《文科高等数学》第三讲(1)

2. 交集: A ∩ B = { x | x ∈ A 且 x ∈ B} 3. 差集: A \ B = { x | x ∈ A 但 x ∉ B}
4. 余集: 研究某一问题时所考虑的对象的全体 称为全集，用 I 表示；把差集 I \ A 特别称为余 集或补集，记作Ac .
二、集合的运算
5. 运算规律:
一、集合的概念
1.集合(set): 具有确定性质的对象的太阳系的九大行星； 教室里的所有同学。
如果 a 是集合 M 中的元素，则记作 a ∈ M，
否则记作 a ∉ M .
一、集合的概念
2．分类： 由有限个元素组成的集合称为有限集 由无限个元素组成的集合称为无限集
康托尔创立集合论以前数学家的看法：认为无限就只有 一种，所有的无限集合都一样大，而它们都大于有限集 合。结果出现很多悖论（罗素悖论，伽利略悖论等）
四、集合的大小
定义集合大小的几个基本要求
首先，一个集合的大小只应该取决于这个集合本身。 一个集合虽可以用多种方法来构造和表示，但一个集合仅由它所含的 元素唯一决定，它的大小不取决于它被表示的方法，或者被构造的途 径，它只应该取决于它本身。
作为集合大小的定义，应该满足什么样的基本要求？ 当然要尽可能地使它符合一般的关于“大小”的常识和 直觉，比如“整体大于部分”。
有限集合间的大小关系是很清楚的，所谓的“大”，也 就是集合中的元素更多，有五个元素的集合要比有四 个元素的集合大。同时“整体大于部分”显然成立。
无限集合的大小应该如何定义呢？是否也如此呢？
《文科高等数学》第三讲(1)
——集合与函数—— 具体问题符号化、结构化、抽象化
第三周,2011年3月7日
微积分的基础和研究对象 ——集合、函数
数学的基础---集合论
集合论是数学的基础，但是 集合悖论的出现动摇了集合 理论。前面介绍的罗素悖论 就是其中最著名的一个。
第一节 集 合
一、集合的概念 二、集合的运算 三、区间和邻域 四、集合的大小 五、无穷集合
b
x
{ x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a, b]
oa
b
x
三、区间和邻域
{ x a ≤ x < b} 称为半闭半开区间, 记作 [a, b)
{ x a < x ≤ b} 称为半开半闭区间, 记作 (a, b]
有限区间
[a,+∞) = { x a ≤ x} (−∞, b) = { x x < b}
④对偶律: ( A ∪ B )c = B c ∩ Ac (A ∩ B)c = Bc ∪ Ac
三、区间和邻域
1.区间(interval): 是指介于某两个实数之间的
全体实数.这两个实数叫做区间的端点.
∀ a,b ∈ R,且a < b. { x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a, b)
oa
定义集合大小的几个基本要求
首先，一个集合得和自己一样大； 其次，如果集合A不小于（也就是说或者大于，或者一样大）集合B，
而集合B也不小于集合A，那么它们就必须是一样大的； 第三，如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A
就必须不小于集合C。 在数学上，我们称满足这三个条件的关系为“偏序关系”
无限区间
oa
x
ob
x
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
三、区间和邻域
2.邻域(neighborhood): 设a与δ是两个实数 , 且
δ > 0. 数集{x x − a < δ }称为点a 的δ 邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .
记作 U(a,δ ) = {x a−δ < x<a+δ }.
①交换律: A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A ; ②结合律: A ∩ (B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C
A∪(B ∪C) = (A∪ B)∪C ③分配律: A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
A∪(B ∩C) = (A∪ B)∩(A∪C)
3．表示方法：
①列举法 A = {a1 , a2 , , an } ②描述法 M = { x x所具有的特征 }
一、集合的概念
4. 子集：
若x ∈ A,则必 x ∈ B, 就说 A是B的子集 (A ⊂ B).
若A ⊂ B,且B ⊂ A,就称集合A与B相等 ( A = B).
例如： A = {1, 2}, C = { x x 2 − 3x + 2 = 0}, 则 A = C.
作为集合大小的定义，我们希望能够比较任意两个集合的大小。所以，对 于任何给定的两个集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一样
大，这三种情况必须有一种正确而且只能有一种正确。这样的偏序关系被 称为“全序关系”。
一一对应的原则及优点
如果有两盒火柴，我们想比较哪盒中的火柴数量更多？
我们大可不必去数出每盒中火柴的数量，那样很容易出 错。其实只要从不断地从两盒火柴中拿掉相同数量的火 柴，最后如果同时两盒都不剩下火柴，那么就说明数量一 样多，否则就是还剩有火柴的那盒比较多。
比如，A=｛小于等于2的正整数｝, B=｛1, 2｝, C=｛x^2-3x+2=0的根｝ 其实都是同一个集合。
若D=｛n | n为自然数，且方程x^n+y^n=z^n有xyz≠0的整数解｝又怎 么样呢？
1996年英国数学家怀尔斯证明了费尔马大定理，所以集合D和上面的 集合A、B、C是同一个集合，它里面有两个元素1和2。
不含任何元素的集合称为空集 (∅).
例如： {x x ∈ R , x 2 + 1 = 0} = ∅
规定 空集为任何集合的子集.
一、集合的概念
5. 数集分类: N —自然数集
Z —整数集
Q —有理数集
R —实数集
N*—正整数集
数集间的关系: N* ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
二、集合的运算
1. 并集: A ∪ B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B}
δ
δ
a−δ
a
a+δ x
0
点 a 的去心 δ 邻域 记作 U (a ,δ ).
0
U (a,δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
三、区间和邻域
把开区间 (a − δ , a) 称为a 的左δ邻域， 把开区间 (a , a + δ ) 称为a 的右δ邻域，
δ
δ
a−δ
a
a+δ x
四、集合的大小