2021届高考数学一轮复习训练第2讲古典概型

第2讲 古典概型
1．(2018年新课标Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A.112 B.114 C.115 D.118 2．(2019年广东中山模拟)袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每个球被抽到的机会均等，则该人抽到的球颜色互异的概率是( )
A.14
B.13
C.27
D.311
3．(2014年陕西)如图X9-2-1，从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
图X9-2-1
A.15
B.25
C.35
D.45
4．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球．若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( )
A.45
B.1925
C.2350
D.41100
5．在平面直角坐标系中，从下列五个点：A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,2)，E (2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是( )
A.25
B.35
C.45
D ．1 6．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( )
A.13
B.14
C.15
D.16
7．(多选)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是( )
A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B ．甲的不同的选法种数为15
C ．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是16
D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949
8．(多选)设集合M ＝{2,3,4}，N ＝{1,2,3,4}，分别从集合M 和N 中随机取一个元素m 与n .记“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝k 上”为事件A k (3≤k ≤8，k ∈N *)，若事件A k 的概率最大，
则k的取值可能是()
A．4 B．5 C．6 D．7
9．某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是________．
10．(2019年北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A
支付金额不大于2000元大于2000元
仅使用A的人数/人27 3
仅使用B的人数/人24 1
(1)
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
(3)已知上个月样本学生支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
11．(2016年山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图X9-2-2所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
图X9-2-2
12．(2017年山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
第2讲 古典概型
1．C 解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C 210种不同的取法，其中两素数相加等于30的有7和23,11和19,13和17，共有3
种情况，∴所求概率P ＝3C 210＝115
.故选C. 2．D 解析：基本事件总数为C 312＝220(种)，该人抽到的球颜色互异的情况有3×4×5＝
60(种)，故所求概率为60220＝311
.故选D. 3．C
4．C 解析：按照这样的规则摸奖，第一次中奖的概率为4C 25＝25
.第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球．若与第一次取出的两个小球号码相同，中奖的概率为35×110
＝350.∴按照这样的规则摸奖，中奖的概率为25＋350＝2350
. 5．C 解析：从5个点中取3个点，列举得ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE 共有10个基本事件，而其中ACE ，BCD 两种情况三点共线，其余8个均符
合题意，故能构成三角形的概率为810＝45
.故选C. 6．A 解析：设齐王的上等马、中等马和下等马分别是A ，B ，C ，田忌的上等马、中等马和下等马分别是a ，b ，c ，则总的基本事件有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(C ，a )，(C ，b )，(C ，c )，共9种，田忌马获胜的基本事件有(B ，a )，(C ，a )，(C ，d )，共
3种，故概率为13
.故选A. 7．BD 8.BC
9.25
解析：由题意得共有(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(1,3,3)，(3,1,3)，(3,3,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)这15种可能，其中甲领取的钱数不少于其他任何人的可能有(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,1,3)，(3,3,1)，(3,2,2)这6种，∴所求概
率为615＝25
. 10．解：(1)由图表可知仅使用A 的人数有30人，仅使用B 的人数有25人，
由题意知A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，
∴样本中两种支付方式都使用的有100－30－25－5＝40(人)，
∴全校学生中两种支付方式都使用的有40100
×1000＝400(人)． (2)∵样本中仅使用B 的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，
∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率为125
. (3)由(2)知支付金额大于2000元的概率为125
， ∵从仅使用B 的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，
依据小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，
∴可以认为仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多．
11．解：用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤4，1≤y ≤4}一一对应．
∵S 中元素个数是4×4＝16，
∴基本事件总数为n ＝16.
(1)记“xy ≤3”为事件A .
则事件A 包含的基本事件共有5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
∴P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516
. (2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C .
则事件B 包含的基本事件共有6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
∴P (B )＝616＝38
. 则事件C 包含的基本事件共有5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
∴P (C )＝516
. ∵38>516
， ∴小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
12．解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：
(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共15个．
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3个．
则所求事件的概率为：P ＝315＝15
. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有： (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，共9个．
包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，共2个，
则所求事件的概率为：P ＝29
.。