2020年天津市蓟州区高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=15，b=10，A=60°，则sin B等于（）A. -B.C.D. -2.在△ABC中，内角ABC的对边分别为a，b，c．已知b=4，c=2，A=120°，则a等于（）A. 2B. 6C. 2或6D. 23.正方体的棱长为1，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（）A. 4πB. 3πC. 2πD. π4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A：sin B：sin C=3：2：4，则cos C等于（）A. B. 4 C. -4 D. -5.过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．若PA=PB=PC，则点O是△ABC的（）A. 垂心B. 外心C. 内心D. 重心6.若△ABC的周长等于20，面积是10，∠B=60°，则边AC的长是（）A. 5B. 6C. 7D. 87.若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A. 若l⊥α，l⊂β，则α⊥βB. 若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC. 若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥nD. 若l⊥n，m⊥n，则l∥m8.三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC是正三角形，AA1⊥平面ABC，AB=2，AA1=，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为（）A. 3B.C. 1D.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）9.已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的体积是______．10.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2-b2=ac，则角B的值是______．11.已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是______ ．12.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a cos A=b cos B，则该三角形的形状是______．13.正方体ABCD-A1B1C1D1中，则异面宜线AB与A1C1所成的角大小为______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）14.在△ABC中，cos A=-，cos B=．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）设BC=5，求△ABC的面积．15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA=DC=1，DD1=2．（1）求直线AC1与平面ABCD所成的角的余弦值；（2）求异面直线A1C1与B1C所成的角的余弦值．16.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin A=a cos B．（I）求cos B的值；（Ⅱ）若•=，且a+c=7，求b的值．17.如图：四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，F是PC中点．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；（2）求证：BF∥平面PAD．18.在中，已知内角，边，设内角，周长为.（Ⅰ）求函数的解析式和定义域；（Ⅱ）求的最大值.答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵a=15，b=10，A=60°，∴由正弦定理可得：sin B===．故选：C．由已知及正弦定理即可计算得解sin B的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bc cos A，=，=84，故a=2．故选：A．由已知结合余弦定理即可直接求解．本题主要考查了余弦定理的简单应用，属于基础试题．3.【答案】B【解析】解：棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，∴该球面的直径是正方体对角线的长，∴半径R==，∴该球面的表面积为S=4πR2=4π•=3π．故选：B．根据正方体的对角线是其外接球的直径求出球的半径，再计算球面的表面积．本题考查了正方体的外接球表面积计算问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：若sin A：sin B：sin C=3：2：4，由正弦定理可得，a：b：c=3：2：4，可设a=3x，b=2x，c=4x，由余弦定理可得，cos C===-．故选：D．由已知结合正弦定理可得a，b，c的关系，然后结合余弦定理可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的简单应用，属于基础试题．5.【答案】B【解析】解：∵过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．PA=PB=PC，∴OA=OB=OC，∴点O是△ABC的外心．故选：B．由已知条件利用射影定理得OA=OB=OC，所以点O是△ABC的外心．本题考查三角形的外心的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意射影定理的合理运用．6.【答案】C【解析】解：∵△ABC的周长等于20，面积是10，∠B=60°，∴a+b+c=20，=10，b2=a2+c2-2ac cos60°，∴a+c=20-b，ac=40，∴b2=（a+c）2-3ac=（20-b）2-120，化为40b=280，解得b=7．故选：C．由△ABC的周长等于20，面积是10，∠B=60°，可得a+b+c=20，=10，b2=a2+c2-2ac cos60°，化简解出即可．本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：对于A，由平面与平面垂直的判定定理，即可得出“若l⊥α，l⊂β，则α⊥β”正确；对于B，由平面与平面垂直的性质定理，得出“若α⊥β，l⊂α，则l⊥β”错误；对于C，由平面平行的性质定理，得出“若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n”错误；对于D，由空间中的直线与直线的平行与垂直关系，得出“若l⊥n，m⊥n，则l∥m”错误．故选：A．根据空间中的直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断正误即可．本题考查了空间中的直线与平面位置关系的判断问题，也考查了推理与证明能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：∵三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC是正三角形，AA1⊥平面ABC，AB=2，AA1=，D为BC中点，∴AD⊥B1C1，AD⊥BB1，∵B1C1∩BB1=B1，∴AD⊥平面DB1C1，∴三棱锥A-B1DC1的体积为：===1．故选：C．推导出AD⊥B1C1，AD⊥BB1，从而AD⊥平面DB1C1，由此能求出三棱锥A-B1DC1的体积．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，属于中档题．9.【答案】π【解析】【分析】本题考查了圆锥的体积计算问题，属于基础题．根据勾股定理求出圆锥的高，再利用公式计算圆锥的体积．【解答】解：底面半径为r=1，母线长为l=2，所以圆锥的高为=，所以圆锥的体积为V=πr2h=×=π．故答案为：π．10.【答案】【解析】解：在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2-b2=ac，由余弦定理可知cos B==，因为B是三角形内角，所以B=．故答案为：．直接利用余弦定理求出B的余弦值，推出B的值即可．本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查．11.【答案】b⊂α或b∥α【解析】解：当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b当b∥α时，a⊥α，则a⊥b故当a⊥b，a⊥α⇒b⊂α或b∥α故答案为：b⊂α或b∥α根据线面的位置关系进行分类讨论，分别利用线面垂直的性质进行说明即可．本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及空间想象能力，推理能力，属于基础题．12.【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】【分析】本题考查正弦定理在三角形中的应用，考查三角形的形状的判断，属于基础题．利用正弦定理化简a cos A=b cos B，可得，求出A与B的关系，得到三角形的形状．【解答】解：若a cos A=b cos B，由正弦定理可得sin A cosA=sin B cosB，即所以2A=2B或2A=π-2B，所以A=B或A+B=．所以三角形是等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形．13.【答案】45°【解析】解：如图，连接A1C1，∵A1B1∥AB，∴∠B1A1C1为异面直线AB与A1C1所成的角，且∠B1A1C1=45°，∴异面宜线AB与A1C1所成的角大小为45°，故答案为：45°．可连接A1C1，从而可看出∠B1A1C1为异面直线AB与A1C1所成的角，并且该角显然为45°．本题考查了异面直线所成角的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，A+B+C=π，由，，得sin A=，由，，得．所以sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=；（Ⅱ）由正弦定理，解得：，所以△ABC的面积：．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换求得结果．（Ⅱ）利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，三角形内角和定理，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．15.【答案】解：（1）连接AC，∵C1C⊥底面ABCD，∴∠C1AC是直线AC1与平面ABCD所成的角．AC=，AC1==．∴cos∠C1AC===．（2）连接AB1，A1C1∥AC．∴∠ACB1是异面直线A1C1与B1C所成的角，∵AC=，AB1=B1C=．∴cos∠ACB1==．【解析】（1）连接AC，由C1C⊥底面ABCD，可得∠C1AC是直线AC1与平面ABCD所成的角．利用直角三角形的边角关系即可得出．（2）连接AB1，A1C1∥AC．可得∠ACB1是异面直线A1C1与B1C所成的角，利用余弦定理即可得出．本题考查了长方体的性质、直角三角形的边角关系、异面直线所成的角、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】解：（Ⅰ）△ABC中，b sin A=a cos B，由正弦定理可得：sin B sin A=sin A cos B，又A为三角形内角，所以sin A＞0，所以sin B=cos B，且cos B＞0；又sin2B+cos2B=1，1-cos2B=15cos2B，可得：cos B=；（Ⅱ）由cos B=，所以•=ca cos B=ac=，解得ac=10；由余弦定理可得：b2=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-ac=（a+c）2-ac=72-×10=24，解得b=2．【解析】（Ⅰ）用正弦定理和同角三角函数基本关系式，即可求cos B的值．（Ⅱ）利用平面向量的数量积和余弦定理，即可求出b的值．本题主要考查了正弦、余弦定理，同角三角函数基本关系式，平面向量的数量积应用问题，是中档题．17.【答案】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为CD⊥AD，PA∩AD=A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，因为CD⊂平面PCD，所以平面PDC⊥平面PAD．（2）取PD的中点为E，连接EF，AE，因为F为PC的中点，所以EF为△PCD的中位线，所以EF∥CD，CD=2EF，又因为CD=2AB，AB∥CD，所以EF=AB，并且EF∥AB，所以四边形ABEF为平行四边形，所以BF∥AE，因为AE⊂平面PAD，BF⊄平面PAD所以BF∥平面PAD．【解析】（1）由题意可得：PA⊥CD，结合CD⊥AD与线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理得到面面垂直．（2）取PD的中点为E，连接EF，AE，即可得到EF∥CD，CD=2EF，由题中条件可得EF=AB，并且EF∥AB，进而得到四边形ABEF为平行四边形，得到BF∥AE，再利用线面平行的判定定理得到线面平行．本题主要考查线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，以及考查线面平行的判定定理，解决此类问题的关键是熟练掌握有关的定理与几何体的结构特征，此题属于基础题，考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力．18.【答案】解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，由得，．应用正弦定理得：，，因为y=AB+BC+AC，所以.（2）∵=，所以当，即时，y取得最大值．【解析】（1）由内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解．函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，即要求三角函数的最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为-|A|．。
天津市蓟县高一数学下学期期中试题(扫描版)
天津市蓟县2015-2016学年高一数学下学期期中试题（扫描版）2016年高一年级第二学期期中考试题（数学）一.选择题：二.填空题： 11.2 12. }01|{<<-x x 13.︒120 14.109 15. 3- 三.解答题:16. 解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1).n a a n d =+- ……………………..2分 由121,312 3.a a d ==-+=-可得解得d=-2 ……………………………………………………………..4分从而，1(1)(2)32.n a n n =+-⨯-=-……………………………………………….6分 （II ）由（I ）可知32n a n =-， 所以2[1(32)]2.2n n n S n n +-==-…………………………………………………8分 进而由35-=k S 可得3522-=-k k即22350k k --=，解得7 5.k k ==-或又*,7k N k ∈=故为所求。
………………………………………………………………12分17. 解：设公比为q ， 由已知得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45105131211q a q a q a a …………………………………………..4分 解得②÷①得 21,813==q q 即 ，…………………………………………………..6分 将21=q 代入①得 81=a ， 1)21(83314=⨯==∴q a a ，………………………………………………….8分②231211)21(181)1(5515=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=--=q q a s …………………………………….12分 18. 解：（Ⅰ）21sin sin cos cos =-C B C B 21)cos(=+∴C B ...................................................2分 又π<+<C B 0 ，3π=+∴C B π=++C B A ，32π=∴A ． .........................................................4分 （Ⅱ）由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=得32cos22)()32(22π⋅--+=bc bc c b ....................................................6分即：)21(221612-⋅--=bc bc ，......................................................................................8分4=∴bc ......................................................... ..........................................................10分323421sin 21=⋅⋅=⋅=∴∆A bc S ABC .......... ..........................................................12分19. 解: （Ⅰ）当5=a 时，65)(2++=x x x f .由0)(<x f ,得652++x x ＜0. .......... ...................................................................2分即 （0)3)(2<++x x .所以 32x -<<-. ………………6分（Ⅱ）若不等式0)(>x f 的解集为R ，则有=∆0642<⨯-a . ..................8分 解得6262<<-a ，即实数a 的取值范围是)62,62(-. .. (12)20. 解：（Ⅰ）在△ABD 中，由已知得 ∠ADB =60，B =45．由正弦定理得sin 24sin AB B AD ADB ===．…………………………………………….…6分（Ⅱ）在△ADC 中，由余弦定理得2222c o s 30C D A D A C A D A C =+-⋅︒，解得CD=所以A 处与D 处之间的距离为24 n mile ，灯塔C 与D处之间的距离为 ………………12分21. 解：（I ）画出可行域如图：………………………………………………………4分令y x z +=，可变为z x y +-=，作出目标函数线x y -=，平移目标函数线，显然过点A 时z 最大．由⎩⎨⎧=+-=--01032y x y x 得)5,4(A ，∴954max =+=z .……………………………..8分 （II ）22y x +是点),(y x 到原点的距离的平方，故最大值为点)5,4(A 到原点的距离的平方，即=2||AO 41542222=+=+y x .………………………………………………10分22. 解： (I)由已知得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=，sin sin()sin sin B A C A C +=，2sin sin sin B A C =，再由正弦定理可得：2b ac =，所以,,a b c 成等比数列. …………………………………5分(II)若1,2a c ==，则22b ac ==， ∴2223cos 24a cb B ac +-==，sin C == ∴△ABC的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯= ……………………………10分23. 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，…………………………………………………………………….2分 解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-， 112n n n b q --==．………………………………………………………………………..…6分 （Ⅱ）1212n n n a n b --=． 122135232112222n n n n n S ----=+++++，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，②…………………………………………..…8分 ②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-， 221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭ 1111212221212n n n ----=+⨯-- 12362n n -+=-． ……………………………………………………..10分。
天津市2020年高一下学期数学期中考试试卷C卷
天津市2020年高一下学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高二下·凤城月考) 若集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知 D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一上·成都期末) 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为（）A . 3B . 6C . 9D . 124. （2分） (2016高一下·延川期中) 已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则cosα的值为（）A . ﹣B . ﹣C .D .5. （2分）(2018·辽宁模拟) 已知向量，若，则A .B .C .D . 66. （2分）已知，则（）A .B .C .D .7. （2分）函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是（）A .B .C .D .8. （2分）在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（）A . 30°B . 30°或150°C . 60°D . 60°或120°9. （2分） (2017高一上·孝感期末) 若，则 =（）A . -B .C .D .10. （2分）能够把圆O：x2+y2=4的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为圆O的“亲和函数”，下列函数不是圆O的“亲和函数”的是（）A . f（x）=x3+sinxB . f（x）=C . f（x）=D . f（x）=tan3x二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2018高二下·鸡泽期末) 若a=log43，则2a+2-a= ________12. （1分）已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为________13. （1分） (2019高一下·余姚月考) 在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝________；当BC＝1时，则△ABC的面积等于________．14. （1分）若，则的取值范围是________．15. （1分） (2019高一下·大庆月考) 在△ 中，角的对边分别为．，，，则 ________．16. （1分）(2020·海安模拟) 设函数f（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是________．17. （1分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ=________三、解答题 (共5题；共65分)18. （10分） (2018高三上·定远期中) 已知为的三个内角，其所对的边分别为 ,且 .（1）求角的值；（2）若，求的面积．19. （15分）已知，，（1）若，求；（2）若∥ ，求．20. （15分）(2020·海南模拟) 在平面四边形中，已知，，.（1）若，，，求的长；（2）若，求证： .21. （15分）已知a∈R，函数f（x）=（﹣x2+ax）•ex ．（1） a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．22. （10分） (2019高三上·上海月考) 数列满足：对一切，有，其中是与无关的常数，称数列上有界（有上界），并称是它的一个上界，对一切，有，其中是与无关的常数，称数列下有界（有下界），并称是它的一个下界.一个数列既有上界又有下界，则称为有界数列，常值数列是一个特殊的有界数列.设，数列满足，， .（1）若数列为常数列，试求实数、满足的等式关系，并求出实数的取值范围；（2）下面四个选项，对一切实数，恒正确的是.（写出所有正确选项，不需要证明其正确，但需要简单说明一下为什么不选余下几个）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，（3）若，，且数列是有界数列，求的值及的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共65分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
天津市2020〖人教版〗高一数学期中试卷考试
天津市2020年〖人教版〗高一数学期中试卷考试第一部分 基础检测一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 330︒等于（ ）A ．B ．12-C ．12D 2．α是第四象限角，125tan -=α，则=αsin （ ） A ．51 B ．51- C ．135D ．135-3．︒︒-︒︒147cos 27sin 57cos 27cos 等于（ ）AB ．C ．12D ．12-4．把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到的图象所表示的函数是（ ）A ．R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=,621sin πB ．R x x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,1221sin πC ．R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=,32sin πD ．R x x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,62sin π5．2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数6．已知21tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 21-+的值是（ ） A ．31 B ． 3 C ．31- D ．3-7．函数143sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx y 的图象的一个对称中心坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛0,12π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,4π D ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,12π 8．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 9．函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 24cos π的单调递增区间是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-85,8ππππk k )(Z k ∈ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++83,8ππππk k )(Z k ∈ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,8ππππk k )(Z k ∈ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k )(Z k ∈ 10．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ）A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．已知关于x 的方程01732=+-x x 的两实数根为βαtan ,tan ，则=+)tan(βα_______. 12．已知βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43，sin( )βα+=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=________.13．已知函数b x A x f +=)sin()(ω(A >0,ω>0)的最大值为2，最小值为0，其图象相邻两对称轴间的距离为2，则f (1)+f (2)+… +f ( )=_________.三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．（12分）已知)2,1(=a ，)2,3(-=b （1）求b a 42-；（2）若b a k 2+与b a 42-平行，求实数k 的值；（3）若b a k 2+与b a 42-的夹角为钝角，求实数k 的取值范围. 15．（13分）已知函数2cos 22cos 2sin 6)(2x x x x f +=（1）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ωϕϕϕπ++>>∈的形式； （2）求()f x 的单调递减．区间，并指出函数)(x f 的最小正周期；（3）求函数()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,4ππ上的最大值和最小值. 第二部分 能力检测四、选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．16．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，下列命题中正确的个数．．．．．是（ ） ①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 17．设Z k ∈，化简[][])cos()1(sin )1(cos )sin(απαπαπαπ+++---k k k k 的结果是（ ）A ．-1B ．当k 为偶数时，值为-1；当k 为奇数时，值为1C ．1D ．当k 为奇数时，值为-1；当k 为偶数时，值为1五、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（12分）四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD （1）求证AB ⊥面V AD ；（2）求二面角A-VD-B 的正切值．19．（13分）已知圆C 过点)0,8(A 和)32,6(-B ，且圆心C 在直线82-=x y 上，圆M 的方程为1)sin 7()cos 74(22=-+--θθy x .（1）求圆C 的方程；（2）判断圆C 与圆M 的公共点的个数.（3）过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点为E 、F ，求CF CE ⋅的最大值和最小值.20．（13分）已知关于x 的函数a x ax x f --+=322)(2，)1()(-=x b x g ，其中b a ,为实数. （1）当1=a 时，若对任意的[]10,2∈x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求b 的取值范围； （2）当0>a 时，若函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围.参考答案第一部分 基础检测一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、sin 330︒等于（ ）BA ．B ．12-C ．12D 2、α是第四象限角，125tan -=α，则=αsin （ ）D A ．51 B ．51- C ．135D ．135-3、︒︒-︒︒147cos 27sin 57cos 27cos 等于（ ）AA B ． C ．12D ．12-4、把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到的图象所表示的函数是（ ）CA ．R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=,621sin π B ．R x x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,1221sin πC ．R x x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,32sin πD ．R x x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,62sin π5、2(sin cos )1y x x =--是（ ）D A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数6、已知21tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 21-+的值是（ ）C A ．31 B ．3 C ．31- D ．3-7、函数143sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx y 的图象的一个对称中心坐标是( )DA ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,12πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,4πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,12π8、已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（ ）DA ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 9、函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 24cos π的单调递增区间是（ ）D A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-85,8ππππk k )(Z k ∈B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++83,8ππππk k )(Z k ∈ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,8ππππk k )(Z k ∈D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k )(Z k ∈10、函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ）CA 、4,2πϕπω==B 、6,3πϕπω==C 、4,4πϕπω==D 、45,4πϕπω==二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11、已知关于x 的方程01732=+-x x 的两实数根为βαtan ,tan ，则=+)tan(βα_______.2712、已知βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43，sin( )βα+=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+4πα=________.6556-13、已知函数b x A x f +=)sin()(ω(A >0,ω>0)的最大值为2，最小值为0，其图象相邻两对称轴间的距离为2，则f (1)+f (2)+… +f ( )=_________.三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14、（12分）已知)2,1(=a ，)2,3(-=b （1）求b a 42-；（2）若b a k 2+与b a 42-平行，求实数k 的值；（3）若b a k 2+与b a 42-的夹角为钝角，求实数k 的取值范围. 解：（1）143=+-=⋅b a ，5=a ，13=b ……2分53242=-∴b a ……4分另解：)4,14(42-=-b a ……2分5322124144222==+=-b a ……4分（2）)42,6(2+-=+k k b a k ，)4,14(42-=-b a ……5分b a k 2+与b a 42-平行，∴014)42()4)(6(=+---k k ……7分解得1-=k ……8分（3）由题意得0)42)(2(<-+b a b a k 且b a k 2+与b a 42-不反向 由0)42)(2(<-+b a b a k 得0)44(8222<⋅-+-b a k b a k ……10分 得350<k ……11分由b a k 2+与b a 42-反向得1-=k∴b a k 2+与b a 42-的夹角为钝角时，)350,1()1,(---∞∈ k ……12分 15、（13分）已知函数2cos 22cos 2sin 6)(2x x x x f +=（1）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ωϕϕϕπ++>>∈的形式； （2）求()f x 的单调递减．区间，并指出函数)(x f 的最小正周期； （3）求函数()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,4ππ上的最大值和最小值. 解：（1）)2cos 1(2sin 26)(xx x f ++=……2分22)cos 21sin 23(2++=x x 数学驿站 22)6sin(2++=πx ……4分 （2） 令232622πππππ+≤+≤+k x k ， ……6分解得34232ππππ+≤≤+k x k ， )(x f ∴单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++342,32ππππk k ，Z k ∈. ……7分 )(x f 的最小正周期为π2，)(x f ∴的最小正周期为π2 (注意，因为上移了，所以)(x f 周期没有改变) ……8分 （3）由674ππ≤≤x 得346125πππ≤+≤x ……9分 16sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx ……11分 故当x =67π时，f (x )有最小值262-；当x =3π时，f (x )有最大值223.……13分 第二部分 能力检测四、选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．16、已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，下列命题中正确的个数．．．．．是（ ）B ①//,m n m n αα⊥⇒⊥②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 17、设Z k ∈，化简[][])cos()1(sin )1(cos )sin(απαπαπαπ+++---k k k k 的结果是（ ）A A ．-1 B ．当k 为偶数时，值为-1；当k 为奇数时，值为1 C ．1 D ．当k 为奇数时，值为-1；当k 为偶数时，值为1五、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、（12分）四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD （1）求证AB ⊥面VAD ；（2）求二面角A -VD -B 的正切值．解：（1）证法一：由于面VAD 是正三角形，设AD 的中点为E ，则VE ⊥AD ，……1分而面VAD ⊥底面ABCD ，则VE ⊥底面ABCD ，从而VE ⊥AB ……2分 又面ABCD 是正方形，则AB ⊥AD ，且E AD VE = ……3分 故AB ⊥面VAD ……4分证法二：面ABCD 是正方形，则AB ⊥AD ……1分平面VAD ⊥底面ABCD 且交线为AD ， ……2分 ⊥∴AB 面VAD ……4分（2）由AB ⊥面VAD ，则点B 在平面VAD 内的射影是A ，设VD 的中点为F ，连AF ，BF ， …… 5分由△VAD 是正三角形，则AF ⊥VD ，……6分 由三垂线定理知BF ⊥VD ，……7分故∠AFB 是二面角A -VD -B 的的平面角……8分设正方形ABCD 的边长为a ，则在Rt △ABF 中，AB=a ,AF=23a ，……9分tan ∠AFB =33223==a a AFAB……11分 故二面角A -VD -B 的正切值为332……12分19、（13分）已知圆C 过点)0,8(A 和)32,6(-B ，且圆心C 在直线82-=x y 上，圆M 的方程为1)sin 7()cos 74(22=-+--θθy x . （1）求圆C 的方程；（2）判断圆C 与圆M 的公共点的个数.（3）过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点为E 、F ，求CF CE ⋅的最大值和最小值.解：（1）设线段AB 的垂直平分线上的任一点为),(y x T ， 由TB TA =得，2222)32()6()8(++-=+-y x y x 化简得AB 的垂直平分线方程为043=-+y x ……2分圆心在直线82-=x y 和AB 垂直平分线上，由⎩⎨⎧=-+-=04382y x x y 解得圆心)0,4(C ……3分半径4==AC r ，所以圆C 的方程为16)4(22=+-y x ……4分 （2）)0,4(C ，)sin 7,cos 74(θθ+M ，1,421==r r7)sin 7()cos 7(22=+=θθMC ，521=+r r ……6分>MC 21r r +，所以两圆外离，两圆没有公共点.……7分（3）设,2a ECF =∠则16cos 322cos 162cos ||||2-==⋅=⋅αααCF CE CF CE ……8分在中PCE Rt ∆，PCPC r 4cos 1==α 由圆的几何性质得,1||||1||+≤≤-MC PC MC ,8||6≤≤∴PC ……10分32cos 21≤≤∴α，……11分 由此可得9168-≤⋅≤-CF CECF CE ⋅的最大值为－,916最小值为－8……13分20、（13分）已知关于x 的函数a x ax x f --+=322)(2，)1()(-=x b x g ，其中b a ,为实数. （1）当1=a 时，若对任意的[]10,2∈x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求b 的取值范围； （2）当0>a 时，若函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围.解：（1）当1=a 时，422)(2-+=x x x f ，由)()(x g x f ≥得)1(4222-≥-+x b x x14222--+≤∴x x x b []10,2∈∀x 恒成立. ……2分令)2(21)1)(2(21422)(2+=--+=--+=∴x x x x x x x x t ，[]10,2∈x . ……3分 8)2()(min ==∴t x t ，8≤∴b ……4分（2）①当()f x 在 [-1,1]上有一个零点时，此时48(3)01112a a a ∆=++=⎧⎪⎨-≤-≤⎪⎩（*）或(1)(1)0f f -⋅≤（**） ………6分 由（*）4,0>∆∴>a 与只有一个零点矛盾；由（**）解得15a ≤≤………8分②当()f x 在[-1,1]上有两个零点时，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-<-<->++=∆0)1(0)1(02110)3(84f f aa a ………10分 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥>+->--<1521273273a a a a a 或即5≥a ………12分综上，实数a 的取值范围为1≥a . ………13分(别解:222230(21)32ax x a x a x +--=⇔-=-,题意转化为知[1,1]x ∈-求23221xa x -=-的值域,令32[1,5]t x =-∈得276a t t=+-转化为勾函数问题.)。
2020年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案(共七套)
2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（共七套）2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（一）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．94．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=85．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.507．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p=．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.314．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．16．（10分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？17．（10分）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．22．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．23．（12分）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ【考点】B3：分层抽样方法；B2：简单随机抽样．【分析】由题意知①的总体中个体明显分层两，用分层抽样，②的总体中个体的数目不大用简单分层抽样．【解答】解：①、总体中个体明显分层两层：来自城镇的学生和来自农村的学生，故用分层抽样来抽取样本；②，总体中个体的数目是100，不是很大，故用简单分层抽样来抽取样本．故选B．【点评】本题的考点是选择抽样方法，即根据总体的特征和抽样方法适用的条件进行选择最佳方法．3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．9【考点】BK：线性回归方程．【分析】由表中数据计算、，根据线性回归方程过样本中心点求出，写出线性回归方程，利用回归方程计算x=11时的值．【解答】解：由表中数据，计算=×（4+6+8+10）=7，=×（3+5+6+8）=5.5，且线性回归方程=x+过样本中心点（，），∴=5.5﹣×7=﹣0.1=﹣，∴线性回归方程为=x﹣；当x=11时，=×11﹣=8.7，即某儿童的记忆能力为11时，他的识图能力约为8.7．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．4．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=8【考点】EA：伪代码．【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据S=1×10×8×6=480得到程序中UNTIL后面的条件．【解答】解：因为输出的结果是480，即S=1×10×8×6，需执行3次，所以程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜8．故选：C．【点评】本题主要考查了直到型循环语句问题，语句的识别是一个逆向性思维过程，是基础题．5．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值，再根据α的范围求得sinα的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵=﹣cosα，∴cosα=．又，∴sinα=﹣=﹣，∴sin（2π﹣α）=﹣sinα=，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.50【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析所给的数据可得表示三天下雨的数据组数，根据概率公式，计算可得结果．【解答】解：根据题意，用随机模拟试验模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析可得：20组数据中表示三天中恰有两天下雨的有191、271、932、812、393、027、730，共7组，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为=0.35；故选：B．【点评】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．7．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图得，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90；设污损的数字为x，则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为，所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣﹣=．故选：D．【点评】本题考查了平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式的应用问题，是基础题目．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义有sinα=，cosα=，从而可知选项．【解答】解：由于sinα=，cosα=﹣，根据三角函数的定义：sinα=，cosα=，可知x=﹣4，y=3，故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数的定义．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．【考点】CF：几何概型．【分析】分别求出集合A，B对应区域的面积，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：区域Ω1对应的面积S1=4π，作出平面区域Ω2，则Ω2对应的平面区域如图，则对应的面积S=2π+4，则根据几何概型的概率公式可知若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为P==．故选；D【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．【分析】由题意可得sin（+φ）=﹣1，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，从而可求y=f（﹣x）=﹣Asinx，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由x=时函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，∴﹣A=Asin（+φ），可得：sin（+φ）=﹣1，∴+φ=2kπ﹣，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，∴f（x）=Asin（x﹣），∴y=f（﹣x）=Asin（﹣x﹣）=﹣Asinx，∴函数是奇函数，排除B，D，∵由x=时，可得sin取得最大值1，故C错误，图象关于直线x=对称，A正确；故选：A．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合能力，属于基础题．二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】由已知中，扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是2弧度，我们可设计算出弧长与半径的关系，进而求出弧长和半径，代入扇形面积公式，即可得到答案【解答】解：∵扇形圆心角2弧度，可得扇形周长和面积为整个圆的．弧长l=2πr•=2r，故扇形周长C=l+2r=4r=6，∴r=，扇形面积S=π•r2•=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是扇形面积公式，弧长公式，其中根据已知条件，求出扇形的弧长及半径，是解答本题的关键，属于基础题．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为c＞b＞a．【考点】GA：三角函数线．【分析】分别作出三角函数线，比较可得．【解答】解：∵a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，作出三角函数线结合图象可得c＞b＞a，故答案为：c＞b＞a．【点评】本题考查三角函数线，数形结合是解决问题的关键，属基础题．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p= 65．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.3【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率=，得第一组人数为200，由频率分布直方图得第一组的频率为0.2，从而n=1000，进而a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，求出P==0.65，由此能求出a•P．【解答】解：由频率=，得第一组人数为：=200，由频率分布直方图得第一组的频率为：0.04×5=0.2，n==1000，∴a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，∴P==0.65，∴a•P=100×0.65=65．故答案为：65．【点评】本题考查频率率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率=及频率分布直方图的合理运用．14．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为4033．【考点】3O：函数的图象；3T：函数的值．【分析】根据题意，求出f（2﹣x）的解析式，分析可得f（x）+f（2﹣x）=2，将f（）+f（）+f（）+…+f（）变形可得[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…[f（）+f（）]+f （1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x+sinπx，f（2﹣x）=（2﹣x）+sin[π（2﹣x）]=（2﹣x）﹣sinx，则有f（x）+f（2﹣x）=2，f（）+f（）+f（）+…+f（）=[f（）+f（）]+[f （）+f（）]+…[f（）+f（）]+f（1）=4033；故答案为：4033．【点评】本题考查了利用函数的对称性求函数值的应用问题，关键是依据函数的解析式确定函数的对称中心．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）（2017春•台江区校级期中）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），利用古典概率计算公式即可得出．（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，利用古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P=．（4分）（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．…（6分）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．…（8分）因此，A1被选中且B1未被选中的概率为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（10分）（2017春•黄山期末）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由直方图的性质能求出直方图中x的值．（Ⅱ）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数．（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有25户，月平均用电量为[240，260）的用户有15户，月平均用电量为[260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取的户数．【解答】（本小题10分）解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．…（3分）（Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．…（4分）因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．…（6分）（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，…（8分）抽取比例==，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．…（10分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17．（10分）（2017春•台江区校级期中）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用；GI：三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）利用“切化弦”及其平方关系可得sinx•cosx的值；（Ⅱ）根据诱导公式化简，利用“弦化切”可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵tanx=﹣3，即=﹣3，且﹣＜x＜﹣π，sin2x+cos2x=1，∴cosx=﹣，sinx=．那么：sinx•cosx=．（Ⅱ）原式====﹣3．【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，利用列举法求出满足恰有一男一女抽到同一题目的事件个数，由此能求出其中恰有一男一女抽到同一道题的概率．【解答】解：现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个男教师抽取的题目，第3个表示女教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种，故其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：因为y=是偶函数，排除A，当x=1时，y=＞1，排除C，当x=时，y=＞1，排除B、C，故选D．【点评】本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的寄偶性及特殊点来判断．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是[，] ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2cos （2x﹣）；再利用条件以及余弦函数的单调性，求得a的范围．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）=2cos（2x﹣）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，∴a＞0．由2kπ﹣π≤0﹣≤2kπ，且2kπ﹣π≤2•﹣≤2kπ，k∈Z，求得k=0，﹣π≤a≤①．由2nπ﹣π≤4a﹣≤2nπ，且2nπ﹣π≤2•﹣≤2nπ，求得n=1，≤a≤②，由①②可得，≤a≤，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）（2017春•黄山期末）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a＞0，且≤1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36 种，从而求得所求事件的概率．（Ⅱ）由条件可得，实验的所有结果构成的区域的面积等于S△OMN=×8×8=32，满足条件的区域的面积为S△POM=×8×=，故所求的事件的概率为P=，运算求得结果．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a ＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个，所以，所求概率．…（6分）（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以，所求概率．【点评】本题考查了等可能事件的概率与二次函数的单调区间以及简单的线性规划问题相结合的问题，画出实验的所有结果构成的区域，Ⅰ是古典概型的概率求法，Ⅱ是几何概型的概率求法．22．（12分）（2017春•台江区校级期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H5：正弦函数的单调性．【分析】（1）根据函数f（x）的部分图象，求出A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；（2）根据函数图象平移法则，写出f（x）左移m个单位后的函数解析式，根据函数y是偶函数，求出m的最小正数；（3）根据f（x）在[0，]上是单调递增函数，得出﹣≤φ≤ω+φ≤，求出ω≤﹣，再根据φ的取值范围求出ω的最大值．【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，\A=3，=﹣=，∴T=π，ω==2；根据五点法画图知，2×+φ=，解得φ=﹣，∴f（x）=3sin（2x﹣）；（2）f（x）=3sin（2x﹣），函数f（x）的图象向左平移m个单位后，所对应的函数是y=3sin[2（x+m）﹣]=3sin（2x+2m﹣）的图象，又函数y是偶函数，∴2m﹣=+kπ，k∈Z，解得m=+，k∈Z，∴m的最小正数是；（3）f（x）=Asin（ωx+φ）在[0，]上是单调递增函数，A＞0，ω＞0，∴﹣≤φ≤ω+φ≤，解得ω≤﹣；又﹣π＜φ＜0，∴﹣≤φ＜0，∴0＜﹣≤，∴ω≤+=3，即ω的最大值为3．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是综合题．23．（12分）（2017春•台江区校级期中）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3O：函数的图象．【分析】（I）根据正弦函数的性质可知正格点交点坐标为（10，1），从而求出m的值，根据图象判断交点个数．（II）令y=log a x的最小值大于f（x）的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）若y=sinmx与函数y=lgx的图象有正格点交点，则此交点必为（10，1），∴sin10m=1，即10m=+2kπ，m=+，k∈Z．∵m∈（3，4），∴．作出y=sinmx与y=lgx的函数图象，如图所示：根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为10个．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x∈（0，]，i）当a＞1时，不等式log a x＜0，而sin＞0，故不等式log a x＞sinmx 无解．ii）当0＜a＜1时，由图函数y=log a x在上为减函数，∵关于x的不等式log a x＞sinmx在（0，]上恒成立，∴log a＞1，解得：．综上，．【点评】本题考查了方程的解与函数图象的关系，函数恒成立问题与函数最值计算，属于中档题．2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（二）一、选择题1、集合A={x|3x+2＞0}，B={x| ＜0}，则A∩B=（）A、（﹣1，+∞）B、（﹣1，﹣）C、（3，+∞）D、（﹣，3）2、已知a，b，c为实数，且a＞b，则下列不等式关系正确的是（）A、a2＞b2B、ac＞bcC、a+c＞b+cD、ac2＞bc23、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b= ，a=2，B= ，则c=（）A、B、C、2D、4、在数列{a n}中，已知a1=0，a n+2﹣a n=2，则a7的值为（）A、9B、15C、6D、85、在下列函数中，最小值为2的是（）A、y=2x+2﹣xB、y=sinx+ （0＜x＜）C、y=x+D、y=log3x+ （1＜x＜3）6、若点A（4，3），B（2，﹣1）在直线x+2y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A、（0，10）B、（﹣1，2）C、（0，1）D、（1，10）7、在等比数列{a n}中，3a5﹣a3a7=0，若数列{b n}为等差数列，且b5=a5，则{b n}的前9项的和S9为（）A、24B、25C、27D、288、若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A、9B、4C、6D、39、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若（a+c+b）（b+a﹣c）=3ab，则C=（）A、150°B、60°C、120°D、30°10、在等差数列{a n}中，a1=﹣2012，其前n项和为S n，若﹣=2002，则S2017=（）A、8068B、2017C、﹣8027D、﹣201311、设x＞0，y＞0，满足+ =4，则x+y的最小值为（）A、4B、C、2D、912、已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=a n+2n，设b n= ，若存在正整数T，使得对一切n∈N*，b n≥T恒成立，则T的最大值为（）A、1B、2C、4D、3二、填空题13、在△ABC中，若a=18，b=24，A=30°，则此三角形解的个数为________．14、设关于x的不等式x+b＞0的解集为{x|x＞2}，则关于x的不等式＞0的解集为________．15、若△ABC的内角A，C，B成等差数列，且△ABC的面积为2 ，则AB边的最小值是________．16、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为4万元、3万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元甲乙原料限额A（吨） 2 5 10B（吨） 6 3 18三、解答题17、如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=4，AC=2 ，DC=2(1)求cos∠ADC(2)求AB．18、已知数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，满足a1=b1=1，b2﹣a3=2b3，a3﹣2b2=﹣1。
天津高一高中数学期中考试带答案解析
天津高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.对于任意实数，下列结论中正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．①B．②C．③D．④2.已知等比数列的前项和为，若，则公比为（）A．B．C．D．3.在中，若，则角为（）A．B．C．或D．或4.在中，若，则最大角的余弦是（）A．B．C．D．5.若，两个等差数列与的公差分别为，则等于（）A．B．C．D．6.在中，若，则的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形7.在数列中，，，则（）A．B．C．D．8.等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（）A．B．C．D．9.给出集合序列设为第个集合中元素之和，则（）A．B．C．D．10.已知数列为等差数列，且，设，当数列的前项和最小时，则的值为（）A．B．C．或D．或二、填空题1.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.2.关于的一元二次不等式的解集是，则______.3.在中，角所对的边分别为，若，且，则角的大小为_______.4.不等式的解集为______.5.在锐角中，角所对的边分别为，若，则的值是_______.6.数列满足，记，若对任意恒成立，则正整数的最小值为_______.三、解答题1.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.2.已知是正项数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.3.已知数列的前项和为，若，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为.①求；②对于任意的及，不等式恒成立，求实数的取值范围.天津高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.对于任意实数，下列结论中正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】结论①中，当时，错误；结论②中，当时，错误；结论③正确；结论④中，当时，错误.故正确答案选C.【考点】不等式性质的应用.2.已知等比数列的前项和为，若，则公比为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由等比数列的前和公式，得，两式相比得，解得.故正确答案为A.【考点】等比数列前和公式、公比.3.在中，若，则角为（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由正弦定理，且，得，又，则或.故正确答案为D.【考点】正弦定理的应用.4.在中，若，则最大角的余弦是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理及题意得，解得，可知角最大，则.故正确答案选C.【考点】余弦定理的应用.5.若，两个等差数列与的公差分别为，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由等差数列通项公式及题意，得，则.故正确答案选C.【考点】等差数列通项公式的应用.6.在中，若，则的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【答案】B【解析】试题分析:由正弦定理得,整理得,又,则有或.故正确答案为B.【考点】1、正弦定理；2、倍角公式；3、三角形形状的判定.7.在数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，即（常数），则可知数列是各项均为常数列，所以，即.故正确答案为A.【考点】数列通项公式.8.等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知，所以，而，则有，而.故正确答案为B.【考点】等差数列通项性质、前项和公式.9.给出集合序列设为第个集合中元素之和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设第个集合的第个数字为，则由题意知，，则有，将各式两边相加得，则，又因为各集合中的元素是以公差为的等差数列，所以.故正确答案为B.【考点】等差数列通项公式、前项和公式的应用.【思路点晴】此题考查等差数列通项公式及前项和公式的应用，属于中高档题，通过观察题目给出的集合序列的第个数字：、、、、……，可以发现，由迭加法可得，且每个集合的元素是以公差为的等差数列，项数与第个数字相等，再由等差数列前项和公式即求得.10.已知数列为等差数列，且，设，当数列的前项和最小时，则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由等差数列通项公式性质知，又，所以，则数列为递增数列，同理有，又，而，所以当的的前项和取最小值时，的值为或.故正确答案为C.【考点】等差数列通项、前项和的性质.【思路点睛】此题主要考查等差数列的通项公式、前项和公式的性质在解决问题中的应用，属于中高档题.根据题目所给的条件且，由等差通项公式的性质可以发现，，从而可知，同理有，，所以，，（这个结论是本题的关键环节），从而问题可得解.二、填空题1.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.【答案】【解析】由已知得，当时，有，当时，有，不满足，故数列的通项公式为.【考点】数列通项公式及前项和公式的关系.2.关于的一元二次不等式的解集是，则______.【答案】【解析】由题意知，且关于方程的两个根分别为，则根与系数关系得，解得，所以.【考点】二次不等式的解.3.在中，角所对的边分别为，若，且，则角的大小为_______.【答案】【解析】由正弦定理且，得，由，得，由余弦定理得，又,所以角的大小为.【考点】正弦定理、余弦定理的应用.4.不等式的解集为______.【答案】【解析】不等式或，即或，所以原不等式的解集为.【考点】二次不等式、分式的解.5.在锐角中，角所对的边分别为，若，则的值是_______.【答案】【解析】由余弦定理且，得，即，由正弦定理得，，所以.【考点】正弦定理、余弦定理的应用.【易错点晴】此题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，以及三角函数中切化弦的转化应用，属于中档题.通过审题首先利用余弦定理的推论将条件，转化为，接着将问题中所需求值的式子中的正切转化为含正弦、余弦的式子，再结合正弦定理和余弦定理转化成相对应边的关系式再进行求解，在计算过程中注意将正弦定理和余弦定理进行有效变形，为我所用，从而更好地为求值计算服务.6.数列满足，记，若对任意恒成立，则正整数的最小值为_______.【答案】【解析】由，得，可知数列是以首项为，公差为的等差数列，所以，则，，考查，又，即，则可知数列是一个递减数列，所以数列的最大项为，又对任意恒成立，所以，即，所以的最小值是.【考点】1、数列的通项公式、前项和公式；2、数列与不等式恒成立问题.【思路点睛】此题考查数列的通项公式、前前项和公式及数列与不等式恒成立问题的求解，属于中高档题.根据所给条件先构造新数列、，并求出数列的通项公式，接着对数列的单调性进行判断，利用函数单调性求出数列的最大项，再根据不等式恒成立问题，从而求得的最小值.三、解答题1.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知，根据正弦定理将等式中的边相应地替换为对应角的正弦，再由两角和的正弦公式及诱导公式进行整理，即可求出的值；（2）由（1）的结果可知，又，且，可根据余弦定理可求得，，再由公式即可求出三角形的面积.试题解析：（1）由正弦定理得，所以，即有，即有，即，所以.（2）由（1）知：，即，又因为，由余弦定理得：，即，解得，所以，又因为，所以，故的面积为.【考点】1、正弦、余弦定理；2、三角形面积公式.【思路点睛】此题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及倍角公式的应用，属于中档题.在定理的应用中，通过认真审题，可以根据题目所给条件和问题的需要，可以考虑将条件中所给式子的两边中的边（或角）根据正弦定理（，为的外接圆半径），同时（齐次）换成相对应的角（或边），再进行运算整理，当然还需要注意倍角公式、两角各和差等恒等变换公式的应用.2.已知是正项数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据数列通项公式与前项和公式的关系，并进行化简整理即可，注意对首项的值进行验证，是否满足的表达式，若不满足则分段表达（如上式）；（2）根据数列的特点（各项由等差数列与等比数列的乘积组成），可利用错位相减法求数列的前项和.试题解析：（1）令得又，所以，①，②，由①②得，∴，∵，∴，∴是等差数列，且.（2），设的前项和为，则①，②，由①-②得，，∴，即.【考点】1、等差数列通项公式；2、数列前项和（错位相减法）.【方法点晴】此题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式在解决问题中的应用，属于中档题.注意事项，利用前项和求通项公式时，要对首项的值进行验证，是否满足的表达式，若不满足则采用分段表示，错位相减法是求数列前项和公式的常用方法，当该数列各项是由等差数列与等比数列的乘积组成时，此法适用.3.已知数列的前项和为，若，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为.①求；②对于任意的及，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】（1）根据数列通项公式与前项和公式关系进行求解，由整理后，根据式子的特点，采用累积法进行求解（累积法也是求数列通项中常用的方法）；（2）①由（1）可求得数列的解析式，根据的特点可采用裂项求和法进行求解；②由“恒成立”等价“恒成立”，可对的单调性进行判断，并求出其最小值为，再由二次不等式恒成立求出实数的范围.试题解析：（1）在中，令，得，∵，∴当时，，两式相减，得，∴，即.∴，故.（2）①，，所以.②∵，单调递增，故，∵，∴对于任意的恒成立，∴对于任意的恒成立，∴，又也成立，∴实数的取值范围是.【考点】1、数列通项公式（累积法）；2、数列前和（裂项求和法）；3、数列与不等式恒成立问题.【方法点晴】此题主要考查数列的通项公式和前项和公式的求解、以及数列与不等式恒成立问题，注意累积法（累积法：根据所给数列的递推公式将式子整理为比式，然后将式子两边相乘消去中间，从而求得数列的通项公式.）、裂项求和法（可将数列通项公式分裂成两项之差，然后将式子两边相加，消去中间项，从而求出数列前和.）的应用，属于中高档题，在数列与不等式恒成立问题中，常会利用到数列的单调性求出其最值，再根据不等式的性质及恒成立问题进行求解或证明.。
天津高一下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．若复数z 满足其中i 为虚数单位，则z= 232,z z i +=-A ．1+2i B ．12iC ．D ．-12i -+12i --【答案】B【详解】试题分析：设，则，故，则，选B.i z b a =+23i 32i z z a b +=+=-12i z =-【解析】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.2．在平行四边形中，（ ）ABCD DA DC CB +-=A ．B ．C ．D ．DBBC CD DC【答案】D【分析】由平行四边形的性质可得，从而可求得答案 DA CB =【详解】解：因为四边形为平行四边形，ABCD 所以,DA CB = 所以， DA DC CB DC +-= 故选：D3．下列说法中，正确的是（ ）． A ．三点确定一个平面 B ．过一条直线的平面有无数多个 C ．两条直线确定一个平面 D ．三条两两相交的直线确定三个平面【答案】B【分析】A 选项，若三点共线，则此三点不能确定一个平面；B 选项，过一条直线的平面有无数多个；C 选项，两条直线若异面，则两条直线无法确定一个平面；D 选项，三条两两相交的直线若过同一个点，则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面. 【详解】若三点共线，则此三点不能确定一个平面，A 错误； 过一条直线的平面有无数多个，B 正确；两条直线若异面，则两条直线无法确定一个平面，C 错误；三条两两相交的直线若过同一个点，则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面，D 错误. 故选：B4．已知点，，则与同方向的单位向量为（ ） ()1,3A ()4,1B -ABA ．B ．C ．D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,4-34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,4-【答案】A【分析】列方程即可求得与同方向的单位向量. AB【详解】，设与同方向的单位向量为(3,4)AB =- AB(,)x y 则，解之得或 2213(4)0x y y x ⎧+=⎨--=⎩3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当时，所求向量为，向量，符合题意； 3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(3,4)AB =- 345,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，所求向量为，向量，不符合题意，舍去.3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(3,4)AB =- 345,55⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：A5．在中，已知，，则（ ） ABC A 2a =b =6A π=B =A ．B ．C ．或D ．或6π3π6π56π3π23π【答案】D【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理，得，ABC A sin sina bA B=所以，所以或. sin sin b AB a===(0,)B π∈3B π=23B π=故选：D6．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且ABC A A B C a b c ()()3a b c b c a bc +++-=，那么是（ ） sin 2sin cos A B C =ABC A A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合()()3a b c b c a bc +++-=A sin 2sin cos A B C =正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状. 【详解】由，得， ()()3a b c b c a bc +++-=22()3b c a bc +-=整理得，则， 222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==因为，所以，()0,πA ∈π3A =又由及正弦定理，得，化简得，sin 2sin cos A B C =22222a b c a b ab +-=⋅b c =所以为等边三角形， ABC A 故选：B7．设向量，且，则（ ）,x y R ∈(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-,//a c b c ⊥ x y +=A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据的垂直关系，可求出 ；根据的平行关系，可求出 ，进而求出a c ⊥2x =//b c =2y -的值．x y +【详解】因为，所以a c ⊥240x -=因为，所以 //b c420y --=所以 ，所以 22x y =⎧⎨=-⎩0x y +=故选：A ．8．若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，则此圆锥的侧面积为（ ） 23πA B C D ．【答案】A【分析】由已知求得圆锥的高和底面直径，再求得母线长可得侧面积．【详解】设底面半径为，由高为，所以，，，r 2h r =221122333V r h r r πππ==⨯=1r =2h =所以母线长为 l =所以侧面积为． 1S rl ππ==⨯=故选：A ．9．已知m ，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 αA ．若则B ．若，，则//,//,m n αα//m n m α⊥n α⊂m n ⊥C ．若，，则D ．若，，则m α⊥m n ⊥//n α//m αm n ⊥n α⊥【答案】B【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【解析】空间点线面位置关系．10．如图，正方体的棱长为2，E 是棱的中点，则点到平面EBD 的距离为1111ABCD A B C D -1CC 1C （ ）A B C D 【答案】D【分析】注意到，利用等体积法可得答案. 11D C BE C BDE V V --=【详解】，1113D C BE C BE V S DC -=⋅⋅A ，，则.111112122C BE S C E BC =⋅⋅=⨯⨯=A 2DC =123D C BE V -=在中，由题意及图形结合勾股定理可得BED A BE DE ==BD =则由余弦定理可得，222125cos BE DE BD BED BE DE +-∠==⋅则.则si n BED ∠==12si n BDE S BE DE BED =⋅⋅∠=A 设到平面EBD 的距离为，则. 1C d 113C BDE BDEV S d -=⋅A又，则11D C BE C BDE V V --=112233C BDE BDE BDE V S d d S -=⋅=⇒==A A 故选：D二、填空题11．是虚数单位，则___________. i 341ii-=+【答案】1722i --【分析】直接对复数化简即可【详解】解：， 2234(34)(1)334417171(1)(1)1222i i i i i i i i i i i i -----+--====--++--故答案为：1722i --12．已知向量的夹角为，，则_______.,a b 6π|||1a b == |3|a b +=【分析】根据计算可得结果.|3|a b +==【详解】 |3|a b +===.=13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 . 92π【分析】根据正方体的性质，结合球的体积公式进行求解即可.【详解】因为正方体体的对角线就是正方体的外接球的直径，所以由外接球的体积公式得：，即， 3493322R R ππ=⇒=23R =3a =⇒=【点睛】本题考查了正方体外接球的性质，考查了球的体积公式的应用，考查了空间想象能力和数学运算能力.14．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若，则_____ 430OA OB OC -+=AB CA= 【答案】/ 340.75【分析】由可得，即可得答案.430OA OB OC -+=33OA OB OB OC -=- 【详解】.430OA OB OC -+=⇒333OA OB OB OC BA CB -=-⇒=则三点共线，且在BA 的反向延长线上，如下图所示，则. ,,A B C C 34AB CA = 故答案为：3415．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，则222a b c bc =+-2a =ABC A 的周长的最大值为_________. 【答案】6【分析】根据，利用余弦定理求得角A ，进而得到外接圆半径，再由的周长222a b c bc =+-ABC A 为求解.()22si n si n l a b c R B C =++=++24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【详解】解：因为，222a b c bc =+-所以， 2221cos 22b c a A bc +-==因为， ()0,A π∈所以，则 3A π=2sin a R A =所以的周长为，ABC A ()22si n si n l a b c R B C =++=++，222si n si n 3R B B π⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322si n cos 2R B B ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当，即时， 的周长取得最大值为6，62B ππ+=3B π=ABC A 故答案为：6三、双空题16．在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，ABCD //AB CD 2AB CD =M N DC AB AB a =，用，表示__________．若，则余弦值的最小值为AD b =a bMN =MN BC ⊥ DAB ∠__________．【答案】14a b -【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；空（2）以与为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可.a bMN BC ⊥ 【详解】如图，由已知，MN AN AM =- ()12AB AD DM =-+ 1122AB AD DC =--.111222AB AD AB =--⨯14AB AD =- 14a b =- ∴.MN 14a b =- 设，即与的夹角为，DAB θ∠=a bθ，BC BA AD DC =++ 12AB AD AB =-++ 12AB AD =-+ 12a b =-+若，则，MN BC ⊥0MN BC ⋅= ∴，1142a b a b ⎛⎫⎛⎫-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221384a a b b =-+⋅- 2213cos 84a a b b θ=-+- 0=又∵，，∴由基本不等式，0a >0b >∴. 228cos 6a b a bθ+= 866b a a b =+ ≥当且仅当，即.866b a a b = a =故答案为：. 14a b - 【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以为夹角的两个向量作为基底，将垂直DAB ∠关系转化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.四、解答题17．已知的内角、、的对边分别为、、，且.ABC A A B C a b c sin sin sin A C Bc b c a+=--(1)求角的大小；A(2)若，且的周长. a =ABC S =A ABC A 【答案】(1)3A π=(2)6+【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的cos A A A 值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的bc b c +ABC A 周长.【详解】（1）解：由，sin sin sin A C Bc b c a+=--利用正弦定理可得，化为，()()()a c c a b c b +-=-222c b a bc +-=所以，，，.2221cos 22c b a A bc +-==()0,A π∈ 3A π∴=（2）解：，a = 1sin 23ABC bc S π==A 8bc =由余弦定理可得，()222222122cos33a b c bc b c bc b c bc π==+-=+-=+-所以，，解得， ()2312381236b c bc +=+=⨯+=6b c +=因此，周长为.ABC A 6a b c ++=+18．如图，在正方体中，点为棱的中点.1111ABCD A B C D -E 1DD（1）求证：平面；1//BD ACE （2）求异面直线与所成角的余弦值. AE 1BD【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）连接BD 与AC 交于点O ，根据O ，E 为为中点，易得,再利用线面平行的1//OE BD 判定定理证明；（2）根据（1），由得到异面直线与所成的角，然后证得 ，得1//OE BD AEO ∠AE 1BD AC OE ⊥到是直角三角形求解.AOE △【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ， 因为O ，E 为为中点，所以,又平面，平面， 1//OE BD OE ⊂ACE 1BD ⊄ACE 所以平面；1//BD ACE （2）由（1）知，则异面直线与所成的角， 1//OE BD AEO ∠AE 1BD 在正方体中，1111ABCD A B C D -因为，且， 1,AC BD AC DD ⊥⊥1BD DD D = 所以平面，又因为平面， AC ⊥11B BDD OE ⊂11B BDD 所以 ，AC OE ⊥所以是直角三角形， AOE △设正方体的棱长为a ,则 ， ，AOOE =所以AE =所以，cos OE AEOAE ∠===【点睛】方法点睛：求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．19．如图，已知平面ABC ，，，1AA ⊥11//BB AA 3AB AC ==BC =1AA =1BB =点和分别为和的中点.E F BC 1AC(1)求证：平面；⊥AE 1BCB (2)求直线与平面所成角的大小. 11A B 1BCB 【答案】(1)证明见解析 (2) π6【分析】（1）根据平面，得到平面，即可得到平面平面，根1AA ⊥ABC 1BB ⊥ABC 1BCB ⊥ABC 据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用面面垂直的性质定理即可得到平面AE BC ⊥⊥AE ；1BCB （2）根据，点为中点得到，即可将直线与平面所成角转化为直11//AA BB M 1BB 11//AM A B 11A B 1BCB 线与平面所成角，由（1）的结论可得为直线与平面所成角，然后利用AM 1BCB AME ∠AM 1BCB 勾股定理得到，的长度，即可求直线与平面所成角. EM AE 11A B 1BCB 【详解】（1）∵平面，， 1AA ⊥ABC 11//BB AA ∴平面， 1BB ⊥ABC ∵平面， 1BB ⊂1BCB ∴平面平面， 1BCB ⊥ABC ∵，点为中点， AB AC =E BC ∴，AE BC ⊥∵平面平面，平面， 1BCB ABC BC =AE ⊂ABC ∴平面.⊥AE 1BCB（2）取中点，连接，，1BB M AM EM∵，为中点，11//AA BB 1AA =1BB =M 1BB ∴四边为平行四边形，∴，11AMB A 11//AM A B ∴直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，11A B 1BCB AM 1BCB ∵平面，⊥AE 1BCB ∴为直线与平面所成角，AME ∠AM 1BCB∵点为中点，，E BC BC =∴，， BE =2AE ==EM ==∴，所以， tan AME ∠==π0,2AME ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭π6AME ∠=所以直线与平面所成角为. 11A B 1BCB π620．如图，已知正方形的边长为2，点为正方形内一点.ABCD P（1）如图1（i ）求的值；AP BC PC BC ⋅+⋅ （ii ）求的值；AP AB BP BC CP CD DP DA ⋅+⋅+⋅+⋅ （2）如图2，若点满足.点是线段的中点，点是平面上动点，,M N 2,2DM MA BN NC == P MN Q且满足，其中，求的最小值.()21PQ PA PB λλ=+- R λ∈QM QN ⋅ 【答案】(1) （i ） 4 （ii ） 8 （2） 3136-【分析】(1) （i ）由向量的数量积的运算性质和向量的加法法则可得，结合数量积的定义可得答案. ()AP BC PC BC AP PC BC AC BC =⋅+⋅=⋅⋅+ （ii ）利用向量数量积的运算性质结合图形将原式化为，利用向量()()AP PC AB BP PD BC ⋅+++⋅ 的加法法则即化为，结合数量积的定义可得答案.AC AB BD BC ⋅+⋅ （2）以 为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，得出相应点的坐标，根据条A AB x AD y 件得出点的坐标，再由向量数量积的坐标公式可得答案.Q 【详解】（1）（i ）正方形的边长为2，则,. ABCD 45CAB CAD DBC ∠=∠=∠=︒AC BD = ()2cos 454AP BC PC BC AP PC BC AC BC AC AD ⋅+⋅+⋅=⋅===⨯︒=⋅ （ii ）AP AB BP BC CP CD DP DA ⋅+⋅+⋅+⋅ ()()AP AB CP CD BP BC DP DA =+⋅+⋅⋅+⋅ ()()AP AB PC AB BP BC PD BC =+⋅+⋅⋅+⋅ ()()AP PC AB BP PD BC =⋅+++⋅2cos 452cos 458AC AB BD BC =⋅+=⨯︒+⨯⋅︒= （2）以 为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系.A AB x AD y 由，则 2,2DM MA BN NC == 12,33AM AD BN BC == 所以, ()()()()0,02,0,2,2,0,2A B C D ，240,,2,,33M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点是线段的中点，则P MN ()1,1P 设，，， (),Q x y ()1,1PQ x y =-- ()11PA =-- ，()11PB =- ，由，即 ()21PQ PA PB λλ=+- ()()()()22,22,1,112,1x y λλλλλ--=--+--=--所以 ，解得，即 2212221x y λ-=-⎧⎨-=-⎩3212x y λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩31,22Q λ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 31,26QM λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 15,26QN λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 3115315,,26262236QM QN λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222213136236λλλ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭当时，的最小值为 12λ=QM QN ⋅ 3136-【点睛】关键点睛：本题考查向量的加法法则和数量积的运算，建立坐标系利用坐标法求解向量的数量积的最值，解答本题的关键是建立坐标系，根据条件得出点坐标，从而得出Q ，属于中档题. 222213136236QM QN λλλ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⋅。
天津市2020届高一期中考试数学试题
第一学期期中考试高一数学试卷1.设全集R U =，集合{}{}1,0>=>=x x B x x A ，则B C A U =（ ） A.{}10<≤x x B.{}10≤<x x C.{}0<x x D.{}1>x x2.下列图形可以表示函数()x f y =图像的是（ ）3.若命题[]012,3,3:0200≤++-∈∃x x x p ，则命题p 的否定为（ ）A.[]012,3,32>++-∈∀x x x B.()()012,,33,2>+++∞-∞-∈∀x x x C.()()012,,33,2≤+++∞-∞-∈∀x x x D.[]012,3,30200<++-∈∀x x x4.对于幂函数①x y =，②2x y =，③3x y =，④1-=x y ⑤21x y =，其中既是奇函数且在()+∞,0上又是增函数的有（ ）A. 1个B.2个C. 3个D.4个5.下列不等式正确的是（ ）A.若b a >，则22b a >B.若b a >，则22bc ac > C.若b a >，则ba 11< D.若b a >，则b a > 6.若2>x ，则24-+=x x y 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.87.“11<x”是“1>x ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分而不必要条件8.已知偶函数()x f 在(]0,∞-上是增函数，则下列关系是中成立的是（ ） A.()()4327f f f <-<⎪⎭⎫ ⎝⎛- B.()()4273f f f <⎪⎭⎫ ⎝⎛-<- C.()()3274-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-<f f f D.()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-<2734f f f 9.函数()()2122+-+=x a x x f 在区间[)+∞,4上单调递增，实数a 的取值范围（ ）A. 3-≥aB.3-≤aC. 5≥aD.5≤a10.函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=1112112x x a x a x a x f 为R 上的减函数，则实数a 的取值范围（ ）A. ()1,-∞-B.()4,-∞-C.(]1,-∞-D.(]4,-∞-二、填空题11.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=03000322x x x x x f ，则()[]=-1f f ______ 12.计算()232021942782.249⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛=______ 13.函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，()53-=x x f ，则()2-f =_____ 14.若0,0>>y x 且22=+y x ，则yx 11+的最小值为_______ 15.已知{}{}40,12<<=<<-=x x B m x m x A ，若B B A = ，则实数m 的取值范围是________16.已知函数()862++-=m mx mx x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.三、解答题17.设全集R U =,集合()(){}{}242,031-≥-=≥-+=x x x B x x x A（1）求B A B A ,（2）若集合{}02≥+=a x x C ，且C B ⊆，求实数a 的取值范围（3）若集合{}5+<<=a x a x D ，且R D A = ，求实数a 的取值范围18.已知函数()x f 是定义域为R 上的偶函数，且当0≥x 时，()x x x f 22+-= （1）求函数()x f 在R 上的解析式（2）画出()x f 的图像（3）根据图像，写出函数()x f 的单调递减区间及值域19.已知关于x 的不等式0252>-+x ax（1）不等式0252>-+x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<b x x21，求实数b a ,的值 （2）在（1）的条件下，求不等式12≤++b x a x 的解集 （3）解关于x 的不等式4252+->-+x ax x ax20.已知定义在R 上的函数()x xa b x f 44+-=是奇函数 （1）求实数b a ,的值（2）判断函数的单调性并加以证明（3）若对任意的[]3,1-∈t ，不等式()()02222<-+-k t f t t f 恒成立，求实数k 的取值范围。
2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(共五套)
2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（共五套）2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（一）（考试时间：120分钟总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．在空间直角坐标系中，A(0,2,4)，B(1,4,6)，则|AB|等于 ( ) A．2 B．2 2 C.7 D．3 2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为135°，则直线l的方程为 ( ) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝03. 下列命题正确的是（）A．若两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行B．若有两条直线与两个平面都平行，则这两个平面平行C. 若有一条直线与两个平面都垂直，则这两个平面平行D. 若有一条直线与这两个平面所成的角相等，则这两个平面平行4.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个( )A．等边三角形 B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于( )A ．12π cm 2B ．15π cm 2C ．24π cm 2D ．30π cm 26.若三棱锥Ｐ-ABC 的三个侧面与底面ABC 所成角都相等，则顶点Ｐ在底面的射影为ABC △的( )A ．外心B ．重心 C. 内心 D ．垂心7. 圆1C ：224210x y x y +--+=与圆2C ：2248110x y x y ++-+=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．外切D ．内切8. 若P (2，－1)为圆222240x y x +--=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝09．已知点P 是圆x 2＋y 2＝1上动点，定点Q (6,0)，点Ｍ是线段PQ 靠近Q 点的三等分点，则点M 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －4)2＋y 2＝19C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝110.若圆2240x y x +-=上恰有四个点到直线20x y m -+=的距离等于1，则实数m 的取值范围是方程是( )A ． ()25,25---+B ． ()45,45---+C ． ()435,45----D ．()45,435-+-+11. 已知实数x ，y 满足方程2x ＋y ＋5＝0，那么22425x y x y +--+的最小值为( )A. 210 B.10 C ．2 5 D ． 512.函数sin 3,,cos 222y θππθθ-⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦的值域为( ) A ．23232,233⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦ B ．432,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,1-- D ．232,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于14. 已知直线43:1-=x y l 和直线:2l 关于点Ｍ(2，1)对称，则2l 的方程为15. 如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么a b +=16. 已知⊙M ：,1)2(22=-+y x Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程为三、解答题。
2020版高一数学下学期期中试题 (I)
2020版高一数学下学期期中试题 (I)考试时间：120分钟满分：150分姓名：__________ 班级：__________一、单选题（共12题；共60分）1.已知全集U={﹣2，0，1，2}，集合A={x|x2+x﹣2=0}，则∁U A=（）A. {﹣2，1}B. {﹣2，0} C. {0，2} D. {0，1}2.下列函数为奇函数的是（）A. B. y=x﹣1 C. y=x2D. y=x33.下列命题中不正确的是（）A. 平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB. 平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC. 一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线4.关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( )A. 所有的直线都有倾斜角和斜率B. 所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C. 直线的倾斜角和斜率有时都不存在D. 所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角5.直线y＝2x－6经过( )A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限6.直线(m＋2)x－y－3＝0与直线(3m－2)x－y＋1＝0平行，则实数m的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 不存在7.圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A. ﹣B. ﹣C.D. 28.已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是和，此平行四边形两条对角线的交点是，则平行四边形另两边所在直线的方程是( )A. 和B. 和C. 和D. 和9.已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=4，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A. （x+2）2+（y﹣2）2=4B. （x﹣2）2+（y+2）2=4C. （x+2）2+（y+2）2=4D. （x﹣2）2+（y﹣2）2=410.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）．A. B. C. D.11.直线与圆交于两点，则（是原点）的面积为（）A. B.C.D.12.曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（）A. B. C.D.第Ⅱ卷主观题二、填空题（共4题；共20分）13.＋＝________．14.若一个球的体积为36π，则它的表面积为________．15.过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________．16.设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是________ .三、解答题（共7题；共82分）17.在平面直角坐标系中，已知直线的斜率为 .（1）若直线过点，求直线的方程；（2）若直线在轴、轴上的截距之和为，求直线的方程.18.如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，平面，且，点在线段上，且 .（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积.19.在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x 轴上．（1）求点C的坐标；（2）求直线MN的方程．20.已知圆的圆心在直线上，半径为，且圆经过点（1）求圆的标准方程；（2）求过点且与圆相切的切线方程．21.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆的半径r的取值范围；（3）求圆心C的轨迹方程．22.已知圆，直线．（1）当直线与圆相切，求的值；（2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程．23.已知动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1：x=﹣1的距离（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】【解答】解：全集U={﹣2，0，1，2}，集合A={x|x2+x﹣2=0}={﹣2，1}，则∁U A={0，2}故选：C．【分析】由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．2.【答案】D【考点】函数奇偶性的判断【解析】【解答】解：对于A，函数的定义域为[0，+∞），不是奇函数；对于B，定义域为R，不满足奇函数的定义；对于C，定义域为R，是偶函数；对于D，定义域为R，是奇函数，故选D．【分析】确定函数的定义域，利用奇函数的定义，即可判断．3.【答案】A【考点】平面与平面平行的性质【解析】【解答】对于A，直线a可能与β平行，也可能在β内，故A不正确；三角形的两条边必相交，这两条相交边所在直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知B，D正确。
天津市2020-2021年高一数学期中考试试卷
高一数学期中考试试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”2．一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2∶3∶5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为（ ）A ．40B ．60C ．80D ．1003．已知m 为实数，i 为虚数单位，若()240m m i +->，则222m i i +=-（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1-4．已知向量a 、b 满足||1a =，||2b =，||2a b -=，则||a b +等于（ ）A ．1BCD 5．已知复数201811i zi i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i - 6．已知z C ∈，|2|1z -=，则|25|z i ++的最大值和最小值分别是（ ）A 1+1B ．3和1C ．D 和37．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）A ．15B ．25C ．825D ．9258．在ABC △中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=（ ）A ．14-B ．14C ．13-D ．13 9．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC △的面积是（ ）A B C D ．10．已知O 为ABC △的中心，3570OA OB OC ++=，则ACB ∠的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_______．12．设向量(,1)a m =，(1,2)b =，且222||||||a b a b +=+，则m =________．13．已知向量(1,2)a =-，(,1)b m =，若向量a b +与a 垂直，则m =_______．14．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2a =，3c =，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=_________．15．平面上三个力1F ，2F ，3F 作用于一点且处于平衡状态，已知11F N =，2F =，1F 与2F 的夹角为45°，则3F 的大小为________N ．16．如图所示，ABC △中，直线PQ 与边AB ，BC 及AC 的延长线分别交于点,,P M Q ，3BM MC =，AP t AB =，AQ s AC =，则13t s+=_________．三、解答题（本大题共4小题，共46分）17．在ABC △中，7a =，8b =，1cos 7B =-． （1）求A ∠；（2）求AC 边上的高．18．已知()22sin ,cos a x x =，(3cos ,2)b x =，()f x a b =⋅．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50,70)的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率．20．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量(,sin sin )m a b A C =+-，向量(,sin sin )n c A B =-，且m n ∥．（1）求角B 的大小；（2）设BC 的中点为D ，且AD =，求2a c +的最大值．。