第三章相对论力学
动力学中的相对论力学相对论效应对物体运动的影响
动力学中的相对论力学相对论效应对物体运动的影响动力学中的相对论力学：相对论效应对物体运动的影响相对论力学是描述高速运动物体行为的物理理论，它与牛顿力学有着本质的区别。
在动力学中，相对论效应对物体运动产生了深远的影响。
本文将探讨相对论效应对物体运动的影响，包括时间膨胀、长度收缩和质量增加。
一、时间膨胀对物体运动的影响根据相对论理论，高速运动物体的时间流逝速度会减慢，即时间会相对于静止参考系而膨胀。
这种时间膨胀效应对物体运动产生了显著的影响。
以光速作为参考标准，当物体接近光速时，时间的流逝速度减缓。
时间膨胀对物体运动的影响可以通过实验进行验证。
例如，将两台高精度原子钟放置在相对静止和以高速移动的飞行器上。
当飞行器以接近光速的速度运动时，与地面上的原子钟比较，飞行器上的时钟会显示较慢的时间。
这意味着高速运动物体相对于静止物体，它的时间流逝速度会变慢。
时间膨胀效应对我们准确测量物体运动的时间非常重要，特别是在高速运动中。
二、长度收缩对物体运动的影响相对论理论还提出了长度收缩效应，即高速运动物体的长度会相对于静止参考系而收缩。
这一效应对于描述物体运动的长度变化具有重要意义。
根据相对论，当物体接近光速时，相对于静止物体，它的长度会出现收缩。
例如，我们观察一个以接近光速运动的飞船，会发现它的长度相对于静止参考系而言显得更短。
这是因为在高速运动中，物体的长度会根据相对论效应而收缩。
长度收缩效应在实践中也得到了证明。
科学家进行过很多实验，例如使用粒子加速器将粒子加速到高速，然后测量粒子在高速运动中的长度。
实验结果表明，高速运动的粒子相对于静止参考系而言会出现长度收缩。
这一效应的存在使得我们在描述物体运动和相对位置时需要考虑相对论效应的影响。
三、质量增加对物体运动的影响相对论理论还提出了质量增加效应，即物体的质量会增加，当它的速度接近光速时，质量增加的幅度变得更明显。
这一效应对物体运动产生了显著的影响。
根据相对论，当物体以接近光速的速度运动时，它的质量会相对于静止参考系而增加。
第三章相对论力学
vx
vx u 1 uvx c2
cu c 1u c
例：设想一飞船以0.80c 的速度在地球上空飞行，
如果这时从飞船上沿速度方向发射一物体，物体
相对飞船速度为0.90c 。
问：从地面上看，物体速度多大？
s
S
u 0.80c
0.90c
解：选飞船参考系为S'系
地面参考系为S系
v
v u
1
vu c2
S S
u vx
x x
u 0.80c vx 0.90c
vx
vx
1
u c2
u vx
0.90c 0.80c 1 0.80 0.90
0.99c
三、狭义相对论的时空观
1、同时性的相对性
事件1
S
( x1, t1)事件2 (x2 ຫໍສະໝຸດ t2 )两事件 同时发生
t1 t2
t t2 t1 0
S
(x1, t1) (x2 , t2 )
？ t t2 t1
以爱因斯坦火车为例
S' Einstein train S 地面参考系
S S
u
A M B
实验装置
在火车上 A、B 分别放置信号接收器 中点 M 放置光信号发生器
t t 0 M 发一光信号
t t 0 M发一光信号 S
在飞行速率为0.98c的飞船中观测者看来，这个选手
跑了多长时间和多长距离（设飞船沿跑道的竞跑方向
航行）？
解：设地面为S系，飞船为S'系。
x
x ut 1 u2 c2
x2
x1
( x2
x1 ) 1
u(t2 u2 c2
相对论量子力学(3)
e ， i e ， i e i t t t
2 2 3 e mc mc 在上式中 为 量级，而右边为 2 i 量级，所以在形式上 t 相当于 量级 。 11 式右方写出来的各项，除最后一项 2 4 mc 量级。 外，相当于精确到
• 下面计算 18 式。在第三项中利用 式，有
i ie ie
2
e e 2 2 A , ce A mc 2 4 0c a0 4 0ca0
2
• 式中
mc 4
2
eV , c 5
mc 为大项，是偶矩阵。 是一个 • 在 中， 2 2 2 mc 量级的小的偶矩阵，而 是一个mc 量级 的奇矩阵。
• 由于 为 mc 量级，所以 的右方除第 一项 外，都等于或小于 mc 2 6 量级而可 2 5 略去，而 中所有的项都等于或小于mc ，均可略去。 • 现在将经过两次幺正变换后的 ，代回 两次幺正变换后的狄拉克方程中，最后得 出哈密顿为偶矩阵的狄拉克方程（将所有 双撇都去掉）： i 17
2 1 2 4 , i , 2 2mc 8m c t 4
8m c
3 6
3 1 i , 2 4 2mc 2 t 2 m c
2 3
t
1 mc 2 2mc 8m 2c 4
2 2
, i t ,
第三章 狭义相对论3
/
图3.1 坐标变换
x = x / + ut /
或
y = y/ z=z t = t/
/
(3.1)
15 首 页 上 页 下 页退 出
t =t
/
(3.1)叫做伽利略坐标变换方程。 叫做伽利略坐标变换方程。 叫做伽利略坐标变换方程
3.1.2 伽利略相对性原理
1、以太理论的提出 人们在研究机械波（例如声波）的传播过程， 人们在研究机械波（例如声波）的传播过程，发现机械波 的传播必须有弹性媒质。 的传播必须有弹性媒质。当时的物理学家认为可以用这个框架 来解释一切波动现象。 来解释一切波动现象。 19世纪中期麦克斯韦建立的电磁场理论指出光是电磁波， 19世纪中期麦克斯韦建立的电磁场理论指出光是电磁波，并 世纪中期麦克斯韦建立的电磁场理论指出光是电磁波 提出光是在以太中传播的假说。 提出光是在以太中传播的假说。 以太假说的主要内容是： 以太假说的主要内容是：以太是传播包括光波在内的电磁波的弹 性媒质，它充満整个宇宙空间。 性媒质，它充満整个宇宙空间。以太中带电粒子振动会引起以太变 这种变形以弹性波的形式传播，这就是电磁波。 形，这种变形以弹性波的形式传播，这就是电磁波。 并且进一步认为以太就是人们一直在寻找的绝对静止参考 只有在这个参考系中光速才是与方向无关的恒量。 系，只有在这个参考系中光速才是与方向无关的恒量对性原理 10 加速度对伽里略变换不变
d 2 x d 2 x′ ax = 2 = 2 = a′ x ′ dt dt 因两参考系 彼此作匀速 又 t′ = t 直线运动 ay = a / y az = a / z
v v′ ∴ a = a
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相对论力学
1kg这种核燃料所释放的能量为：
E 2.799 1012 14 3 . 35 10 J/kg 27 m1 m 2 8.3486 10
这相当于同质量的优质煤燃烧所释放热量的1千多 万倍！
五、能量与动量的三角形关系
E mc2
p＝mv
m
m0 1 v2 c2
2
四、质能关系
总能量 动能 静止能量
2
EK mc m0c
2
2
E mc 为粒子以速率v 运动时的总能量
EK E E0
动能为总能和静能之差。
结论：一定的质量相应于一定的能量，二者 的数值只相差一个恒定的因子 c2 。
E mc
2
为相对论的质能关系式
按相对论思维概念，几个粒子在相互作用过 程中，最一般的能量守恒应表示为：
2 E ( m c i i ) 常量 i i
m
i
i
常量
表示质量守恒
能量守恒 质量守恒
历史上： 独立 相对论中： 统一
放射性蜕变、原子核能（反应）的可证明。
核反应中：
反应前： 反应后： 静质量 m01 静质量 m02 总动能EK1 总动能EK2
2 2 m c E m c EK 2 能量守恒： 01 K1 02
v x vx V ; v y v y ; vz vz
还原为伽利略速度变换 — 对应原理.
(3). 当
v c
S
c V c V v V V 1 2 c 1 c c
c
S
若 V c
V c
v c
x x
cc 2c v c c 1 2 c 11 c
相对论力学
当 v ≠ 0 时，物体具有的能量为 W = W0 + T ，所以动能应为
T = W − W0 =
m0 C 2
1− v C
2
2
− m0 C 2 = (m − m0 )C 2
1 m0 v 2，W0 = m0 C 2 ，称为质能关系。 2
与经典动能不同，但在 v << C时，T ≈
我们知道动能是在动能—势能转化和守恒中得到物理意义的，而能量是在与其他形式能量转 化是得到意义的。可见静止能量可以转化为其他形式的能量。 6、能量、动量和质量间的关系式
Σ 系运动速度为
dx µ dτ
=γ
dx µ dτ dt = = γdτ dt 1− v2 C 2
设速度相对
dx dx i r (i < 1 − 3 )为 µ 的前三个分量 v ，则 v i = dt dt
假定物体相对参考系静止时的质量为 m，它是一个洛伦兹标量（不变量） 。 定义四维动量： p µ = m0U µ 前三个分量为 pi = γm0 vi (i < 1 − 3) p 4 = iCγm0 = 3、运动质量概念
=
i c
1 2 2 m 0C + 2 m 0 v L L
可见 p 4 与能量相关
1 m0 v 2 为经典动能， m0 C 2 也为能量量纲 2
但当 v → 0 时，可舍去高次项 p 4 中仅含两项，一项为经典动能，另一项代表什么？
王正斌
设W =
电动力学
第六章
狭义相对论
i W， C
N ( N >> 1) 个 微 粒 构 成 的 系 统 ， 它 的 静 止 能
W0 = M 0 C 2 (M 0为总质量，即相对质心静止时的总质量 ) ， （注意复合系统质量 M 0 一般
《大学物理》学习指南
《大学物理》学习指南《大学物理》是理工科及医学类学生的一门公共基础课，该课程内容多，课时少，建议学生课前预习，上课认真听讲，理解物理概念、掌握物理定理和定律，学会分析物理过程，课后适当做些习题，以巩固物理知识。
为了学生更好学好《大学物理》，给出了每章的基本要求及学习指导。
第一章 质点力学一、基本要求1．掌握描述质点运动状态的方法，掌握参照系、位移、速度、加速度、角速度和角加速度的概念。
2．掌握牛顿运动定律。
理解惯性系和非惯性系、保守力和非保守力的概念。
3．掌握动量守恒定律、动能定理、角动量守恒定律。
4．理解力、力矩、动量、动能、功、角动量的概念。
二、学习指导1．运动方程： r = r (t )=x (t )i +y (t )j +z (t )k 2．速度：平均速度 v =t ∆∆r 速度 v =t d d r平均速率 v =t ∆∆s 速率 dtdsv =3．加速度：平均加速度 a =t ∆∆v 加速度 a =t d d v =22d d tr4．圆周运动角速度t d d θω==Rv角加速度 t t d d d d 2θωβ== 切向加速度 βτR tva ==d d 法向加速度 a n =22ωR R v = 5．牛顿运动定律 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直至其他物体所施的力迫使它改变这种运动状态为止.牛顿第二定律：物体受到作用力时所获加速度的大小与物体所受合外力的大小成正比，与物体质量成反比，加速度a 的方向与合外力F 的方向相同。
即dtPd a m F ρρρ==牛顿第三定律：力总是成对出现的。
当物体A 以力F 1作用于物体B 时，物体B 也必定以力F 2作用于物体A ，F 1和F 2总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。
6．惯性系和非惯性系：牛顿运动定律成立的参考系称为惯性系。
牛顿运动定律不成立参考系称为非惯性系。
7．变力的功 )(dz F dy F dx F r d F W z y x ++=⋅=⎰⎰ρρ 保守力的功 pb pa p ab E E E W -=∆-= 8．动能定理 k k k E E E W ∆=-=129．功能原理 W 外+W 非保守内力=E -E 010．机械能守恒定律 ∆E k =-∆E p (条件W 外+W 非保守内力=0)11．冲量 ⎰=21t t dt F I ρρ12．动量定理 p v m v m I ρρρρ∆=-=12质点系的动量定理 p 系统末态-p 系统初态=∆p13．动量守恒定律 p =∑=n i 1p i =恒矢量 (条件 0=∑ii F ρ)14．力矩、角动量 F r M ρρρ⨯= P r L ρρρ⨯=15．角动量定理 1221L L dt M t t ρρρ-=⎰16．角动量守恒 恒矢量=∑i L ρ （条件0=∑ii M ρ第二章 刚体力学一、基本要求1．掌握描述刚体定轴转动运动状态的方法，掌握角速度和角加速度的概念。
电动力学知识点总结
第一章电磁现象的普遍规律 一、 主要内容：电磁场可用两个矢量一电场强度电Z,zQ 和磁感应强度B{x r y r zfy 来完全 描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出丘，歹所满足的偏微分方程组 一麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。
在电 磁学的基础上从实验定律岀发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律：使学生掌握 麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到 一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
完成由普通物理到理论物理的自然过 渡。
二、 知识体系：介质磁化规律:能量守恒定律n 线性介质能量密度:I 能流密度:洛仑兹力密度；宇二应+" x B三、内容提要:1. 电磁场的基本实验定律: (1) 库仑定律:库仑定理：壮丿=[*虫1厶 电磁感应定律:市总•屋=-—[B-dSdV f區 dt k涡旋电场假设介质的极化规律：V- 5 = /? VxZ=比奥-萨伐尔逹律: D = s Q S + PJdVxr边值关系位移电流假设V-> = 0J+ —B =其中:第2页，共37页对E 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和, 即：（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）B = ^[^L（3）电磁感应定律②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。
（4）电荷守恒的实验定律①反映空间某点Q 与了之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。
空二0月•了二0②若空间各点Q 与£无关，则別为稳恒电流，电流线闭合。
稳恒电流是无源的（流线闭合），°, 7均与北无关，它产生的场也与上无关。
2、电磁场的普遍规律一麦克斯韦方程微分形式di——diV • D = p方二勺宜+戶，H = —-MAo积分形式[f] E dl =-\ --dSSJs 冼[fl H-df = I + -\D -d§S念J血 Q/40①生电场为有旋场（鸟又称漩涡场），与静电场堤本质不同。
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这是因为m0c2项的出现是相 对论协变性要求的结果,删 去这项或者用其他常数代替 这项都不符合相对论协变性 的要求. 从物理上看,自然界最基本 的定律之一是能量守恒定 律,只有当附加项m0c2可以 转化为其他形式的能量时, 这项作为能量的一部分才有 物理意义.
由此我们可以推 论,物体静止时具 有能量m0c2 ,在一 定条件下,物体的 静止能量可以转化 为其他形式的能 量.
物体的动能
p4是与物体的能量有关
设相对论中物体的能量为
W =
m0 c 2 1
υ2
c2
i p4 = W c
W包含物体的动能.当υ=0时动能为零.因 此相对论中物体的动能是
T=
m0 c 2 1
υ2
c2
m0 c 2
而总能量是
W = T + m0 c 2
从形式上看 动能T
W
静止能量(当物体静止时仍然存在的能量) 在非相对论中,对能量附加一个常量是没有意 义的.但是在相对论情形,我们必须进一步研 究常数项m0c2的物理意义.
2
p=29.79Mev/c, W() =109.78 MeV/c2 子的γ因子为
γ =
1 1 υ2
c
2
109.78 = = = 1.0390 2 105.66 m c
W( )
由此得出子的速度为 υ = 0.2714c
3. 相对论力学方程 现在我们把它修改为满足相对论协变性的方程. 根据上面的讨论,动量和能量构成四维矢量p. 如果用固有时dτ量度能量动量变化率,则
dp dτ
四维矢量
如果外界对物体的作用可以用一个四维力矢 量K描述,则力学基本方程可写为协变形式
K =
dp dτ
低速运动情形 K的空间分量应该过渡到经典力F.K的 第四分量K4与空间分量K有一定关系.
dW d p 2c 2 + m 2c 4 icK 4 = = dτ dτ dp c 2 dp = p =υ = Kυ dτ W dτ
第三章 相对论力学
经典力学在伽利略变换下是协变的. ------在旧时空概念下,牛顿定律对任 意惯性系成立.(低速)
在洛伦兹变换下,高速运动的力学规律如何?
1.能量-动量四维矢量
经典力学的基本规律是牛顿定律
dp F= dt
F是作用于物体上的力 p是物体的动量
在相对论中,为了保持落伦兹协变 性,必须修改为四维形式.问题在于 怎样引入四维动量和四维力?
υ2
定义力
F = 1
υ2
c
2
K
则相对论力学方程可以写为
dp F= , dt dW F υ = dt
这里F不是一个四维矢量的分 量,它的变换关系应由四维 力矢量K的变换关系导出. 注意,p和W是相对论的动量 和能量,一般来说只有在低速 运动情形力F才等于经典力.
两式形式上和非相对论力学方程一致.
4.洛伦兹力
M = ∑ mi 0 M 0
质量亏损与结合能之间有关系
W = (M )c 2
质能关系式在原子核和粒子物理中被大量实验 很好地证实,它是原子能利用的主要理论根据.
在化学反应中利用到原子内部电子运动的能量, 这对整个物体的内部能量来说只是非常小的一部分. 在原子核反应中利用到与原子核质量亏损相联系的核 内部运动能量.在粒子转化过程中,有可能把粒子内 部蕴藏着的全部能量释放出来,变为可以利用的动 能.例如当π0介子衰变为两个光子时,由于光子静质 量为零,因而π0介子内部蕴藏着的全部能量mπ0c2被释 放出来而转变为光子的动能.
洛伦兹力密度公式
除了因子i/c外,就是电 磁场对电荷系统作功的 功率密度公式
f的第四分量为
i f4 = J E c
洛伦兹力密度公式和功率密度公式都是满足相对论协变性的要求的.
至此我们已经阐明,电动力学的基本 规律,包括麦克斯韦方程组和洛伦兹力公 式,是适用于一切惯性参考系的物理学基 本规律.
例2 讨论带电粒子在均匀恒定磁场中的运动.
m0c2与相对论协变性的关系
设粒子A湮灭并转化为粒子B,例如
π0→2γ
A具有静止能量
在A的静止参考系∑上,A的能量就是静止能量W0. 在湮灭过程中,这能量部分或全部地转变为粒子系统 B的动能.在∑上A的动量和能量是
p ' = 0,
W ' = W0
在另一参考系∑上观察,设粒子A以速度υ沿x轴方向运 动.若动量与能量构成四维矢量,则由洛伦兹变换式, 在∑上的动量能量是
解 在均匀恒定磁场B中,带电粒子的运动方程为 dp = eυ × B, 由(6.34)式,粒子的能量W为常量,因而速度的数值也为常量.由(6.33 dt 式 dW
dt = wυ × B υ = 0
m0 dυ d m0υ [ ]= = eυ × Β, 2 2 dt dt 1 υ 1 υ2 2
即
c
γm0υ 2 ⊥
a a= eΒ= eFra bibliotek ⊥ Β, p⊥ = eΒ
γm0υ ⊥
圆周运动的角频率为
eΒ = ω= a γm0
υ⊥
在非相对论情形下,ω=eB/m0与粒子运动速 度无关.在相对论情形,γ随粒子能量增大,因而 频率下降.
�
相对论力学的一个重要应用是研究带电粒子在 电磁场中的运动.正是在电磁相互作用的领域 里,相对论作用力的形式已被完全确定. 电磁场对带电粒子作用力的洛伦兹公式
F = e( E + υ × B)
用电磁场张量Fν和四维速度Uν构成一个四维矢量
K = eFν Uν ,
容易验证
K= 1 1 1 e( E + υ × B) c
px = p'x +
υ
c
W' 2
2 2
1
υ
c
, W =
W ' + υp ' x 1
υ2
c2
W0
p=
c2
υ
υ
c
2 2
1
,
W =
W0 1
υ2
c2
W =
m0 c 2 1
υ
c
2 2
W=
W0 1 c2
υ2
W0 = m0 c
四维矢量p为
2
i p = ( p, W ) c
p称为能量-动量四维矢量,简称为四维动量.
动量问题
在经典力学中,设物体的质量为m,运动速 度为υ,则它的动量为mυ .在相对论中速 度υ不是一个协变量,即不是一个四维矢量 的分量. 但我们可以引入一个与速度有关的四维矢量
U =
dx dτ
=γ
dx dt
利用四维速度矢量U定义四维动量矢量
p = m 0U
其中m0是洛伦兹标量,通常称为静止质量.
c
& υ=
e υ ×Β γm0
式中字母上的一点表示对t微商.把υ分解为 与B平行的分量υ‖和与B垂直的部分υ⊥,由上 式得
& υ // = 0, & υ⊥ = e υ⊥ × Β γm0
由第一式得υ‖ =常量,因而|υ⊥|也为常量. 第二式相当 于在向心力eυ⊥×B作用下质量为m=γm0的粒子的非相对 论运动方程,这方程的解是圆周运动.圆的半径a可由向 心力等于作用力求出,即
W( ) =
p
2
( )
c + m c , W(ν ) = p(ν ) c
2 2 4
由动量和能量守恒定律得 p()+ p(ν)=0,
p 2 ( ) c 2 + m 2 c 4 + p (ν ) c = mπ c 2
| p() |=| p(ν) |≡p,
m 2 m 2π p= c, 2mπ m 2 + m 2π 2 c W = mπ c pc = 2mπ
π 0 衰变过程中释放出来的能量是由原来存 在于π 0 介子内的静止能量转化而来的,在 转化过程中能量守恒.
在相对论中,能量守恒和动量守恒仍然是 自然界最基本的定律.这两条定律在研究 粒子转化过程中起着十分重要的作用.
引入
m=
m0 1
υ2
c2
P=mυ
W=mc2
质能关系:物体的 总能量W和运动质 量m之间的关系
例1 带电π介子衰变为子和中微子
π+→++ν
各粒子质量为 mπ=139.57 MeV/c2, m=105.6 MeV/c2, mν=0, 求π介子质心系中子的动量,能量和速度.
解 在π介子质心系中, π介子的动量和能量为 P=0, W= mπ c2 设p()和p(ν)分别是的动量它们的能量分别是
m:等效质量,运动质量 动量形式上和非相对论公式一 样,但现在m不是一个不变量,而 是一个随运动速度增大的量.
静止质量m0是粒子的某本属件之一.具有 一定静止质量的粒子在一定条件下可以衰变为 总静止质量较小的粒子系统,在这过程中原来 粒子的静止能量部分地或全部地变为末态粒子 系统的能量.
由质能关系式,粒子的质量常用MeV/c2作单位 表出,动量用MeV/c表出能量用MeV表出. 1 MeV=1.602189×10-13 J, 1 MeV/c2=1.782676 ×10-30 kg, 电子质量为 me=0.5110034±0.0000014 MeV/c2
υ2
c2
因此,洛伦兹力公式满足相对论协变性的要求.
(6.29)
带电粒子在电磁场中的运动方程
F=
dp dt
dp = e(E + υ × B) dt
适用于任意惯性系,描述高速粒子的运动.
相对论协变的力密度公式为
f = Fν Jν
Jν为四维电流密度矢量
容易验证,f的空间分量为
f = ρE + J × B