程守洙《普通物理学》(第6版)(上册)(课后习题详解 气体动理论)【圣才出品】

5.2　课后习题详解
一、复习思考题
§5-1 热运动的描述理想气体模型和状态方程
5-1-1 试解释气体为什么容易压缩，却又不能无限地压缩．
答：（1）气体容易压缩：物质都是由大量分子组成的．分子之间总是存在一定的间隙，并存在相互作用力．气体分子之间的间隙是最大的，而在常温常压下除了碰撞以外分子间的相互作用可以忽略，这就使得气体非常容易被压缩．
（2）不能无限压缩不仅因为分子有一定的大小，而且当分子之间距离压缩到一定程度后，分子之间的相互作用就不可忽略了．
例如，分子之间的作用力与分子距离的关系如图5-1-1所示．
①当r ＝r 0（r 0≈10－10m ）或很大时，相互作用力等于零．
②当r>r 0时，作用力表现为吸引力，距离的增加时引力也增大，达到某个最大值后又随距离的增加而减小，当
r>10－9m 时这个吸引力就可忽略了．
③如果r<r 0，分子之间的作用力表现为排斥力并随分子之间距离迅速增加．气体的体积不能无限压缩的根本原因就在于此．
图5-1-1
5-1-2 气体在平衡状态时有何特征？这时气体中有分子热运动吗？热力学中的平衡与力学中的平衡有何不同？
答：（1）气体的平衡态是指一定容积内的气体，其温度、压强处处相等，且不随时间发生变化的状态．描述气体状态的三个宏观参量分别是体积、温度和压强．因此，气体在平衡状态的特征是宏观参量不随时间发生变化．
（2）气体分子的热运动是大量分子无休止的随机运动．
①从微观而言，这种随机运动是永不停息的，单个分子的运动速度大小和方向都会因彼此碰撞而随机改变．
②平衡态时，从宏观而言，大量分子的这种热运动平均效果是不随时间而变化的．因此平衡态是说分子处于“动态平衡”，仍存在分子热运动．
（3）①气体的平衡状态是指在无外界作用下气体系统内大量分子热运动的统计平均效果，此时分子系统整体没有运动，系统内分子却一直在无规则地运动；
②力学中的平衡状态是指分子系统整体上无合外力或合外力矩的作用，因而处于静止或匀速定向运动或转动，微观上的单个分子，它们总是不断互相发生碰撞，并相互作用，因而永远不会处于力学的平衡态．
§5-4 能量均分定理理想气体的内能
5-4-1 对一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大．就微观来看，它们是否有区别？
答：气体的压强是指气体分子作用在容器壁上单位面积的碰撞力．由压强公式知，单位体积内的分子数n和分子平均平动动能是气体压强的影响因素．
（1）对一定量理想气体，当温度一定时，分子热运动的平均平动动能保持不变，当减小气体体积时，单位体积内的分子数n就会增加，即单位时间内对容器壁的碰撞次数也增多，因而压强增大．
（2）若保持体积V不变，则单位体积内的分子数n也不变，升高温度后，气体分子
的平均平动动能会增大，而平均平动动能为，说明气体分子方均根速率增大，对容器壁的冲量亦增大，这会使气体压强的增大．
5-4-2 如果气体由几种类型的分子组成，试写出混合气体的压强公式．
答：（1）根据理想气体状态方程，对一质量为m1，摩尔质量为M1的理想气体，其压强为
（2）当向该容器（体积为V）内充以另一质量为m2，摩尔质量为M2同一温度T的理想气体时，该气体也对容器壁产生p2的压强：
（3）由于理想气体分子的大小可忽略不计，而且分子之间没有相互作用．因此，第二种气体是否加入都不影响第一种气体的压强，反之亦然．当两种气体同时装入同一容器后，容器内气体的压强就是
满足力的加和原理．推广到多种理想气体混合在一起的压强就是
式中
是混合气体单位体积的分子数．综上所述，混合理想气体的压强就是各类分子单独存在于同一容器时的压强和，即道尔顿分压定律．
5-4-3 对汽车轮胎打气，使达到所需要的压强．问在夏天与冬天，打入轮胎内的空气质量是否相同？为什么？
答：根据理想气体的压强公式，压强与温度T、单位体积分子数
有关．假设轮胎的容积V在夏天与冬天都相同，可承受的压强p也相同．因为冬天与夏天的气温不同，为了保证相同的轮胎压强，需要充入轮胎内的空气分子数就不同：（1）夏天气温高，空气分子的平均平动动能高，平均单个分子对轮胎的碰撞冲量增大，比较少的分子数就能保持足够的压强．因此，充入轮胎的空气分子数N就可少一些．
（2）冬天气温低，空气分子的平均平动动能小，对轮胎壁的碰撞冲量减小，充入更多的空气可增加碰撞次数，以保持足够的碰撞冲量．因此，充入轮胎内空气分子数N就要多些．
§5-5 麦克斯韦速率分布律
5-5-1 试用气体的分子热运动说明为什么大气中氢的含量极少？
答：在大气中包含有不同成分的气体，它们的质量各不相同，受到的地球引力大小亦
不同，造成各气体的方均根速率也不相同．
（1）如氢分子由于质量最小，受到的地球引力也最小，在相同温度下其方均根速率却最大，所以它从地球表面逃逸的可能性最大．因此氢在空气中的含量极低．
（2）空气中如氧、氮等其他成分的分子质量都比氢分子大，受到的地球引力也较大，而方均根速率又相对小，就不容易从地球逃逸出去．
5-5-2 回答下列问题：
（1）气体中一个分子的速率在v
～v ＋△v 间隔内的概率是多少？
（2）一个分子具有最概然速率的概率是多少？
（3）气体中所有分子在某一瞬时速率的平均值是
，则一个气体分子在较长时间内
的平均速率应如何考虑？
答：
（1）根据麦克斯韦分布律，速率在v ～v ＋△v 间隔内的分子数占分子总数的百分比为假设本题速率区间内的百分比为4％，说明100个分子中有4个分子的速率落在v ～v ＋△v 间隔内，亦即，对每一个分子的速率尽管随机可变的，但总有4％的可能处于v ～v ＋△v 区间内．
（2）①最概然速率v p 是指处于一定温度的平衡状态中的系统内大量分子最可能具有的速率，这是对大量分子的速率分布所作的统计规律的一个特征值．
②它只对大量分子的整体有意义．对单个分子，我们只用“处于v p ～v p ＋△v 间隔内的概率”来描述其速率，而探讨其一定速率的概率是没有意义的．
（3）①气体在一定温度下处于平衡状态，其速率服从麦克斯韦速率分布律，表明大量气体分子中速率有高有低，不同瞬间单个分子的速率通过分子间的碰撞都会发生变化．但根据统计规律，在任一瞬间大量分子的速率有一确定的平均值．
②对于单个分子，在此时可能处于较高的速率，碰撞后，在彼时又可能处于较低的速
率，而其他的分子处于相反的速率变化，保持统计规律不变．
③因此，长时间一个分子可以经历大大小小不同的速率，但其不同时刻的统计平均速率仍是．
5-5-3 气体分子的最概然速率、平均速率以及方均根速率各是怎样定义的？它们的大小由哪些因素决定？各有什么用处？
答：（1）最概然速率
①定义
最概然速率是指平衡态下气体分子速率分布函数f（v）最大值对应的速率，其物理含义是指在一定温度下分子速率在v p附近的概率最大．
经麦克斯韦分布函数求导并令f'（v）＝0，可求出最概然速率，它表示在所有相等的速率区间中，在包含v p的区间内分子数的百分比最高．
②影响因素
a．对一定的气体，温度越高，最概然速率v p越大；
b．在一定的温度下，分子质量大的气体最概然速率较小．
③应用
可以通过最概然速率的大小来比较不同情况下的速率分布．
（2）平均速率和均方根速率
①定义
平均速率是指在平衡态下，大量分子速率的算术平均值，它可由麦克斯韦速率分布律求出。