湖南省邵阳市邵东县第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题 答案和解析

湖南省邵阳市邵东县第一中学【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知U =Z ，A ={1，3，5，7，9}，B ={1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{1，3，5}B ．{1，2，3，4，5}C ．{7，9}D ．{2，4}2．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．命题“对任意x A ∈，2x B ∈”的否定为（ ）．A ．对于任意x A ∈，2xB ∉ B ．对于任意x A ∉，2x B ∉C ．存在x A ∉，2x B ∈D ．存在x A ∈，2x B ∉3．设,R a b ∈，则“4a b +≤”是“2a ≤且2b ≤”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设0,0,22a b a b >>+=，则11a b+的最小值为（ ） AB．3CD35．若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．12a <-或12a > B ．12a >或0a < C ．12a > D ．1122a -<<6．已知函数()f x 的定义域为[0,2]，则(2)()1f xg x x =-的定义域为（ ）A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 7．已知函数2221()2x x f x -+⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,0]-∞C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞8．若函数224,1()42,1x a x f x x ax a x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．(1,4] B ．[3,4]C ．(1,3]D ．[4,)+∞二、多选题 9．设28150Ax x x ，10B x ax ，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ） A ．15B ．0C ．3D ．1310．下列函数中，最小值是2的是（ ）A ．222(1)1a a y a a -+=>-B ．yC ．221y x x =+D ．y =2x +2x11．给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④12．定义运算()()a ab a b b a b ≥⎧⊕=⎨<⎩，设函数()12xf x -=⊕，则下列命题正确的有（ ）A ．()f x 的值域为 [1,)+∞B ．()f x 的值域为 (0,1]C ．不等式(1)(2)f x f x +<成立的范围是(,0)-∞D ．不等式(1)(2)f x f x +<成立的范围是(0,)+∞三、填空题13．已知函数21(1)(),2(1)x x f x x x x -+<⎧=⎨-≥⎩则()()1f f -的值为_______. 14．已知幂函数221(55)m y m m x +=--在(0,)+∞上为减函数，则实数m =_______． 15．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x a =+-，则()1f -=___.16．不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题：设,a b ∈Z ，若对任意0x ≤，都有2(2)()0ax x b --+≤成立，则a b +=____________.四、解答题17．已知命题[]2:0,1,0,p x x a ∀∈-≥命题2:,220q x x ax a ∃∈+++=R ，若命题,p q都是真命题，求实数a 的取值范围． 18．已知全集U =R ，集合2|03x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，非空集合(){}2|()20B x x a x a =---<.（1）当12a =时，求()U A B ;（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围. 19．已知二次函数()f x )满足(1)()21f x f x x +-=-+，且(2)15f =. (1)求函数()f x 的解析式；(2) 令()(22)()g x m x f x =--，求函数()g x 在x ∈[0，2]上的最小值．20．某企业生产某种电子设备的年固定成本为500（万元），每生产x 台，需另投入成本()c x （万元），当年产量不足60台时，()220c x x x =+（万元）；当年产量不小于60台时，9800()1022080c x x x=+-，若每台售价为100（万元）时，该厂当年生产的该电子设备能全部销售完.（1）写出年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？ 21．已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+且当0x >时，有()0f x <，且12f .（1）判断()f x 的奇偶性;（2）判断()f x 的单调性，并求()f x 在区间[]3,3-上的最大值;（3）已知0a >，解关于x 的不等式()()()224f ax f x f ax -<+.22．已知函数()f x 为R 上的偶函数，()g x 为R 上的奇函数，且()()12x f x g x ++=．（1）求()f x 和()g x 的表达式； （2）证明()g x 在R 上是增函数；（3）若存在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()20g x af x -≥成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．D 【分析】图中的含义是集合B 中去掉A 中所含有的元素，结合选项可求解 【详解】图中阴影部分表示的集合是(){}U2,4A B =.故选：D 【点睛】本题考查由维恩图判断具体集合，交集与补集的混合运算，属于基础题 2．D 【分析】由全称命题的否定是特称命题可得选项. 【详解】命题“对任意x A ∈，2x B ∈”是一个全称量词命题，其命题的否定为“存在x A ∈，2x B ∉”，故选D ． 【点睛】本题考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题. 3．B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】若1a =-，3b =，满足4a b +≤，但不满足“2a ≤且2b ≤”；所以“4a b +≤”不是“2a ≤且2b ≤”的充分条件；若2a ≤且2b ≤，则4a b +≤显然成立；所以“4a b +≤”是“2a ≤且2b ≤”的必要条件； 因此，“4a b +≤”是“2a ≤且2b ≤”的必要而不充分条件. 故选：B . 【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判定，属于基础题型. 4．A由22a b +=得()1212a b +=，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为0,0,22a b a b >>+=， 所以()1212a b +=，200b aa b>>,所以()(11111121233222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2b aa b=，即(2a =-，2b =-故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 5．C 【分析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由于不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立. 当0a =时，可得0x ->，解得0x <，不合乎题意； 当0a ≠时，则20140a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >. 因此，实数a 的取值范围为12a >. 故选：C ．本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题. 6．C 【分析】由题意结合复合函数的定义域可得10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩，即可得解.【详解】函数()f x 的定义域是[0,2]， 要使函数(2)()1f xg x x =-有意义，需使(2)f x 有意义且10x -≠ ， 所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩，解得01x ≤<.所以()g x 的定义域为[)0,1. 故选：C. 【点睛】本题考查了复合函数定义域的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．A 【分析】 函数()2221()2x x f x -+=可以看作是由1()2ty =，222t x x =-+复合而成，因为1()2ty =单调递减，由复合函数的单调性可知，只需求出222t x x =-+的减区间即可. 【详解】该函数定义域为R ，()2221()2x x f x -+=可以看作是由1()2ty =，222t x x =-+复合而成，1()2t y =在R 单调递减，2222(1)1t x x x =-+=-+的单调递减区间为(,1]-∞，∴由复合函数的单调性判定知，函数()f x 的单调递增区间为(,1]-∞.故选A. 【点睛】本题考查了复合函数的单调性问题。

复合函数由内函数和外函数构成，其单调性遵循“同增异减”法则：（1）内外两个函数都是增函数（或减函数），原函数就是增函数； （2）内外两个函数一增一减，原函数就是减函数. 8．B 【分析】分段函数在R 上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可． 【详解】因为函数224,1()42,1x a x f x x ax a x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上单调递增， 所以1a >； 对称轴21244a ax -=-=≤⨯，即4a ≤； 临界点处2442a a a +≤-+，即0a ≤或3a ≥； 综上所述：34a ≤≤ 故选B 【点睛】此题考查分段函数单调性问题，每段各自单调和临界点处左右单调是解题的关键点，属于较易题目． 9．ABD 【分析】先将集合A 表示出来，由A B B =可以推出B A ⊆，则根据集合A 中的元素讨论即可求出a 的值. 【详解】28150x x -+=的两个根为3和5，3,5A ，A B B =，B A ∴⊆，B ∴=∅或{}3B =或5B 或{}3,5B =，当B =∅时，满足0a =即可， 当{}3B =时，满足310a -=，13a ∴=， 当5B时，满足510a ，15a ∴=，当{}3,5B =时，显然不符合条件，∴a 的值可以是110,,35.故选：ABD. 【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，由A B B =推出B A ⊆是解题的关键.10．AC 【分析】由基本不等式可判断AC ；由基本不等式等号成立的条件可判断B ；利用0x <时，202x y x=+<可判断D. 【详解】对于A ，1a >，∴()22211211a a y a a a -+==-+≥=--，当且仅当111a a -=-，即2a =时等号成立，故A 正确；对于B ，2y =≥==无解，所以最小值不是2，故B 错误；对于C ，2212y x x =+≥=，当且仅当221x x =，即1x =±时等号成立，故C 正确；对于D ，当0x <时，202x y x=+<，故最小值不是2，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 11．AD 【分析】由不等式的性质和充分必要条件逐一判断，可得选项. 【详解】①由”22xt yt >可知20t >，所以x y >，故22xt yt x y >⇒>；② 当0t >时，x y >；当0t <时，x y <，故>xt yt ，不能推出x y >； ③ 由22x y >，得>x y ，但不能推出x y >，故22x y >不能推出x y >； ④ 110x y x y<<⇒>． 故选：AD ． 【点睛】本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，属于基础题. 12．AC 【分析】求得()f x 的解析式，画出()f x 的图象，由此判断()f x 的值域，并求得不等式(1)(2)f x f x +<的解.【详解】由函数()12xf x -=⊕，有()()112()212x xxf x ---⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，即2(0)()1(0)xx f x x -⎧<=⎨≥⎩，作出函数()f x 的图像如下，根据函数图像有()f x 的值域为[1,)+∞，所以A 选项正确，B 选项错误. 若不等式(1)(2)f x f x +<成立，由函数图像有 当210x x <+≤即1x ≤-时成立，当2010x x <⎧⎨+>⎩即10x -<<时也成立.所以不等式(1)(2)f x f x +<成立时，0x <.所以C 选项正确，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本小题主要考查分段函数图象与性质，属于中档题. 13．0 【分析】分段函数求值，只需要观察自变量的范围代入对应的解析式即可. 【详解】()1(1)12f -=--+=∴()()()2122220f f f -==-⨯=故答案为：0. 14．-1 【分析】利用幂函数的定义列出方程求出m 的值，将m 的值代入函数解析式检验函数的单调性． 【详解】∵y=（m 2﹣5m ﹣5）x 2m+1是幂函数 ∴m 2﹣5m ﹣5=1解得m=6或m=﹣1当m=6时，y=（m 2﹣5m ﹣5）x 2m+1=x 13不满足在（0，+∞）上为减函数 当m=﹣1时，y=（m 2﹣5m ﹣5）x 2m+1=x ﹣1满足在（0，+∞）上为减函数 故答案为m=﹣1 【点睛】本题考查幂函数的定义：形如y=x α（其中α为常数）、考查幂函数的单调性与幂指数的正负有关．15．3- 【分析】根据奇函数性质得()()(0),11f f f -=-，再代入对应解析式求a ，最后代入求得结果. 【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()11,(0)0f f f -=-=，因为当0x ≥时，()22f x x x a =+-，所以()000(1)33f a a f a =-=∴=∴=-=因此()()113f f -=-=- 故答案为：3- 【点睛】本题考查奇函数性质、求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 16．1-或3 【分析】先根据a 的正负性进行讨论，再根据题中所给的方法画出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】若0a ≥时，当0x ≤时，显然20ax -<，此时一定有20x b -+≥恒成立，即2x b ≤，不存在这样的实数b ；当0a <时，函数2y ax =-是减函数，在同一直角坐标系内，画出函数22,y ax y x b =-=-+的图象，如下图所示：由题意结合图象有：0b >，2y ax =-与横轴的交点坐标为：2(,0)a，2y x b =-+与横轴的交点坐标为：(，因此要对任意0x ≤，都有2(2)()0ax x b --+≤成立，只需：224a b a==，因为,a b ∈Z ， 所以有：12b a =⎧⎨=-⎩或41b a =⎧⎨=-⎩，因此a b +=1-或3.故答案为：1-或3 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了已知不等式恒成立求参数取值问题，考查了数形结合思想. 17．1a ≤- 【分析】命题,p q 都是真命题，则[]20,1,0x x a ∀∈-≥均成立，从而解出a 的范围；2,220x x ax a ∃∈+++=R ，即方程2220x ax a +++=有实数根，解得a 的范围，再取交集即可. 【详解】命题[]2:0,1,0,p x x a ∀∈-≥为真命题∴2a x ≤对[]0,1x ∈恒成立()2mina x ∴≤，即0a ≤命题2:,220q x x ax a ∃∈+++=R 为真命题∴方程2220x ax a +++=有实数根，即()224424480a a a a ∆=-+=--≥1a ∴≤-或2a ≥命题,p q 都是真命题∴1a ≤-故答案为：1a ≤-. 18．（1）()9|34U B A x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭；（2）1a ≤-或12a ≤<.【分析】（1）首先分别求出集合A 和UB ，再求交集即可.（2）首先根据题意得到集合{}2|2B x a x a =<<+，再根据p 是q 的充分条件得到2223a a <⎧⎨+≥⎩，解方程组即可. 【详解】（1）{|23}A x x =≤<，当12a =时，19|24B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以{1|2U B x x =≤或94x ⎫≥⎬⎭，所以()9|34U B A x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭（2）因为22a a +>，所以{}2|2B x a x a =<<+. 又因为p 是q 的充分条件，所以2223a a <⎧⎨+≥⎩， 解得1a ≤-或12a ≤<.19．（1）2()215f x x x =-++，（2）min2411,2()15,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩【解析】试题分析：（1）据二次函数的形式设出f （x ）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．（2）函数g （x ）的图象是开口朝上，且以x=m 为对称轴的抛物线，分当m ≤0时，当0＜m ＜2时，当m ≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．试题解析：（1）设二次函数一般式()2f x ax bx c =++（0a ≠），代入条件化简，根据恒等条件得22a =-，1a b +=，解得1a =-，2b =，再根据()215f =，求c .（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数m 的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法. 试题解析：（1）设二次函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则()()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=-+∴22a =-，1a b +=，∴1a =-，2b = 又()215f =，∴15c =. ∴()2215f x x x =-++（2）①∵()2215f x x x =-++∴()()()222215g x m x f x x mx =--=--.又()g x 在[]0,2x ∈上是单调函数，∴对称轴x m =在区间[]0,2的左侧或右侧，∴0m ≤或2m ≥②()2215g x x mx =--，[]0,2x ∈，对称轴x m =，当2m >时，()()min 24415411g x g m m ==--=--； 当0m <时，()()min 015g x g ==-；当02m ≤≤时，()()222min 21515g x g m m m m ==--=--综上所述，()min2411,215,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩20．（1）280500,(060,)490015802,(60,)x x x x N y x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨⎛⎫-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得利润最大为1300（万元） 【分析】（1）根据年利润的定义，销售收入减固定成本为500（万元）减每生产x 台，投入成本()c x （万元）求解。