对应分析
多元统计分析——对应分析
多元统计分析——对应分析多元统计分析是指在研究中同时考虑两个或多个自变量对因变量的影响，并通过统计方法进行分析。
对应分析是多元统计分析的一种方法，用于确定两个或多个分类变量之间的关联性。
对应分析可以帮助人们理解变量之间的相关性，并提供用于可视化和解释数据的工具。
在本文中，我们将详细介绍对应分析的概念、原理、应用以及一些重要的注意事项。
对应分析的应用非常广泛。
它可以用于数据挖掘、市场研究、生态学、社会科学等领域。
在市场研究中，对应分析可以用于确定消费者对产品的喜好和需求，帮助企业调整产品定位和市场战略。
在生态学中，对应分析可以用于研究不同物种之间的相互作用，并帮助我们了解生态系统的结构和动态。
在社会科学中，对应分析可以用于研究不同社会群体之间的关系，例如分析不同年龄段人群的消费行为和购买偏好。
然而，对应分析也需要注意一些重要的事项。
首先，对应分析是一种描述性的分析方法，不能确定因果关系。
其次，对应分析对数据的分布假设了一定的要求，例如对称分布、线性关系等。
如果数据的分布不满足这些假设，结果可能会不准确。
最后，对应分析通常在两个分类变量之间进行，而不适用于连续变量或混合类型的变量。
在总结中，对应分析是多元统计分析的一种方法，用于确定两个或多个分类变量之间的关联性。
它可以帮助我们理解变量之间的相关性，并提供用于可视化和解释数据的工具。
对应分析有着广泛的应用领域，但也需要注意一些重要的事项。
通过理解对应分析的原理和应用，我们可以更好地利用这一方法来分析和解释数据。
对应分析
p12 / p1. p22 / p2. p n 2 / pn .
p1 p / p1. p 2 p / p 2. pnp / pn.
pij n pij E ( ) = ∑ . pi. = p. j , j = 1,2,, p pi. i =1 pi.
因为原始变量的数量等级可能不同,所以为了尽 量减少各变量尺度差异,将行轮廓中的(各列元素) 均除以其期望的平方根.得矩阵D(R)
32 6
15 1
62 8
11 1
40 8
58 6
35 10
58 67
21 23
70 95
17 25
70 71
62 89
83 91
American European Japanese Large Medium Small Family Sporty Work 1 Income 2 Incomes Own Rent Married Married with Kids Single
变量的叉积矩阵
∑ R = (X* )′X* ( p × p)
样品的叉积矩阵
∑ Q = X* ( X* )′ ( n × n)
显而易见,变量和样品的叉积矩阵的阶数不同,一般来说, 显而易见,变量和样品的叉积矩阵的阶数不同,一般来说, 他们的非零特征根也不一样,那么能否将观测值做变换. 他们的非零特征根也不一样,那么能否将观测值做变换.
含义 雪糕 纯水 碳酸饮料 果汁饮料 保健食品 空调 洗衣机 毛毯
代码 Feel1 Feel2 Feel3 Feel4 Feel5 Feel6 Feel7 Feel8
含义 清爽 甘甜 欢快 纯净 安闲 个性 兴奋 高档
name1
product1 product2 product3 product4 product5 product6 product7 product8 feel1 feel2 feel3 feel4 feel5 feel6 feel7 feel8 50 508 55 109 34 11 30 2 368 217 19 142 16 2 4 3
多元统计分析-对应分析
03
列联表检验的零假设是两变量 X和Y 相互独立，计算一个卡方统计量，与列联表中频数取值 和零假设下期望取值之差有关，当卡方 很大时否定零假设。
BA
患慢性支 未患慢性 气管炎 支气管炎
吸烟
43
162
不吸烟
13
121
为了探讨吸烟与慢性支气管炎有无关系， 调查了339人，情况如表所示：
设想有两个随机变量A，B：A：1表示吸 烟，
对应分析
对应分析基本步骤： 建立列联表
利用对应图解释结 果。
1
2
3
一．获取对应分析 数据 确定研究目的， 选择对应分析 所需数据，应 该包括的背景 资料。
对应分析
4
5
二、对应分析 的原理
01
由于R型因子分析和 02
设原始数据矩阵为：
Q型因子分析是反映
一个整体的不同侧面，
R型因子分析是从列
来讨论（对变量），
k
特征根。
Zu k
设 1 2…
三、对应图u 1u 11u 21 A和l(0Bu <的p 1 i<非m零in特(n征,p根)),为其矩相阵应 u 2u 12u 22 的特征u p 向2量为
v 1 v 1 1v 2 1 v n 1 v 2 v 1 2 v 2 2 v n 2
我们知道因子载荷矩阵的含义是原始变量与公共因子之间的 相关系数，所以如果我们构造一个平面直角坐标系，将第一 公共因子的载荷与第二个公共因子的载荷看成平面上的点， 在坐标系中绘制散点图，则构成对应图。
Q型因子分析是从行
来讨论（对样品），
因此 在的
他们之
联 x系1。1
间
存在
x12
内
对应分析
p
∑ x1k=X1*
k=1
x21 x22 ⋯ x2 p
p
∑ x2k=X2*
k=1
⋮⋮
⋮
⋮
p
xn1 xn2 ⋯ xnp
∑ xnk= Xn*
k =1 np
∑ ∑ X*1 X*2 ⋯ X*p
xlk=X **=T
l=1 k=1
p11 p12 ⋯ p1 p
P1*
p21 p22 ⋯ p2 p
p2*
⋮⋮
⋮
⋮
pn1 pn2 ⋯ pnp
设有 n 个样品，每个样品观测 p 个指标，原始数据阵为
[ ] x11 x12 ⋯ x1p
X= x21 x22 ⋯ x2 p
⋮⋮
⋮
xn1 xn2 ⋯ xnp
x11 x12 ⋯ x1 p x21 x22 ⋯ x2 p
p
∑ x1k=X1*
k=1 p
∑ x2k=X2*
k=1
⋮⋮
⋮
⋮
其中，
n
∑ X*j= xij i=1
对应分析
可见 λk 也是ZZ’的特征根，相应的特征向量是 Zu k
因此将原始数据矩阵X变换成矩阵Z，则变量和 样品的协差阵分别可表示为 A = Z ′Z 和B=ZZ′ ，A和 B具有相同的非零特征值，相应的特征向量有很密 切的关系。 这样就可以用相同的因子轴去同时表示变量 和样品，把变量和样品同时反映在具有相同坐标 轴的因子平面上。
= ∑ z ak z aj
a =1
n
pak − pa. p.k xak − xa. x.k = z ak = pa. p.k xa. x.k
令Z为zij所组成的矩阵，则 A = Z′Z
p1 j 称 p. j
p2 j p. j
L
pnj x1 j = p. j x. j
L
第i个行变量的期望：
E( pij p. j )=∑
j =1 p
pij p. j
. p. j = pi.
因为原始变量的数量等级可能不同，所以为了尽量 减少各变量尺度差异，将列形象中的各行元素均除以 其期望的平方根。得矩阵D(Q)
p11 p.1 p1. p21 D (Q ) = p.1 p2. M p n1 p.1 pn. p12 p.2 p1. p22 p.2 p2. M pn 2 p.2 pn.
X ⋅ X*
*
′
x11 − x1 x21 − x1 L xn1 − x1 x11 − x1 x12 − x2 L x1p − xp x12 − x2 x22 − x2 L xn2 − x2 x21 − x1 x22 − x2 L x2 p − xp = × M M M M M M x − x x − x L x − x x −x x − x L x − x np p n1 1 n2 2 np p 1p p 2 p p
对应分析原理
对应分析原理
对应分析原理是一种用来确定两个或多个事物之间的对应关系的方法。
它主要包括以下几个步骤：
1. 收集相关数据：首先，需要收集与待分析事物相关的数据。
这些数据可以是各种类型的，比如数字、文字、图像等。
2. 建立对应关系：在收集到足够的数据之后，需要根据数据的特征建立对应关系。
对应关系可以是一对一的，也可以是一对多的。
3. 分析数据特征：根据建立的对应关系，可以对数据的特征进行分析。
可以使用统计学方法、机器学习算法等来识别数据的模式和规律。
4. 验证对应关系：在分析数据特征之后，需要对建立的对应关系进行验证。
可以使用交叉验证、模型评估等方法来验证对应关系的准确性和可靠性。
5. 应用对应关系：最后，根据对应分析的结果，可以应用对应关系来解决实际问题。
比如，可以根据对应关系预测未知数据的属性或进行分类。
通过对应分析原理，我们可以更好地理解不同事物之间的对应关系，从而为实际问题提供科学的解决方案。
无论是在科学研究、工程设计还是商业决策中，对应分析都具有重要的应用价值。
对应分析
对应分析法一、简介对应分析(Correspondence analysis)也称关联分析、R-Q型因子分析，是近年新发展起来的一种多元相依变量统计分析技术，是一种多元统计分析技术，主要分析定性数据的方法，也是强有力的数据图示化技术。
对应分析是一种数据分析技术，它能够帮助我们研究由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。
交互表的信息以图形的方式展示。
主要适用于有多个类别的定类变量，可以揭示同一个变量的各个类别之间的差异，以及不同变量各个类别之间的对应关系，适用于两个或多个定类变量。
对应分析是由法国人Benzenci于1970年提出的，起初在法国和日本最为流行，然后引入到美国。
对应分析法是在R型和Q型因子分析的基础上发展起来的一种多元统计分析方法，因此对应分析又称为R－Q型因子分析。
在因子分析中，如果研究的对象是样品，则需采用Q型因子分析；如果研究的对象是变量，则需采用R型因子分析。
但是，这两种分析方法往往是相互对立的，必须分别对样品和变量进行处理。
因此，因子分析对于分析样品的属性和样品之间的内在联系，就比较困难，因为样品的属性是变值，而样品却是固定的。
于是就产生了对应分析法。
对应分析就克服了上述缺点，它综合了R型和Q型因子分析的优点，并将它们统一起来使得由R型的分析结果很容易得到Q型的分析结果，这就克服了Q 型分析计算量大的困难；更重要的是可以把变量和样品的载荷反映在相同的公因子轴上，这样就把变量和样品联系起来便于解释和推断。
对应分析数据的典型格式是列联表或交叉频数表。
常表示不同背景的消费者对若干产品或产品的属性的选择频率。
背景变量或属性变量可以并列使用或单独使用。
两个变量间——简单对应分析；多个变量间——多元对应分析。
对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来。
它最大特点是能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图解上，将样品的大类及其属性在图上直观而又明了地表示出来，具有直观性。
对应分析、典型相关分析、定性数据分析
应用领域的拓展
对应分析的应用领域 拓展
随着数据科学和商业智能的不断 发展，对应分析的应用领域将不 断拓展，如市场细分、消费者行 为分析、社交网络分析等，对应 分析将为这些领域提供更有效的 分析和预测工具。
典型相关分析的应用 领域拓展
典型相关分析作为一种重要的多 元统计分析方法，其应用领域也 将不断拓展，如生物信息学、环 境科学、金融风险管理等，典型 相关分析将为这些领域提供更准 确的数据分析和预测工具。
典型相关分析
能够揭示两组变量之间的关联，但需要较大的样本量， 且对异常值敏感。
定性数据分析
能够挖掘数据中的模式和规律，但主观性强，需要经 验丰富的分析师进行操作。
05
对应分析、典型相关分析、定性数据分析的 未来发展
CHAPTER
新方法的出现
对应分析的新方法
随着数据科学和统计学的不断发展，对应分析的新方法将不断涌现，如基于机器学习的对应分析方法、网络分析方法 等，这些新方法将为对应分析提供更强大的工具和更广泛的应用领域。
心理学研究
在心理学研究中，对应分析可用于揭示人类行为和心理状态之间的关系。
例如，它可以用于研究不同性格类型或心理状态的人在不同情境下的行
为反应。
02 典型相关分析
CHAPTER
典型相关分析的定义
典型相关分析是一种多元统计分析方 法，用于研究两组变量之间的相关关 系。
它通过寻找两组变量之间的典型相关 变量，来解释两组变量之间的相互关 系。
市场调研
在市场调研中，定性数据分析可用于深入了解消费者需求、 态度和行为，为产品定位和市场策略提供依据。
01
社会学研究
在社会学研究中，定性数据分析常用于 探究社会现象、文化差异和群体行为等， 以揭示社会结构和动态。
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对应分析练习题
一．对应分析的思想方法及特点
（一）对应分析的基本思想及特点
对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来。
它最大特点是能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图解上，将样品的大类及其属性在图上直观而又明了地表示出来，具有直观性。
另外，它还省去了因子选择和因子轴旋转等复杂的数学运算及中间过程，可以从因子载荷图上对样品进行直观的分类，而且能够指示分类的主要参数（主因子）以及分类的依据，是一种直观、简单、方便的多元统计方法。
（二）对应分析方法的优缺点
1.定性变量划分的类别越多，这种方法的优越性越明显
2.揭示行变量类间与列变量类间的联系
3.将类别的联系直观地表现在图形中
4.不能用于相关关系的假设检验
5.维数有研究者自定
6.受极端值的影响
二．对应分析中的总惯量
总惯量不仅反映了行剖面集定义的各点与其重心加权距离的总和,同时与2 统计量仅相差一个常数,而统计量反映了列联表横联与纵联的相关关系,因此总惯量也反映了两个属性变量各状态之间的相关关系。
对应分析就是在对总惯量信息损失最小的前提下，简化数据结构以反映两属性变量之间的相关关系。
三．对应分析具体案例
1.搜集5387位中学生眼睛颜色与头发颜色的调查数据，应用对应分析比较两变量的关系
2.对数据进行预处理，以频数变量进行加权：
分析-降维-对应分析
3.结果分析
（1）对应分析
反映的是眼睛颜色和头发颜色不同组合下的实际样本数
（2）对应分析摘要
维度=最小分类数（眼睛颜色数）-1，前两个维度就解释了99.6%的信息。
（3）对应分析坐标值及贡献值
质量栏表示各种类别的构成比，维中的得分栏表示个类别在相关维度上的评分，惯量栏给出了总惯量在行变量中的分解情况，数值越大表示该类别对惯量的贡献越大。
深色、蓝色、浅色都主要分布在第一维度上，棕色主要分在第二维度上，总计表示各唯独的信息比例之和，可见红色这一类别在前两位中只提出80.3%的信息，效果最差。
（4）对应分析图
可以看出两个变量不同类别之间的关系。
可以看出棕色头发和棕色眼睛，深色头发、黑色头发和深色眼睛，金色头发和蓝色眼睛、浅色眼睛存在着比较强的联系。