沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数的复习 教案
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 专题复习课——二次函数与锐角三角比教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯课题：九年级数学专题复习课——二次函数与锐角三角比教学目标：1.能根据条件熟练运用求二次函数解析式及对称轴、顶点的方法.2.能运用二次函数背景下与角有关的锐角三角比问题求点的坐标，掌握通性通法.教学重点、难点：二次函数背景下有关锐角三角比的综合题 教学过程： 一、 概念复习：练习一：已知二次函数的图像过点A （0，5）B （1，0）、C （5，0），则此二次函数解析式是_____________________，其对称轴为_____________，顶点P 的坐标是________，=________________，tan OAB ∠=_________. 二、 例题讲解：例题1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B （1）求点M 、A 、B 坐标；（2）联结AB 、AM 、BM ，求ABM ∠的正切值；（3）点P 是顶点为M 的抛物线上一点，，当ABM α=∠时，求P 点坐标．BMAxyO例2：已知二次函数32++=bx ax y 的图像与x 轴交于点A ()0,1与B ()0,3，交y 轴于点C ，其图像顶点为D .（1）求此二次函数的解析式；（2）试问△ABD 与△BCO 是否相似？并证明你的结论；（3）若点P 是此二次函数图像上的点，且PAB ACB ∠=∠，试求点P 的坐标.思考：如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣4a 经过A （﹣1，0）、C （0，4）两点，与x 轴交于另一点B ，已知点D （m ，m+1）在第一象限的抛物线上，联结BD .（1）求抛物线的解析式；（2）问在抛物线上是否存在点P ，使PBD 等于45度？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.三、 课堂小结：这节课你有哪些收获？ABCA BC四、练习二：1. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21(3)4y x =-向下平移使之经过点(8,0)A ，平移后的抛物线交y 轴于点B ． （1）求∠OBA 的正切值；（2）点C 在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，联结CA 、CB ，当∠=∠BCA OBA 时，求点C 坐标．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1-，3）、B （2，n ）两点在二次函数4312++-=bx x y 的图像上.（1）求b 与n 的值；（2）若点P （不与点A 重合）在题目中已经求出的二次函数的图像上，且︒=∠45POB ，求点P 的坐标.。
沪教版(上海)九年级第一学期 教案设计 26.1二次函数的概念
教学目标：
1、理解二次函数的概念；
2、会求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域；
3、在从问题出发到列二次函数解析式的过程中，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.
教学重点：二次函数概念.
教学难点：实际问题中函数解析式及定义域的确定.
教学设计过程：
教师活动
例题1正方形的边长是x(cm)，面积y( )与边长x之间的函数关系如何表示？
例题2农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？
师:观察这两个函数，找出他们的相同点。
三、学习新知
1、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．
分析：
问1：怎么用代数式表示BC？
问2：矩形面积怎么求？
例题5三角形的两条边长的和为9cm，它们的夹角为 ，设其中一条边长为x(cm)，三角形的面积为y(cm2)，试写出y与x之间的函数解析式及定义域.
.分析：
问1：画出图形,并标图
问2：高在哪里?怎么用代数式表示
四、巩固练习
1、已知二次函数
（1）当 时，求函数Y的值；
当 是常量时，V是 的什么函数？
3、例题分析
例题3设圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积V(cm3)与底面周长c(cm)之间的函数关系式．
分析:
问1：周长和半径什么关系？
问2：体积和半径什么关系？
例题4用长为20米的篱笆,一面靠墙(墙长超过20米),围成一个长方形花圃,如图所示.设AB的长为x米,花圃的面积为y平方米,求y关于x的函数解析式及函数定义域.
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数的复习 教案
二次函数的复习一、教学目标：1、复习二次函数的概念。
2、复习二次函数的图像与性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降、图像的平移、会根据图像判断a 、b 、c 的符号。
3、复习配方法与待定系数法。
4、带领学生一起探讨二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用，提升解决数学综合问题的能力。
二、教学重点与难点：重点：复习二次函数的图像与性质，复习配方法与待定系数法。
难点：培养学生从图像中获取信息的能力，从中体会数形结合、分类讨论等数学思想。
三、教学过程：（一）、知识整理1（1）、二次函数的概念.（2）、怎样判断一个函数是否是二次函数？2、二次函数的图像与性质复习2ax y =、c ax y +=2、2)(m x a y +=、k m x a y ++=2)(、c bx ax y ++=2的开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降。
练习：(1) 当m = 时， m m x m y -+=2)1(是二次函数。
(2) 二次函数y=x(1-x)的开口方向向 .(3) 二次函数y=(x-1)2+2的图像的最 （高或低）点的坐标是 。
(4) 二次函数y=2x 2+4图像的顶点坐标是 , 对称轴是 。
(5) 二次函数y=2x 2+4x 图像的顶点坐标是 ， 对称轴是 。
(6) 抛物线y= -x 2-2x+1在对称轴左侧部分y 随x 的增大而 。
(7) 已知二次函数 m x m x y 4)2(32-+-=的对称轴是y 轴，则m=_________。
3、二次函数的上下、左右平移练习：将抛物线2)2(1--=x y 进行上下或左右两次平移后，使它的顶点移到点（3，-1）的位置，平移的方法可以是先向______平移______个单位，再向______平移______个单位。
4、二次函数的图像信息：会根据图像判断a 、b 、c 的符号；根据图像上的点求函数解析式；判断y 随x 的增大与减小等练习1：二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则下列结论正确的是（ ）A.. 0,0,0>>>c b aB. 0,0,0><<c b aC. 0,0,0<><c b aD. 0,0,0>><c b a练习2、如果 （k 为常数），那么二次函数k <22y kx x k =-+的图像大致为 ( )5、配方法与待定系数法（二）、综合运用探讨：二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数复习 教案
二次函数复习
教学目标：
1、总结二次函数的有关概念、常见表达形式、图像与性质以及平移法则。
2、经历二次函数运用综合练习，进一步体会待定系数法确定函数解析式，理解数学与生活
的联系。
3、培养观察、分析、归纳的能力，感受数形结合的数学思想。
教学重点
二次函数的图像和性质
难点：
二次函数的综合运用
()0，C ，图像关于y 轴对称。
可
以通过上面2
y ax =的图像如何移动得到？ 4、平移法则
上加下减，左加右减（变成顶点式才能进行）
练习4：
（1）抛物线2
x 23y x =--+与y
轴交于点 ，与x 轴交于点 对称轴 ,顶点坐标 ；将这个函数图像 平移可以得到2
y x =-的图像。
（2）在2
y x =-的图像上有两点
()()1122x ,,y x y ，若12x 0x ，则1y 2y
（3）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图,用
不等式连结下列各式: a __0,b __0,c ___0, △___0 a+b+c___0, a-b+c___0
变式练习：若抛物线
c bx ax y ++=2经过原点和第
一、二、三象限，则 a __0,b __0,c ___0
5、二次函数综合运用
1、二次函数的概念,二次函数的常见表达式.
2、选择适当的方法求二次函数
的解析式.
3、会求二次函数的顶点坐标、
对称轴，根据图形求出最值.
使学生掌握不同类型的二次函数的图像和性质.
的坐标；。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数复习课 教案
o
x
c 的符号。
y
巩 固 练 习 4 ： 抛 物 线 y ax2 bx c 的 大 致 图 象 如 图 所 示 ，
试确定 a、b、c 的符号。 知识应用二、 一、 已知一个二次函数的图像经过点 A（1，0），B（3，0）C（0，3） 求（1）函数解析式。
（2）顶点 D 坐标。 （3）求∠ACB 的正弦值。
y
x
C 3
AB
x
01 3
D
【课内小结】
2
1、本课主要复习了哪些内容？ 2、通过复习，你有什么体会或收获呢？ 【作业】 【基础练习 1】二次函数 y x2 2x 3
①
用配方法求其顶点 D 坐标；
② 求该二次函数与 x 轴的交点 A、B（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴的交点 C 的
坐标。
式
；
④ 将 二 次 函 数 y x2 2x 3 图 像 绕 着 顶 点 旋 转 180 ° 可 得 解 析
式
；
【提高题】题组二：二次函数图像中的特殊图形
y
① 下图是二次函数 y x2 2x 3 的有哪些特殊的 图形吗，这些特殊的图形之间有什么关系吗？
把抛物线 y ax2 bx c 化为 y a(x m)2 k
1、例题：把抛物线 y 1 x2 2x 1 化为 y a(x m)2 k 的形式，并指出它
2
2
的开口方向、顶点坐标、对称轴以及 y 随 x 的变化情况.
2、巩固练习 3：把抛物线 y 2x2 4x 3化为 y a(x m)2 k 的形式，并指出
【基础练习 2】题组一：二次函数图像变换
① 将二次函数 y x2 2x 3 图像向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，可
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数基础知识复习 教案
二次函数基础知识复习（一）教学设计本节课是二次函数的复习课，主要梳理一模试卷中出现的二次函数题型的基础知识，从二次函数的定义、二次函数的图像和性质、以及二次函数解析式的确定三方面出发，概括相关知识点，训练学生的解题思维方式，能够快速解决相关填空和选择题。
一、教学目标1、 熟练掌握二次函数的定义、图像与性质2、 能够熟练掌握二次函数的两种表示方法二、教学重点回顾二次函数的图像与性质，并运用这些知识解决一些相关问题三、教学过程 1、 知识梳理：（1） 二次函数的定义：c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）条件：0≠a 、 最高次数是2、 代数式是整式练一练：1、试判断以下哪些是二次函数：（1）c bx ax ++=y 2（2）x x y +3+1=2（3）22-)1+(=x x y （4）23+2=x x y 2、已知函数3-5+)1-(=y 1+2x x m m 是二次函数，求m 的值（2） 二次函数的图像和性质练一练：1）、试在箭头上方（或下方）写出以下二次函数的平移过程22=y x 3+2=y 2x 3+3+2=y 2）（x21+2=y ）（x 5+2-2=y 2）（x 1+4-2=y 2）（x思考：1+4-2=y 2）（x 1+4+2=y 2x x 2）、已知点A （-1，a ）、B （1，b ）是二次函数22-2=y ）（x 图像上的两点， 则a___b （填“>”“<”或“=”）练一练：判断a 、b 、c 的正负性（3） 抛物线解析式的确定已知抛物线三个点的坐标：设一般式c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）已知抛物线的顶点坐标：设顶点式k m x a y +)+(=2（0≠a ）练一练：根据下列条件，求二次函数的解析式 1、 图像经过（0，0），（1，-2），（2，3） 2、 图像的顶点是（2，3），且经过点（3，1） 变式练习：1）、图像对称轴为直线x=2，且经过（2，1），（3，2）2）、已知二次函数对称轴为直线x=2，且最小值为4，图像与y 轴交于（0，6）2、课堂小结3、教学反思：二次函数是描述现实世界变量之间的重要数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型，还是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究学习和复习，将为学生进一步学习函数，利用函数性质解决实际应用问题奠定基础积累经验。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 二次函数复习 教案
⑴当1=x 时，cb a y ++=⑵当1-=x 时，cb a y +-=⑶当2=x 时，cb a y ++=24⑷当2-=x 时，cb a y +-=24⑸当ac b 42-=0，ac b 42-＞0和ac b 42-＜0时，图像与x 轴交点个数。
二、知识点探究：探究1：二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标是______，对称轴是_________。
探究要求：学生分别利用配方法和顶点公式进行求解。
探究2：根据二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标、对称轴及与x 轴y 轴交点画出函数图像草图，研究函数性质。
探究要点：1、如何画二次函数的大致图象:①画对称轴②确定顶点③确定与y 轴的交点④确定与x 轴的交点⑤连线；2、由学生亲手画出的二次函数的大致图象体会函数的增减性、最值和函数值的正负性。
探究3：将221x y =向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的关系式是。
知识点：抛物线移动规律：上加下减，左加右减探究4：抛物线2)3(212-+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式是。
1、要点：关于x 轴对称:1将原抛物线写成顶点式y=a(x+h)2+k学生根据二次函数和一次函数的图像性质进行讨论探究，教师根据学情进行指导。
三、探究体会：1、二次函数的定义及两个不同表达式2、二次函数图像的性质特点3、二次函数解析式系数与图像的关系4、二次函数图像平移和对称变换四、知识应用，巩固训练五、归纳总结本节课内容六、布置作业当堂巩固测试1、在①y ＝－x 2②y ＝2x 2－x 1＋3③y ＝100－5x 2④y=－2x 2＋5x 3－3中有个是二次函数。
2、函数k k k y +-=2)1(是二次函数，则k 的值是3、抛物线342+-=x y 的对称轴及顶点坐标分别是（）A、y 轴，（0，-4）B、x＝3，（0，4）C、x 轴，（0，0）D、y 轴，（0，3）4、二次函数2)1(2---=x y 图象的顶点坐标和对称轴方程为（）A、（1，-2），x＝1B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-15、函数32212++=x x y 的开口方向，顶点坐标是，对称轴是当x 时.y 随x 的增大而减小。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 26.3 二次函数专题复习 教案
二次函数专题复习一、教学目标1. 巩固二次函数的图像及其基本性质；2. 能利用二次函数性质、相似三角形性质和三角比性质解决综合性问题；3. 通过小组合作探究过程体会数形结合、分类讨论、方程思想等数学思想方法在解题中的运用。
二、教学重点和难点教学重点：运用相关知识解决二次函数的综合性问题；教学难点：动点变化过程中，利用方程和分类讨论思想解决问题。
三、教学过程（一）你来设计你来做如图，已知二次函数图像经过点A（-1,0），B（3,0）和点C（0，-3），点D为抛物线的顶点。
观察这个图形，你能根据已知条件设计哪些问题？（不用计算过程，但是要有答案）（事先已经布置下去，学生上课前交流反馈）预设：（1）二次函数的解析式（2）对称轴方程和顶点D的坐标（3）线段AC的长（或AB、BC、BD、CD长）（4）直线BC的表达式（或直线AC、CD、BD的表达式）（5）四边形ABDC的面积（或△AOC、△BOC、△BCD、△ABC、四边形OCDB的面积）（6）证明△AOC∽△DCB（7）求sin∠CBD（或∠CBD、∠CDB、∠ACO、∠CAO的三角比）（8）求sin∠ACB（或∠ABD的三角比）……（二）我来设计你来做例1：如题1，如果点E是抛物线上一点且满足∠EAB=∠CBD，求点E坐标；例2：如题1：点E是抛物线对称轴上一点，当以E、C、D为顶点的三角形与△ABC相似时，求点E坐标.设计以上两题目的：1、考虑问题的严密性---分类讨论2、分析问题的典型性---例1中角的问题转化为边的问题；例2中动点相似里定角的确定3、解决问题的合理性---线段与坐标的匹配四、课内小结今天我的收获是我还需要加强的是五、布置作业（1）同题1，若以点C为圆心，CB为半径的圆与直线BD的另一个交点为点E，求点E的坐标。
(用两种不同的方法求解)（2）你来设计同学做以小组为单位，在前期设计的基础上每个小组再设计一个令本组同学满意的题，各小组进行交换解答。
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二次函数的复习
一、教学目标：
1、复习二次函数的概念。
2、复习二次函数的图像与性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降、图像的平移、会根据图像判断a 、b 、c 的符号。
3、复习配方法与待定系数法。
4、带领学生一起探讨二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用，提升解决数学综合问题的能力。
二、教学重点与难点：
重点：复习二次函数的图像与性质，复习配方法与待定系数法。
难点：培养学生从图像中获取信息的能力，从中体会数形结合、分类讨论等数学思想。
三、教学过程：
（一）、知识整理
1（1）、二次函数的概念.
（2）、怎样判断一个函数是否是二次函数？
2、二次函数的图像与性质
复习2ax y =、c ax y +=2、2)(m x a y +=、k m x a y ++=2)(、c bx ax y ++=2
的开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降。
练习：
(1)当m =时，m m x m y -+=2)1(是二次函数。
(2)二次函数y=x(1-x)的开口方向向.
(3)二次函数y=(x-1)2+2的图像的最（高或低）点的坐标是。
(4)二次函数y=2x 2+4图像的顶点坐标是
,对称轴是。
(5)二次函数y=2x 2+4x 图像的顶点坐标是，对称轴是。
(6)抛物线y=-x 2-2x+1在对称轴左侧部分y 随x 的增大而。
(7)已知二次函数m x m x y 4)2(32-+-=的对称轴是y 轴，则m=_________。
3、二次函数的上下、左右平移
练习：将抛物线2
)2(1--=x y 进行上下或左右两次平移后，使它的顶点移到点（3，-1）的位置，平移的方法可以是先向______平移______个单位，再向______平移______个单位。
4、二次函数的图像信息：会根据图像判断a 、b 、c 的符号；
根据图像上的点求函数解析式；
判断y 随x 的增大与减小等
练习1：二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则下列结论正确的是（）
A..0
,0,0>>>c b a
B.0
,0,0><<c b a C.0
,0,0<><c b a D.0
,0,0>><c b a 练习2、如果（k 为常数），那么二次函数0k <22
y kx x k =-+
的图像大致为()
5、配方法与待定系数法
（二）、综合运用
探讨：二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用。
1、在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2
的图像经过点A （3，0），B （2，3），C （0，3）.
求：(1)这个二次函数的解析式、顶点坐标和对称轴；
(2)联结AB 、AC 、BC ，求△ABC 的面积；
(3)求∠BAC 的正切值.
2、已知抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，且过点(-1,16)，抛物线的顶点是点C ，对称轴与x 轴交于点D ，原点为点O 。
如果y 轴的正半轴上有一动点N ，使以
A 、O 、N 三点为顶点的三角形与以C 、A 、D 三点为顶点的三角形相似，求
(1)这条抛物线的解析式
(2)点N 的坐标.能力的提升：3、如图,抛物线过点A(-1，0)、B(3,0)、C(0，-3)三点，顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E 。
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BC 、AC 、BD ，求tan ∠ACO 和tan ∠DBC ；
(3)求∠ACO+∠BDE 的度数。
4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++经过点(1,3)A ，(0,1)B ．
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，①求△ABC 的面积；
②在y 轴上取一点P ，使△ABP 与△ABC 相似，求满足条件的所有P 点坐标．
四、小结五、作业布置：练习单x y 0。