【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练：大题综合突破练2

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2015届高三下文科数学综合训练二参考答案

2015届高三（下）文科数学综合训练二参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．8； 14． 15．1； 16．1(0,]3．三、解答题：（第22题14分，其他每题12分，共74分）17. 本题主要考等差数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，满分12分．解：（I ）∵点(,)n n S 在函数2()f x x =的图象上，∴2.n S n = ················································································································ 1分∴当1n =时，111a S ==, ······················································································· 2分当2n ≥时，1n n n a S S -=- ··················································································· 3分22(1)21n n n =--=- ································································· 4分又11a =满足21,n a n =- ························································································ 5分 ∴2 1.n a n =- ·········································································································· 6分(II) ∵111(21)(21)n n n b a a n n +==⋅-⋅+ ·································································· 7分111()22121n n =--+，············································································ 9分 ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111[(1)()()]23352121n n =-+-+⋅⋅⋅+--+ ·················································· 11分 11(1)221n =-+.21nn =+ ················································································ 12分 18．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（I ）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为(7.4,7.0),(7.4,9.2),(7.4,7.9),(7.4,10.0),(7.0,9.2),(7.0,7.9),(7.0,10.0),(9.2,7.9),(9.2,10.0),(7.9,10.0) 共10个． ······························ 3分（说明：若列出不足6个，不给分；若列出6个，不足10个且所列均正确者得1分）其中2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件为 (7.4,7.0),(7.4,7.9),(7.0,7.9),共3个． ······························································· 5分所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率3.10P = ·································· 6分（II ）∵1500140019001600210085001700,55x ++++=== ································ 7分 7.47.09.27.910.041.58.3.55y ++++=== ····························································· 8分又直线 0.004y x a =+ 过点(,)x y ， ····································································· 9分 ∴8.30.0041700,a =⨯+ 解得 1.5a =，∴0.004 1.5y x =+． ······························································································· 10分当1800x =时，0.0041800 1.58.79.0y =⨯+=<,··················································· 11分所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）． ········································· 12分 19．本题主要考查空间线与线、线与面、面面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，满分12分．证法一：（I ）连接1AC 交1A C 于点N ，则N 为1A C 的中点．……1分∵M 为AB 的中点，∴1//MN BC ．……………………………………………3分又∵1MN ACM ⊂平面， ………………………………4分 11BC ACM ⊄平面， ……………………………………5分 ∴11//BC ACM 平面．……………………………………6分（II ）∵CA CB =，M 为AB 的中点，∴CM AB ⊥． …………………………………………7分 ∵1A 在平面ABC 的射影为M ，∴1A M ACB ⊥平面，……………………………………8分 ∴1A M AB ⊥，…………………………………………9分又1CMA M M =，∴1AB ACM ⊥平面，…………………………………10分又11AB ABB A ⊂平面，………………………………11分 ∴111.ACM ABB A ⊥平面平面 …………………………12分证法二：（I ）取11A B 中点N ，连结1,BN C N ，………1分∵M 为AB 的中点，∴1A N MB =，1A N //MB∴四边形1A MBN 为平行四边形，∴1//BN A M ．…………………………………………2分同理可得1//C N CM ，又11C N ACM ⊄平面，1CM ACM ⊂平面，…………3分 ∴11//C N ACM 平面．…………………………………4分同理1//BN ACM 平面． ∵1C NBN N =，∴11//BC N ACM 平面平面，……………………………5分 ∵11BC BC N ⊂平面，A 1ABC 1CMB 1N证法二图B 1 A 1 ABC 1 C MN证法一图∴11//BC ACM 平面． …………………………………6分（II ）同解法一．20．本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分12分．解：（I ）依题意得：1()2cos 222f x x x x ωωω=+- ····························································· 2分12cos 22x x ωω=+ ················································································· 3分 sin(2)6x πω=+， ···························································································· 4分 ∵0ω>，∴222T ππω==，∴12ω=， ··············································································································· 5分∴()sin()6f x x π=+． ······························································································ 6分（II ）∵0A π<<， ∴7666A πππ<+<． ∵()sin()6f x x π=+在x A =时取得最值，∴,623A A πππ+==． ···························································································· 8分∵1sin 2ABC S bc A ∆===，∴6bc =． ··············································································································· 9分 ∵5b c +=，∴2222cos a b c bc A =+- ·························································································· 10分22b c bc =+- 2()3b c bc =+- 2518=-7=， ·································································································· 11分∴a = ················································································································· 12分 21．本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想、函数方程的思想、数形结合思想．满分12分．解法一：（I ）()1,x f x e '=- ···················································································· 1分由()0f x '>可得0,x >；由()0f x '<可得0,x < ············································ 2分 ∴()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． ······································ 3分(II) (),x g x e x '=- ································································································· 4分由（I ）知()g x '在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)10,g x g ''≥=> ······························································································ 5分∴()g x 在[0,)+∞上单调递增， ··············································································· 6分 ∴[0,)x ∈+∞时，min ()(0)0.g x g == ······································································· 7分（III ）由(II) 知当0x >时，()0,g x >即0x >时，211,2x e x >+ ····················································································· 8分设函数221311()1(ln )ln ,2222h x x x x x =+-+=--则211()(0),x h x x x x x-'=-=> ············································································· 9分由()0h x '>可得1x >；由()0h x '<可得01,x <<∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ··········································· 10分 ∴()(1)0,h x h ≥=∴0x >时，2131ln ,22x x +≥+ ·············································································· 11分∴3ln .2x e x >+ ······································································································ 12分解法二：（I ）(II)同解法一．（III ）设3()ln ,2x h x e x =--则1()(0),x h x e x x '=-> ························································································· 8分∵1()x h x e x '=-在 (0,)+∞上单调递增，且121()20,(1)10,2h e h e ''=-<=-> ()h x 在1(,1)2上连续， ·································· 9分∴存在唯一01(,1)2x ∈，使得0()0h x '=，即00001,ln ,x e x x x ==-························· 10分∴0(0,)x x ∈时，()0,h x '<()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x x ∈+∞时，()0,h x '>()h x 在0(,)x +∞上单调递增， …………………………11分∴0000031331()()ln 20,2222x h x h x e x x x ≥=--=+->-=>∴()0h x >，即3ln .2x e x >+················································································ 12分 22．本题主要考查直线、抛物线、椭圆等基础知识及直线与抛物线的位置关系；考查运算求解、抽象概括能力，化归与转化思想．满分14分．解法一：（I ）∵抛物线22(0)x py p =>的焦点为(0,).2pF ···································· 1分椭圆22143y x +=的焦点为(0,1)± ············································································ 2分 ∴1,2,2pp == ∴抛物线的方程为24.x y = ····················································································· 3分（II ）（ⅰ）联立21,4y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440,x kx --=······················································ 4分 216160,k ∆=+>设1122(,),(,)A x y B x y则12124,4x x k x x +=⋅=-， ···················································································· 5分由24x y =，得2,,42x x y y '==所以过A 的切线PA 的方程为：1111(),2y y x x x -=- 整理得： 2111124y x x x =- ⋅⋅⋅① …………………………………6分同理切线PB 的方程为：2221124y x x x =- ⋅⋅⋅②联立①②解得122,1,2P P x xx k y +===-即(2,1).P k - ········································ 7分当0k =时，(0,1),(0,1),P F -有.PF AB ⊥……………………………………………8分当0k ≠时，1(1)1,02PF k k k--==--有.PF AB ⊥所以0PF AB ⋅=为定值． ······················································································ 9分（ⅱ）由（ⅰ）可设直线PF 的方程为：11(0)y x k k=-+≠．…………………10分由211,4y x k x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得2440,x x k +-= 设223434(,),(,)44x x C x D x则34344,4,x x x x k+=-⋅=-…………………11分∵(2,1)P k -，(0,1).F∴PC FD PD CF ⋅-⋅2222334444331111(2,1)(,1)(2,1)(,1)4444x k x x x x k x x x =-+⋅---+⋅--2222343443431111(2)(1)(1)(2)(1)(1)4444x k x x x x k x x x =-⋅++⋅-+-++⋅-………12分22343434122()28x x k x x x x =-++-24182()(4)28k k =---+⋅--=0∴PC FD PD CF ⋅=⋅， ·························································································· 13分又,,,P C F D 共线，∴||||||||.PC FD PD CF ⋅=⋅ ···················································································· 14分。

2015届高考数学(文科,通用)二轮复习突破练高考中档大题规范练(四) Word版含答案

高考中档大题规范练(四)——概率与统计(推荐时间：70分钟)1．(2014·湖南)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．解 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为x 甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为x 乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎫0－352×6＝625. 因为x 甲>x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记事件E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )共7个．故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，则得所求概率为P (E )＝715.即恰有一组研发成功的概率为715.2．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子出现的点数．(1)求点P (x ，y )在直线y ＝x －2上的概率； (2)求点P (x ，y )满足y 2<2x 的概率．解每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36(个)．(1)记“点P (x ，y )在直线y ＝x －2上”为事件A ，则事件A 有4个基本事件：(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,4)，所以P (A )＝436＝19.(2)记“点P (x ，y )满足y 2<2x ”为事件B ，则事件B 有12个基本事件：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，所以P (B )＝1236＝13.3．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率．解从六个球中取出两个球的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共计15个基本事件．(1)记事件A 为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件的是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个基本事件，故P (A )＝315＝15.记事件B 为“取出的两个球是黑球”，同理可得P (B )＝15.记事件C 为“取出的两个球的颜色相同”，则C ＝A ＋B ，且A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记事件D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C ，D 互斥，根据互斥事件概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.4．(2014·辽宁)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：(1)面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：P (2≥k ) 解 (1)将2×22＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×(60×10－20×10)270×30×80×20＝10021≈4.762. 因为4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2；b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则事件A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 是由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.5．某商场为吸引顾客消费，推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元，10元，0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．(1)若顾客甲消费了128元，求他获得的优惠券金额大于0元的概率； (2)若顾客乙消费了280元，求他总共获得的优惠券金额不低于20元的概率．解 (1)设“甲获得的优惠券金额大于0元”为事件A .因为指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分区域的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是13.根据互斥事件的概率，有P (A )＝13＋13＝23，所以“顾客甲获得的优惠券金额大于0元”的概率是23.(2)设“乙获得的优惠券金额不低于20元”为事件B .因为顾客乙转动转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券的金额为x 元，第二次获得优惠券的金额为y 元，则基本事件空间可以表示为Ω＝{(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)}，即Ω中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率都为19.而乙获得的优惠券金额不低于20元，是指x ＋y ≥20，所以事件B 中包含的基本事件有6个．所以乙获得的优惠券金额不低于20元的概率为 P (B )＝69＝23.6．已知关于x 的一元二次方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0，a ，b ∈R .(1)若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率．解设事件A 为“方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0有两个不相等的实数根”；事件B 为“方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0有实数根”．(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．由Δ＝36a 2－36(－b 2＋4)＝36a 2＋36b 2－36×4>0，得a 2＋b 2>4.事件A 要求a ，b 满足条件a 2＋b 2>4，可知包含6个基本事件，即(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，则事件A 发生的概率为P (A )＝69＝23.(2)a ，b 的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a ≤3,0≤b ≤2.构成事件B 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a 2＋b 2≥4}(如图中阴影部分)，则所求的概率为P (B )＝2×3－14×π×222×3＝1－π6.。

【三维设计】2015年高考数学总复习创新问题专项训练(二)文北师大版

创新问题专项训练(二)一、选择题 1．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C A －C B ，C A C B ，C B －C A ，C AC B ，若A ＝{x |x 2－ax －1＝0，a ∈R }，B ＝{x ||x 2＋bx ＋1|＝1，b ∈R }，设S ＝{b |A *B ＝1}，则C (S )等于( )A ．4B ．3C ．2D ．12．已知集合A ＝{(x ，y )||x －2|＋|y －3|≤1}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ≤0，D 2＋E 2－4F >0}，若集合A ，B 恒满足“A ⊆B ”，则集合B 中的点所形成的几何图形面积的最小值是( )A.22πB ．πC.12πD.2π3．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋ … ＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝x ·e x5．定义：若函数f (x )的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，T 将函数f (x )的图像关于y 轴对称 B ．f (x )＝2x －1－1，T 将函数f (x )的图像关于x 轴对称C ．f (x )＝2x ＋3，T 将函数f (x )的图像关于点(－1,1)对称D ．f (x )＝sin(x ＋π3)，T 将函数f (x )的图像关于点(－1，0)对称二、填空题6．对于非空实数集A ，记A *＝{y |任意x ∈A ，y ≥x }．设非空实数集合M ，P ，满足M ⊆P .给出以下结论：①P *⊆M *；②M *∩P ≠∅；③M ∩P *＝∅.其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．7．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则[x 0]等于________．8．某同学为研究函数f (x )＝1＋x 2＋1＋－x2(0≤x ≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP ＝x ，则AP ＋PF ＝f (x )．请你参考这些信息，推知函数f (x )的极值点是______；函数f (x )的值域是________．9.(1)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝(22)x的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．(2)若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f (x )和g (x )的“隔离直线”．已知h (x )＝x 2，φ(x )＝2eln x (其中e 为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h (x )与φ(x )间的隔离直线方程为________．三、解答题10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 和g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)． (1)证明：当a <0时，无论b 为何值，函数g (x )在定义域内不可能总为增函数； (2)在同一函数图像上取任意两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点C (x 0，y 0)，记直线AB 的斜率为k ，若f (x )满足k ＝f ′(x 0)，则称其为“K 函数”．判断函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)是否为“K 函数”？并证明你的结论．11．如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O 1的半径为2r (r 为常数)，小飞轮O 2的半径为r ，O 1O 2＝4r .在大飞轮的边缘上有两个点A ，B ，满足∠BO 1A＝π3，在小飞轮的边缘上有点C .设大飞轮逆时针旋转，传动开始时，点B ，C 在水平直线O 1O 2上．(1)求点A 到达最高点时A ，C 间的距离； (2)求点B ，C 在传动过程中高度差的最大值．答案1．选B 显然集合A 的元素个数为2，根据A *B ＝1可知，集合B 的元素个数为1或3，即方程|x 2＋bx ＋1|＝1有1个根或有3个根．结合函数y ＝|x 2＋bx ＋1|的图象可得，b ＝0或4－b 24＝－1，即b ＝0或b ＝±2 2.2．选B 集合A 可以看作是由区域{(x ，y )||x |＋|y |≤1}向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度得到的，这是一个边长为2的正方形区域，集合B 是一个圆形区域，如果A ⊆B 且集合B 中的点形成的几何图形的面积最小，则圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是|x －2|＋|y －3|＝1所表示正方形的外接圆，其面积是π×12＝π.3．选B 由于线性回归方程恒过样本点的中心(x ，y )，则由“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”一定能推出“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”，反之不一定成立．4．选D 由凸函数的定义可得该题即判断f (x )的二阶导函数f ″(x )的正负．对于A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于B ，f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于C ，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝2e x ＋x e x，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )>0.5．选B 选项B 中，f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，将函数f (x )的图象关于x轴对称变换后所得函数的值域为(－∞，1)，值域改变，不属于同值变换．经验证，其他选项正确．6．解析：对于①，由M ⊆P 得知，集合M 中的最大元素m 必不超过集合P 中的最大元素p ，依题意有P *＝{y |y ≥p }，M *＝{y |y ≥m }，又m ≤p ，因此有P *⊆M *，①正确；对于②，取M ＝P ＝{y |y <1}，依题意得M *＝{y |y ≥1}，此时M *∩P ＝∅，因此②不正确；对于③，取M ＝{0，－1,1}，P ＝{y |y ≤1}，此时P *＝{y |y ≥1}，M ∩P *＝{1}≠∅，因此③不正确．综上所述，其中正确的结论是①.答案：①7．解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e >0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.答案：28．解析：显然当点P 为线段BC 的中点时，A ，P ，F 三点共线，此时AP ＝PF ，且函数f (x )取得最小值5，函数f (x )的图象的对称轴为x ＝12；当x ∈[0，12]时，函数f (x )单调递减，且值域为[5，2＋1]；当x ∈[12，1]时，函数f (x )单调递增，且值域为[5，2＋1]，∴函数f (x )的值域为[5，2＋1]．答案：x ＝12[5，2＋1]9．解析：(1)由A 点的纵坐标为2，得点A 的横坐标是⎝⎛⎭⎪⎫222＝12，由矩形的边平行于坐标轴，得B 点的纵坐标是2，从而横坐标是22＝4，所以C 点的横坐标是4，纵坐标是(22)4＝14，所以点D 的横坐标等于A 点的横坐标12，点D 的纵坐标等于C 点的纵坐标14，即D 点的坐标是(12，14)．(2)容易观察到h (x )和φ(x )有公共点(e ，e)，又(x －e)2≥0，即x 2≥2e x －e ，所以猜想h (x )和φ(x )间的隔离直线为y ＝2e x －e ，下面只需证明2eln x ≤2e x －e 恒成立即可，构造函数λ(x )＝2eln x －2e x ＋e.由于λ′(x )＝2e e －xx(x >0)，即函数λ(x )在区间(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减，故λ(x )≤λ(e)＝0，即2eln x －2e x ＋e≤0，得2eln x ≤2e x －e.故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y ＝2e x －e.答案：(1)(12，14)(2)y ＝2e x －e10．解：(1)假设g (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，则有g ′(x )＝2ax ＋b ＋c x ＝2ax 2＋bx ＋cx>0对于一切x >0恒成立，从而必有2ax 2＋bx ＋c >0对于一切x >0恒成立．又a <0，由二次函数的图象可知：2ax 2＋bx ＋c >0对于一切x >0恒成立是不可能的．因此当a <0时，无论b 为何值，函数g (x )在定义域内不可能总为增函数．(2)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是“K 函数”，g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”．证明如下：对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝a x 22－x 21＋b x 2－x 1x 2－x 1＝a (x 2＋x 1)＋b ＝2ax 0＋b .又f ′(x 0)＝2ax 0＋b ，故k ＝f ′(x 0)．故函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是“K 函数”．对于函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)(x >0)，不妨设x 2>x 1>0，则k ＝g x 1－g x 2x 1－x 2＝a x 21－x 22＋b x 1－x 2＋c ln x 1x 2x 1－x 2＝2ax 0＋b ＋c lnx 1x 2x 1－x 2.又g ′(x 0)＝2ax 0＋b ＋c x 0，若g (x )为“K 函数”，则必满足k ＝g ′(x 0)，即有2ax 0＋b ＋c ln x 1x 2x 1－x 2＝2ax 0＋b ＋cx 0，也即c ln x 1x 2x 1－x 2＝2c x 1＋x 2(c ≠0)，所以lnx 1x 2x 1－x 2＝2x 1＋x 2.设t ＝x 1x 2，则0<t <1，ln t ＝t －1＋t.①设s (t )＝ln t －t －1＋t，则s ′(t )＝t －2t＋t2>0，所以s (t )在t ∈(0,1)上为增函数，s (t )<s (1)＝0，故ln t ≠t －1＋t.②①与②矛盾，因此，函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”． 11．解：(1)以O1为坐标系的原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．当点A 到达最高点时，点A 绕O 1转过π6，则点C 绕O 2转过π3.此时A (0,2r )，C (92r ，32r )．∴AC ＝－92r 2＋r －32r 2＝25－23·r .(2)由题意，设大飞轮转过的角度为θ，则小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0,2π]．此时B (2r cos θ，2r sin θ)，C (4r ＋r cos 2θ，r sin 2θ)．记点B ，C 的高度差为d ，则d ＝|2r sin θ－r sin 2θ|，即d ＝2r |sin θ－sin θcos θ|.设f (θ)＝sin θ－sin θcos θ，θ∈[0,2π]，则f ′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)．令f ′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)＝0，得cos θ＝－12或1，则θ＝2π3，4π3，0或2π.f (θ)和f ′(θ)随θ的变化情况如下表：综上所述，点B ，C 在传动过程中高度差的最大值d max ＝332r .。

全国通用2015年高考文科数学二轮复习突破练大题部分10份

目录高考中档大题规范练 (1)高考中档大题规范练(一) ........................................................................................................ 1 高考中档大题规范练(二) ........................................................................................................ 6 高考中档大题规范练(三) ...................................................................................................... 11 高考中档大题规范练(四) ...................................................................................................... 16 高考压轴大题突破练 .. (20)高考压轴大题突破练(一) ...................................................................................................... 20 高考压轴大题突破练(二) ...................................................................................................... 25 高考压轴大题突破练(三) ...................................................................................................... 32 高考压轴大题突破练(四) ...................................................................................................... 36 高考大题纵横练 . (42)高考大题纵横练(一) .............................................................................................................. 42 高考大题纵横练(二) .. (47)高考中档大题规范练高考中档大题规范练(一) ——三角函数与平面向量(推荐时间：60分钟)1．(2014·江苏)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α ＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3310.2．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a . (1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值．解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1.(1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]，从而sin(2x ＋π6)∈[12，1]．∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]，∵f (x )有最大值4，即a ＋3＝4，∴a ＝1.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．解 (1)由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233，则△ABC 的面积S ＝12bc ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233，综上，△ABC 的面积为233.4．(2014·山东)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n ), 函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2)． (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )，得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z .5．(2014·上海) 如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.(1)设计中CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD 的长至多为多少(结果精确到0.01米)? (2)施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD 的长(结果精确到0.01米)?解 (1)令DC ＝h ，则tan α＝h AC ＝h 35，tan β＝h CB ＝h80. 因为90°>α≥2β>0°，所以tan α≥tan 2β＝2tan β1－tan 2β>0，即h 35≥2·h 801－(h 80)2＝2·80h802－h2>0，解得0<h ≤202≈28.28，所以，CD 的最大长度是28.28米．(2)设CD ＝h ，BD ＝m ，在△ABD 中，由正弦定理得，msin 38.12°＝35＋80sin (38.12°＋18.45°)，解得m ＝35＋80sin (38.12°＋18.45°)·sin 38.12°≈85.064.在△BCD 中，由余弦定理得，h 2＝802＋m 2－2·80·m ·cos 18.45°，解得h ≈26.93，所以，CD 的长是26.93米．6．已知函数f (x )＝sin 2(x 2＋π12)＋3sin(x 2＋π12)cos(x 2＋π12)－12.(1)在△ABC 中，若sin C ＝2sin A ，B 为锐角且有f (B )＝32，求角A ，B ，C ； (2)若f (x )(x >0)的图象与直线y ＝12交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2，…，x n ，求数列{x n }的前2n 项和，n ∈N *.解 (1)因为f (x )＝1－cos (x ＋π6)2＋32sin(x ＋π6)－12＝32sin(x ＋π6)－12cos(x ＋π6)＝sin(x ＋π6－π6)＝sin x ，又f (B )＝32，故sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3.由sin C ＝2sin A ，得c ＝2a ，所以b 2＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3＝3a 2.所以c 2＝a 2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形，C ＝π2，A ＝2π3－π2＝π6.综上，A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2.(2)由正弦曲线的对称性、周期性，可知 x 1＋x 22＝π2，x 3＋x 42＝2π＋π2，…， x 2n －1＋x 2n 2＝2(n －1)π＋π2，所以x 1＋x 2＋…＋x 2n －1＋x 2n＝π＋5π＋9π＋…＋(4n －3)π＝n π＋12n (n －1)·4π＝(2n 2－n )π.高考中档大题规范练(二)——数列(推荐时间：60分钟)1．已知{a n }为等差数列，且a 2＝－1，a 5＝8. (1)求数列{|a n |}的前n 项和； (2)求数列{2n ·a n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝－1，a 5＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－1，a 1＋4d ＝8，解得a 1＝－4，d ＝3，所以a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7，因此|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3记数列{|a n |}的前n 项和为S n ，当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4，当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5，当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋(n －2)[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10.又当n ＝2时满足此式，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.(2)记数列{2n ·a n }的前n 项和为T n ，则T n ＝2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n a n ， 2T n ＝22a 1＋23a 2＋24a 3＋…＋2n a n －1＋2n ＋1a n ，所以－T n ＝2a 1＋d (22＋23＋…＋2n )－2n ＋1a n .由(1)知，a 1＝－4，d ＝3，a n ＝3n －7，所以－T n ＝－8＋3×4(1－2n －1)1－2－(3n －7)×2n ＋1＝－20－(3n －10)×2n ＋1，故T n ＝20＋(3n －10)×2n ＋1.2．已知函数f (x )＝14x ＋2(x ∈R )．(1)证明：f (x )＋f (1－x )＝12；(2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝f (nm )(m ∈N *，n ＝1,2，…，m )，求数列{a n }的前m 项和S m ；(3)设数列{b n }满足b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ，T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，若(2)中的S m 满足对不小于2的任意正整数m ，S m <T n 恒成立，试求m 的最大值． (1)证明因为f (x )＝14x ＋2，所以f (1－x )＝141－x ＋2＝4x 4＋2·4x ＝4x2(4x ＋2).所以f (x )＋f (1－x )＝14x ＋2＋4x2(4x ＋2)＝2＋4x 2(4x ＋2)＝12. (2)解由(1)，知f (x )＋f (1－x )＝12，所以f (k m )＋f (1－k m )＝12(1≤k ≤m －1)(k ∈N *)，即f (k m )＋f (m －k m )＝12.由题设知，a n ＝f (n m )，所以a k ＋a m －k ＝12，a m ＝f (m m )＝f (1)＝16.又S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m －1＋a m ，① S m ＝a m －1＋a m －2＋…＋a 1＋a m ，②由①＋②，得2S m ＝(m －1)×12＋2a m ＝m 2－16，即S m ＝m 4－112(m ∈N *)．(3)解由b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)，显然对任意n ∈N *，b n >0，则1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1，所以T n ＝(1b 1－1b 2)＋(1b 2－1b 3)＋…＋(1b n －1b n ＋1)＝1b 1－1b n ＋1＝3－1b n ＋1. 因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0，所以b n ＋1>b n ，即数列{b n }是单调递增数列．所以T n 关于n 递增，所以当n ∈N *时，T n ≥T 1.因为b 1＝13，b 2＝(13)2＋13＝49，所以T n ≥T 1＝3－1b 2＝34.由题意，知S m <34，即m 4－112<34，解得m <103，所以m 的最大值为3.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明T n <3.(1)解当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋12S n －1＝a n －2n＋1⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n ，所以a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ，故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列， b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n . (2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，①13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②得，23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n，故T n ＝3－n ＋13n －1<3.4．已知单调递增数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12(a 2n ＋n )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，得a 1＝1，当n ≥2时，S n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，得a n ＝S n －S n －1＝12(a 2n －a 2n －1＋1)，化简得(a n －1)2－a 2n －1＝0，a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)，又{a n }是单调递增数列，故a n －a n －1＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . (2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×21n a -＋1，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c n ) ＝(122－1＋142－1＋…＋1n 2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－42n)1－4＋n 2＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(42n－1)＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1). 当n 为奇数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n )＋(c 2＋c 4＋…＋c n －1) ＝[122－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(412n -－1)＋n －12＝2n ＋n 2－2n －92(n ＋2).所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n＋n 2－2n －92(n ＋2)，n 为奇数，2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1)，n 为偶数.5．已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n )，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n (n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0142对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n ＝2＋3a n 3＝a n ＋23，∴{a n }是以1为首项，23为公差的等差数列．∴a n ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13.(2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1(23n －13)(23n ＋13) ＝1(2n －1)(2n ＋1)9＝92(12n －1－12n ＋1)，又b 1＝3＝92(1－13)，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝92(1－12n ＋1)＝9n2n ＋1，∵S n <m －2 0142对一切n ∈N *成立，即9n 2n ＋1<m －2 0142对一切n ∈N *成立，又9n 2n ＋1<92，∴m －2 0142≥92，即m ≥2 023.∴最小正整数m 为2 023.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%. (1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列， ∴a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列，则此时a n ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n ≥8.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ，当n ≥8时，由S 7＝70，则S n ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10， ∴该生产线前n 年每年的平均维护费用为 S nn ＝⎩⎨⎧n ＋3，1≤n ≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n，n ≥8.当1≤n ≤7时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列，当n ≥8时，∵S n ＋1n ＋1－S nn ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －6－10n ＋1－80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7·⎝⎛⎭⎫n 4－1＋10n (n ＋1)>0，∴S n ＋1n ＋1>S n n.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为递增数列．又∵S 77＝10<12，S 88＝80×54－108＝11.25<12，S 99＝80×⎝⎛⎭⎫542－109≈12.78>12， ∴第9年年初需要更新生产线．高考中档大题规范练(三)——立体几何(推荐时间：70分钟)1．(2014·江苏)如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5. 求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .2．(2014·江西)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1. (1)求证：A 1C ⊥CC 1；(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC －A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值． (1)证明由AA 1⊥BC ，知BB 1⊥BC .又BB 1⊥A 1B ，BC ⊂平面BCA 1，A 1B ⊂平面BCA 1，故BB 1⊥平面BCA 1，所以BB 1⊥A 1C . 又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1. (2)解方法一设AA 1＝x ，在Rt △A 1BB 1中，A 1B ＝A 1B 21－BB 21＝4－x 2. 同理A 1C ＝A 1C 21－CC 21＝3－x 2，在△A 1BC 中，cos ∠BA 1C ＝A 1B 2＋A 1C 2－BC 22A 1B ·A 1C＝－x 2(4－x 2)(3－x 2)，sin ∠BA 1C ＝12－7x 2(4－x 2)(3－x 2)，所以S △A 1BC ＝12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7(x 2－67)2＋367，故当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.方法二如图所示，过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD . 由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，故BC ⊥平面AA 1D ，BC ⊥AD . 又AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，所以AB 2＋AC 2＝BC 2，故∠BAC ＝90°，所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ，所以AD ＝2217.设AA 1＝x ，在Rt △AA 1D 中，A 1D ＝AD2－AA 21＝127－x 2，S △A 1BC ＝12A 1D ·BC ＝12－7x 22. 从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4 ＝－7(x 2－67)2＋367，故当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.3．如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形． (1)求证：MD ∥平面APC ； (2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积． (1)证明由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP .又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD ∥平面APC .(2)证明因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB .所以AP ⊥PB .又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC . 因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC .又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC . 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC . (3)解由题意，可知MD ⊥平面PBC ，所以MD 是三棱锥D －BCM 的一条高，在Rt △ABC 中，AB ＝20，BC ＝4，则CM ＝12AB ＝10，又在正三角形PMB 中，DM ＝53，所以DC ＝MC 2－DM 2＝102－(53)2＝5，所以cos ∠DBC ＝25＋16－252×5×4＝25，则S △BCD ＝12·BD ·BC ·sin ∠DBC ＝12×5×4×215＝221，所以V D －BCM ＝V M －DBC ＝13×S △BCD ×MD＝13×221×53＝107. 4．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，P A ＝PC ＝2a ，若在这个四棱锥内放一球，求此球的最大半径．解当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球半径最大，设球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r ，底面分别为原四棱锥的侧面和底面，则V P －ABCD ＝13r (S △P AB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △P AD ＋S 正方形ABCD )＝13r (2＋2)a 2.由题意，知PD ⊥底面ABCD ， ∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝13a 3.由体积相等，得13r (2＋2)a 2＝13a 3，解得r ＝12(2－2)a .5．(2014·课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C . (1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．(1)证明连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1. 又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)解作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD . 作OH ⊥AD ，垂足为H .由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，AO ∩OD ＝O ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC .又OH ⊥AD ，BC ∩AD ＝D ，所以OH ⊥平面ABC . 因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又BC ＝1，可得OD ＝34. 由于AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114. 又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为217.6．如图，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝4，AE ＝2，EF ＝1. (1)求证：BC ⊥AF ；(2)若点M 在线段AC 上，且满足CM ＝14CA ，求证：EM ∥平面FBC ；(3)试判断直线AF 与平面EBC 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． (1)证明因为EF ∥AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF . 因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA ⊥BC . 由已知，得AB ⊥BC 且EA ∩AB ＝A ，又AF ⊂平面EABF ，所以BC ⊥AF .(2)证明如图所示，过M 作MN ⊥BC ，垂足为N ，连接FN ，则MN ∥AB . 又CM ＝14AC ，所以MN ＝14AB .又EF ∥AB 且EF ＝14AB ，所以EF ∥MN ，且EF ＝MN .所以四边形EFNM 为平行四边形，所以EM ∥FN . 又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以EM ∥平面FBC . (3)解 AF ⊥平面EBC . 证明如下：由(1)，可知AF ⊥BC .在四边形ABFE 中，AB ＝4，AE ＝2，EF ＝1，∠BAE ＝∠AEF ＝90°，所以tan ∠EBA ＝AE AB ＝12，tan ∠F AE ＝EF AE ＝12，即tan ∠EBA ＝tan ∠F AE ，则∠EBA ＝∠F AE . 设AF ∩BE ＝P ，因为∠P AE ＋∠P AB ＝90°，故∠PBA ＋∠P AB ＝90°. 则∠APB ＝90°，即EB ⊥AF . 又EB ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，且EB ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面EBC .高考中档大题规范练(四)——概率与统计(推荐时间：70分钟)1．(2014·湖南)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败． (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．解 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为x 甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎫0－232×5＝29.乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为x 乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎫0－352×6＝625.因为x 甲>x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记事件E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )共7个．故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，则得所求概率为P (E )＝715.即恰有一组研发成功的概率为715.2．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子出现的点数．(1)求点P (x ，y )在直线y ＝x －2上的概率； (2)求点P (x ，y )满足y 2<2x 的概率．解每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36(个)．(1)记“点P (x ，y )在直线y ＝x －2上”为事件A ，则事件A 有4个基本事件：(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,4)，所以P (A )＝436＝19.(2)记“点P (x ，y )满足y 2<2x ”为事件B ，则事件B 有12个基本事件：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，所以P (B )＝1236＝13.3．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球． (1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率．解从六个球中取出两个球的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共计15个基本事件．(1)记事件A 为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件的是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个基本事件，故P (A )＝315＝15.记事件B 为“取出的两个球是黑球”，同理可得P (B )＝15.记事件C 为“取出的两个球的颜色相同”，则C ＝A ＋B ，且A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记事件D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C ，D 互斥，根据互斥事件概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.4．(2014·辽宁)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：(1)方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：P (2≥k ) 解 (1)将2×22＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×(60×10－20×10)270×30×80×20＝10021≈4.762. 因为4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2；b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则事件A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 是由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.5．某商场为吸引顾客消费，推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元，10元，0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动． (1)若顾客甲消费了128元，求他获得的优惠券金额大于0元的概率； (2)若顾客乙消费了280元，求他总共获得的优惠券金额不低于20元的概率．解 (1)设“甲获得的优惠券金额大于0元”为事件A .因为指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分区域的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是13.根据互斥事件的概率，有P (A )＝13＋13＝23，所以“顾客甲获得的优惠券金额大于0元”的概率是23.(2)设“乙获得的优惠券金额不低于20元”为事件B .因为顾客乙转动转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券的金额为x 元，第二次获得优惠券的金额为y 元，则基本事件空间可以表示为Ω＝{(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)}，即Ω中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率都为19.而乙获得的优惠券金额不低于20元，是指x ＋y ≥20，所以事件B 中包含的基本事件有6个．所以乙获得的优惠券金额不低于20元的概率为 P (B )＝69＝23.6．已知关于x 的一元二次方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0，a ，b ∈R .(1)若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率．解设事件A 为“方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0有两个不相等的实数根”；事件B 为“方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0有实数根”．(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．由Δ＝36a 2－36(－b 2＋4)＝36a 2＋36b 2－36×4>0，得a 2＋b 2>4.事件A 要求a ，b 满足条件a 2＋b 2>4，可知包含6个基本事件，即(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，则事件A 发生的概率为P (A )＝69＝23.(2)a ，b 的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a ≤3,0≤b ≤2. 构成事件B 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a 2＋b 2≥4}(如图中阴影部分)，则所求的概率为P (B )＝2×3－14×π×222×3＝1－π6.高考压轴大题突破练高考压轴大题突破练(一) ——直线与圆锥曲线(1)(推荐时间：70分钟)1．(2014·课标全国Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时，不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t .因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.2．(2014·陕西)如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．解 (1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1,0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左，右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1，得a ＝2.∴a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x p ，y p )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由根与系数的关系，得x p ＝k 2－4k 2＋4，从而y p ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为(k 2－4k 2＋4，－8kk 2＋4)．同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)(k ≠0)，y ＝－x 2＋1(y ≤0)得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0，即－2k 2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0.∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意．∴直线l 的方程为y ＝－83(x －1)，即直线l 的方程为y ＝－83x ＋83.3．已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m )．(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14. (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m，(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m)．得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m )，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0，即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m )＝0，结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2. (1)解由已知，可得b ＝2，a 2＝(2b )2＝8，所求椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若直线AB 的斜率存在，设方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0. 则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.由k 1＋k 2＝8，得y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝8，所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2x 2＝8，即2k ＋(m －2)·x 1＋x 2x 1x 2＝8.所以k －mk m ＋2＝4，整理得m ＝12k －2.故直线AB 的方程为y ＝kx ＋12k －2，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12－2. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2. 若直线AB 的斜率不存在，设AB 的方程为x ＝x 0，设A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，由已知y 0－2x 0＋－y 0－2x 0＝8，得x 0＝－12.此时AB 的方程为x ＝－12，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－2. 综上，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2. 5．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，中心在原点．若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解 (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.∴所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y P )，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， ∵直线与椭圆相交，∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0 ⇒m 2<3k 2＋1.① ∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又∵|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1.②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2；由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上求得m 的取值范围是12<m <2.高考压轴大题突破练(二)——直线与圆锥曲线(2)(推荐时间：70分钟)1．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c . 整理得2(c a )2＋ca －1＝0，解得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A (85c ，335c )，B (0，－3c )，所以|AB |＝(85c )2＋(335c ＋3c )2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋(|MN |2)2＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.16122．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为215，且经过点M (4,1)，直线l ：x －y ＋m ＝0交椭圆于不同的两点A ，B . (1)求m 的取值范围；(2)若直线l 不经过点M ，求证：直线MA ，MB 的斜率互为相反数．(1)解设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为2c ＝215，所以a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋15，又因为椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，解得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆方程为x 220＋y 25＝1，将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0， Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，解得－5<m <5. (2)证明设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m5，x 1x 2＝4m 2－205.k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4)，则(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4) ＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1) ＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0.所以k 1＋k 2＝0，即直线MA ，MB 的斜率互为相反数．3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．解 (1)由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，又b ＝61＋1＝3，∴a 2＝4，b 2＝3，43(2)由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0，得k 2<14，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，①∴y 1y 2＝k (x 1－4)k (x 2－4)＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)·64k 2－124k 2＋3－4k 2·32k 24k 2＋3＋16k 2＝25－874k 2＋3，∵0≤k 2<14，∴－873≤－874k 2＋3<－874，∴－4≤25－874k 2＋3<134，∴OA →·OB →∈[－4，134)，即OA →·OB →的取值范围是[－4，134)．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程．(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0,2)的距离为d ，则 d ＝(x －0)2＋(y －2)2＝x 2＋(y －2)2＝3b 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋3b 2＋6， ∴当y ＝－1时，d 取得最大值，且d max ＝3b 2＋6＝3，解得b 2＝1，∴a 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1， d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2.∴|AB |＝212－d ′2＝2 1－1m 2＋n 2. ∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·21－1m 2＋n 2·1m 2＋n2 ＝1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2. ∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1， ∴0<1m 2＋n 2<1， ∴1－1m 2＋n 2>0.∴S △OAB ＝1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 2＋n 2＋1－1m 2＋n 222＝12，当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n 2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n2得⎩⎨⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22或⎝⎛⎭⎫－62，－22，此时△OAB 的面积为12.5．(2014·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求C 的方程．(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意知F (p2，0)．设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0)．因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)．因为|F A |＝|FD |，则x 0＋1＝|x D －1|，由x D >0，x 0>0，得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)，故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8by 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)．。

(完整word版)2015年全国新课标2卷高考文科数学答案

2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={}{}=<<=<<-B A x x B x x 则,30,21 A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3) 1、选A (2)若a 实数，且=+=++a i iai则,312 A.-4B. -3C. 3D. 42、解：因为.4,42)1)(3(2=+=++=+a i i i ai 所以故选D(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是2700260025002400210020001900)A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。

3、选D（4）已知向量=∙+-=-=则（2),2,1(),1,0( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4、选B(5)设{}项和，的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则A. 5B. 7C. 9D. 115、解：在等差数列中，因为.,5525)(,1,335153531A a a a S a a a a 故选所以==⨯+===++(6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A.81 B.71 C. 61 D. 51 6、解：如图所示，选D.(7)已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A.35B. 321C. 352D. 34 7、解：根据题意，三角形ABC 是等边三角形，设外接圆的圆心为D ，则D （1，332）所以， .32137341==+=OD 故选B. (8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练：大题综合突破练4

页眉内容突破练(四)1．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h (x )的图象，再将h (x )的图象向右平移π3个单位得到g (x )的图象，求函数g (x )的解析式，并求g (x )在[0，π]上的值域．解 (1)∵f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ， ∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)∵f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1―――――――――――→横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，∵x ∈[0，π]， ∴x －π6∈[－π6，5π6]． ∴sin (x －π6)∈[－12，1]． ∴g (x )在[0，π]上的值域为[0,3]．2．某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查．调查问卷共10道题，答题情况如下表：答对题目数[0,8) 8 9 10 女 2 13 12 8 男337169(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率； (2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．解 (1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ， P (A )＝1－55100＝0.45.(2)设答对题目数小于8的司机为A 、B 、C 、D 、E ，其中A 、B 为女司机，任选出2人包含AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE ，共10种情况，至少有一名女出租车司机的事件为AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE ，共7种．记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，则P (M )＝710＝0.7. 3．已知四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，PC ＝2，且底面ABCD 是边长为1的正方形．E 是最短的侧棱PC 上的动点．(1)求证：P 、A 、B 、C 、D 五点在同一个球面上，并求该球的体积； (2)如果点F 在线段BD 上，DF ＝3BF ，且EF ∥平面P AB ，求PEEC 的值． (1)证明设P A 的中点为M ，连接AC ，CM ，则△P AC 为直角三角形， ∴CM ＝PM ＝AM ＝62.设正方形ABCD 的中心为点O ，连接OM ，则OM ∥PC ，OM ＝1，∵PC ⊥底面ABCD ，∴OM ⊥底面ABCD ，又O 为BD 的中点，连接BM ，DM ，则BM ＝DM ＝1＋(22)2＝62，∴CM ＝PM ＝AM ＝BM ＝DM ，故点P 、A 、B 、C 、D 在以M 为球心，半径为62的球上，且V 球M ＝43π(62)3＝6π. (2)解连接CF 并延长交AB 于K ，连接PK . ∵EF ∥平面P AB ，EF ⊂平面PCK ，平面PCK ∩平面P AB ＝PK ，∴EF ∥PK ，∵DF ＝3BF ，又AB ∥CD ，∴CF ＝3KF . ∵EF ∥PK ，∴CE ＝3PE ，∴PE EC ＝13.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n ·b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3. (1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n .解 (1)当n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n ＋1，∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3， ∴b n ＋1＝4n ＋33n .∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式，∴b n ＝4n －13n －1.(2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1， ∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，①13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n＝3＋4×13(1－13n －1)1－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n ， ∴T n ＝152－4n ＋52×3n －1.5．已知点M (－1,0)，N (1,0)，动点P (x ，y )满足：|PM |＋|PN |＝2 3. (1)求P 的轨迹C 的方程；(2)是否存在过点N (1,0)的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且曲线C 上存在点Q ，使四边形OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程．解 (1)由|PM |＋|PN |＝23知道曲线C 是以M ，N 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，b ＝2，所以曲线C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由题意知l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x ＝my ＋1，代入椭圆方程整理得 (2m 2＋3)y 2＋4my －4＝0，显然Δ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－4m2m 2＋3，y 1y 2＝－42m 2＋3，①假设存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，其充要条件为OQ →＝OA →＋OB →，则点Q 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由点Q 在椭圆上，即(x 1＋x 2)23＋(y 1＋y 2)22＝1.整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4xx 21＋6y 1y 2＝6. 又A 、B 在椭圆上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6.故2x 1x 2＋3y 1y 2＝－3，②所以x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1，将①②代入上式解得m ＝±22.即直线l的方程是：x＝±22y＋1，即2x±2y－2＝0.6．已知f(x)＝e x＋ax－1(e为自然对数)(1)当a＝1时，求过点(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝e x＋x－1，f(1)＝e，f′(x)＝e x＋1，f′(1)＝e＋1，∴函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝(e＋1)(x－1)，即y＝(e＋1)x－1，设切线与x、y轴的交点分别为A，B，令x＝0，得y＝－1；令y＝0，得x＝1e＋1.∴A(1e＋1，0)，B(0，－1)．∴S△OAB ＝12×1e＋1×1＝12(e＋1).(2)由f(x)≥x2得a≥1＋x2－e xx，令h(x)＝1＋x2－e xx＝1x＋x－e xx，则h′(x)＝1－1x2－e x(x－1)x2＝(x－1)(x＋1－e x)x2，令k(x)＝x＋1－e x，k′(x)＝1－e x，∵x∈(0,1)，∴k′(x)＝1－e x＜0，k(x)在x ∈(0,1)为减函数，∴k(x)＜k(0)＝0，又∵x－1＜0，x2＞0，∴h′(x)＝(x－1)(x＋1－e x)x2>0，∴h(x)在x∈(0,1)为增函数，h(x)＜h(1)＝2－e，因此只需a≥2－e.。

2015届全国新课标Ⅱ卷高考压轴卷文科数学试题及答案

（第5题图）2015年考前押题试卷（全国新课标II 卷）文科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．若复数3()1x i z x R i+=∈-是实数，则x 的值为A ．-3B ．3C ．0 D2．设集合2{|3100}M x R xx =∈--<，{|||2}N x Z x =∈<，则MN =A ．(2,2)-B ．(1,2)C ．{1,0,1}-D．{2,1,0,1,2}--3．24sin 225α=，02πα<<cos()4πα-的值为A ．15B ．15- C ．75D ．15±4．下列判断错误．．的是 A ．“22ambm <”是“a < b ”的充分不必要条件B ．命题“x R ∀∈，3210xx --≤”的否定是“0xR ∃∈，3210x x -->”假命题C ．若p ,q 均为假命题，则p q ∧为D ．若~(4,0.25)B ξ，则1D ξ=5．在右图的算法中，如果输入A=138,B=22,则输出的结果是A ．2B ．4C ．128 D．06．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．A ．x y 2±=B ．x y 21±=C ．x y 4±=D ．x y 41±= 7．已知等差数列{}na 中，111a=，前7项的和735S=，则前n 项和S n 中A ．前6项和最大B ．前7项和最大C ．前6项和最小D ．前7项和最小8．已知二项式2(n x （n N +∈）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为A ．45256B ．47256C ．49256D ．512569．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是A ．8 + πB ．283π+C ．12 + πD ．2123π+10．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是A ．15B ．24125C ．96125D ．4812511．如图，设平面EF αβ=，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别为B 、D ，若增加个一αAEB D第9题条件，就能推出BD ⊥EF 。

2015届高考数学(文科,通用)二轮复习突破练高考中档大题规范练(二) Word版含答案

高考中档大题规范练(二)——数列(推荐时间：60分钟)1．已知{a n }为等差数列，且a 2＝－1，a 5＝8. (1)求数列{|a n |}的前n 项和； (2)求数列{2n ·a n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝－1，a 5＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－1，a 1＋4d ＝8，解得a 1＝－4，d ＝3，所以a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7，因此|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3记数列{|a n |}的前n 项和为S n ，当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4，当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5，当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋(n －2)[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10.又当n ＝2时满足此式，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.(2)记数列{2n ·a n }的前n 项和为T n ，则T n ＝2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n a n ， 2T n ＝22a 1＋23a 2＋24a 3＋…＋2n a n －1＋2n ＋1a n ，所以－T n ＝2a 1＋d (22＋23＋…＋2n )－2n ＋1a n .由(1)知，a 1＝－4，d ＝3，a n ＝3n －7，所以－T n ＝－8＋3×4(1－2n －1)1－2－(3n －7)×2n ＋1＝－20－(3n －10)×2n ＋1，故T n ＝20＋(3n －10)×2n ＋1.2．已知函数f (x )＝14x ＋2(x ∈R )．(1)证明：f (x )＋f (1－x )＝12；(2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝f (nm )(m ∈N *，n ＝1,2，…，m )，求数列{a n }的前m 项和S m ；(3)设数列{b n }满足b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ，T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，若(2)中的S m 满足对不小于2的任意正整数m ，S m <T n 恒成立，试求m 的最大值． (1)证明因为f (x )＝14x ＋2，所以f (1－x )＝141－x ＋2＝4x 4＋2·4x ＝4x2(4x ＋2).所以f (x )＋f (1－x )＝14x ＋2＋4x2(4x ＋2)＝2＋4x 2(4x ＋2)＝12. (2)解由(1)，知f (x )＋f (1－x )＝12，所以f (k m )＋f (1－k m )＝12(1≤k ≤m －1)(k ∈N *)，即f (k m )＋f (m －k m )＝12.由题设知，a n ＝f (n m )，所以a k ＋a m －k ＝12，a m ＝f (m m )＝f (1)＝16.又S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m －1＋a m ，① S m ＝a m －1＋a m －2＋…＋a 1＋a m ，②由①＋②，得2S m ＝(m －1)×12＋2a m ＝m 2－16，即S m ＝m 4－112(m ∈N *)．(3)解由b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)，显然对任意n ∈N *，b n >0，则1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1，所以T n ＝(1b 1－1b 2)＋(1b 2－1b 3)＋…＋(1b n －1b n ＋1)＝1b 1－1b n ＋1＝3－1b n ＋1. 因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0，所以b n ＋1>b n ，即数列{b n }是单调递增数列．所以T n 关于n 递增，所以当n ∈N *时，T n ≥T 1.因为b 1＝13，b 2＝(13)2＋13＝49，所以T n ≥T 1＝3－1b 2＝34.由题意，知S m <34，即m 4－112<34，解得m <103，所以m 的最大值为3.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明T n <3.(1)解当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋12S n －1＝a n －2n＋1⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n ，所以a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ，故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列， b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n . (2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，①13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②得，23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n，故T n ＝3－n ＋13n －1<3.4．已知单调递增数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12(a 2n ＋n )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，得a 1＝1，当n ≥2时，S n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，得a n ＝S n －S n －1＝12(a 2n －a 2n －1＋1)，化简得(a n －1)2－a 2n －1＝0，a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)，又{a n }是单调递增数列，故a n －a n －1＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . (2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×21n a -＋1，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c n ) ＝(122－1＋142－1＋…＋1n 2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－42n)1－4＋n 2＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(42n－1)＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1). 当n 为奇数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n )＋(c 2＋c 4＋…＋c n －1) ＝[122－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(412n -－1)＋n －12＝2n ＋n 2－2n －92(n ＋2).所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n＋n 2－2n －92(n ＋2)，n 为奇数，2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1)，n 为偶数.5．已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n )，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n (n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0142对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n ＝2＋3a n 3＝a n ＋23，∴{a n }是以1为首项，23为公差的等差数列．∴a n ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13.(2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1(23n －13)(23n ＋13) ＝1(2n －1)(2n ＋1)9＝92(12n －1－12n ＋1)，又b 1＝3＝92(1－13)，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝92(1－12n ＋1)＝9n2n ＋1，∵S n <m －2 0142对一切n ∈N *成立，即9n 2n ＋1<m －2 0142对一切n ∈N *成立，又9n 2n ＋1<92，∴m －2 0142≥92，即m ≥2 023.∴最小正整数m 为2 023.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%. (1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列， ∴a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列，则此时a n ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n ≥8.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ，当n ≥8时，由S 7＝70，则S n ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10， ∴该生产线前n 年每年的平均维护费用为 S nn ＝⎩⎨⎧n ＋3，1≤n ≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n，n ≥8.当1≤n ≤7时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列，当n ≥8时，∵S n ＋1n ＋1－S nn ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －6－10n ＋1－80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7·⎝⎛⎭⎫n 4－1＋10n (n ＋1)>0，∴S n ＋1n ＋1>S n n.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为递增数列．又∵S 77＝10<12，S 88＝80×54－108＝11.25<12，S 99＝80×⎝⎛⎭⎫542－109≈12.78>12， ∴第9年年初需要更新生产线．。

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突破练(二)
1．已知函数f (x )＝A sin (ωx －π6)(ω＞0)相邻两个对称轴之间的距离是π2，且满足f (π
4)＝ 3.
(1)求f (x )的单调递减区间；
(2)在钝角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，sin B ＝3sin C ，a ＝2，f (A )＝1，求△ABC 的面积．解 (1)由题意知周期T ＝π，∴ω＝2，
因为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＝3，所以A ＝2，f (x )＝2sin (2x －π6)，
由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π3＋k π≤x ≤5π
6＋k π(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为[π3＋k π，5π
6＋k π](k ∈Z )． (2)由题意b ＝3c ，f (A )＝2sin (2A －π
6)＝1， ∴sin (2A －π6)＝1
2，
∵ －π6＜2A －π6＜11π6，∴A ＝π6或π2，
因为△ABC 为钝角三角形，所以A ＝π2舍去，故A ＝π
6， ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝3c 2＋c 2－23c 2×3
2＝c 2，
所以c ＝2，b ＝23，S △ABC ＝12×23×2×1
2＝ 3. 2．已知正项等比数列{a n }满足a 2＝19，a 4＝1
81，n ∈N *
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n log 3a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1b n 的
前n 项和T n ，
解 (1)设公比为q .∵a 4a 2
＝1
9＝q 2，
∴q ＝13或q ＝－13.
又数列{a n }为正项等比数列，∴q ＝1
3. 又∵a 2＝19. ∴a 1＝1
3， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n
，n ∈N *.
(2)∵b n ＝log 3a n ·log 3a n ＋1，n ∈N *， ∴b n ＝n (n ＋1)，n ∈N *. ∴1b n
＝
1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
.
∴T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1
.
3．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8 y
30
40
60
50
70
若广告费支出x 与销售额y 回归直线方程为y ^
＝6.5x ＋a (a ∈R )． (1)试预测当广告费支出为12万元时，销售额是多少？
(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率．解 (1)x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，
y ＝
30＋40＋50＋60＋70
5
＝50，
因为点(5,50)在回归直线上，代入回归直线方程求得a ＝17.5，所求回归直线方程为：y ^
＝6.5x ＋17.5，
当广告支出为12时，销售额y ^
＝6.5×12＋17.5＝95.5. (2)实际值和预测值对应表为
x 2 4 5 6 8 y
30
40
60
50
70
y ^
30.5 43.5 50 56.5 69.5
在已有的五组数据中任意抽取两组的基本事件：(30,40)，(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个，两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的有(60,50)，
所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为P ＝1－110＝910.
4．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥平面ABC ，△ABC 为等边三角形，侧面AA 1CC 1是正方形，E 是A 1B 的中点，F 是棱CC 1上的点．
(1)若F 是棱CC 1的中点时，求证：AE ⊥平面A 1FB ； (2)当V E －ABF ＝93时，求正方形AA 1C 1C 的边长． (1)证明取AB 的中点为M ，连接EF ，EM ，CM ，
因为E 是A 1B 的中点，F 是棱CC 1中点，所以EM ∥AA 1，FC ∥AA 1，EM ＝FC ＝1
2AA 1，则四边形EMCF 是平行四边形，所以EF ∥CM ，又因为△ABC 为正三角形，侧面AA 1C 1C 是正方形， ∴AA 1＝AB ，所以AE ⊥A 1B ，CM ⊥AB ，因为侧棱AA 1⊥平面ABC ，所以CM ⊥AA 1，
∴CM ⊥平面A 1AB ，∴EF ⊥平面A 1AB ，所以EF ⊥AE ，又因为AE ⊥A 1B ，A 1B ∩EF ＝E ，所以AE ⊥平面A 1FB .
(2)解设正方形AA 1C 1C 的边长为x ，由于E 是A 1B 的中点，△EAB 的面积为定值，
∵CC 1∥平面AA 1B ，∴点F 到平面EAB 的距离为定值，即为点C 到平面AA 1B 的距离，
又V E －ABF ＝V F －ABE ，且V F －ABE ＝1
3S △ABE ·h ＝9 3. 即13·12·x ·
x 2·32x ＝93，
∴x 3＝216，∴x ＝6.所以正方形的边长为6.
5．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －2y ＋35＝0相切，点A 为圆上一动点，AM ⊥x 轴于点M ，且动点N 满足ON →＝33OA →＋(1－33)OM →
，设动点N 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；
(2)直线l 与直线l 1垂直且与曲线C 交于B 、D 两点，求△OBD 面积的最大值．解 (1)设动点N (x ，y )，A (x 0，y 0)，因为AM ⊥x 轴于M ，所以M (x 0,0)，设圆C 1的方程为x 2＋y 2＝r 2，由题意得r ＝|35|
1＋4
＝3，所以圆C 1的方程为x 2＋y 2＝9，由题意，ON →＝33OA →＋(1－33)OM →，得(x ，y )＝33(x 0，y 0)＋(1－3
3)(x 0,0)，
所以⎩⎨⎧
x ＝x 0，y ＝3
3y 0，
即⎩⎨⎧
x 0＝x ，
y 0
＝3y . 将A (x ，3y )代入x 2
＋y 2
＝9，得动点N 的轨迹方程x 29＋y 2
3＝1.
(2)由题意可设直线l ：2x ＋y ＋m ＝0，设直线l 与椭圆x 29＋y 2
3＝1交于B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
联立方程⎩⎨⎧
y ＝－2x －m ，
x 2＋3y 2
＝9
得13x 2＋12mx ＋3m 2－9＝0，
Δ＝144m 2－13×4(3m 2－9)＞0，解得m 2＜39， x 1,2＝－12m ±468－12m 226＝－6m ±117－3m 2
13，
又因为点O 到直线l 的距离d ＝
|m |
5
， BD ＝5·|x 1－x 2|＝5·2117－3m 2
13，
所以S △OBD ＝12·|m |
5
·5·2117－3m 213
＝m 2(117－3m 2)13＝3m 2(39－m 2)13≤332(当且仅当m 2＝39－m 2即m 2＝392时取
到最大值)．
所以△OBD 面积的最大值为33
2. 6．设函数f (x )＝ln x －14x 2－1
2x . (1)求f (x )的单调区间和极值；
(2)若g (x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋14x 2＋1，当x ＞1时，g (x )在区间(n ，n ＋1)内存在极值，求整数n 的值．
解 (1)f ′(x )＝1x －12x －12＝－x 2
－x ＋2
2x
(x ＞0)，
令f ′(x )＝0，解得x ＝1(－2舍去)，根据x ，f ′(x )，f (x )的变化情况列出表格：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － f (x )
递增
极大值－3
4
递减
由上表可知函数f (x )的单调增区间为(0,1)，递减区间为(1，＋∞)，在x ＝1处取得极大值－3
4，无极小值． (2)g (x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
f (x )＋14x 2＋1＝x ln x －12x 2＋x ，
g ′(x )＝ln x ＋1－x ＋1＝ln x －x ＋2，
令h(x)＝ln x－x＋2，∴h′(x)＝1
x－1＝
1－x
x，
因为x＞1，∴h′(x)＜0恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)为单调递减函数，
因为h(1)＝1＞0，h(2)＝ln 2＞0，h(3)＝ln 3－1＞0，h(4)＝ln 4－2＜0.
所以h(x)在区间(3,4)上有零点x0，且函数g(x)在区间(3，x0)和(x0,4)上单调性相反，因此，当n＝3时，g(x)在区间(n，n＋1)内存在极值，所以n＝3.。