生猪年末存栏量和猪肉价格的预测模型

生猪年末存栏量和猪肉价格的预测模型摘要本文针对生猪年末存栏量以及猪肉的价格进行了预测。

首先通过最小二乘法对生猪的出栏量进行了预测，然后引入了两次参数拟合的灰色马尔科夫链模型，对猪肉价格进行了宏观趋势以及微观波动进行了讨论，最后得出预测值，并给出了预测值的变动范围。

第一问中，由于生猪的出栏量总体呈上升趋势，而且波动较小，所以我们采用最小二乘法进行预测。

在预测过程中充分考虑1995~1996年的金融危机对生猪出栏量的影响，用5次和3次多项式分别对1976~2009年和1996~2009年的数据进行了拟合，得到四条拟合曲线，通过比较可以看出，其中一条曲线的误差较大，其他三条曲线基本重合，最后在对这三条曲线的数据求平均，得到最终结果。

预测出来的2007、2008、2009年的生猪出栏量都与真实值误差很小，而预测出的2010年的生猪出栏量为52562.7万头。

第二问，预测猪肉价格时，以每月为一个单位。

由于猪肉的价格波动性比较大，建立了两次参数拟合的灰色马尔科夫链模型。

先用两次参数拟合的灰色理论对猪肉价格的趋势进行了分析，得到猪肉价格的趋势值。

然后再用马尔科夫链对猪肉价格的波动性进行了研究，给出了猪肉价格的预测值，并得到了预测值的变动范围。

相比于GM（1，1）模型，本模型对时间响应方程进行了二次参数拟合，这样得到的数据比普通的GM（1，1）模型的数据更精确。

在用马尔科夫链预测时，首先用相对价格将价格的波动情况划分为j个状态区间，然后求出状态转移概率矩阵，列出价格预测表，可能转移到的概率最大的那个状态即为下一月份的状态。

则猪肉价格的趋势值乘以这一状态的上下限即可得到预测值的波动范围，而取这一状态区间的中点与趋势值的成绩既为这一预测值。

最后得到的结果是2010年1月的猪肉价格是11.80元与实际值11.75元比较，误差为0.43%，相对于灰色GM(1,1)模型预测的猪肉价格11.14元，误差为 5.19%，误差很小，说明了两次参数拟合灰色马尔科夫链模型的准确性。

关键字：最小二乘法灰色理论 GM（1，1）马尔科夫链猪肉是我国重要的肉畜产品之一，也是我国居民消费量最大的肉类，猪肉价格的高低关系到国计民生。

我国自1985年取消生猪派购、放开肉类市场、实行多渠道经营以后,生猪市场就始终处于周期性波动状态。

2007年5月以来,国内猪肉价格出现大幅上涨并达到历史最高点，与此同时,其他基本消费品价格也轮番上涨，造成了一些不安定因素，不利于社会和谐发展。

一时间猪肉价格成了各界关注的热点,并引起相关部门和国内学者的广泛关注。

然而猪肉价格上涨并不是没有先兆的，我们应未雨绸缪，防患于未然，假设我们可对猪肉价格进行预测，有关部门也好早早地积极组织调配各地资源，保证货源充足，改善这种状况。

本文就是要参考附录中给出的资料,或者自己查找相关资料，建立数学模型，预测2007-2010年生猪年末存栏量和2010年我国36个大中城市猪肉价格。

二、模型假设1.假设在预测期间，不会出现金融危机、猪流感等严重影响生猪出栏量的意外发生；2.假设在预测期间，不会有打压猪肉价格或者哄抬猪肉价格的事件发生；3.假设不会发生不发生大的疫情，灾难或国家政策干预等引起猪肉价格急剧变化的事件；4.假设在预测期间，饲料价格不会发生大的波动，可以以往年平均值来预测未来价格变化趋势；5.假设消费者对猪肉的需求量不发生巨大变化。

三、符号及文字说明猪肉价格相对值的第i个状态⊗状态的上限i1⊗状态的下限i2状态经m步转移到的概率状态经m步转移到的次数状态出现的次数由m步转移概率元素构成的矩阵问题一中，已知1976~2009年的生猪出栏量，已知的数据比较多，而仅仅预测2010年的生猪出栏量，所以考虑用最小二乘法进行数据拟合。

从数据中，我们可以看出总体呈上升趋势，但是在1996年有一个骤降，然后再次上升。

通过查找资料发现，1995~1996年生猪出栏量受金融危机的影响比较严重，所以应当充分考虑1996年数据的差异，可以将1996年作为起点来预测2010年的生猪量，或者不考虑1995、1996年的生猪出栏量，进行整体预测。

问题二中，猪肉的价格不仅有一个宏观的趋势，而且存在小范围的波动。

可以考虑用灰色理论，但是灰色理论对波动性的预测效果不好，而马尔科夫链模型对波动性预测效果较好，但是无法预测出宏观的趋势。

将这两个模型结合起来，相互弥补了各自的缺点，使得模型比较完整，结果的准确性较高。

五、模型建立及求解问题一：生猪存栏量预测 1.1、分析数据我们要根据题目中给出的一组数据，预测出2007~2010年的生猪年末存栏量。

图中描绘了1976年到2006年我国生猪年末存栏量的走势图，见图1。

051015202530352.533.544.55x 104图1 1976年到2006年我国生猪年末存栏量的走势图从图中可以看出1976年以来，我国的生猪年末存栏量总体上成上升趋势，波动较小，对此，我们采用最小二乘法，用最小二乘拟合多项式逼近，预测出2007-2010年生猪年末存栏量。

1.2、拟合多项式求解假定对应给出m 个点i x 处的值i y ),,2,1(m i =，要求近似多项式)()()()()(221100x c x c x c x c x p n n ϕϕϕϕ++++= (1) 其中n c c c ,,10为待定常数，),2,1,0()(n j x x j j ==ϕ，选取n c c c ,,10使得 ∑=-=mi i i y x p 12))((S (2)最小。

它显然是待定系数n c c c ,,10的函数。

由多元函数取极值的必要条件知，S 取最小时必有 0S=∂∂kc .,,2,1,0n k = (3) 即∑==-+++mi i i n n i i i k y x c x c x c x 111000])()()()[(ϕϕϕϕ (4)亦即∑∑∑∑=====++mi mi mi mi i i k i n i k n i i k i i k y x x x c x x c x x c 11111100)()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕ (5)若对任意的函数)()(x g x h 和，引入记号∑==mi i i x g x h g h 1)()(),( (6)则上述方程可以表示为),(),(),(),(1100y c c c k n k n k k ϕϕϕϕϕϕϕ=+++ .,2,1,0n k = (7) 写成矩阵形式，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101110101000y y y c c c n n n n n n n n ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ (8)该问题用矩阵还可表示为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()(A 102212011110m n m m n n x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ T 21),,(B m y y y = T 10),,(X n c c c =222122||),,(||||||S m e e e e == (9)即2222||||||||AX B e -=令 0A T =e B A AX A T T =B A A)(A X T -1T = (10) 即得到n c c c ,,10，代入)(x p ，即可求得该拟合多项式。

1.3、拟合预测从1976年到2009的i x 值分别为1~34，i y 值为对应年份的生猪年末存栏量。

从以上图中可以看出，1995~1996年可能由于墨西哥金融危机对世界经济的冲击作用及其他一些事件的影响，生猪年末存栏量出现大幅下降，数据变化较大，对此，我们需要在对整体数据拟合的基础上，再对1996年以后的数据拟合，分别用了5次和3次多项式拟合，防止产生较大误差。

A 、5次多项式，样本取值1976~2006：)0,1,26,243,1077,28213(X --=，则得到的拟合多项式为 43226243107728213)(x x x x x p -+-+= (11) 从而预测出2007~2010年的生猪年末存栏量，见表一：表一 预测出2007~2010年的生猪年末存栏量2007年 2008年 2009年 2010年 43996万头 45889万头 48685万头 52616万头拟合多项式的图形如下：51015202530352.533.544.555.5x 104图2 5次多项式样本取1976~2006的预测图B 、5次多项式，样本取值1976~2009：），，，（,015,2228100728301X --=，则得到的拟合多项式为43225228100728301)(x x x x x p -+-+= (12) 从而预测出2007~2010年的生猪年末存栏量，见表二：表二 预测出2007~2010年的生猪年末存栏量2007年 2008年 2009年 2010年 43984万头 45811万头 48506万头 52294万头拟合多项式的图形如下：51015202530352.533.544.555.5x 104图3 5次多项式样本取1976~2009的预测图C 、3次多项式，样本取值1996~2006：)40,2960,79480,664390(X --=，则得到的拟合多项式为 3240296079480664390)(x x x x p +-+-= (13) 从而预测出2007~2010年的生猪年末存栏量，见表三：表三 2007~2010年的生猪年末存栏量2007年 2008年 2009年 2010 44750万头 47734万头 52050万头 57917万头拟合多项式图形如下：051015202530352.533.544.555.56x 104图4 3次多项式样本取1976~1996的预测图D 、3次多项式，样本取值1996~2009：)30,2280,61850,515000(X --=，则得到的拟合多项式为 3230228061850515000)(x x x x p +-+-= (14) 从而预测出2007~2010年的生猪年末出栏量，见表四：表四 预测出2007~2010年的生猪年末出栏量2007年 2008年 2009年 2010年 43774万头 45765万头 48711万头 52778万头拟合多项式的图形如下：51015202530352.533.544.555.5x 104图5 3次多项式样本取1976~2009的预测图将四条曲线整合比较，预测最终的生猪年末存栏量，见图6。