沪教版九年级二次函数知识点汇总
沪教版九年级上册-二次函数复习 讲义
教学内容—二次函数综合复习知识精要二次函数的概念：形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数。
定义域是一切实数。
二次函数的图像函数 对称轴顶点 开口方向最值 ()20y ax a =≠ y 轴 （0，0）a>0,图像开口向上,顶点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点.()20y ax c a =+≠ y 轴),0(cc()()20y a x m a =+≠m x -= ()0,m -)0()(2≠++=a k m x a y m x -=),(k m -k()02≠++=a c bx ax yabx 2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ab ac 442-)0)()((1≠--=a x x x x a y x221x x x +=一、选择题典型例题1）有关二次函数图像与系数关系1．如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ ）．2. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ ） A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0><>c b a C.0,0,0<>>c b a D.0,0,0<<>c b a第6题ABCDy O x y Ox yOxyOx2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性1． 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是 （ ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y > 2．关于抛物线4)1(32-+-=x y ，下列说法正确的是 （ ）A ．抛物线的对称轴是直线1=x ；B ．抛物线在y 轴上的截距是4-；C ．抛物线的顶点坐标是（41--，）； D ．抛物线的开口方向向上． 3．已知函数222y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ ）A ．3x -≥B ．31x -≤≤C ． 13x -≤≤D ．1x -≤或3x ≥4．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ）A ．抛物线的开口向下 ；B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ；C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点；D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的．3）二次函数的平移问题1．把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位．2. 把抛物线()216+=x y 平移后得到抛物线26x y = ，平移的方法可以是 （ ）.A. 沿y 轴向上平移1个单位；B. 沿y 轴向下平移1个单位；C. 沿x 轴向左平移1个单位；D. 沿x 轴向右平移1个单位. 巩固练习1．已知抛物线解析式为243y x x =--，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是__________．2．二次函数322+=x y 图象的顶点坐标是 .3．如果二次函数()()21122+-++=x k x k y ，那么它的图象的开口向 .4. 如果)8,(x A ，),2(y B -是二次函数221x y =图像上的两个点，那么=+y x . 5．抛物线c bx x y ++=2经过点)3,0(和)0,1(-，那么抛物线的解析式是 ． 6．如果二次函数a x x y ++=2与x 轴有交点,那么实数a 的取值范围是 .7. 抛物线12-=ax y 上有一点)2,2(P ，平移该抛物线，使其顶点落在点)1,1(A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．二、 二次函数解答题典型例题例1.在直角坐标平面内，已知抛物线()()012>-=a x a y 顶点为A ,与y 轴交于点C ，点B 是抛物线上另一点，且横坐标为3，若⊿ABC 为直角三角形时，求a 的值.例2．如图，抛物线322++=ax ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 和点B 分别在x 轴的正、负半轴上），3cot =∠OCA ． （1）求抛物线的解析式；（2）平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点E 、F （点F 在点E 的左边），如果四边形OBFE 是平行四边形，求点E 的坐标．巩固练习1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO =12，CO =BO ，AB =3，求这条抛物线的函数解析式.CyO A BxCxy oA 11-4B三、二次函数与相似结合题例1. 抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，已知该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ， （1）根据图象所给信息，求出抛物线的解析式； （2）求直线BC 与y 轴交点D 的坐标；（3）点P 是直线BC 上的一点，且APB ∆与DOB ∆相似，求点P 的坐标.例2．如图9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数图像经过(1,2)A -、(3,2)B -和(0,1)C 三点，顶点为P ．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点P 的坐标； （2）联结PC 、BC ，求BCP ∠的正切值；（3）能否在第一象限内找到一点Q ,使得以Q 、C 、A 三点为顶点的三角形与以C 、P 、B 三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q 共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．自我测试1．下列抛物线中，顶点在第一象限内的是 ( ) A.2)1(21-=x y B. 3212+=x y C. 3)1(212++=x y D. 3)1(212+-=x y . 2．若A （113,4y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =--的图像上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是 （ ）．A.123y y y <<B. 321y y y <<C. 312y y y <<D. 132y y y << 3．将抛物线y =2x 2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是( ) A. y=2(x+1)2 +3； B. y=2(x －1)2－3； C. y=2(x+1)2－3； D. y=2(x －1)2+3．4. 若二次函数k x x y +-=32的图像与x 轴有公共点,则实数k 的取值范围是 。
沪科版初三数学知识点总结
初三数学知识点总结一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如y ax2bx c （a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax2bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 随a 0 向上0 ，0 y 轴x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值0 ．x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 随a 0 向下0 ，0 y 轴x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值0 ．2. y ax 2 c 的性质：上加下减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 随a 0 向上0 ，c y 轴x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值 c ．x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 随a 0 向下0 ，c y 轴x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值 c ．3. y a x h 2 的性质：左加右减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质2a 0向上a 0向下h ，0h ，0X=hX=hx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值0 ． xh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 随x 的增大而增大；x h 时， y 有最大值 0 ．24. y a x hk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随a 0向上h ，kX=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．a 0向下h ，kX=h x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式2y a x hk ，确定其顶点坐标h ，k ；⑵ 保持抛物线 y ax 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：y=ax 2向上(k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k |个单位y=ax 2+ k向右(h>0)【或左 ( h<0)】平移|k| 个单位y=a(x-h)2向右(h>0) 【或左 (h<0) 】平移 |k| 个单位向上(k>0) 【或下 (k<0) 】平移|k|个单位向上(k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位向右(h>0)【或左 (h<0)】平移 |k| 个单位y=a(x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：⑴ yax 2bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， y ax2bx c 变成2y axbx cm （或 yax 2bx c m ）2⑵ yax 2bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax 2bx c 变成y a( x m)2b( x m) c （或 ya(x m) 2b( x m) c ）四、二次函数2y a x hk 与 y ax 2 bx c 的比较从解析式上看，2y a x hk 与 y ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2y a xb2a4ac b 24a，其中 hb ，k2a4ac b ．4a五、二次函数 y ax 2 bx c 图象的画法五点绘图法： 利用配方法将二次函数y axbx c 化为顶点式 y a( x h)k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 0 ，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点2h ，c 、与 x 轴的交点 x 1 ，0 ， x 2 ，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点 .六、二次函数 y axbx c 的性质2b b4ac b 1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x ，顶点坐标为2a， ．2a 4a当 x b2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x 2b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x2ab 时， y 有2 a最小值4ac b ．4a2b b 4ac b b 2. 当 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为2a， ．当 x 时，2a 4a2ay 随 x 的增大而增大；当 xb 时， y 随 x 的增大而减小；当 x2ab时， y 有最大值 2a24ac b ．4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y axbx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）；2. 顶点式： y a( x h)2k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；3. 两根式： y a( x x 1)( x x 2 ) （ a 0 ，x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点， 即 b24 ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解2222析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax bx c 中，a 作为二次项系数，显然 a 0 ．⑴当a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵当a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴在a 0 的前提下，当b 0 时，当b 0 时，当b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2ab0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2ab0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．2a⑵在a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0 时，当b 0 时，当b 0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2ab0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2ab0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴x 是“左同右异”总结：b在y 轴左边则ab2a0 ，在y 轴的右侧则ab 0 ，概括的说就3. 常数项 c⑴ 当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．22二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 ．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y axbx c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yaxbx c ；2y a x hk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2y a x h k ；2. 关于 y 轴对称y ax 2 bx c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是y ax 2 bx c ；2y a x hk 关于 y 轴对称后，得到的解析式是2y a x h k ；3. 关于原点对称y ax 2 bx c 关于原点对称后，得到的解析式是yax 2 bx c ；2y a x hk 关于原点对称后，得到的解析式是2y a x h k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y ax bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是2by axbx c；2y a x hk 关于顶点对称后，得到的解析式是2a2ya x h k ．5. 关于点 m ，n 对称2y a x hk 关于点 m ，n对称后，得到的解析式是2y a x h 2m2n k根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化， 因此 a 永远不变． 求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．222次方程 ax2bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x 2 x 1b 24ac a.3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 . ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bx c(a 0) 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以 a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0 抛物线与 x 轴有 二次三项式的值可正、 一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0 抛物线与 x 轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点0 抛物线与 x 轴无二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根 .交点12 1 2 12 2十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2bx c 0 是二次函数 y ax bx c 当函数值 y 0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：① 当b4ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x ，0 ，B x ，0 (x x ) ，其中的 x ，x 是一元二② 当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点；③ 当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1' 当 a 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 ； 2' 当 a 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 ．22. 抛物线 y axbx c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；2二次函数图像参考：y=2x 2y=x 2y=3(x+4) 2y=3x 2y=3(x-2) 2 y=2x 2x 2y=2y=2(x-4) 2y=2(x-4) 2-3y=2 x 2 +2y=2 x 2y=2 x 2 -4x2y= -2y= -x 2 y=-2x 2y=-2(x+3) 2y=-2x 2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y(m 2) x2m 2 m 2 的图像经过原点，则m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2 bx 1 的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3) ，(4,6) 两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的解析式。
沪科版九年级上册二次函数总复习PPT课件
y
y
y
y
O
x
A
x
O
x
O
O
x
B
C
D
答案: B 前进
2021
26
(三)根据函数性质求函数解析式
例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
b x=- 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
2021
20
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解 :(5)
x=-1
当x≤-1时，y随x的增大 而减小;
当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
• 3 前进 (0,-–2)
例（5：1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
沪科版九上数学第21章：二次函数与反比例函数知识点总结
沪科版九上数学第21章:二次函数与反比例函数强化记忆知识点知识点1：二次函数的图象与系数的关系.二次函数2y ax bx c =++中图象与系数的关系:（1）二次项系数a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． a>0时，开口向上，a<0时，开口向下。
a 越大，开口越小。
a 越小，开口越大。
（2）一次项系数b ，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．若0>ab ，则对称轴a b x 2-=在y 轴左边，若0<ab ，则对称轴a bx 2-=在y 轴的右侧。
若b=0，则对称轴abx 2-=＝0,即对称轴是y 轴.概括的说就是“左同右异,y 轴0” （3）常数项c ，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．当0c >时，交点在y 轴的正半轴上 ;当0c =时，抛物线经过原点，;当0c <时，交点在y 轴的负半轴上, 简记为“上正下负原点0”(4) △=b 2－4ac 决定了抛物线与x 轴交点的个数. ① 当0∆>时，抛物线与x 轴有两个交点 ② 当0∆=时，抛物线与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，抛物线与x 轴没有交点.另外当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．注：a +b +c 表示x=1时，对应的函数值。
a -b +c 表示x= －1时，对应的函数值.4a +2b +c 表示x=2时，对应的函数值。
9a -3b +c 表示x= －3时，对应的函数值.等知识2：一次函数的图象与系数的关系.一次函数:y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0) 中图象与系数的关系:（1）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （2）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（3）截距: 当b>0时，图象交于y 轴正半轴, 当b<0时，图象交于y 轴负半轴,当b=0时，图象交于原点.（4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.知识3：反比例函数的图象与系数的关系以及反比例函数性质. 反比例函数:y ＝xk（k 为常数，k ≠0）中图象与系数的关系: （1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。
沪教版九年级二次函数知识点汇总
二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的一元二次函数.2.二次函数的性质(1)抛物线的顶点是原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系：①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；越小，抛物线的开口越大，越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于轴(或重合)的直线，记作.特别地，轴记作直线.③定点是抛物线的最值点[最大值(时)或最小值(时)]，坐标为(,)。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★7.抛物线中，的作用(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：①时，对称轴为轴；②时,对称轴在轴左侧；③时,对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：1，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上(轴)(0,0) ( (0,当时开口向下轴))(,0)(,)()9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1)轴与抛物线得交点为()(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).(3)抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.(4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
沪科9年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数1 二次函数
知1－练
感悟新知
知1－练
解：① y=1－ 2 x2 ＝ － 2 x2 ＋ 1，是二次函数； ②分母中含有自变量，不是二次函数； ③ y=3x(1－3x) ＝ － 9x2+3x，是二次函数； ④ y=(1－2x)(1＋2x) ＝ － 4x2+1，是二次函数．
答案：C
感悟新知
知1－练
1-1. [ 月考·合肥 ] 下列各式中， y 是 x 的二次函数的 是( C ) A.y=3x － 1 B.y=x2 － ( x+1)( x － 5) C.y=x2 － 5x+13
感悟新知
特别提醒
知1－讲
(1)二次项系数、一次项系数和常数项包括它们前
面的符号，不要漏掉 .
(2) 二次函数y=ax2+bx+c( a ≠ 0)的特殊形式：
特殊形式 二次项 一次项 常数项
y=ax2(a≠0)
ax2
无
0
y=ax2+bx(a≠0) ax2
bx
0
y=ax2+c(a≠0) ax2
无
c
感悟新知
感悟新知
知2－练
2-1.某商品的进价为每件 40 元，如果售价为每件 50 元， 每个月可卖出210 件；如果售价超过 50元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 1 件；如果售价超过 80 元后，若再涨价，则每涨 1 元每个月少卖 3 件 . 设每件商品的售价为x元( x为 整数)，每个月的销售量为y 件.
感悟新知
知2－练
(1) 求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值 范围； 解：当 50＜x≤80 时，y＝210－(x－50)，即 y＝260－x； 当 80＜x＜140 时，y＝210－(80－50)－3(x－80)， 即 y＝420－3x. 综上所述，y＝246200－ －x3（ x（508<0<x≤x<801）40，）.
沪科九年级数学知识点
沪科九年级数学知识点在沪科九年级的数学学科中，孩子们将继续探索各种数学概念和技能，为即将到来的高中数学做好准备。
在这一年级中，涉及的数学领域更加广泛，包括代数、几何、函数等。
本文将讨论沪科九年级数学的一些重要知识点。
一、代数学1.1 一次函数在代数学中，一次函数是一个重要的概念。
一次函数表示为 y = mx + b 的形式，其中 m 是斜率，b 是截距。
这个方程表示了一条直线关系，可以帮助我们理解线性关系和求解问题。
1.2 二次函数二次函数是一个非常常见的代数函数。
它的一般表达式是 y = ax^2 + bx + c。
二次函数以抛物线的形式呈现，可以通过顶点和根的性质来分析和解决问题。
1.3 不等式不等式是另一个重要的代数概念。
不等式用于描述数值之间的关系，如大于、小于、大于等于、小于等于等。
解不等式可以帮助我们确定一组数的取值范围。
二、几何学2.1 三角形在几何学中，三角形是一个基本的图形。
沪科九年级中，我们将学习更多关于三角形的性质和定理，例如勾股定理、正弦定理和余弦定理。
这些定理可以帮助我们计算和解决与三角形相关的问题。
2.2 平行线与平行四边形平行线和平行四边形也是几何学中的重要概念。
学生将学习如何判断两条线是否平行，以及如何应用平行四边形的性质解决问题。
2.3 圆与圆周角圆是几何学中的一个非常重要的图形，圆周角是指圆内两条弧所对应的角。
学生将学习如何计算圆周角以及如何应用圆的性质解决问题。
三、函数3.1 函数的概念在数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数表示了两个变量之间的关系，其中一个变量的值取决于另一个变量的值。
学生将学习如何表示和理解函数以及如何解决与函数相关的问题。
3.2 二次函数和指数函数沪科九年级的学生将继续学习二次函数和指数函数。
他们将学习如何通过图像和方程来表示和分析这些函数，以及如何应用它们解决实际问题。
3.3 复合函数和反函数复合函数和反函数是函数中的两个重要概念。
上海初三数学知识点
上海初三数学知识点初三数学是初中数学学习的重要阶段，知识点的难度和广度都有所增加。
以下为大家详细介绍上海初三数学的主要知识点。
一、二次函数二次函数是初三数学的重点和难点。
一般形式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c （a ≠ 0），其中 a、b、c 为常数。
1、图像性质二次函数的图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为直线 x ＝ b ／ 2a，顶点坐标为（b ／ 2a，（4ac b²) ／ 4a）。
2、解析式的确定通常可以通过已知的三个点坐标，利用待定系数法来确定二次函数的解析式。
3、与一元二次方程的关系抛物线与 x 轴的交点个数取决于判别式Δ ＝ b² 4ac 的值。
当Δ ＞ 0 时，抛物线与 x 轴有两个交点；当Δ ＝ 0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；当Δ ＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。
二、相似三角形1、相似三角形的判定（1）两角对应相等，两个三角形相似。
（2）两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
（3）三边对应成比例，两个三角形相似。
2、相似三角形的性质（1）相似三角形对应边的比等于相似比。
（2）相似三角形对应角相等。
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
三、锐角三角函数1、正弦、余弦、正切的定义在直角三角形中，正弦等于对边与斜边的比值，余弦等于邻边与斜边的比值，正切等于对边与邻边的比值。
2、特殊角的三角函数值要牢记 30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值。
3、解直角三角形已知直角三角形中的一些元素（至少一个边），求出其他未知元素的过程。
四、圆1、圆的基本性质（1）圆是轴对称图形，直径所在的直线是对称轴。
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
2、圆周角与圆心角（1）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
（2）直径所对的圆周角是直角。
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二次函数知识点汇总
1.定义：一般地，如果
是常数，
，那么
叫做
的一元二次函数.
2.二次函数
的性质
(1)抛物线
的顶点是原点，对称轴是
轴.
(2)函数
的图像与
的符号关系：
①当
时
抛物线开口向上
顶点为其最低点；②当
时
抛物线开口向下
顶点为其最高点
3.二次函数
的图像是对称轴平行于(包括重合)
轴的抛物线.
4.二次函数
用配方法可化成：
的形式，其中
.
5.抛物线
的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①
决定抛物线的开口方向：
当
时，开口向上；当
时，开口向下；
越小，抛物线的开口越大，
越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于
轴(或重合)的直线，记作
.特别地，
轴记作直线
.
③定点是抛物线的最值点[最大值(
时)或最小值(
时)]，坐标为(
,
)。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：
，∴顶点是
，对称轴是直线
.
(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为
的形式，得到顶点为(
,
)，对称轴是
.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
7.抛物线
中，
的作用
(1)
决定开口方向及开口大小，这与
中的
完全一样.
(2)
和
共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
的对称轴是直线
,故：
①
时，对称轴为
轴；②
时,对称轴在
轴左侧；③
时,对称轴在
轴右侧.
(3)
的大小决定抛物线
与
轴交点的位置.
当
时，
，∴抛物线
与
轴有且只有一个交点(0，)：
1
，抛物线经过原点; ②
,与
轴交于正半轴；③
,与
轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在
轴右侧，则
.
8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①
；②
；③
；④
；⑤
.
图像特征如下：
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
当
时
开口向上(
轴)
(0,0) ( (0,
当
时
开口向下
轴)
)
(
,0)
(
,
)
(
)
9.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：
.已知图像上三点或三对
、
的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：已知图像与
轴的交点坐标
、
，通常选用交点式：
.
10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）
(1)
轴与抛物线
得交点为(
)
(2)与
轴平行的直线
与抛物线
有且只有一个交点(
,
).
(3)抛物线与
轴的交点
二次函数
的图像与
轴的两个交点的横坐标
、
，是对应一元二次方程
的两个实数根.抛物线与
轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点
抛物线与
轴相交；
②有一个交点(顶点在
轴上)
抛物线与
轴相切；
③没有交点
抛物线与
轴相离.
(4)平行于
轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为
，则横坐标是
的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
(5)一次函数
的图像
与二次函数
的图像
的交点，由方程组
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时
与
有两个交点;
②方程组只有一组解时
与
只有一个交点；③方程组无解时
与
没有交点.
(6)抛物线与
轴两交点之间的距离：若抛物线
与
轴两交点为
，由于
、
是方程
的两个根，故由韦达定理知：
11．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)一元二次方程
就是二次函数
当函数y的值为0时的情况．
(2)二次函数
的图象与
轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数
的图象与
轴有交点时，交点的横坐标就是当
时自变量
的值，即一元二次方程
的根．
(3)当二次函数
的图象与
轴有两个交点时，则一元二次方程
有两个不相等的实数根；当二次函数
的图象与
轴有一个交点时，则一元二次方程
有两个相等的实数根；当二次函数
的图象与
轴没有交点时，则一元二次方程
没有实数根
12.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。
一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的
即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。
(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．。