三年高考(2020)高考数学试题分项版解析 专题16 直线与圆 文(含解析)
2020高考数学试题分项版解析专题16直线与圆理
【2019最新】精选高考数学试题分项版解析专题16直线与圆理1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）2228130x y x y +--+=10ax y +-=（A ） （B ） （C ） （D ）243-34-【答案】A 【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：22(x 1)(y 4)4-+-=(1,4)1d ==，解得，故选A ．43a =-考点： 圆的方程、点到直线的距离公式. 【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d>r ，则直线与圆相离； 若d ＝r ，则直线与圆相切； 若d<r ，则直线与圆相交．2.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）()2,3--y ()()22321x y ++-=（A ）或 （B ） 或 （C ）或 （D ）或53-35-32-23-54-45-43-34- 【答案】D【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线的斜率为，则反身光线所在直线方程为： ，即：. ()2,3-()32y k x +=-230kx y k ---=又因为光线与圆相切， 所以， ,()()22321x y ++-=2322311k k k ----=+整理： ，解得： ，或 ,故选D ．21225120k k ++=43k =-34k =-3.【2015高考广东，理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）012=++y x 522=+y xA ．或 B. 或 052=+-y x 052=--y x 052=++y x 052=-+y x C. 或 D. 或052=+-y x 052=--y x 052=++y x 052=-+y x 【答案】．D【解析】依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或，故选．20x y c ++=2200521c ++=+5c =±250x y ++=250x y +-=D【考点定位】直线与圆的位置关系，直线的方程．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距离等于半径求得，属于容易题．20x y c ++=4.【2015高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则( )(1,3)A (4,2)B (1,7)C -||MN =A ．2B ．8C ．4D ．1066 【答案】C【解析】由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C ．321143AB k -==--27341CB k +==--1AB CB k k =-AB CB ⊥ABC ∆(1,2)-22(1)(2)25x y -++=0x =262y =±-46MN =【考点定位】圆的方程．【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦的长，属于中档题．ABC ∆MN 5. 【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x+ay-1=0（aR ）是圆C ：的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|= （ ）224210x y x y +--+= A 、2 B 、 C 、6 D 、42210 【答案】C【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，，即，.选C.C22(2)(1)4x y -+-=(2,1)C 2r =2110a +⨯-=1a =-(4,1)A --2222(42)(11)46AB AC r =-=--+---=【考点定位】直线与圆的位置关系.6.【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 xOy )0,1()(012R m m y mx ∈=--- 【答案】22(1) 2.x y -+=【解析】由题意得：半径等于，当且仅当时取等号，所以半径最大为，所求圆为22222(1)22||1121111m m m m m m m +==++++++1m =2r 22(1) 2.x y -+= 【考点定位】直线与圆位置关系【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．当半径表示为关于m 的函数后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件. 7. 【2015高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．x y e =1(0)y x x=> 【答案】()1,1【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．x y e =x y e '=x y e =()0,10101x k y e ='===()00,x y 00x >001y x =1y x =21y x '=-1y x=02201x x k y x ='==-121k k ⋅=-2011x -=-201x =01x =±00x >01x =01y =()1,1()1,1 8.【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是xOy (12,0),(0,6),A B -P 2250O x y +=：20,PA PB ⋅u u u r u u u r≤P【答案】[-【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P 点在圆左边弧上,结合限制条件 ，可得点P 横坐标的取值范围为.(,)P x y 20PA PB ⋅≤u u u r u u u r 250x y -+≤2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩5:5x A y =-⎧⎨=-⎩1:7x B y =⎧⎨=⎩250x y -+≤»AB x -≤≤[-【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9.【2015高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．C (1,0)T ,A B B A 2AB =（Ⅰ）圆的标准方程为 ；C（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：A 22:1O x y +=,M N ①； ②； ③．NA MA NBMB =2NB MA NAMB-=NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号） 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③ 22(1)(2x y -+=【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.),1(r C 2||=AB 21122=+=r )2,1(C 2)2()1(22=-+-y x（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，⎩⎨⎧=-+-=2)2()1(022y x x ⎩⎨⎧-==120y x ⎩⎨⎧+==120y x B A 所以，，)12,0(-A )12,0(+B令直线的方程为，此时，，MN 0=x M )1,0(-M )1,0(N 所以，，，2||=MA 22||+=MB 22||-=NA 2||=NB 因为，，所以.221222||||-=-=NB NA 12222||||-=+=MB MA NA MA NB MB =所以，11)2NB MA NAMB -=-=-=11NB MA NAMB+==+=正确结论的序号是①②③.10.【2016高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过30mx y m ++-=2212x y +=,A B ,A B分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.x ,CD AB =||CD = 【答案】4 【解析】试题分析：因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．||23AB =23(0,0)330mx y m ++-=22||()32AB R -=2|33|31m m -=+33m =-323y x =+30︒ABDC ||||4cos30AB CD ==︒考点：直线与圆的位置关系．11.【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离___________.012:,012:21=++=-+y x l y x l 21,l l 【答案】2511.【2017课标3，理20】已知抛物线C ：y2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点，求直线l 与圆M 的方程.()4,2P - 【答案】(1)证明略；(2)直线的方程为 ，圆 的方程为 .20x y --=M ()()223110x y -+-=或直线的方程为 ，圆 的方程为 .240x y +-=M 2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】试题分析：(1)设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为 可得，即得结论；1-OA OB ⊥(2)结合(1)的结论求得实数 的值，分类讨论即可求得直线的方程和圆 的方程.m M试题解析：(1)设 ， .()()1122,,,A x y B x y :2l x my =+由 可得 ，则 .22,2x my y x =+⎧⎨=⎩2240y my --=124y y = 又 ，故 .221212,22y y x x ==()2121244y y x x == 因此 的斜率与 的斜率之积为 ，所以 .OA OB 1212414y y x x -⋅==-OA OB ⊥ 故坐标原点 在圆 上.O M(2)由(1)可得 .()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+ 故圆心 的坐标为 ，圆 的半径 .M ()22,m m +Mr =由于圆 过点 ，因此 ，故 ，M ()4,2P -0AP BP ⋅=u u u r u u u r()()()()121244220x x y y --+++=即 .()()1212121242200x x x x y y y y ++++++= 由(1)可得 .12124,4y y x x =-=所以 ，解得 或 .2210m m --=1m =12m =-当 时，直线的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .1m =20x y --=M ()3,1M M ()()223110x y -+-=当 时，直线的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .12m =-240x y +-=M 91,42⎛⎫- ⎪⎝⎭M4M 2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C 上.2222=1x y a b+（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 【解析】试题解析：（1）由于，两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过，两点.3P 4P 3P 4P又由知，C 不经过点P1，所以点P2在C 上.222211134a b a b+>+ 因此，解得.222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C的方程为.2214x y +=（2）设直线P2A 与直线P2B 的斜率分别为k1，k2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x=t ，由题设知，且，可得A ，B 的坐标分别为（t ，），（t ，）.0t ≠||2t <24t -24t -则，得，不符合题设.221242421t t k k ---++==-2t = 从而可设l ：（）.将代入得y kx m =+1m ≠y kx m =+2214x y +=由题设可知.22=16(41)0k m ∆-+>设A （x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.2841km k -+224441m k -+ 而12121211y y k k x x --+=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设，故.121k k +=-1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=即.222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++解得.12m k +=-当且仅当时，，欲使l ：，即，1m >-0∆>12m y x m +=-+11(2)2m y x ++=-- 所以l 过定点（2，）1-【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.13.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．221:650C x y x +-+=A B （1）求圆的圆心坐标；1C（2）求线段的中点的轨迹的方程；AB M C（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．:(4)L y k x =-C【答案】（1）；（2）；（3）．()3,0223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332525,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U【解析】（1）由得，22650x y x +-+=()2234x y -+= ∴ 圆的圆心坐标为；1C ()3,0 （2）设，则(),M x y∵ 点为弦中点即，M AB 1C M AB ⊥∴ 即，11C M AB k k ⋅=-13y yx x⋅=--∴ 线段的中点的轨迹的方程为；AB M 223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，M 3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭32r =EF 5253E ⎛ ⎝⎭525,3F ⎛ ⎝⎭L ()4y k x =-()4,0D 当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．L C223402321k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+34k =±25025543DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-332525,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U L()4y k x =-C14.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点xOy M 22:1214600M x y x y +--+=(2,4)A（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；N x M N 6x =N（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；OA M ,B C BC OA = （3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。
2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练
2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35ak a k CB AB +=-=∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y = 【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x ym m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ． 【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+nym x 中要求m ，n 均非零。
故做题时应考虑此情形【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。
不要漏解。
题型三 直线位置关系的判断例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（ ）A. 2-或1-B. 2或1-C. 2-或1D. 2或1 【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+= 化简为23201k k k -+=⇒= 或2 故选择D【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。
三年高考(2019)高考数学试题分项版解析 专题16 直线与圆 文(含解析)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……专题16 直线与圆文考纲解读明方向分析解读 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系,会求直线的倾斜角与斜率.2.掌握求直线方程的三种方法:直接法、待定系数法、轨迹法.3.能根据两条直线平行、垂直的条件判定两直线是否平行或垂直.4.熟记两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式,根据相关条件,会求三种距离.5.理解方程和函数的思想方法.6.高考中常结合直线的斜率与方程,考查与其他曲线的综合应用,分值约为5分,属中档题.分析解读 1.了解参数方程的概念,理解圆的参数方程.2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合圆的几何性质解决与圆有关的问题.3.高考对本节内容的考查以圆的方程为主,分值约为5分,中等难度,备考时应掌握“几何法”和“代数法”,求圆的方程的方法及与圆有关的最值问题.分析解读 1.能够根据给定直线和圆的方程,选用代数或几何方法,判断直线和圆、圆与圆的位置关系.2.会根据圆的切线方程、公共弦方程及弦长等有关知识解决有关直线与圆的问题.3.灵活运用数形结合的方法.4.本节在高考中以位置关系、弦长问题为主,分值约为5分,属中档题.2018年高考全景展示1．【2018年全国卷Ⅲ文】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。
2．【2018年天津卷文】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】【解析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．3．【2018年新课标I 卷文】直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】分析：首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.详解：根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果2017年高考全景展示1.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤ 则点P 的横坐标的取值范围是 .【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-. 【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=；由韦达定理得122x x =-，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为2220x y mx Ey +++-=,因为过(0,1)，所以1E = ，令0x = 得22012y y y y +-=⇒==-或，即弦长为3.（2）解法1：过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段AB 垂直平分线上，设圆心()00,E x y ，则12022x x mx +==-，由EA EC =得()22221212100+122x x x x x y y +⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得1201122x x y +==-，所以圆E 的方程为22221112222m m x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0x =得121,2y y ==-，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为()123--=，所以 所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 解法2：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ===， 又1OC =，所以2OD =，所以过A ， B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD +=，为定值. 【考点】圆一般方程，圆弦长【名师点睛】：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-=圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．2016年高考全景展示1.【2016高考山东文数】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（ ） （A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离 【答案】B 【解析】考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.2.【2016高考北京文数】圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为（ ）【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d == C. 考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点),(00y x 到直线b kx y +=(即0=--b kx y )的距离公式2001||kb kx y d +--=记忆容易，对于知d 求k ，b 很方便.3、【2016高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________.【答案】5考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.4.【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 【解析】考点：1.新定义问题；2.曲线与方程.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．5.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知直线l ：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________. 【答案】4 【解析】试题分析：由60x +=，得6x =-，代入圆的方程，并整理，得260y -+=，解得12y y ==120,3x x ==-，所以||AB ==l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6.【2016高考浙江文数】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(2,4)--；5． 【解析】试题分析：由题意22a a =+，12a =-或，1a =-时方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，2a =时方程为224448100x y x y ++++=，2215()(1)24x y +++=-不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得a 的方程，解得a 的值，一定要注意检验a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误．7.【2016高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=的距离为5，则圆C 的方程为__________. 【答案】22(2)9.x y -+= 【解析】考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程． 8. 【2016高考新课标1文数】设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若,则圆C的面积为 . 【答案】4π 【解析】试题分析：由题意直线即为20x y a -+=,圆的标准方程为()2222x y a a +-=+,所以圆心到直线的距离d =,所以AB===, 故2224a r +==,所以244S r =π=π．故填4π． 考点：直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到.9.【2016高考新课标2文数】圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =（ ） （A ）−43（B ）−34（C（D ）2【答案】A 【解析】考点： 圆的方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．。
2020年高考直线与圆问题聚焦
数学部分•创新题追根溯源高一使用2020年12月2020年高考直线与圆问题聚焦■屠翠兰直线与圆的几何性质在解析法中的应用，一直是高考命题的热点，凸显了代数方法研究几何性质和几何性质简化运算的本质属性。
下面以2020年高考试题为载体，对直线与圆中的热点题型进行归类剖析，希望对同学们的学习有所帮助。
聚焦1恒过定点的直线系方程的应用例1（2020年高考全国卷改编）点（0,—1）到直线y=k（x+1）距离的最大值为解：由直线y=-（x+1）可知过定点P（—1,0）。
设点A（0,—1）,当直线y= -（x+1）与AP垂直时，点A到直线y= -（x+1）的距离最大。
易得最大值AP= 2。
反思：已知直线方程是恒过定点的直线系方程，因此求出定点，利用几何法可探究最大值。
聚焦2：利用三点共线确定所求圆的圆心例2（2020年高考北京卷）已知半径为1的圆经过点（3,4）,则其圆心到原点的距离的最小值为（）oA. B.5C.6D.7解：由题意可知，当且仅当圆心、原点和点（3,4）这三点共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为丿32+42—1=4。
应选A。
反思：本题利用三点共线，确定圆心到原点的距离最小，从而求出圆心到原点距离的最小值。
聚焦3：直线与圆相交的弦长问题例3（2020年高考全国卷）已知圆x2+ y2—6x=0,过点（1,）的直线被该圆所截得的弦长的最小值为（）oA.1B.2C.3D.解：圆x2+y2一6x=0化为（x—3）2+ y2=9,可知圆心坐标为C（3,0）,半径为3o 设点P（1,2）,易知点P在圆内。
当过点P 的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，这时的弦长最短。
根据弦长公式可得弦长的最小值为279—|CP|2= 29—8=2,应选B。
反思：处理直线与圆的弦长问题时，常用几何法，如圆的半径r,弦长1圆心到弦的距离d之间的关系为1=2"—d2。
聚焦4：直线与圆的相切问题例4（2020年高考全国卷）若过点（2, 1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x—y—3=0的距离为（）。
2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3文科数学试题解析(word版)
C.
D.
，
，
即
，
时，标志着已初步遏 ，
得
，
即
，
得
．
故选：B．
6.在平面内， ， 是两个定点， 是动点，若
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
【答案】A
【解析】在平面内， ， 是两个定点， 是动点，
不妨设
，
，设
，
因为
，
，则点 的轨迹为( ) D. 直线
所以
，
解得
，
所以点 的轨迹为圆．
故选：A．
7.设 为坐标原点，直线 与抛物线 ：
则
．
故选：C．
12.已知函数
，则( )
A.
的最小值为
B.
的图象关于 轴对称
C.
的图象关于直线 对称
D.
的图象关于直线
对称
【答案】D 【解析】由
可得函数的定义域为
，故定义域关于原点对称；
设
，则
，
，由双勾函数的图象和性质得，
或
，故 A 错误；
又有
，故
义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故 B 错误；
所以
平面
，
而
平面
，
． 是长方体，
所以
，
因为
是长方体，且
，
所以
是正方形，
所以
，
又
．
所以 平面
，
又因为点 ， 分别在棱 ， 上，
所以
平面
，
所以
．
（2）点 在平面 内．
【答案】见解析
【解析】取 上靠近 的三等分点 ，连接 ， ， ．
高考数学最新真题专题解析—直线与圆(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—直线与圆（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程【答案】x+1=07x−24y−25=03x+4y−5=0(填一条即可)【分析】本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，属较难题．【解答】解：方法1:显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0，于是√1+b2=1，√1+b2=4．故c2=1+b2 ①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4b+c=4c或3+4b+c=−4c，再结合 ①解得{b=0c=1或{b=−247c=−257或{b=43c=−53，所以直线方程有三条，分别为x+1=0，7x−24y−25=0，3x+4y−5=0．(填一条即可)方法2:设圆x2+y2=1的圆心O(0,0)，半径为r1=1，圆(x−3)2+ (y−4)2=16的圆心C(3,4)，半径r2=4，则|OC|=5=r1+r2，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 x +1=0 符合题意； 又由方程 (x −3)2+(y −4)2=16 和 x 2+y 2=1 相减可得方程 3x +4y −5=0 ，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线 OC 的方程为 4x −3y =0 ，直线 OC 与直线 x +1=0 的交点为 (−1,−43) ，设过该点的直线为 y +43=k(x +1) ，则|k−43|√k 2+1=1 ，解得 k =724 ，从而该切线的方程为 7x −24y −25=0.( 填一条即可 ) 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】设点A(−2,3)，B(0,a)，直线AB 关于直线y =a 的对称直线为l ，已知l 与圆C:(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围为 ． 【答案】[13,32] 【分析】本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题． 【解答】解：因为k AB=a−32，所以AB关于直线y=a的对称直线为(3−a)x−2y+2a=0，所以√4+(3−a)2⩽1，整理可得6a2−11a+3⩽0,解得13≤a≤32．【命题意图】考察直线倾斜角与斜率，考察直线方程，考察直线平行与垂直，考察直线交点坐标，点到直线距离公式。
2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练含答案解析
12020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一直线方程、两直线的位置关系例1已知两直线h ： mx 8y n 0和l 2: 2x my 1 0 •试确定m 、n 的值，使: (1儿与J 相交于点P m, 1 ；⑵ l i // J ;(3)11丄12，且l 1在y 轴上的截距为一1. 【答案】 (1) m 1, n 7.(2)m 4 , n 2 :时或m 4, n2时，I 1 // l 2(3) m, n 8【解析】(1)由 题意得2m 8n 0” 口，解得 m 1, n 72m n 1 0⑵当 m0时，显 :然|. 1不平行于l 2 ；m 8 n e m m 8 2 0m 4 亠m 4当m 0时，由，得或2 m18 ( 1)nmn 2n 2即 m 4 , n2时或m4, n 2时，h // l 2.(3)当且仅当2m8m 0, 即m 0时，l 1丄l 2.又 n1 , • n 8.8即m 0, n 8时，11丄12，且11在y 轴上的截距为一1. 【易错点】忽略对m 0的情况的讨论【思维点拨】 遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或k 0时，并且对于直线平行和垂直时与A 1A 2和B ,B 2间的关系要熟练记忆。
例2如图，设一直线过点(—1,1)，它被两平行直线 直线13: x — y — 1 = 0上，求其方程.1仁x + 2y — 1= 0, I 2: x + 2y — 3= 0所截的线段的中点在2【答案】2x 7y 5 0.【解析】与|1、J 平行且距离相等的直线方程为 设所求直线方程为x 2y 2 xx 2y 20.0 .又直线过A 1,11 2 1 2 0.解 1 —.•••所求直线方程为2x 7y 50 .33【易错点】求错与11、|2平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到|1、J 平行且距离相等的直线方程， 再利用这条直线求出和第三条支线的 交点，从而求解本题 题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 例1已知实数x 、y 满足方程X y 2 4x 10.（i ）求y 的最大值和最小值；x⑵求y x 的最大值和最小值.【答案】（1）y 的最大值为.3，最小值为 ... 3.x（2） y x 的最大值为 2 ,6，最小值为 2 -、6.y 23，表示以点 2,0为圆心，以■ 3为半径的圆.设1 k ，即y kx ,xk 取最大值和最小值，此时 貲J 3，解得k J 3.故丿的最大值J k 21x【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。
2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题16直线与圆(热点难点突破)文(含解析)
直线与圆1．若3π2<α<2π，则直线x cos α＋y sin α＝1必不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 令x ＝0，得y ＝sin α<0，令y ＝0，得x ＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．2．设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ，P ，Q 分别为l 1，l 2上任意两点，点M 为P ，Q 的中点，若|AM |＝12|PQ |，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 答案 A解析 根据题意画出图形，如图所示．直线l 1：x －2y ＋1＝0 与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0 的交点为A ，M 为PQ 的中点， 若|AM |＝12|PQ |，则PA ⊥QA ，即l 1⊥l 2，∴1×m ＋(－2)×1＝0，解得m ＝2.3．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A ．x ＋(2－1)y －2＝0 B ．(1－2)x －y ＋2＝0 C ．x －(2＋1)y ＋2＝0 D ．(2－1)x －y ＋2＝0答案 C解析 如图所示可知A (2，0)，B (1,1)，C (0，2)，D (－1,1)，所以直线AB ，BC ，CD 的方程分别为y ＝1－01－2(x －2)，y ＝(1－2)x ＋2，y ＝(2－1)x ＋ 2整理为一般式即x ＋()2－1y －2＝0，()1－2x －y ＋2＝0，()2－1x －y ＋2＝0，故选C.4．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋()y ＋12＝2 B ．(x －1)2＋()y ＋12＝4C ．(x －1)2＋()y ＋12＝2 D ．(x ＋1)2＋()y ＋12＝4答案 C5．已知点P 是直线l ：x ＋y －b ＝0上的动点，由点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引切线，切点分别为M ，N ，且∠MPN ＝90°，若满足以上条件的点P 有且只有一个，则b 等于( ) A ．2 B ．±2 C. 2 D ．± 2 答案 B解析 由题意得∠PMO ＝∠PNO ＝∠MON ＝90°， |MO |＝|ON |＝1，∴四边形PMON 是正方形，∴|PO |＝2， ∵满足以上条件的点P 有且只有一个， ∴OP 垂直于直线x ＋y －b ＝0， ∴2＝|－b |1＋1，∴b ＝±2.6．在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为x 2＋y 2＝4，直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，若在圆O 上至少存在三点到直线l 的距离为1，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 答案 B解析 根据直线与圆的位置关系可知，若圆O ：x 2＋y 2＝4上至少存在三点到直线l ：y ＝k (x ＋2)的距离为1，则圆心(0,0)到直线kx －y ＋2k ＝0的距离d 应满足d ≤1，即||2k k 2＋1≤1，解得k 2≤13，即－33≤k ≤33，故选B.7．已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过定点P (a ，b )，且点P 在直线mx －ny －2＝0上，则mn 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14答案 D解析 由x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与x 2＋y 2＋ky －4＝0，相减得公共弦所在直线方程kx ＋()k －2y －4＝0，即k (x ＋y )－()2y ＋4＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋4＝0，x ＋y ＝0，得x ＝2，y ＝－2，即P ()2，－2，因此2m ＋2n －2＝0，所以m ＋n ＝1，mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14(当且仅当m ＝n 时取最大值)．8．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 B.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13答案 C解析 由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对的圆心角为2π3.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝233，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 9．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn ( ) A ．有最小值1＋2，无最大值B ．有最小值3＋22，无最大值C ．有最大值3＋22，无最小值D ．有最小值3－22，最大值3＋2 2 答案 B10．已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)且|AB |＝2，过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 答案 D解析 根据题意，利用圆中的特殊三角形，求得圆心及半径，即得圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，并且可以求得A (0，2－1)，B (0，2＋1)，因为M ，N 在圆O ：x 2＋y 2＝1上， 所以可设M (cos α，sin α)，N (cos β，sin β)，所以|NA |＝β－2＋[sin β－2－2＝2－2－sin β，|NB |＝β－2＋[sin β－2＋2＝2＋2－sin β，所以|NA ||NB |＝2－1，同理可得|MA ||MB |＝2－1，所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |，|NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2，|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22， 故①②③都正确．11．若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－4 B ．－4≤a ≤6 C ．a ≤－4或a ≥6 D ．a ≥6 答案 D 解析||3x －4y －9表示圆上的点到直线l 1：3x －4y －9＝0的距离的5倍，||3x －4y ＋a 表示圆上的点到直线l 2：3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，所以||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，即圆上的点到直线l 1，l 2的距离与圆上点的位置无关，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，所以d ＝||3－4＋a 5≥1，并且a >0，解得a ≥6，故选D.12．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路． 答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22， 解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102. 13．直线x ＋y sin α－3＝0(α∈R )的倾斜角的取值范围是_____．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4解析 若sin α＝0，则直线的倾斜角为π2；若sin α≠0， 则直线的斜率k ＝－1sin α∈()－∞，－1]∪[1，＋∞， 设直线的倾斜角为θ，则tan θ∈()－∞，－1]∪[1，＋∞，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪ ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，综上可得直线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.14．若过点(2,0)有两条直线与圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋m ＋1＝0相切，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,1)解析 由题意过点(2,0)有两条直线与圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋m ＋1＝0相切， 则点(2,0)在圆外，即22－2×2＋m ＋1>0，解得m >－1； 由方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋m ＋1＝0表示圆， 则(－2)2＋22－4(m ＋1)>0，解得m <1. 综上，实数m 的取值范围是(－1,1)．15．已知直线l ：mx －y ＝1.若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则m 的值为________；动直线l 被圆x 2＋2x ＋y 2－24＝0截得的弦长的最小值为________． 答案 －1 22316．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A (2,0)，若圆C 上存在点M ，满足|MA |2＋|MO |2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，72 解析 设点M (x ，y )，因为|MA |2＋|MO |2≤10， 所以(x －2)2＋y 2＋x 2＋y 2≤10， 即x 2＋y 2－2x －3≤0，因为(x ＋1)2＋y 2＝2，所以y 2＝2－(x ＋1)2， 所以x 2＋2－(x ＋1)2－2x －3≤0， 化简得x ≥－12.因为y 2＝2－(x ＋1)2，所以y 2≤74，所以－72≤y ≤72. 17．设圆C 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为d .当d 最小时，圆C 的面积为________．答案 2π解析 如图，设圆心坐标为C (a ，b )，。
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专题16 直线与圆文考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.直线的倾斜角、斜率和方程①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直;④掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系;⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离掌握选择题填空题★★☆2.点与直线、直线与直线的位置关系掌握选择题填空题★★☆分析解读 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系,会求直线的倾斜角与斜率.2.掌握求直线方程的三种方法:直接法、待定系数法、轨迹法.3.能根据两条直线平行、垂直的条件判定两直线是否平行或垂直.4.熟记两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式,根据相关条件,会求三种距离.5.理解方程和函数的思想方法.6.高考中常结合直线的斜率与方程,考查与其他曲线的综合应用,分值约为5分,属中档题.考点内容解读要求常考题型预测热度圆的方程①掌握确定圆的几何要素;②掌握圆的标准方程与一般方程掌握填空题解答题★☆☆分析解读 1.了解参数方程的概念,理解圆的参数方程.2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合圆的几何性质解决与圆有关的问题.3.高考对本节内容的考查以圆的方程为主,分值约为5分,中等难度,备考时应掌握“几何法”和“代数法”,求圆的方程的方法及与圆有关的最值问题.考点内容解读要求常考题型预测热度1.直线与圆的位置关系①能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;③初步了解用代数方法处理几何问题的思想掌握选择题填空题★★☆2.圆与圆的位置关系掌握填空题解答题★★☆分析解读 1.能够根据给定直线和圆的方程,选用代数或几何方法,判断直线和圆、圆与圆的位置关系.2.会根据圆的切线方程、公共弦方程及弦长等有关知识解决有关直线与圆的问题.3.灵活运用数形结合的方法.4.本节在高考中以位置关系、弦长问题为主,分值约为5分,属中档题.2018年高考全景展示1．【2018年全国卷Ⅲ文】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。
2．【2018年天津卷文】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】【解析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．3．【2018年新课标I 卷文】直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】分析：首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.详解：根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果2017年高考全景展示1.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅u u u r u u u r ≤ 则点P 的横坐标的取值范围是 . 【答案】[52,1]-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤u u u r u u u r ，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧»AB 上,结合限制条件5252x -≤≤ ，可得点P 横坐标的取值范围为[52,1]-. 【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=；由韦达定理得122x x =-，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为2220x y mx Ey +++-=,因为过(0,1)，所以1E = ，令0x = 得22012y y y y +-=⇒==-或，即弦长为3.（2）解法1：过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段AB 垂直平分线上，设圆心()00,E x y ，则12022x x mx +==-，由EA EC =得()22221212100+122x x x x x y y +⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得1201122x x y +==-，所以圆E 的方程为22221112222m m x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0x =得121,2y y ==-，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为()123--=，所以 所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 解法2：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ===， 又1OC =，所以2OD =，所以过A ， B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD +=，为定值. 【考点】圆一般方程，圆弦长【名师点睛】：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：222121212||1||1()4AB k x x kx x x x =+-=++- (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．2016年高考全景展示1.【2016高考山东文数】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（ ） （A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离 【答案】B 【解析】考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.2.【2016高考北京文数】圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为（ ） A.1 B.2 C.2 D.22 【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知|103|22d --+==，故选C. 考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点),(00y x 到直线b kx y +=(即0=--b kx y )的距离公式2001||kb kx y d +--=记忆容易，对于知d 求k ，b 很方便.3、【2016高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________.【答案】255考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.4.【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 【解析】考点：1.新定义问题；2.曲线与方程.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．5.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知直线l ：360x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别 作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________. 【答案】4 【解析】试题分析：由360x +=，得36x =-，代入圆的方程，并整理，得23360y -+=，解得1223,3y y ==120,3x x ==-，所以221212||()()23AB x y y y =-+-=l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6.【2016高考浙江文数】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(2,4)--；5． 【解析】试题分析：由题意22a a =+，12a =-或，1a =-时方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，2a =时方程为224448100x y x y ++++=，2215()(1)24x y +++=-不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得a 的方程，解得a 的值，一定要注意检验a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误．7.【2016高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点(0,5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -= 的距离为455，则圆C 的方程为__________. 【答案】22(2)9.x y -+= 【解析】考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程． 8. 【2016高考新课标1文数】设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若,则圆C的面积为 . 【答案】4π 【解析】试题分析：由题意直线即为20x y a -+=,圆的标准方程为()2222x y a a +-=+,所以圆心到直线的距离2ad =,所以()22222a AB a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭222232a =+=, 故2224a r +==,所以244S r =π=π．故填4π． 考点：直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到.9.【2016高考新课标2文数】圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =（ ）（A ）−43 （B ）−34（C ）3 （D ）2【答案】A 【解析】考点： 圆的方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．。