－1－2g (a )g (a )≤a n ≤1－g (a )＋1－2g (a )g (a )，取λ＝1－g (a )＋1－2g (a )g (a )，即有1λ≤a n ≤λ.内容总结。
河北高三高中数学专题试卷带答案解析
河北高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.平面α外的一条直线a 与平面α内的一条直线b 不平行，则( )A ．a ∥\αB ．a ∥αC ．a 与b 一定是异面直线D ．α内可能有无数条直线与a 平行2.正方体的表面积是a 2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．B ．C ．2πa 2D ．3πa 23.若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为，且底面边长为2，则高为( )A ．1B ．2C ．3D ．44.．已知直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，则下列命题正确的是A ．若α∥β，则m ⊥nB ．若α⊥β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，则α∥βD ．若n ∥α，则α∥β5.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成的角的余弦值是( )A. B.C. D.6.设有三个命题，甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中，真命题的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm ，O′C′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形 8.若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )A. B.C. D.9.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A. B.C. D.10.已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM( )A ．和AC 、MN 都垂直B ．垂直于AC ，但不垂直于MNC ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MN 都不垂直12.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部二、填空题1.若正三棱锥底面的边长为a ，且每两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为_______2.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E 为AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为_____3.a ，b ，c 是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ； ③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b.上述命题中正确的________(只填序号)．4.如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)三、解答题1.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：CD ⊥PD ；(2)求证：EF∥平面PAD.2.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，现沿AC折成二面角D－AC－B，使BD为异面直线AD、BC的公垂线．(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；(2)当a为何值时，二面角D－AC－B为45°3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；(2)证明：线段PC的中点为球O的球心4.如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值；(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.5.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；6.如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若＝，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN ；(2)若D 1P ：PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角M －B 1N －B 的余弦值；(3)棱DD 1上是否总存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．河北高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线b不平行，则()A．a∥\αB．a∥αC．a与b一定是异面直线D．α内可能有无数条直线与a平行【答案】D【解析】略2.正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是()A．B．C．2πa2D．3πa2【答案】B【解析】略3.若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为，且底面边长为2，则高为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】略4.．已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是A．若α∥β，则m⊥n B．若α⊥β，则m∥n C．若m⊥n，则α∥βD．若n∥α，则α∥β【答案】A【解析】略5.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成的角的余弦值是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】略6.设有三个命题，甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中，真命题的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】想要得到三个命题中真命题的个数，我们只要根据平行六面体及长方体的特征对甲、乙、丙三个结论逐一进行判断即可得到答案．解：底面是平行四边形的四棱柱它的六个面均为平行四边形，故它是一个平行六面体故命题甲正确，底面是矩形的平行六面体它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体故命题乙不正确，直四棱柱它的底面不一定是平行四边形故直四棱柱不一定是直平行六面体故命题丙不正确，故真命题个数为1，故选B7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm ，O′C′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形 【答案】C【解析】本题考查斜二测画法的逆用解：根据斜二测的画法可得,还原出的图如下，其中(平行于轴的长度不变).（平行于轴的长度扩为2倍）.由于,且，所以为平行四边形，又,所以为菱形.故答案为C.8.若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】略9.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】略10.已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α【答案】D【解析】略11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM( )A ．和AC 、MN 都垂直B ．垂直于AC ，但不垂直于MNC ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MN 都不垂直【答案】A【解析】此题的条件使得建立空间坐标系方便，且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系，故应先建立坐标系，设出边长，据几何特征，给出各点的坐标，验证向量内积是否为零．解：以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a ，则D （0，0，0）、D 1（0，0，2a ）、M （0，0，a ）、A （2a ，0，0）、C （0，2a ，0）、O （a ，a ，0）、N （0，a ，2a ）． ∴=（-a ，-a ，a ），=（0，a ，a ），=（-2a ，2a ，0）．∴?=0，?=0，∴OM ⊥AC ，OM ⊥MN ．故选A ．12.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部【答案】A【解析】如图，C 1在面ABC 上的射影H 必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC ⊥面ABC 1就可以了．解：?CA ⊥面ABC 1?面ABC ⊥面ABC 1，∴过C 1作垂直于平面ABC 的线在面ABC 1内，也在面ABC 内∴点H 在两面的交线上，即H ∈AB ．故选A二、填空题1.若正三棱锥底面的边长为a ，且每两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为_______【答案】a【解析】略2.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E 为AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为_____【答案】 a【解析】略3.a ，b ，c 是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ； ③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b.上述命题中正确的________(只填序号)．【答案】①【解析】略4.如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)【答案】①④【解析】略三、解答题1.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：CD ⊥PD ；(2)求证：EF ∥平面PAD.【答案】 (1)∵PA ⊥平面ABCD ，而CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，AD∩PA ＝A ，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.(2)取CD的中点G，连接EG、FG.∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD，∴平面EFG∥平面PAD，又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PAD.【解析】略2.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，现沿AC折成二面角D－AC－B，使BD为异面直线AD、BC的公垂线．(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；(2)当a为何值时，二面角D－AC－B为45°【答案】(1)证明：由题知BC⊥BD，又BC⊥AB.∴BC⊥面ABD，∴面ABC⊥面ABD.(2)作DE⊥AB于E，由(1)知DE⊥面ABC，作EF⊥AC于F，连DF，则DF⊥AC，∴∠DFE为二面角D－AC－B的平面角．即∠DFE＝45°.EF＝DE＝DF，∵DF＝，AF＝且＝，解得a2＝，a＝.【解析】略3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；(2)证明：线段PC的中点为球O的球心【答案】 (1)证明：∵AC＝BC，M为AB的中点，∴CM⊥AM.∵PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴PA⊥CM. ∵AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴CM⊥平面PAB.∵CM⊂平面PCM，∴平面PAB⊥平面PCM.(2)证明：由(1)知CM⊥平面PAB.∵PM⊂平面PAB，∴CM⊥PM.∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC.如图，，取PC的中点N，连结MN、AN.在Rt△PAC中，点N 为斜边PC的中点，∴AN＝PN＝NC.在Rt△PCM中，点N为斜边PC的中点，∴MN＝PN＝NC.∴PN＝NC＝AN＝MN.∴点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心．【解析】略4.如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值；(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.【答案】(1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D－xyz. ∵∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)，由PD ⊥平面ABCD ，得∠PAD 为PA 与平面ABCD 所成的角，∴∠PAD ＝60°.在Rt △PAD 中，由AD ＝2，得PD ＝2，∴P(0,0,2)．(2)∵＝(2,0，－2)，＝(－2，－3,0)，∴cos<，>＝＝－，所以PA 与BC 所成角的余弦值为(3)证明：∵M 为PB 的中点，∴点M 的坐标为(1,2，)， ∴＝(－1,2，)，＝(1,1，)，＝(2,4，－2)，∵·＝(－1)×2＋2×4＋×(－2)＝0，·＝1×2＋1×4＋×(－2)＝0，∴⊥，⊥，∴PB ⊥平面AMC ∵PB ⊂平面PBC ∴平面AMC ⊥平面PBC .【解析】略5.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；【答案】(1)∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥BD. ∵ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面SAC. ∵BD ⊂平面EBD ， ∴平面EBD ⊥平面SAC.(2)设AC∩BD ＝F ，连SF ，则SF ⊥BD.∵AB ＝2.∴BD ＝2. ∵SF ＝＝＝3∴S △SBD ＝BD·SF＝·2·3＝6.设点A 到平面SBD 的距离为h ，∵SA ⊥平面ABCD ， ∴·S △SBD ·h＝·S △ABD ·SA ，∴6·h ＝·2·2·4， ∴h ＝， ∴点A 到平面SBD 的距离为.【解析】略6.如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若＝，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN ；(2)若D 1P ：PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角M －B 1N －B 的余弦值；(3)棱DD 1上是否总存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．【答案】 (1)证明：连结AC 、BD ，则BD ⊥AC ，∵＝， ∴MN ∥AC ，∴BD ⊥MN.又∵DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1⊥MN ， ∵BD∩DD 1＝D ，∴MN ⊥平面BDD 1. 又P 无论在DD 1上如何移动，总有BP ⊂平面BDD 1， ∴无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN.(2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系．设正方体的棱长为1，AM ＝NC ＝t ，则M(1，t,0)，N(t,1,0)，B 1(1,1,1)， P(0,0，)，B(1,1,0)，A(1,0,0)， ∵＝(0,1－t,1)，B ＝又∵BP ⊥平面MNB 1，∴·B ＝0，即t －1＋＝0，∴t ＝，∴＝(0，，1)，M ＝(－，，0)．设平面MNB 1的法向量n ＝(x ，y ，z)， 由，得x ＝y ，z ＝－y.令y ＝3，则n ＝(3,3，－2)． ∵AB ⊥平面BB 1N ，∴A 是平面BB 1N 的一个法向量，A ＝(0,1,0)． 设二面角M －B 1N －B 的大小为θ， ∴cos 〈n ，A 〉＝＝.则二面角M －B 1N －B 的余弦值为.(3)存在点P ，且P 为DD 1的中点， 使得平面APC 1⊥平面ACC 1. 证明：∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1， ∴BD ⊥平面ACC 1.取BD 1的中点E ，连PE ， 则PE ∥BD ，∴PE ⊥平面ACC 1.∵PE ⊂平面APC 1，∴平面APC 1⊥平面ACC 1.【解析】略。
河北省石家庄市2024高三冲刺(高考数学)人教版考试(备考卷)完整试卷
河北省石家庄市2024高三冲刺（高考数学）人教版考试(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（）A．B．C．D．第(2)题在高一入学时，统计高一（1）班所有同学中考数学成绩的方差为，后来又转学来一位同学，若该同学中考数学成绩恰好等于这个班级原来的平均分，且现在这个班级数学成绩的方差为，则这个班级现在的学生人数为（）A．51B．52C．53D．54第(3)题若复数，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(4)题设数列满足，则数列的前5项和为（）A．B．C．D．第(5)题2022年，中央网信办举报中心受理网民举报违法和不良信息1.72亿件．下面是2021年、2022年连续两年逐月全国网络违法和不良信息举报受理情况数据及统计图，下面说法中错误的是（）A．2022年比2021年平均每月举报信息数量多B．举报信息数量按月份比较，8月平均最多C．两年从2月到4月举报信息数量都依次增多D．2022年比2021年举报信息数据的标准差大第(6)题已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（）A ．点E在定直线上B．点E在定直线上C ．点E在定直线上D．点E在定直线上第(7)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(8)题在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（）A．B．C．D．第对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②，；③，，，定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（）A．若，则为“s数列”B ．若，则为“t数列”C．若为“s数列”，则为“t数列”D．若等比数列为“t数列”，则为“s数列”第(3)题点是抛物线上第一象限内的点，过点A作圆C：的两条切线，切点为、，分别交轴于P，Q两点，则下列选项正确的是（）A．B．若，则直线MN的方程为C．若，则的面积为92D．的面积最小值为72三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.①当时，有；②当时，有；③可能是等腰直角三角形；其中命题中正确的有__________.第(2)题已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ______．第(3)题设，，A、D为曲线上两点，B，C为曲线上两点，且四边形ABCD为矩形，则实数b的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，四棱锥，平面，底面为梯形，，，，，为中点.（1）证明：直线；（2）若平面与棱交于，求四棱锥的体积.第(2)题已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围.第(3)题设函数.（1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围；（2）若，证明：.第已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程.第(5)题已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证恒成立.。
2024年河北高考数学模拟试卷及答案
2024年河北高考数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线C ：212y x = ，则C 的准线方程为 A ． 18x =B ．1-8x =C ．18y =D ．1-8y = 2．已知复数121z i=+ ，复数22z i =，则21z z -=A ．1BC ．．10 3．已知命题:(0,)ln xp x e x ∀∈+∞>，，则 A ．p 是假命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，B ．p 是假命题， :(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，C ．p 是真命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，D ．p 是真命题，:(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，4．已知圆台1O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为 A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π5．下列不等式成立的是A.66log 0.5log 0.7>B. 0.50.60.6log 0.5>C.65log 0.6log 0.5>D. 0.60.50.60.6>6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：由上表制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，其相关系数为1r ；经过残差分析，点（167，90）对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r .则下列选项正确的是 A ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <>< B ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <<> C ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r ><> D ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< 7．函数()y f x =的导数()y f x '=仍是x 的函数，通常把导函数()y f x '=的导数叫做函数的二阶导数，记作()y f x ''=，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，函数()y f x =的n 阶导数记为()n y fx =（），例如xy e =的n 阶导数()()n xx ee =．若()cos 2xf x xe x =+，则()500f =（）A ．49492+B ．49C ．50D ．50502-8．已知函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于A ，B 两点. 若3AB π=，则ω=A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023-2024学年河北高考考前冲刺数学模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年河北高考考前冲刺数学模拟试题（一模）一、单选题1．设集合U =R ，集合{|24}A x x =-<<，集合{}2|7100B x x x =-+<，则U A B =I ð（）A ．{|22}x x -<<B ．{|22}x x -<≤C ．{|25}x x <<D ．{|25}x x <≤【正确答案】B【分析】化简集合B ，根据集合的补集和交集的运算性质求U A B ð即可.【详解】不等式27100x x -+<的解集为{|25}x x <<，所以{|25}B x x =<<，故{|2U B x x =≤ð或5}x ³，又{|24}A x x =-<<，所以{|22}U A B x x =-<≤ ð，故选：B ．2．已知复数z 满足12i 1z=-，则z 的共轭复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】根据复数运算即可求得复数z ，再得共轭复数z ，根据复数的几何意义即可得答案.【详解】111i 2i 2z -==- ，11i 2z ∴=+，11i 2z ∴=-，故z 在复平面内对应的点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D ．3．若函数()af x x x=+()R a ∈在点(2,(2))f 处的切线为直线1:2l y x b =+，若直线l 与圆222:(0)C x y r r +=>相切，则r 的值为（）A B C D ．3【正确答案】A【分析】结合导数的几何意义列方程求a ，由切点坐标与切线的关系求b ，根据直线与圆的位置关系列方程求r .【详解】函数()af x x x =+的导函数2()1a f x x'=-，因为函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线为直线1:2l y x b =+，所以1(2)142a f '=-=，解得2a =，2()f x x x∴=+，故(2)3f =，切点(2,3)在直线l 上，1322b ∴=⨯+，解得2b =，直线1:22l y x =+与圆222:(0)C x y r r +=>相切，∴圆心(0,0)到直线lr =，故选：A ．4．已知向量(2,6)a = ，(1,)b λ=- ．若//a b r r，则λ=（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【正确答案】B【分析】根据向量平行的坐标表示，列式即可求得答案.【详解】因为向量(2,6)a = ，(1,)b λ=- ，//a b r r，所以26λ=-，解得3λ=-，故选：B ．5．已知数列{}n a 的首项11a =，0n a >，前n 项和n S 满足2211120n n n n n n S S S S S S ----+--=，则数列{}n a 的前n 项和n S 为（）A ．(1)2n n +B ．12n -C ．221n -D ．21n -【正确答案】A【分析】由题可得22n n n S a a =+，进而可得2211n n n n a a a a ++-=+，然后可得11n n a a +-=，利用等差数列的定义及求和公式即得.【详解】由2211120n n n n n n S S S S S S ----+--=得2211122n n n n n n n S S S S S S S ---=-++-，即()()2112n n n n n S S S S S --=-+-，所以22n n n S a a =+，所以21112n n n S a a +++=+，两式作差，得()221112n n n n n a a a a a +++=+-+，即2211n n n n a a a a ++-=+，所以()()1110n n n n a a a a ++--+=，所以11n n a a +-=或10n n a a ++=，又0n a >，故11n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以数列{}n a 的前n 项和(1)(1)22n n n n n S n -+=+=.故选：A.6．如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB ，的夹角为3π，2AB =，则棱1AA ，1CC 的夹角为（）A ．3πB ．4πC ．23πD ．2π【正确答案】D【分析】由棱台的定义可知，分别延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于点P ，连接AC ，从而可得2PA PC ==，从而可求出答案.【详解】由棱台的定义可知，分别延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于点P ，连接AC ，如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB 的夹角为3π，2AB =，所以△PAB 是边长为2的等边三角形，所以2PA PC ==.又在正方形ABCD 中，2AB =,则AC =所以222AC PA PC =+，所以PA PC ⊥，所以棱1AA ，1CC 的夹角为2π，7．已知定点(3,0)B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（）A ．22(1)1x y ++=B ．22(2)4x y -+=C ．22(1)1x y -+=D ．22(2)4x y ++=【正确答案】C【分析】设(,)M x y 再表达出A 的坐标代入圆方程22(1)4x y ++=化简即可.【详解】设(,)M x y ，则(),A A A x y 满足3,(,)22A A x y x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭.故232A Ax x y y =-⎧⎨=⎩.故23(2),A x y -.又点A 在圆22(1)4x y ++=上.故2222(231)(2)4(1)1x y x y -++=⇒-+=.故选:C本题主要考查了轨迹方程的求法，属于基础题型.8．设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.40.6､，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.70.9､，则甲正点到达目的地的概率为（）A ．0.78B ．0.8C ．0.82D ．0.84【正确答案】C【分析】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘火车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由全概率公式求解即可.【详解】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘动车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由题意知()0.6,()0.4,(|)0.9,(|)0.7P B P C P A B P A C ====.由全概率公式得()()(|)()(|)0.60.90.40.7P A P B P A B P C P A C =+=⨯+⨯0.280.540.82=+=。
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备考2013高考数学基础知识训练（1）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分） 1．函数3-=x y 的定义域为___ ．2．已知全集U R =，集合{1,0,1}M =-，{}2|0N x x x =+=，则=⋂)(N C M U __ ．3．若1()21xf x a =+-是奇函数，则a =___ ．4.已知1x x -+=且1x >,则1x x --的值为 ．5．幂函数ax y =，当a 取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如右图）．设点 A （1，0），B （0，1），连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数αx y =，βx y =的图像三等分，即有NA MN BM ==．那么βα⋅=___ ．6．直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b =___ ．7．已知命题：“[1,2]x ∃∈，使022≥++a x x ”为真命题，则a 的取值范围是___ ．8. 函数4(4)(),(3)(4)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩则[(1)]f f -= .9．在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为___ ．10．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ， 若目标函数)0,0(,>>+=b a by ax Z 的最大值为12，则b a 231+的最小值为___ ．11．集合}2log |{21>=x x A ，),(+∞=a B ，若A B A ≠⋂时a 的取值范围是(,)c +∞，则c =___ ．12．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 重心，则AGGD =2 ” .若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD 中，若BCD ∆ 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM =___ ．13．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有(),()f x g x 的解析式分别为 .14．若1||x a x -+≥12对一切x ＞0恒成立，则a 的取值范围是___ ．15．设非空集合A={x|－3≤x ≤a}，B={y|y=3x+10,x ∈A}，C={z|z=5－x,x ∈A}，且B ∩C=C ，求a 的取值范围．16. 已知函数1()22x x f x =-．（1）若()2f x =，求x 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论．17. 讨论函数2()(0)1axf x a x =≠-在区间(1,1)-上的单调性.18. 即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通；根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次；每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数) .19．已知二次函数()2f x ax bx c=++.（1）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数；（2）若对任意12,,x x R ∈且12x x <，()()12f x f x ≠，试证明存在()012,x x x ∈，使()()()01212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦成立．20. 已知f(x)是定义域为（0，＋∞）的函数，当x ∈（0，1）时f(x)＜0．现针对任意正实数x 、y ，给出下列四个等式：① f(xy)=f(x) f(y) ；② f(xy)=f(x)＋f(y) ；③ f(x ＋y)=f(x)＋f(y) ； ④ f(x ＋y)=f(x) f(y) ． 请选择其中的一个等式作为条件，使得f(x)在（0，＋∞）上为增函数；并证明你的结论． 解：你所选择的等式代号是 ． 证明：参考答案： 1．}3|{≥x x 2．}1{3．124.解：由1x x -+=2228x x -++=,则221224,()4xx x x ---+=∴-=,又11, 2.x x x ->∴-=答案：2． 5．1 6．12ln - 7．8-≥a8. 解：[(1)][(2)][(5)](1)(4)0.f f f f f f f f -===== 答案：0 .9．)2,23( 10．122511．0 12．313．解：由已知()()xf xg x e -=，用x -代换x 得：()(),x f x g x e ----=即()()xf xg x e -+=-，解得：2)(,2)(xx x x e e x g e e x f +-=-=-. 答案：2)(,2)(xx x x e e x g e e x f +-=-=-. a15．解：B={y|1≤y ≤3a+10}，C={y|5－a ≤y ≤8}； 由已知B ∩C=C ，得C ⊆B ，∴518310a a -≥⎧⎨≤+⎩ ，解得243a -≤≤；又非空集合A={x|－3≤x ≤a}，故a ≥－3；∴243a -≤≤，即a 的取值范围为243a -≤≤．16. 解：（1）∵1()22x x f x =-，由条件知1222xx -=，即222210x x-⨯-=，解得21x =20x >，2log (1x =∴．（2）()f x 为奇函数，证明如下：函数()f x 的定义域为实数集R ，对于定义域内的任一x ，都有111()22(2)()222x x xx x x f x f x ---=-=-=--=-，∴函数()f x 为奇函数．17.解：设121212221211,()()11ax ax x x f x f x x x -<<<-=---则=12122212()(1)(1)(1)a x x x x x x -+--，1212,(1,1),,x x x x ∈-<且221212120,10,(1)(1)0,x x x x x x ∴-<+>-->于是当120,()();a f x f x ><时当120,()();a f x f x <>时故当0a >时，函数在（－1，1）上是增函数； 当0a <时，函数在（－1，1）上为减函数．18.解：设这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节；则由已知可设b kn t +=．由已知得⎩⎨⎧+=+=b k b k 710416，解得⎩⎨⎧=-=242b k ；242+-=∴n t ．设每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y 人；则)2640220(221102n n tn y +-=⨯⨯=；∴当64402640==n 时，总人数最多，为15840人．答：每次应拖挂6节车厢，才能使每天的营运人数最多，为15840人．19．解：（1）()10,0,f a b c -=∴-+= b a c =+；2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=-，∴当a c =时，0∆=，函数()f x 有一个零点；当a c ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点．（2）令()()()()1212g x f x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦，则 ()()()()()()121112122f x f x g x f x f x f x -=-+=⎡⎤⎣⎦， ()()()()()()212212122f x f x g x f x f x f x -=-+=⎡⎤⎣⎦，()()()()()()()212121210,4g x g x f x f x f x f x ∴⋅=--<≠⎡⎤⎣⎦；()0g x ∴=在()12,x x 内必有一个实根，即存在()012,x x x ∈，使0()0g x =即()()()01212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦成立．证明：在f(xy)=f(x)＋f(y)中，令x=y=1，得f(1)= f(1)＋ f(1)，故f(1)=0． 又f(1)=f(x· 1x ）=f(x)＋f( 1x )=0，∴f( 1x )=－f(x)．………（※）设0＜x1＜x2，则0＜x1x2 ＜1,∵x ∈（0，1）时f(x)＜0，∴f( x1x2)＜0； 又∵f(x1x2 )=f(x1)＋f( 1x2 )，由（※）知f( 1x2 )=－f(x2)，∴f( x1x2)=f(x1)－f(x2)＜0； ∴f(x1)＜f(x2) ，∴f(x)在（0，＋∞）上为增函数．。