数学：19.4逆命题与逆定理-19.4.1互逆命题与互逆定理课件(华东师大版八年级下)
华东师大版八年级数学上册《逆命题与逆定理》课件
上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．
一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设 是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二 个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个 命题叫做它的逆命题.
命题“两直线平行，内错角相等”的 题设为两直线平行； 结论为内错角相等． 因此它的逆命题为 内错角相等，两直线平行.
在△PDO和△PEO中，因为
｛∠∠DPDOOP＝ ＝∠ ∠EPEOOP（（已已知证）），，
PO＝PO（公共边），
O
∴△PDO≌△PEO (A.A.S)
∴PD=PE
A D
1P
2
C
E B
于是就有定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相 等．
问答 ：1、如图，在Rt△ABC 中， BD是∠B 的平分线 ，
那么这个三角形是等边三角形.
3、全等三角形的对应角相等. 题设：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
那么这两个三角形全等.
4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.
题设：一个点到一个角的两边距离相等. 结论：它在这个角的平分线上. 逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
逆命题与逆定理
回
顾
1、命题的概念： 可以判断正确或错误的 句子叫做命题.
例如：两直线平行，内错角相等； 内错角相等，两直线平行；都是命题.
注意：问句和几何作法不是命题！
2、命题都有两部分： 题设和结论
我能行
说出下列命题的题设和结论：
1、两直线平行，内错角相等； 2、内错角相等，两直线平行； 3、如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧 ； 45、 、如平果行小 四明 边发 形烧 的，对那角么线他互一相定平患分了； 肺炎； 6、对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2016年秋季新版华东师大版八年级数学上学期13.5.1、互逆命题与互逆定理课件2
12．原命题的逆命题是假命题的是( B ) A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若a＞b，则ab＞0 C．两直线平行，同位角相等
D．相等的角是对顶角
13．判断下列命题： ①等腰三角形是轴对称图形；②若a＞1且b＞1，则a＋b＞2； ③全等三角形对应角的平分线相等；④直角三角形的两锐角互 余．
解：
有．在三角形中，大边所对的角较大．如图：已知在△ABC 中， AC＞AB.求证：∠ABC＞∠ACB.证明：∵AC＞AB，在 AC 上截取 AE ＝ AB ， 连接 BE. ∴∠ ABE＝∠ AEB.∵∠ AEB ＞∠ ACB ， ∠ ABC ＞∠ ABE，∴∠ABC＞∠ACB
13.5 逆命题与逆定理
第1课时 互逆命题与互逆定理
1．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两 个命题叫做 互逆命题 ．
2．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它
是原定理的 逆定理 ，这两个定理叫做 互逆定理 逆命题 ．
3．每个命题都有它的 题不一定是真命题．
C．相等的两个角是对顶角
D．如果a＝b，那么a2＝b2
5．(4分)下列命题中，逆命题是假命题的是( D )
A．若两个角的和为90°，则它们互为余角 B．两锐角的和为90°的三角形是直角三角形 C．有一个外角是直角的三角形是直角三角形 D．等边三角形是等腰三角形
6．(4分)下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②全
等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．它 们的逆命题是真命题的个数是( B ) A．1个 C．3个 B．2个 D．4个
7．(8分)写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假 命题．
华东师大版八年级上册数学课件13.5逆命题与逆定理1.互逆命题与互逆定理
A )
B．等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形的两个底角相等 D．三边对应相等的两个三角形全等
3．命题“如果一个数能被10整除，那么这个数也一定能被5整除” 5整除，那么这个数也一定能被10整除 的 逆 命 题 是如果一个数能被 _____________________________________________ ，
＝90°，∴△ABC是直角三角形．
易错点：考虑问题不全面导致对命题的判断出错
11．已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝－a；②若ma2>na2，则m>n； ③不相等的角不是对顶角；④两直线平行 ，内错角相等．其中原
命题与逆命题均为真命题的个数是(
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
)
B
12．判断下列命题，其中逆命题正确的有(
10 ． 请写出定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题．这个
逆命题正确吗？若正确， 请你画出图形， 写出“已知”“求证”， 再进行“证明”；若不正确，请举反例说明．
解：两个锐角互余的三角形是直角三角形．这个逆命题正确．
已知：如图，△ABC中，∠A＋∠B＝90°.求证：△ABC是直角三 角形．
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C
14．已知下列命题： 1 1 ①若 a>0，b>0，则 a＋b>0；②若 a≠b，则 a ≠b ；③若aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb，
2 2
则 a＝b；④任何有理数都有倒数． 其中原命题与逆命题均为真命题的有( A．0 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
A
)
15．写出下列命题的逆命题，并指出它们的真假性．
(1)如果x＝4，那么x2＝16；
互逆命题与互逆定理--华师大版
我能行
2
1、说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真 假：①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——通工具。
逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮 列车——假命题。
驶向胜利 的彼岸
解决
问题
2、举例说明下列命题的逆命题是假命题。 （1）、如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数 能被5整除 （2）、如果两个角都是直角，那么这两个角相等
驶向胜利 的彼岸
下课了!
小结
这节课我们学到了什么？
①逆命题、逆定理的概念。 ②能写出一个命题的逆命题。 ③在证明假命题时会用举反例说明
五星级P75－76
技能训练：
拓展训练：11，12，13只做（3） 应用探究：14
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是低声下气地向她服软：“您以后别要再说那句话咯 爷只说过壹次 爷保证以后再也别会说咯 您是爷の诸人 将您满门抄斩 爷能有啥啊好结果？”见他说得如此情真意切、 语气凝重 水清原本是逗他开心 谁想到竟然引发他如此伤感の话题 很是别忍心 赶快岔开话题 缓解壹下气氛：“刚刚妾身也没什么别の啥啊意思 只是因为您天天让妾身躺在 床上养身子 照那么壹各养法儿 过两天 您见到の就别是妾身 而是壹头白白胖胖の大肥猪咯！”壹听是那话 他那壹颗悬着の心才算是踏实下来 继而被她气得牙根痒痒 于是 攥她胳膊の手又加咯壹番力道 痛得水清眉头皱咯起来 他晓得她吃痛 可是别让她痛壹痛 真是难解心头之气 继而他又觉得只让她肉体上痛壹下别足以对她实施足够有效の惩 罚 还要在精神上再对她实施壹番折磨 方能壹解他心中の恼怒之气 于是他壹边对她松手 壹边意味深长地说道：“好好好 您说得对 变成大肥猪更好！爷就喜欢您养得白白胖 胖の！”“啊？”她当然晓得他最喜欢啥啊样の诸人 无非是性情上要听话の、温顺の、乖巧の 而模样上当然还是要娇气の 柔弱の 怎么啥啊时候他の审美观点改变咯？开始 喜欢上胖美人咯？见水清中计 他の心情也是大好起来 于是说道：“白白胖胖最好 那样才能给爷多生几各小小格 ”水清哪里料到自己の玩笑之语竟然招惹来他の那番真情告 白 脸上立即挂别住咯 特别是月影还在屋里 可是月影心里最期盼の竟然与王爷壹模壹样 就是盼着她家仆役赶快怀胎 赶快生子 别管是啥啊准备晚膳啊 还是啥啊缝补衣裳啊 统统都没什么那件事情重要 现在见到王爷与她所想の竟是如出壹辙 虽然她晓得仆役已经被恼得脸色通红 可是仍然止别住の高兴 最后竟是憋别住 抿着嘴笑咯起来 昨天被那 两各人壹各该听话进屋来却别听话地迅速退咯下去 另壹各别该听话却偏偏“听话”旁若无人地吻她别停 今天又被那两各人合起伙儿来取笑她 月影是强忍抿嘴笑 而他更是别 管别顾地坏坏地笑 被气坏咯の水清壹甩手进咯里屋 扔下那两各人在外间屋 第壹卷 第923章 验证他今天の心情格外地好 既是因为淑清の病好得差别多咯 他再也别用疲于 奔命、左右逢缘 另外今天没什么太多の事情 回来得早壹些 前两天 天天弄到后半夜 实非他本意 对此既是觉得愧疚 也是觉得别忍心 他晓得水清の睡眠是壹各大难题 别是 想睡就能睡 想醒就能醒の 壹连折腾咯她两天 终于偷得浮生半晚闲 于是他就赶快张罗着歇息 好好地补偿壹下她严重缺觉の问题 由于躺下得早 两各人就又有咯足够の闲功 夫来逗嘴皮子：“您瞧瞧您 怎么现在越来越长脾气咯？爷说咯啥啊咯 又惹得您给爷摞脸子？”“爷啊！您以后能别能别要当着月影の面说那些话啊！”“爷就说各让您养得 胖壹些 好给爷多生几各小小格 那有啥啊？怎么就月影听别得咯？”水清当然别愿望让月影听到咯！即使月影是她の贴身丫环 那种暧昧の话题她也别想与任何人分享 于是她 要向他发出严正警告：“爷啊 您以后别要再当着月影说那些话咯！”“那也别能说 那也别能说 那以后月影在の时候 爷就当哑巴？爷怎么还要怕咯她那各奴才别成？”“您 是别用怕 可是妾身怕得别行呢！”“您怕她做啥啊？”“您没瞧见月影那丫头在笑话妾身吗？”壹听水清说月影笑话她 王爷可算是找到咯共鸣：“哈哈！月影笑话您也是应 该の！您要是赶快给爷生各小小格 爷就别说咯！再说咯 谁让您别好好养身子の？您瞧瞧 您那胳膊细の 都没什么筷子粗呢！”壹边说着 壹边似乎是为咯证明他の话有多么 の正确 于是他壹把抓起咯水清の小细胳膊 果然 他只用咯壹只手 竟然轻轻松松地实现咯大拇指与中指の成功对接！那各情景将他都吓咯壹跳 天啊！竟是比他想象得更是骇 人！于是他又急急地伸手去握她の纤腰 想要看壹看她那腰肢有多么の纤细 她要将自己养胖の任务是多么の艰巨 可是事
逆命题与逆定理ppt1 华东师大版
[解析] 准确理解逆命题、互逆命题的概念是解 题的关键．
13.5.1 互逆命题与互逆定理
[答案] (1)同位角相等，两直线平行 真 真 (2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 假 真 (3)如果 ab＝0，那么 a＝0 真 假 (4)两个锐角互余的三角形是直角三角形 真 真
13.5.1 互逆命题与互逆定理
13.5.1 互逆命题与互逆定理
2．互逆定理 “两直线平行，内错角相等”是一个定理，它的逆 内错角相等，两直线平行 __ _ _”也是一个定理． 你知道像这样的两个定理之间的关系吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点二
13.5.1 互逆命题与互逆定理
新知梳理 ► 知识点一 互逆命题
条件 __是第 在两个命题中，如果第一个命题的__ 结论__，而第一个命题的_ 结论 的__ ___是第二个命题的 那么这两个命题叫做互逆命题 _ ___．如果把其中一个命题 题，那么另一个命题就叫做它的___ 逆命题_．
(1)如果要确定这一点， 那么只需画两边的垂直平 其交点即可； (2)注意区分： 若要求到三边距离相等 的点， 则是 ．．．．．．． 的点，则是三边垂直平分线的交点．
角平分线的交点(下一节学到)；若要求到三个顶点距 ．．．．．．
13.5.2 线段垂直平分线
重难互动探究 探究问题一
线段垂直平分线的性质定理的应用
13.5.1 互逆命题与互逆定理
► 知识点二 互逆定理
逆命题__也是__ 定理 __， 如果一个定理的__ 那么这两个 互逆定理_，其中的一个定理叫做另一个定理的__ ___ __． 逆定理
13.5.1 互逆命题与互逆定理
重难互动探究
探究问题一 命题与逆命题
例 1 写出下列命题的逆命题，并判断两个命题的真 (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； (3)如果 a＝0，那么 ab＝0； (4)直角三角形的两个锐角互余．
八年级数学19. 3 尺规作图 19. 4逆命题与逆定理华东师大版知识精讲
初二数学19. 3 尺规作图19. 4逆命题与逆定理华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：19. 3 尺规作图19. 4 逆命题与逆定理二. 重点、难点：1. 重点：⑴认识尺规作图，掌握五种基本作图，并运用基本方法作三角形；⑵了解尺规作图的步骤，对一些简单的尺规作图，会写主要的作图过程；⑶理解逆命题与逆定理的概念，并能识别互逆命题；⑷学习几个重要的定理及逆定理，并灵活运用．2. 难点：⑴掌握五种基本图形的作图方法，能灵活地用来解决一些较简单的实际问题，培养动手能力；⑵能灵活运用几个重要的定理及逆定理，提高数学能力．三.知识梳理：1. 尺规作图：⑴定义：我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图．⑵作图与画图的区别：凡写“求作”的题目，都只能使用无刻度的直尺和圆规作图；凡写“画”的题目，可使用多种工具作图，如三角板，量角器，有刻度的直尺，也可用圆规等其他作图工具．2. 基本作图内容：⑴画一条线段等于已知线段；⑵画一个角等于已知角；⑶经过一点画已知直线的垂线；⑷画已知线段的垂直平分线；⑸平分已知角．3. 常用的尺规作图的基本术语：⑴过点×、点×作直线××，或作直线（线段、射线）××；⑵连接两点×、×，或连接××；⑶在线段××上截取××＝××；⑷延长××至点×，使××＝××；⑸以点×为圆心，××长为半径作圆（或弧），交××于点×；⑹分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径画圆弧，两弧相交于点×、×．4. 尺规作图的步骤：已知、求作、分析、作法、证明（一般不用证明）．5. 逆命题与逆定理：⑴逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．⑵逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．⑶互逆定理：如果命题和它的逆命题都是定理，那么它们就是互逆定理．6. 本节中的定理：⑴等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称“等角对等边”．⑵勾股定理及逆定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．⑶角平分线有关定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；角平分线的性质定理的逆命题：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；内心：三角形三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．⑷线段垂直平分线有关定理：定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．定理的逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等．【典型例题】例1. 已知线段a、b画一条线段，使其等于a+2b．分析：所画的线段等于a+2b，实质上是等于a+b+ b．作图由左向右逐个画出所加的线段，结果仍是线段．图形反映的是“形的关系”，与计算反映的“数量的关系”是统一的．解：⑴画射线AP；⑵在射线AP截取AB＝a；⑶在射线BP上依次截取BC＝CD＝b；⑷线段AD就是所求作的线段．例2. 已知∠1和∠2，求作一个角，使它等于∠1－∠2.分析：画角的和与差，注意角的位置关系．角的和，角度变大，外部相邻；角的差，角度变小，内部相邻．解：⑴用直尺和圆规画出∠AOB＝∠1；⑵以O为顶点，射线OA为一边，在∠AOB的内部，画∠AOC＝∠2，则∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝∠1－∠2；∠BOC就是所求的角．例3. 如图内宜高速公路OA 和自雅路OB 在我市相交于点O ，在∠AOB 的内部有五宝C 、正紫D 两个镇，若要修一个大型农贸市场P ，使P 到OA 、OB 的距离相等，且使PC ＝PD ，用尺规作出市场P 的位置（不写作法，保留作图痕迹）．分析：由题意知：点P 既要在∠AOB 的平分线上，又要在线段CD 的垂直平分线上，即点P 应为∠AOB 的角平分线与线段CD 的垂直平分线的交点．解：如图所示．例4. 已知三角形的一边及这条边上的中线和高线求作三角形．已知：线段m ，h ，a （h m >）求作ABC ∆，使AD 为BC 边上的中线且m AD =， AH 为BC 边上的高，使a BC h AH ==,．分析：作三角形，关键是要定下三角形的三个顶点．这里可根据中线、高线定下A 点的位置；再根据中线过底边中点，定下底边上的B 、C 两点．解：作法：⑴画ADH Rt ∆，使h AH m AD ==,，︒=∠90AHD⑵以D 为圆心，以a 21为半径画弧，分别交HD 的延长线于B 、C 两点 ⑶连结AB 、AC为所求作的三角形ABC例5. 如图△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC交AB于点D，交AC于E，若AB＝10，AC＝12，则△ADE的周长是．分析：角平分线遇到平行，一般存在等腰三角形．因为∠ABC和∠ACB的平分线在DE上，DE∥BC，所以一定存在等腰△DBF和等腰△EFC. 所以AB+AC等于△ADE的周长．解答：22例6. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．求：△ABC各角的度数分析：如此多的线段相等，蕴含很多的等腰三角形．但是没有已知角，只有设未知数，寻找等量关系．解：设∠A＝x，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C∴∠A＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠C＝2x∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠C＝2x∵∠A+∠ABC+∠C＝180°∴x+2x+2x＝180°∴x＝36°∴∠A＝36°，∠ABC＝72°，∠C＝72°．例7. 如图，已知：△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F．求证：EB＝FC．分析：说明线段相等，常用方法是“在一个三角形中，等角对等边”，或找以它们为对应边的三角形全等，显然后者比较方便．证明：∵AD是△ABC的平分线．（已知）DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点（已知）∴DE＝DF（角平分线性质定理）∠DEB ＝∠DFC （垂直定义） 在Rt △DEB 和Rt △DFC 中 ∵DE ＝DF （已证）BD ＝CD （已知）∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ）∴BE ＝CF （全等三角形的对应边相等）例8. 如图所示，∠BAC ＝30°，D 为角平分线上一点，DE ⊥AC 于E ，DF ∥AC ，且交AB 于点F ．⑴求证：△AFD 为等腰三角形； ⑵若DF ＝10cm ，求DE 的长．CFAEDB32CF1G AEDB分析：角平分线遇到平行，一般存在等腰三角形，△AFD 为等腰三角形易证；要求DE 的长度，而已知是线段DF 的长度，这里要找到他们之间的关系．没有直接关系，可找第三媒介DG 联系起来．解：⑴证明：如答图所示， ∵DF ∥AC ，∴∠3＝∠2. ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.∴FD ＝FA. ∴△AFD 为等腰三角形． ⑵解：过D 作DG ⊥AB ，垂足为G ，∵∠1＝∠2＝12∠BAC ，∠BAC ＝30°，∴∠1＝15°． 又∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝15°． ∴∠GFD ＝∠1+∠3＝15°+15°＝30°．在Rt △FDG 中，DF ＝10cm ，∠GFD ＝30°，∴DG ＝5.∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AC ，DG ⊥AB ， ∴DE ＝DG ＝5cm ．例9. P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF ． 求证：OP 垂直平分EF ．分析：两点确定一条直线．只要分别说明O 、P 是垂直平分线上的点，就能说明OP 垂直平分EF ．证明：∵PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ∴∠PEO ＝90°＝∠PFO ∴在△PEO 和△PFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OP OP FOP EOP PFO PEO ∴△PEO ≌△PFO ，∴PE ＝PF ，EO ＝FO ∴O 、P 在EF 的中垂线上， ∴OP 垂直平分EF ．例10. 如图，一机器人在y 轴上的点A 处发现一个小球自x 轴上的点B 处，沿x 轴向原点方向匀速滚来，机器人立即从A 处匀速直线前进，去截小球．若机器人的速度与小球的速度相等．⑴请你用尺规在图中找出机器人最快能截住小球的位置点C （不写作法，保留作图痕迹）．⑵若点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（8，0），求在⑴中机器人最快能截住小球的位置点C 的坐标．分析：小球在x 轴上运动，截住时的点C 定在x 轴上；同时，机器人、小球速度相同，由此，点C 与A 、B 的距离相同，定在线段AB 的垂直平分线上；所以，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点，即为C 点．点C 在x 轴上，所以只要求横坐标即可，即只要求线段OC 的长．可运用直角三角形的勾股定理，构造方程求解．解：⑴如图所示．⑵连接AC ，AC ＝BC设BC 长为x ，则AC ＝BC ＝x ，OC ＝8－x在Rt △AOC 中，AO 2+OC 2＝AC 2即42+（8－x ）2＝x 2x ＝5，OC ＝3点C坐标为（3，0）．【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题：1. 下列作图语句正确的是（）AB=A. 延长线段aB. 以点O为圆心作弧∆中，连结AD，使AD＝DCC. ABC∆中，取BC中点D，连结ADD. ABC2. 用尺规作图，不能作出惟一三角形的是（）A. 已知两角和夹边；B. 已知两边和其中一边的对角C. 已知两边和夹角；D. 已知两角和其中一角的对边3. 下列画图语言表述正确的是（）A. 延长线段AB至点C，使AB＝BC；B. 以点O为圆心作弧；C. 以点O为圆心，以AC长为半径画弧；D. 在射线OA上截取OB＝a，BC＝b，则有OC＝a+b4. 下列真命题中，其逆命题也真的是（）A. 全等三角形的对应角相等B. 两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形C. 等边三角形是锐角三角形D. 直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．5. 如图，等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，在底边BC上截取BD＝AB，过D作DE⊥BC 交AC于E，连结AD，则图中等腰三角形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图所示，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE ∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE＝9，则线段DE的长为（）A. 9B. 8C. 7D. 67. 如图，在△ABC中，DE、GF分别是AB、AC边上的垂直平分线，若AB＝10，BC ＝22，AC＝18，则△AEG的周长等于（）A. 22B. 24C. 25D. 30二、填空题：1. 如图是画∠AOB 的平分线的方法，射线OC 平分∠AOB 的理由是．2. 把∠O 四等分的步骤是：第一步：先把∠O_______等分；第二步：把得到的两个角分别再_______等分．3. 命题：全等三角形的对应角相等．题设：，结论：；它的逆命题是，这个逆命题是命题（填真、假）．4. 若有两条线段，长度是1cm 和2cm ，第三条线段为______时， 才能组成一个直角三角形．5. 在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝5cm ，作AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，连结BD ，如果△BCD 的周长是17cm ，则△ABC 的腰长为． 三、解答题：1. 按要求作图：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连结BE 、CE ．ABC D2. 如图所示，已知∠AOB 和两点M 、N 画一点P ，使得点P 到∠AOB 的两边距离相等，且PM ＝PN ，简述步骤．NM BAO3. 已知：如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，求∠BAC 的度数．4. 在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD+∠C ＝180°，求证：AD ＝CD.5. 如图，△ABC的周长为19cm，且AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足，BC＝5cm，求△BCE的周长．【试题答案】一、选择题。
华东师大版初中数学电子教材-第19章-全等三角形
§19全等三角形 2 §19.1 命题与定理 21．命题 22．公理、定理 3§19.2 三角形全等的判定 41．全等三角形的判定条件 42．边角边 63．角边角 84．边边边 105．斜边直角边 12阅读材料 15§19.3 尺规作图 161．作一条线段等于已知线段 162．作一个角等于已知角 163．作已知角的平分线 174．经过一已知点作已知直线的垂线 175．作已知线段的垂直平分线 19阅读材料 20§19.4 逆命题与逆定理 211．互逆命题与互逆定理 212．等腰三角形的判定 223．角平分线 244．线段垂直平分线 25小结 28复习题 29课题学习 30§19全等三角形你玩过拼图游戏吗？那是用许多各种颜色的小拼板拼成一幅幅美丽的图画.那些拼板有不少是形状相同、大小一样的.它们相互之间有什么关系？发挥你的智慧，想想看！§19.1 命题与定理1.命题思考我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180°”、“等腰三角形的两个底角相等”等．根据我们学过的图形特性，试判断下列句子是否正确．（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）两直线平行，同位角相等；（3）同旁内角相等，两直线平行；（4）平行四边形的对角线相等；（5）直角都相等．根据已有的知识可以判断出句子（1）、（2）、（5）是正确的，句子（3）、（4）是错误的．像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition）．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论．例如，在命题（1）中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论．有的命题的题设与结论不十分明显，将它写成“如果……，那么……”的形式，也可分清它的题设与结论．例如，命题（5）可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等”．例1 把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论．解这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”．这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”．要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”．例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反例“某一锐角与某一钝角的和不是180°”即可．练习1 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出它的题设和结论．（1）全等三角形的对应边相等；（2）平行四边形的对边相等．2 指出下列命题中的真命题和假命题．（1）同位角相等，两直线平行；（2）多边形的内角和等于180°．2 公理、定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理（axioms）．我们已经知道下列命题是真命题：一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；全等三角形的对应边、对应角分别相等．在本书中我们将这些真命题均作为公理．数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem）．例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余．已知：如图19.1.1，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°．证明∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），又∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°．此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据．练习1 把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它的题设和结论，并用逻辑推理的方法证明题（1）：（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）三角形的外角和等于360°．2 判断命题“内错角相等”是真命题还是假命题，并说明理由．习题19.11 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以证明．（1）两个锐角的和等于直角；（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．（第3题）2 把下列命题改成“如果……，那么……”的形式．（1）全等三角形的对应边相等；（2）菱形的对角线相互垂直；（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．3 试证明“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．”即，已知：如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为E、F．求证：AB∥CD．（第3题）§19.2 三角形全等的判定1.全等三角形的判定条件我们知道：若两个三角形的三条边、三个角分别对应相等，则这两个三角形全等.那么能否减少一些条件，找到更为简便的判定三角形全等的方法？显然由于三角形的内角和等于180°，如果两个角分别对应相等，那么另一个角必然也相等．这样，若两个三角形的三条边、两个角分别对应相等，则这两个三角形仍然全等．能否再减少一些条件？对两个三角形来说，六个元素（三条边、三个角）中至少要有几个元素分别对应相等，两个三角形才会全等呢？1.我们从最简单的开始，如果只知道两个三角形有一组对应相等的元素（边或角），这两个三角形一定全等吗？（1）如果只知道两个三角形有一个角对应相等，那么这两个三角形全等吗？（2）如果只知道两个三角形有一条边对应相等，那么这两个三角形全等吗？2.如果两个三角形有两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形一定全等吗？想一想，会有几种可能的情况？分别按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等．（1）三角形的两个内角分别为30°和70°；（2）三角形的两条边分别为3cm和5cm；（3）三角形的一个内角为60°，一条边为3cm；（i）这条长3cm的边是60°角的邻边；（ii）这条长3cm的边是60°角的对边．你一定会发现，如果只知道两个三角形有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等（甚至形状都不相同）．思考如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？这时，这两个三角形一定会全等吗？练习1. 如图，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB绕O旋转180o，可以与△___________重合，这说明△AOB≌△___________.这两个三角形的对应边是AO与__________，OB与__________，BA与__________；对应角是∠AOB与________，∠OBA与_________,∠BAO与___________.2 如图，AE是平行四边形ABCD的高，将△ABE沿AD方向平移，使点A与点D重合，点E与点F重合，则△ABE≌_________，∠F＝_________°．3 如图，点D是等腰直角三角形ABC内一点，AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D与点E重合，则△ABD≌_________，AD＝_________，BD ＝_________．2 边角边如果两个三角形有3组对应相等的元素，那么含有以下的四种情况：两边一角、两角一边、三角、三边．我们将对这四种情况分别进行讨论．如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？如图19.2.1所示，此时应该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角．如图19.2.2，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？换两条线段和一个角试试，是否有同样的结论．步骤：1 画一线段AB，使它等于4cm；2 画∠MAB＝45°；3 在射线AM上截取AC＝3cm；4 连结BC．ABC即为所求．如图19.2.3，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′．由于AB＝A′B′，我们移动其中的△ABC，使点A与点A′、点B与点B′重合；因为∠B＝∠B′，因此可以使∠B与∠B′的另一边BC与B′C′重叠在一起，而BC＝B′C′，因此点C与点C′重合．于是△ABC与△A′B′C′重合，这就说明这两个三角形全等．由此可得判定三角形全等的一种简便方法：。
19.3 命题和逆定理(解析版)
19.3 命题和逆定理1.知道原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理的含义2.会写一个命题的逆命题，并会证明它的真假3.知道每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理知识点一 互逆命题、原命题、逆命题1.概念在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题(1)原命题与逆命题是相对的,每个命题都有逆命题.(2)原命题是真命题,逆命题不一定是真命题;原命题是假命题，逆命题不一定是假命题拓展:符号语言表示原命题:如果p,那么q;逆命题:如果q,那么p.2.方法写原命题的逆命题时,首先要分清这个命题的题设和结论，最好先将原命题改写成“如果…,那么…”的形式，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题.即学即练1（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A ．直角三角形的两个锐角互余B ．两直线平行，内错角相等C ．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形D ．若x y =，则22x y =【答案】D【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：A 、逆命题为两角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；B 、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；如果一个定理的逆命题经过证明也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意；C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没有逆定理．即学即练2（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）下列定理中，没有逆定理的是（）A．两直线平行，同旁内角互补；B．两个全等三角形的对应角相等C．直角三角形的两个锐角互余；D．两内角相等的三角形是等腰三角形【答案】B【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．【详解】A．其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；B．其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；C．其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；D．其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理．故选B．【点睛】本题考查了命题与定理的区别，正确的命题叫定理．例2（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）下列定理中，如果其逆命题是真命题，那么这个定理是（）A．对顶角相等B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形的对应角相等D．邻补角互补【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．【详解】解：∵“如果22a b=．”=，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么22a b∴“如果22=，那么a＝b”的逆命题是真命题，a b故答案为：真．【点睛】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．一、单选题1．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）下列命题的逆命题是假命题的是（）A．同位角相等，两直线平行B．在一个三角形中，等边对等角C．全等三角形三条对应边相等D．全等三角形三个对应角相等【答案】D【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可解答．【详解】解：A、逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题；B、逆命题为：在一个三角形中等角对等边，正确，是真命题；C、逆命题为：三条边对应相等的三角形全等，正确，是真命题；D、逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，错误，为假命题，故选：D．【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，能够正确的写出原命题的逆命题是解题的关键．2．（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）A．等边三角形的三个内角都等于60°B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．相等的两个角是对顶角【答案】B【分析】先分别确定各命题的逆命题，再判断真假即可．【详解】A选项的逆命题是“三个内角都等于60°的是等边三角形”，是真命题，所以不符合题意；题意；C 、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；D 、若0a >，0b >，则0a b +>的逆命题是若0a b +>，则0a >，0b >，逆命题是假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．5．（2022秋·上海·八年级专题练习）下列命题中,其逆命题是真命题的命题个数（ )(1)全等三角形的对应角相等; (2) 对顶角相等; (3) 等角对等边;(4)两直线平行,同位角相等; (5)全等三角形的面积相等;A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．【详解】（1）逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误；（2）逆命题是：相等的角是对顶角，错误；（3）逆命题是等边对等角，正确；（4）逆命题是同位角相等，两条直线平行，正确；（5）逆命题是面积相等，两三角形全等，错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真，难度适中．【答案】见解析【分析】由角的和差关系可得∠CPB=∠DPA，由中点的定义可得BP=AP，利用SAS可证明△APD≌△BPC，根据全等三角形的性质即可得结论．【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CPD=∠2+∠CPD，即∠CPB=∠DPA∵P是线段AB的中点，∴BP=AP，在△APD和△BPC中，BP APCPB DPA PC PD=ìïÐ=Ðíï=î，∴△APD≌△BPC，∴∠C=∠D．【点睛】本题考查中点的定义及全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的常用方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL等，注意：SSA、AAA不能判定两个三角形全等，利用SAS时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键．14．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在Y ABCD中，E为对角线AC延长线上的一点．(1)若四边形ABCD是菱形，求证：BE＝DE.(2)写出(1)的逆命题，并判断其是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例．【答案】见解析【详解】试题分析：（1）根据“菱形ABCD的对角线互相垂直平分”的性质推知OE是△BDE 的边BD上的中垂线，结合角平分线的性质可知△DEB为等腰三角形；（2）（1）的逆命题是“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”．根据平行四边形ABCD的对角线相互平分知OD=OB，结合角平分线的性质推知OE是BD的中垂线，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直．试题解析：（1）连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且BO=OD.又∵E是AC延长线上的一点，∴EO是△BDE的边BD的中垂线，∠DEB的角平分线，∴△DEB是等腰三角形，∴BE=DE；（2）（1）的逆命题是“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”，它是真命题，理由如下：∵平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，∴BO=OD.又∵BE=DE∴EO⊥BD，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．。
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1、命题的概念： 、命题的概念： 可以判断正确或错误的 句子叫做命题。 句子叫做命题。 例如：两直线平行,内错角相等； 例如：两直线平行 内错角相等； 内错角相等 内错角相等,两直线平行；都是命题。 内错角相等 两直线平行；都是命题。 两直线平行
注意：问句和几何作法不是命题！ 注意：问句和几何作法不是命题！
2、等边三角形的每个角都等于60° 、等边三角形的每个角都等于 ° 题设：一个三角形是等边三角形. 题设：一个三角形是等边三角形 结论：它的每个角都等于60° 结论：它的每个角都等于 ° 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于 ° 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°， 那么这个三角形是等边三角形. 那么这个三角形是等边三角形 3、全等三角形的对应角相等. 、全等三角形的对应角相等 题设：两个三角形是全等三角形 题设：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等， 逆命题：如果两个三角形的对应角相等， 那么这两个三角形全等. 那么这两个三角形全等
我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等” 我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆 命题“内错角相等，两直线平行”都是定理， 命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就 互逆定理． 是互逆定理． 一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例 一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理． 可以是真命题 相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“ 如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶 角相等”是真命题，且是定理． 角相等”是真命题，且是定理．
4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 、到一个角的两边距离相等的点， 平分线上. 平分线上 题设：一个点到一个角的两边距离相等. 题设：一个点到一个角的两边距离相等 结论：它在这个角的平分线上. 结论：它在这个角的平分线上 逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等. 逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等 5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个 、 端点的距离相等. 端点的距离相等 题设：一个点在一条线段的垂直平分线上. 题设：一个点在一条线段的垂直平分线上 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等. 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等 逆命题： 逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上. 在这条线段的垂直平分线上
• 每一个命题都有逆命题，只要将 原命题的题设改成结论，并将结 论改成题设，便可得到原命题的 逆命题．但是原命题正确，它的 逆命题未必正确．例如真命题 “对顶角相等”的逆命题为“相 等的角是对顶角”，此命题就是 假命题．
练习2、举例说明下列命题的逆命题是假命题 练习 、举例说明下列命题的逆命题是假命题.
驶向胜利 的彼岸
上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置． 题设 恰好互换了位置 上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置． 一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设 一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设 是第二个命题的结论 而第一个命题的结论 结论， 结论是第二 是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二 个命题的题设 那么这两个命题叫做互逆命题 题设， 互逆命题. 个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个命题叫做原命题， 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个 命题叫做它的逆命题。 命题叫做它的逆命题。
逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等 真命题。 逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题。 真命题
③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交 通工具. 通工具
逆命题：高速行驶时， 逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮 列车——假命题 假命题. 列车 假命题
下课了!
小结
这节课我们学到了什么？ 这节课我们学到了什么？ ①逆命题、逆定理的概念. 逆命题、逆定理的概念 能写出一个命题的逆命题. ②能写出一个命题的逆命题 在证明假命题时会用举反例说明. ③在证明假命题时会用举反例说明
1、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假。 、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假。 (1)如果 如果x=y,那么 2 =y2； 那么x 如果 那么
(2)如果一个三角形有一个角是钝角 那么它的另外 如果一个三角形有一个角是钝角,那么它的另外 如果一个三角形有一个角是钝角 两个角是锐角； 两个角是锐角；
补充练习：说出下列命题的逆命题， 补充练习：说出下列命题的逆命题，并判定逆命 题的真假： 题的真假： 既是中心对称，又是轴对称的图形是圆. ①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形 逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题 真命题
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整 ）如果一个整数的个位数字是 能被5整除 整除. 数 能被 整除 逆命题：如果一个整数能被 整除 整除， 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数 的个位数字是5. 的个位数字是
例如10能 整除 但它的个位数是0. 整除， 例如 能5整除，但它的个位数是
A D
F B E C
命题“两直线平行，内错角相等” 命题“两直线平行，内错角相等”的 题设为两直线平行 两直线平行； 题设为两直线平行； 结论为内错角相等． 结论为 因此它的逆命题为 内错角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行.
驶向胜利 的彼岸
练习1：指出下列命题的题设和结论， 练习 ：指出下列命题的题设和结论，并说出它 们的逆命题。 们的逆命题。 1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的 、如果一个三角形是直角三角形， 两个锐角互余. 两个锐角互余 题设：一个三角形是直角三角形 题设：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形. 那么这个三角形是直角三角形
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 注意 ：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 不一定是真命题 逆定理、互逆定理， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题 注意2： 注意 ：不是所有的定理都有逆定理
练习3： 练习 ：
在你学过的定理中， 在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是 真命题？试举出几个例子说明. 真命题？试举出几个例子说明 例如： 、同旁内角互补，两直线平行. 例如：1、同旁内角互补，两直线平行 逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 逆命题：两直线平行，同旁内角互补 真 2、有两个角相等的三角形是等腰三角形. 、有两个角相等的三角形是等腰三角形 逆命题：如果一个三角形是等腰三角形， 逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么ห้องสมุดไป่ตู้ 有两个角相等. 有两个角相等 真
2、命题都有两部分： 题设和结论 、命题都有两部分： 题设和
我能行
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说出下列命题的题设和结论： 说出下列命题的题设和结论： 1、两直线平行,内错角相等； 、两直线平行 内错角相等 内错角相等； 2、内错角相等 两直线平行； 两直线平行； 、内错角相等,两直线平行 3、如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧； 、如果小明患了肺炎 那么他一定会发烧 那么他一定会发烧； 4、如果小明发烧 那么他一定患了肺炎； 那么他一定患了肺炎； 、如果小明发烧,那么他一定患了肺炎 5、平行四边形的对角线互相平分； 、平行四边形的对角线互相平分； 6、对角线互相平分的四边形是平行四边形； 、对角线互相平分的四边形是平行四边形； 观察上面三组命题,你发现了什么 观察上面三组命题 你发现了什么? 你发现了什么
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. ）如果两个角都是直角，那么这两个角相等 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
例如60° 例如 °= 60°，但这两个角不是直角 ° 但这两个角不是直角.
如果一个定理的逆命题也是定理， 如果一个定理的逆命题也是定理，那么 这两个定理叫做互逆定理 互逆定理。 这两个定理叫做互逆定理。 其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理 逆定理。 其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
2、如图，已知E、F分别是矩形 、如图，已知 、 分别是矩形 分别是矩形ABCD的边 、 的边BC、 的边 CD上两点，连接 ，BF.请你再从下面四个 上两点， 上两点 连接AE， 请你再从下面四个 反映图中边角关系的式子(1)AB=BC;(2)BE=CF; 反映图中边角关系的式子 (3)AE=BF;(4)∠AEB=∠BFC中选两个作为已知 ∠ ∠ 中选两个作为已知 条件，选一个作为结论，组成一个真命题， 条件，选一个作为结论，组成一个真命题， 并证明这个命题. 并证明这个命题