2015届高考数学总复习第二章 第二节函数的单调性与最大(小)值课件 理
高考数学专题复习《函数的单调性与最大值》PPT课件
解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明
如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为
-1+1
1
f(x)=a(
)=a(1+ ),则
-1
-1
1
1
( 2 - 1 )
f(x1)-f(x2)=a(1+ )-a(1+ )=
(-1)-
(方法2 导数法) f'(x)=
2
(-1)
=
-
(-1)2
,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0
时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调
递增.
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
3
∴f(-2)<f(- )<f(-1).故选
2
D.
f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
3 1
4.(2020 全国 2,文 10)设函数 f(x)=x - 3 ,则 f(x)(
)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(
3
A.f(-2)<f(-1)<f(2)
3
B.f(-1)<f(-2)<f(2)
高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第二节 函数的基本性质课件(理)
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增
(广东专用)高考数学一轮复习 第二章第二节函数的单调性与最大(小)值配套课件 文
和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的
原则．
(1) 函 数 f(x) ＝ log5(2x ＋ 1) 的 单 调 增 区 间 是 ________． (2)用定义法判断函数 y＝ x2－1在定义域上的 单调性．
1 【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为(－ ， ＋∞)， 2 令 t＝2x＋1， 因为 y＝log5t 在 t∈(0，＋∞)上是增函数，t＝ 1 2x＋1 在 x∈(－ ，＋∞)上为增函数，所以函数 f(x) 2 1 ＝log5(2x＋1)的单调递增区间为(－ ，＋∞)． 2 1 【答案】 (－ ，＋∞) 2
(2)函数的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 设 x1＜x2，则
2 f(x1)－f(x2)＝ x2 1－1－ x2－1 2 x2 － x 1 2 ＝ 2 2 x1－1＋ x2 －1
（x1－x2）（ x1＋x2） ＝ . 2 2 x1－1＋ x2－1 ∵x1－x2＜0, x2 1－1＞0, x2 2－1＞0， ∴当 x1，x2∈(－∞，－1]时， x1＋x2＜0，
第二节
函数的单调性与最大(小)值
1．增函域为I，区间DI，如果对于
任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有： f(x1)＜f(x2) ； (1)f(x)在区间D上是增函数_____________ f(x1)＞f(x2) (2)f(x)在区间D上是减函数______________ ． 2．单调性、单调区间的定义 增函数 若函数 f(x) 在区间 D 上是 __________ 或减函数 __________ ，则 称函数 f(x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，区间 D 叫做 单调区间 f(x)的 _____________．
1
【解析】 3 3 ＋ ≥ ， 4 4
第02课函数的单调性与最大(小)值(课件)
【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
【典例】已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3, 当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t).
【解析】①当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值，
函数 f(x)＝ x－1在其定义域内是增函数.
【解析】函数 f(x)＝ x－1的定义域是[1，＋∞)，
设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝ x2－1－ x1－1
＝
x2－1－ x1－1 x2－1＋ x2－1＋ x1－1
x1－1＝
x2－x12－＋x1x1－1.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 x2－1＋ x1－1>0，x2－x1>0.
2015年高考数学一轮总复习精品课件：第二章+函数 2.2 函数的单调性与最值(共26张PPT)
函数的单调性与最值
第一页，编辑于星期五：十一点 十一分。
考纲要求
考纲要求
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.
3.会研究某些简单复合函数及分段函数的单调性、最大(小)值.
第二页，编辑于星期五：十一点 十一分。
3
梳理自测
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低点,
求出最值.
(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求
解.
(4)换元法:对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的
方法求值域或最值.
(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件
后,再用基本不等式求出最值.
复合函数 y=f(g(x))的单调性应根据外层函数 y=f(t)和内层函数 t=g(x)
的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
3.利用函数的单调性求参数的取值范围,解题思路为视参数为已知数,
依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较
求参.
考点一
考点二
考点三
误区警示
第十一页，编辑于星期五：十一点 十一分。
当 0<x≤1 时,1-x2≥0,2x>0,原不等式化为(1-x2)2+1>(2x)2+1,即(x+1)2<2,
所以 0<x< 2-1.
当 x>1 时,1-x2<0,无解.综上知:-1<x< 2-1.
答案:(-1, 2-1)
考点一
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第二章+函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最大(小)
变 式 训 练 2 设 f(x) ＝ x2 － 2ax(0≤x≤1) 的 最 大 值 为 M(a)，最小值为 m(a)．试求 M(a)及 m(a)的表达式．
【解】 f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，x∈[0,1]． 当 a≤0 时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝f(0)＝0； 当 0＜a≤12时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝－a2； 当12＜a≤1 时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝－a2； 当 a＞1 时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝f(1)＝1－2a.
两点注意 1.单调区间是定义域的子区间，求单调区间定义域优
先． 2．函数的单调区间要分开写，两个(或两个以上)同一类
单调区间之间用“，”隔开，不能用“∪”连接，如函数 y ＝1x单调减区间为：(－∞，0)，(0，＋∞)．
第二十八页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
三个结论 1.奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区 间上的单调性相反． 2．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函 数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． 3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
①对于任意的 x∈I，都 有 f(x)≤M ； 条件 ②存在 x0∈I，使 得 f(x0)＝M .
①对于任意的 x∈I，都 有 f(x)≥M ； ②存在 x0∈I，使 得 f(x0)＝M .
结论 M 是 y＝f(x)的最大值 M 是 y＝f(x)的最小值
第四页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”， 错误的打“×”)
第十页，辑于星期五：十一点 五十五分。
【尝试解答】 (1)由 x2－1＞0 得 x＞1 或 x＜－1，即函 数 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
高考理科数学一轮总复习第二章函数的单调性与最值
第2讲函数的单调性与最值一、知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的①如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两种等价形式 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．2．五条常用结论(1)对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(2)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． (4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是________． 答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到． ( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)求单调区间忘记定义域导致出错； (2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调； (3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解； (4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念． 1．函数y ＝log 12(x 2－4)的递减区间为________．答案：(2，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2（a －2）≤⎝⎛⎭⎫122－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≤138，即a ≤138.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，138 3．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤1，－1≤a ≤1，a <1.所以－1≤a <1. 答案：[－1，1)4．(1)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是________；(2)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的递减区间为(－∞，4]，则a 的值为________． 答案：(1)a ≤－3 (2)－3确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 给出具体解析式的函数的单调性(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的递增区间为________，递减区间为________．【解析】 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－（x 2－3x ＋2），1＜x ＜2. 如图所示，函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)；递减区间是(－∞，1)和⎝⎛⎭⎫32，2.故选B.(2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的递减区间为(－∞，－3]，递增区间为[2，＋∞)． 【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] 角度二 含参函数的单调性(一题多解)判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1 ＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上是减少的；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上是增加的． 法二：f ′(x )＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2，所以当a >0时，f ′(x )<0，当a <0时，f ′(x )>0， 即当a >0时，f (x )在(－1，1)上为减函数， 当a <0时，f (x )在(－1，1)上为增函数．确定函数单调性的4种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．[提醒] 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．1．函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间是________． 解析：由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图，由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．答案：[－1，0]，[1，＋∞)2．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在x ∈[1，2]上的单调性．解：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎫ax 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上是增加的．求函数的最值(师生共研)(1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (x )的最小值是________．【解析】 (1)由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x >1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6<0，所以f (x )min ＝26－6.【答案】 (1)3 (2)26－6求函数最值的5种常用方法及其思路1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. 所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中， 作出函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1.答案：1函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D角度二 解函数不等式已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，2)D ．(－2，1)【解析】 因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数f (x )的图象是一条连续的曲线．因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数， 当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数． 因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ， 即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1. 【答案】 D角度三 根据函数的单调性求参数(1)(2020·南阳调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)法一：设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)． 法二：由f (x )＝x －a x ＋a 2得f ′(x )＝1＋ax 2，由题意得1＋ax2≥0(x ＞1)，可得a ≥－x 2，当x ∈(1，＋∞)时，－x 2＜－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．(2020·武汉模拟)若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B.因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a －2x ＋2a ＋3，x ＜a ， 因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调， 所以a ＞1.所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.2．定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，2)B ．[0，2)C ．[0，1)D ．[－1，1)解析：选C.因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2， 所以函数f (x )在[－2，2]上是增加的，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，故选C.[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C.当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0)B ．⎣⎡⎦⎤0，12C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B.y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x ＜0函数y 的草图如图所示．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上递增．故选B. 3．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]解析：选B.由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－a2∈[2，3]，即a ∈[－6，－4]．4．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D.因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.5．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝4－x －x ＋2的值域为________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x ＋2≥0，所以－2≤x ≤4，所以函数f (x )的定义域为[－2，4]．又y 1＝4－x ，y 2＝－x ＋2在区间[－2，4]上均为减函数， 所以f (x )＝4－x －x ＋2在[－2，4]上为减函数， 所以f (4)≤f (x )≤f (－2)． 即－6≤f (x )≤ 6. 答案：[－6，6]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，（3a －1）×1＋4a ≥－a ，a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <13，a ≥18，a >0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13. 答案：⎣⎡⎭⎫18，139．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的． (2)设1＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0， 只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.[综合题组练]1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]解析：选D.函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0，1]．2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.故选B.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________． 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2， 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1， 3 ]上递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2， 当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7， 所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，所以当x ＞2时，f (x ) 是增加的，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x ) 是增加的，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．。
2015高考总复习数学(文)课件：2.4函数的单调性与最值
3x＋2 1 12x＋8 解：(1)y＝ ＝ × 5－4x 4 5－4x 1 3(4x－5)＋23 3 23 ＝4× ＝－4＋ . 5－4x 4(5－4x)
3 ∴值域为yy≠－4
.
(2)y＝－x
2
12 9 ＋x＋2＝－x－2 ＋4.
9 ∴值域是－∞，4.
4 f′(x)＝m(x－1)x－m.
4 ∵m<0，∴m<1. 则 增， ∴f(x)在[2,3]上单调递减. 又 g(x)在[2,3]单调递减， 2 ∴f(x)max＝f(2)＝3m＋1，g(x)min＝g(3)＝3m＋5. 因此，对任意 x1，x2∈[2,3]，f(x1)－g(x2)≤1 恒成立， 即[f(x1)－g(x2)]max≤1，
4.(2013 年北京)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)
上单调递减的是( C )
1 A.y＝x
B.y＝e－x D.y＝lg|x|
C.y＝－x2＋1
－6 ＋∞)，则 a＝__________.
5.(2012 年安徽)若函数 f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，
考点 1 利用定义判断函数的单调性
请说明理由.
解：(1)f′(x)＝mx2－(4＋m)x＋4＝(x－1)(mx－4). 当 m＝4 时，f′(x)＝4(x－1)2≥0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 4 当 m>4 时，m<1，
4 ∴f(x)的递增区间为－∞，m，(1，＋∞).
(2)假设存在 m<0，使得命题成立， 此时
4 x· x ＝4，
当 x＜0 时，y≤－4，当且仅当 x＝－2 时取得等号. 综上所述，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞). 4 方法二，函数 y＝x＋ x的定义域为 x≠0. 4 ∵y′＝1－x2， 令 y′≥0， 解得 x≤－2 或 x≥2； y′<0 时， 解得－2<x<0 或 0<x<2， ∴当 x≤－2 或 x≥2 时，f(x)单调递增.
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a>1或a<－1， 即 5 <0， a＞3或a<－1.
5 ∴a<－1或a>3. 又a＝－1时，有1＞0，对一切x∈R恒成立，满足题意． 5 ∴a≤－1或a>3.
5 ∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪3，＋∞.
(2)依题意，只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)上 的任何值，则f(x)的值域为R，故有a2－1>0，Δ≥0，解得 5 1<a≤ 3 ，又当a2－1＝0，即a＝1时，t＝2x＋1符合题意；a＝－1 5 时不合题意，∴1≤a≤3.
fK(x)＝2－|x|＝ 函数．
，在(1，＋∞)上为减函数．
当 x∈( － ∞ ，－ 1) 时， fK(x) ＝ 2x ，在 ( － ∞ ，－ 1) 上为增 答案：(－∞，－1)
求函数的值域 【例3】 求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋5，x∈[－1,2]； (2)f(x)＝2＋ (3)y＝ ； ；
第二章
第二节 函数的单调性与最 大（小）值
函数单调性的讨论与证明 【例1】 证明：函数f(x)＝ 自主解答： －x在R上是单调减函数．
点评：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调
性的一般步骤：
(1)任取x1，x2∈D，且x1<x2； (2)作差； (3)变形(通常是因式分解和配方)； (4)判断符号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)； (5) 下结论 ( 即指出函数 f(x) 在给定的区间 D 上的单调 性)．
(4)y＝x＋
(5)y＝x＋4 (6)y＝x＋
；
； ；
(7)y＝|x＋1|＋|x－2|.
解析：(1)∵y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1. 又∵1∈ ，∴ymin＝4，ymax＝8.∴值域是[4,8]． .
(2)易知函数定义域为 ∵∈[0，＋∞)， ∴f(x)∈[2，＋∞)， 即函数f(x)＝2＋
变式探究
3．已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
解析：(1)依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0，对一切x∈R恒
成立，当a2－1≠0时，其充要条件是
2 a －1>0， 2 2 Δ＝a＋1 －4a －1
变式探究 2．设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数
K，定义函数fK(x)＝ 当K＝
取函数f(x)＝2－|x|，
时，函数fK(x)的单调递增区间为______．
解析： 由f(x)＝2－|x|≤
∴|x|≥1.∴x≥1或x≤－1. ∴fK(x)＝
得－|x|≤－1，
当x∈ (1，＋∞)时，
当a＞1时，y＝logat在(0，＋∞)上是增函数，
此时，y＝loga(4x－x2)的单调增区间是(0,2]，单调减区
间是[2,4)；
当0＜a＜1时，y＝logat在(0，＋∞)上是减函数， 此时，y＝loga 间是[2,4)． 的单调减区间是(0,2]，单调增区
点评：(1)求函数的单调区间与确定单调性的方法： ①利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或 复合函数，求单调区间； ②定义法：先求定义域，再利用单调性定义； ③导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间； ④图象法：如果函数是以图象形式给出的，或者函数的图 象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
0<x<1时，y′<0，∴ 函数 y 单调递减． ∴ 函数 y 在 x ＝－ 1和 x ＝1处分别取得极大值和极小值，分别为－2和2.∴函数的值
域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(5)(代数换元法)设t＝
≥0，则x＝1－t2.
∴原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)． ∴y≤5.∴原函数值域为(－∞，5]． (6)(三角换元法)∵1－x2≥0⇒－1≤x≤1， ∴设x＝cos α，α∈[0，π]，
求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间，并指出其增减性． (1)y＝－x2＋2|x|＋3； (2)y＝loga(4x－x2)(a＞0且a≠1)． 自主解答：
解析：(1) 原函数等价于 y＝ 作出如下函数图象：
由函数图象可知，
函数 y ＝－x2 ＋ 2|x| ＋ 3在 ( － ∞ ，－ 1] ， [0,1] 上是增函数， 在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． (2)由4x－x2＞0，得函数的定义域是(0,4)． 令t＝4x－x2， ∵t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4， ∴t＝4x－x2的递减区间是[2,4)，递增区间是(0,2]．
变式探究
1．判断并证明函数f(x)＝x3＋a(a∈R，a是常数)的单调性． 解析：f(x)＝x3＋a在R上是增函数． 证明如下：
设x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2) .
∵x1<x2，∴x1－x2<0 ，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
∴f(x)＝x3＋a在R上是增函数．
(2)求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤：
①确定函数定义域； ②将复合函数分解成两个基本初等函数；
③分别确定两基本初等函数的单调性； ④按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间． (3) 函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或 不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别 写，分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不能用 “或”连接．
则y＝cos α＋sin α＝
∵α∈[0，π]，
(7)(数形结合法)将函数化为分段函数形式，即
画出它的图象 ( 如右图所示 ) ，由图象可知，函数的值域是
{y|y≥3}．
(几何法)∵函数y＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的动点x到两定点 －1,2的距离之和，∴易得y的最小值是3.∴函数的值域是 [3， 如下图所示．
的值域是[2，＋∞)．
(3)(分离常数法)
∵
≠0，∴y≠1.
即函数的值域是 {y|y∈R且y≠1}．
(4)(配方法)当x>0时，
当x<0时，y =
＋2≥2，
∴值域是(－∞，－2]∪[20)∪(0，＋∞)，
令y′＝0，即
＝0，解得x＝±1.
当x<－1或x>1时，y′>0，∴函数y单调递增；当－ 1<x<0或